张明悦：跑步从玩抓人游戏开始_网易体育
张明悦：跑步从玩抓人游戏开始
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　　 新快报记者李召
　　2011年，张明悦在河南省锦标赛十公里中以36分零7秒的成绩拿到第一，同时拿到了“国家一级运动员”证书。现在，张明悦是暨南大学田径队的一员。
　　张明悦很年轻，还是一名大学生，但若论起跑龄，她倒算是个小前辈了。从小学五年级校运会的800米开始，张明悦现在已经是半程马拉松的常客。她的运动天赋并不来自于父母，而是儿时的玩伴。“因为小时候爸妈的工作很忙，放学回家也没人管，我当时也很贪玩，经常和小区里的其他孩子玩 男生抓女生 ”，张明悦觉得自己是“玩着玩着就会了”。
　　现在张明悦跑步绝对不是玩玩而已，像膝膜炎、滑膜炎等等的“跑步职业病”，都没能缠上张明悦。近八年的跑步，她到目前为止还保持着零伤患的纪录。
　　张明悦自己认为，伤病少可能要归功跑步方法。她采用的是前掌落地跑法，脚外侧前掌先着地，然后延伸到后脚跟，这种动作有利于各个关节的缓冲。她还有恢复的妙招：长跑过后，用热水加一点盐泡脚半小时，再用凉水泡半小时。张明悦说这是“前辈教的，确实很有用”。
　　希望不受伤，一直跑下去
　　和大部分的跑步爱好者一样，张明悦非常珍惜自己的运动生命。她希望自己可以一直跑下去。因为谨慎，她表示自己可能一辈子都不会去跑全程马拉松。
　　新快报（以下简称新）：小前辈，为什么不参加今年广马？
　　张明悦（以下简称悦）：网络报名，没抢上……新：去年的广马为什么没成绩？
　　悦：我报的是10公里，结果一不小心跑到半程终点去了，所以就没有证书……
　　新：你全方位地赢了，你怎么没直接杀到全程终点去呢？
　　悦：我平时挺迷糊的，而且我不喜欢戴东西，项链啊什么的都不喜欢，所以那天也没有戴运动手表，自己也不知道跑多了远（笑）。但是我一辈子都不会去尝试全程马拉松。
　　新：这种时候不问个“为什么”太对不起读者了。
　　悦：以前的田径队里有一个女孩子，就是跑了一次全程马拉松，后来身体出了好大的问题，到现在都还没有调理好……之后她再也没有跑过步了。虽然说跑长跑总有些挑战自己的意思，但是如果为了挑战一次全程马拉松让自己一辈子都不能跑步了，我宁愿不试。
　　新：全程马拉松伤害有这么大？
　　悦：我感觉是对女生伤害比较大。
　　张明悦20岁学生身高：1.62米　体重：51公斤最好成绩：1小时48分（上海半马）
本文来源：金羊网-新快报
责任编辑：王晓易_NE0011
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一对学生从甲地到乙地,速度为四千米每小时,当进行1千米时一学生奉命回甲地取东西,他以5千米每小时的速度跑回甲地,取了东西后立即以相同的速度追赶队伍,结果在距乙地2千米处追上队伍,求甲乙两地间的路程（取东西的时间不记）
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设甲乙两地的路程为x千米
（x-1-2）÷4 =（1+x-2）÷5
∴ （x-3）÷4=（x-1）÷5
5（x-3）=4（x-1）
5x-15=4x-4
∴x=11答：甲乙两地相距11千米.
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能够讲解一些吗
分析：（1）队伍在这个学生取东西后行驶的路程为：（x-1-2）千米；
所用时间为（x-1-2）÷4
（2）这个学生取东西、在返回所行驶的路程为：
返回行驶1千米，追上队伍行驶（x-2）千米，共行驶（1+x-2）千米；
所用时间为：（1+x-2）÷5
（3）这两个时间相等，则：
（x-1-2）÷4=（1+x-2）÷5
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初三数学总复习学案(1)实数的概念
初三数学总复习实数的概念一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1.实数的有关概念 (1)有理数: (2)有理数分类 ①按定义分: 和 统称为有理数。 ②按符号分:? ? ?( ? 有理数 ? ? ?( ? ?（3）相反数：只有 则 （4）数轴：规定了 （5）倒数：乘积 则 （6）绝对值：?( ? ) ?0 ?( ? ?( )? ?(。 、? ?( ? ) ；有理数 ?0 ? ? ) ?( ? ) ? )?( )? ?( ?( )? ?() ) ) )不同的两个数互为相反数。若 a、b 互为相反数， 和 的直线叫做数轴。的 两 个 数 互 为 倒 数 。 若 a （ a≠0 ） 的 倒 数 为 。1 . a（7）无理数： （8）实数： （9）实数和小数叫做无理数。 和 统称为实数。 的点一一对应。? ? ? ?( ? ? 2.实数的分类:实数? ? ? ? ?( ? ?? ? ?( ? )? ? ?( ? ? ?( )? ?(?( ? ) ?零 ?( ? ?( )? ?( )? ?( )?1)? ? ? ? )? ( )? ? ? )? ))3.科学记数法、近似数和有效数字 n （1）科学记数法：把一个数记成±a?10 的形式（其中 1≤a&10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字， 都叫做这个数字的有效数字。（二）【课前练习】 ：1．|－22|的值是（ ）A．－2 B.2 C．4 D．－42．下列说法不正确的是（ ） A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数 C．有最大的负数 D．有绝对值最小的有理数 3． ? 2 在?22 ? sin 0 0. ??? 、 、 这七个数中， 无理数有 （ ? 、 45 、、9、 27 30 0）A．1 个；B．2 个；C．3 个；D．4 个 4．下列命题中正确的是（ ） A．有限小数是有理数 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．无限小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应 5．近似数 0.030 万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为万二： 【经典考题剖析】1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青 少年宫在学校东 300m 处，商场在学校西 200m 处，医院在学校东 500m 处．若将马路 近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用 1 个单位长度表示 100m． （1）在数轴上表示出四家公共场所的位置； （2）列式计算青少年宫与商场之间 的距离． ：? 2．下列各数中：-1，0， 169 ， 2 ，1.101001 ??,0.6 , 2 ? 1 , cos 45 ,- cos 60 ,? ??22 22 7 ,2, 7??. 正数集合{ 自然数集合{ 无理数集合{ ?}； ?}； ?}； ?}；有理数集合{ ?}； 整数集合{ ?}； 分数集合{ ?}； 绝对值最小的数的集合{23. 已知(x-2) +|y-4|+ z ? 6 =0，求 xyz 的值． ．24． 已知 a 与 b 互为相反数， d 互为倒数， 的绝对值是 2 求 2(a ? b)3 ? 2(cd ) m ? c、 m 的值1 ? 2m m25. a、b 在数轴上的位置如图所示，且 a ＞ b ，化简 a ? a ? b ? b ? aa0 b三： 【课后训练】1 2、一个数的倒数的相反数是 1 ,则这个数是（） 5 6 A． 5 5 B． 6 C．6 5 5 D．－ 63、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A．非负数 B．非正数 C．负数 D．正数 4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数 是 2 ” ，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A．代人法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论 5. 若 a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则 a＋b=___________． 6.已知 x ? y ? y ? x ， x ? 4, y ? 3 ，则 ? x ? y ? ?37.光年是天文学中的距离单位，1 光年大约是 0km，用科学计数法表 示 (保留三个有效数字)38.当 a 为何值时有：① a ? 2 ? 3 ；② a ? 2 ? 0 ；③ a ? 2 ? ?39. 已知 a 与 b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 2 的相反数的负倒数，y 不能1 作除数，求 2(a ? b)2002 ? 2(cd )2001 ? ? y 2000 的值． x10. （1）阅读下面材料：点 A、B 在数轴上分别表示实数 a，b，A、B 两点之间的距离表 示为|AB|，当 A 上两点 中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1－2－4 所 示，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当 A、B 两点都不在原点时，①如图 1－2－5 所示， 点 A、B 都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a－b|； ②如图 1－2 －6 所示，点 A、B 都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b－(－a)=|a － b| ； ③ 如 图 1 － 2 － 7 所 示 ， 点 A 、 B 在 原 点 的 两 边 多 边 ， |AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a－b|综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|=|a－b| （2）回答下列问题： ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2 和－5 的两点之间 的距离是____，数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是______. ②数轴上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么 x 为_________． ③当代数式|x+1|+|x－2|=2 取最小值时，相应的 x 的取值范围是_________.四： 【课后小结】4初三数学总复习实数的运算一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则 (1)有理数加法法则： ①同号两数相加，取________的符号，并把__________ ②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。互为相反数的两个数相加得____。 ③一个数同 0 相加，__________________。 (2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。 (3)有理数乘法法则： ①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。任何数同 0 相乘， 都得________。 ②几个不等于 0 的数相乘，积的符号由____________决定。当______________， 积为负，当_____________，积为正。 ③几个数相乘，有一个因数为 0，积就为__________. (4)有理数除法法则： ①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。 ②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。 0 除以任何一个 ____________________的数，都得 0 (5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________； 负数的__________是负数， 负数的__________是正数 (6)有理数混合运算法则： 先算________，再算__________，最后算___________。 如果有括号，就_______________________________。 2.实数的运算顺序： 在同一个算式里， 先 、 ， 然后 ， 最后 ． 有 括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 3.运算律 （1）加法交换律：_____________。 （2）加法结合律：____________。 （3）乘法交换律：_____________。 （4）乘法结合律：____________。 （5）乘法分配律：_________________________。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法： a ? b ＞0 ? a ＞ b ， a ? b =0 ? a ? b ， a ? b ＜0 ? a ＜ b （2）商值比较法：5若 a、 b 为两正数，则 （3）绝对值比较法：a a a ＞ 1 ? a ＞ b ； ? 1 ? a ? ＜ 1 ? a ＜ b b b b若 a、 b 为两负数，则 a ＞ b ? a ＜ b； ? b ? a ? b； ＜ b ? a ＞ b a a （4）两数平方法：如 15 ? 5与 13 ? 7 5.三个重要的非负数：（二）【课前练习】 ：1. 下列说法中，正确的是（ A．|m|与―m 互为相反数 ） B． 2 ? 1与 2 ?1 互为倒数2C．1998．8 用科学计数法表示为 1．9988?10 D．0．4949 用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为 0．50 2. 在函数 y ?1 1? x中，自变量 x 的取值范围是（ D．x≥1 。）A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 3. 按I顺序－1?2÷4＝，结果是 4. 16 的平方根是______ 5.计算 (1) 3 ÷(－3) +|－2 21 |?(－ 6)+ 49 ； 6(2) (3 2-2 3)2 -(3 2+2 3)二： 【经典考题剖析】1.已知 x、y 是实数，3x ? 4 ? y2 ? 6 y ? 9 ? 0, 若axy ? 3x ? y, 求实数a的值.2.请在下列 6 个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差: 42 , 1 , ?24 , ? , 27, (?1)0 2 33.比较大小: (1)3 5与2 11,(2) 15 ? 5与 13 ? 7,(3) 10 ? 3与3-2 264.探索规律:3 =3，个位数字是 3；3 =9，个位数字是 9；3 =27，个位数字是 7；3 =81， 5 6 7 个位数字是 1；3 =243，个位数字是 3；3 =729，个位数字是 9；?那么 3 的个位数 20 字是 ；3 的个位数字是 ； 5.计算：1234? 1 ? (?2)3 ? (?1)4 ? (?12)2 ? ??( )2 ? ? 2 ?； （1） 2 0.25 ? 4 ? ?1 ? 3 ? (?2) ? ? ?（2） ( 2 )?1 ? (2001 ? tan 300 )0 ? (?2)2 ? 1 ? 1 3 16 2 ?1三： 【课后训练】1.某公司员工分别住在 A、B、C 三个住宅区，A 区有 30 人，B 区有 15 人，C 区有 10 人， 三个住宅区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间设一个停靠 站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小， A 200m C 100m B 那么停靠站的位置应设在（ ） A．A 区； B．B 区； C．C 区； D．A、B 两区之间 2.根据国家税务总局发布的信息，2004 年全国税收收入完成 25718 亿元，比上年增长 25.7%，占 2004 年国内生产总值（GDP）的 19%。根据以上信息，下列说法：①2003 年全国税收收入约为 25718? （1-25.7%） 亿元； ②2003 年全国税收收入约为.7%）亿元；③若按相同的增长率计算，预计 2005 年全国税收收入约为 25718?（1+25.7%） 亿元；④2004 年国内生产总值（GDP）约为25718 亿元。其中正确的有（ 19%）A．①④；B．①③④；C．②③；D．②③④ 1 3.当 0 ＜ x ＜ 1 时， x 2 , x, 的大小顺序是（ x71 1 1 1 2 2 2 2 ＜ x ＜ x ；B． ＜ x ＜ x ；C． x ＜ x ＜ ；D． x ＜ x ＜ x x x x a ? 2 2a ? 1 , 4.设是大于 1 的实数，若 a, 在数轴上对应的点分别记作 A、B、C，则 A、B、 3 3A． C 三点在数轴上自左至右的顺序是（ ） A．C 、B 、A；B．B 、C 、A ；C．A、B、 C ；D．C、 A、 B 5.现规定一种新的运算“?” ：a?b=a ，如 3?2=3 =9，则 A．b 21 ?3 ? （ 2）1 1 3 ；B．8；C． ；D． 8 6 26.火车票上的车次号有两种意义。一是数字越小表示车速越快：1～98 次为特快列车； 101～198 次为直快列车； 301～398 次为普快列车； 401～498 次为普客列车。 二是单、 双数表示不同的行驶方向，比如单数表示从北京开出，则双数表示开往北京。根据以 上规定，杭州开往北京的某一趟直快列车的车次号可能是（ ） A．20；B．119；C．120；D．319 7.计算： （1）( 3 －1 2 27 + 3 -1 ) ； ⑵( 3 + 2 )( 3 － 2 )；⑶ 3 31（4） 12+1 1 1 1 （5） ?0.52 +(- )2 - -22 -4 -(-1 )3 ? ( )3 ? (- )4 -(2+ 3)0 ； 2 2 3 2 2? 38. 已知：x?3 1 x?3 ? 5 ? ? ，求 ?? ? x ? 2 ?的值 x?2 2x ? 4 ? x ? 2 3 ? 2 ?1 ?9. 观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，??这些等式反映出自然数 间的某种规律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示出来 10.小王上周五买进某公司股票 1000 股，每股 25 元，在接下来的一周交易日内，小王 记下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况： （单位：元） 星期 每股涨跌 一 +2 二 -0.5 三 +1.5 四 -1.8 五 +0.8根据表格回答问题 （1）星期二收盘时，该股票每股多少元？ （2）本周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？ （3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周 五以收盘价将传全部股票卖出，他的收益情况如何？四： 【课后小结】8初三数学总复习数的开方和二次根式一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1.平方根与立方根 2 (1)如果 x =a， 那么 x 叫做 a 的 。 一个正数有 零的平方根是 ； 没有平方根。 个平方根， 它们互为 ；（2）如果 x =a，那么 x 叫做 a 的 。一个正数有一个 有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2）3的立方根；一个负数（3） （4）二次根式的性质2 ① 若a ? 0, 则( a) ?；③ ab ?(a ? 0, b ? 0)② a ? a ??2?a ( ? ?a () )；④a a ? (a ? 0, b ? 0) b b，在合并同类二次根式；（5）二次根式的运算 ①加减法：先化为②乘法：应用公式 a ? b ? ab (a ? 0, b ? 0) ；③除法：应用公式a a ? (a ? 0, b ? 0) b b④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。9（二）【课前练习】 ：1.填空题2. 判断题3. 如果 (x-2) 2 =2-x 那么 x 取值范围是（） A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A． x 2 +1 B. x 2 y5 C. 12D. 0.52 ；④ 27和 3 是同类二次根式的是（ 35. 在二次根式：① 12, ② 23 ③）A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④二： 【经典考题剖析】1. 已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c, 且 a、b、c 满足 a －6a+9+ b ? 4 ? | c ? 5 |? 0 ， 试判断△ABC 的形状．2102. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1） ?2 x ? 3 ； （2）1? x ； x2 ? 1（3）1 x?43.找出下列二次根式中的最简二次根式：a 1 1 x2 ? y 27 x , x ? y , 2ab , 0.1x , , ? 21, ? x , ? , 2 a b 22 2 24.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：3, 75, 18,1 1 1 2 a , 2, , , 8ab3 (b ? 0), ?3b 27 25 50 3 2b5. 化简与计算 ① 675 ；② 4 ? 4 x ? x 2 ( x ? 2) ；③ ⑤1 1 m2 ? 4m ? 4 7 ；④ ? (m ? ? ) 2 16 25 m ? 6m ? 9 2?2? 3? 6? ??22 ? 3 ? 6 ；⑥ 2 3 ? 3 2 ? 6 2 3 ? 3 2 ? 6?2????11三： 【课后训练】1. 当 x≤2 时，下列等式一定成立的是（ ） A、 C、? x ? 2?2? x?22? x ? 3? xB、? x ? 3?2? x ?3? x ? 2 ?? x ? 3? ?D、 3 ? x ? 3 ? x 2? x 2? x2. 如果 (x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（） A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2 ）3. 当 a 为实数时， a 2 =-a 则实数 a 在数轴上的对应点在（A．原点的右侧 B．原点的左侧 C．原点或原点的右侧 D．原点或原点的左侧 4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点―一对应；②不带根号的数一定是有理数；③ 负数没有立方根；④－ 17 是 17 的平方根，其中正确的有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个5. 计算 a 3 +a 21 所得结果是______． a6. 当 a≥0 时，化简 3a2 = 7.计算 （1） 、2 2 x9 5 ? 5x 2? 9、 x ； （2）?5? 230 02? ?5 2 ? ?40 02（3） 2 3 3 2 、 ???；27 （4） 5 4 6 ? 、 8 21 ? 2 32 2 8. 已知： x、y为实数，y= x -4+ 4-x +1 ，求 3x+4y 的值。x-29. 实数 P 在数轴上的位置如图所示：化简 ( p ?1)2 ? (P ? 2)2 10. 阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目： “先化简下式，再求值： a+ 1-2a+a 2 其中 a=9 时” ，得出了不同的答案，小明的解答： 原式= a+ 1-2a+a 2 = a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2?9－1=17 ⑴___________是错误的； ⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________四： 【课后小结】12初三数学总复习代数式的初步知识一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1. 代数式的分类: 有理式 代数式 无理式 2. 代数式的有关概念 (1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母 连结而成的式子叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式． （2）有理式： 和 统称有理式。 （3）无理式： 3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求 值。（二）【课前练习】 ：1. a，b 两数的平方和用代数式表示为（ A. a ? b2 2）2B. (a ? b)22C. a ? bD. a ? b22. 当 x=-2 时，代数式- x +2x-1 的值等于（）A.9 B.6 C.1 D.-1 3. 当代数式 a+b 的值为 3 时，代数式 2a+2b+1 的值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 4. 一种商品进价为每件 a 元，按进价增加 25％出售， 后因库存积压降价，按售价 的九折出售，每件还盈利（ ） A.0.125a 元 B.0.15a 元 C.0.25a 元 D.1.25a 元 5.如图所示，四个图形中，图①是长方形，图②、③、 ④是正方形，把图①、②、 ③三个图形拼在一起（不重合） ，其面积为 S，则 S＝______________；图④的面积 P 为_____________，则 P_____s。a+b 2a ① b b ② b13④a③ a a+b二： 【经典考题剖析】1. 判别下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。 （1）a -ab+b ； （2）S=2 21 （a+b）h； （3）2a+3b≥0； （4）y； （5）0； （6）c=2 ? R。 22. 抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格 a 元的过氧乙酸消毒液提价 20％后出售， 市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价一下降 15％，那么现在每桶的价格是 _____________元。 3.一根绳子弯曲成如图⑴所示的形状，当用剪刀像图⑵那样沿虚线把绳子剪断时，绳子 被剪成 5 段；当用剪刀像图⑶那样沿虚线 b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪 成 9 段，若用剪刀在虚线 ab 之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与 a 平行）这样一共 a b 剪 n 次时绳子的段数是（ ） a⑶ ⑵ ⑴ A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+5 2 3 3 3 2 4. 有这样一道题， “当 a= 0.35，b=-0.28 时，求代数式 7a －6a b+3a ＋6a b－3a b－ 3 2 10a +3 a b－2 的值” ．小明同学说题目中给出的条件 a=0.35，b=-0.28 是多余的，你 觉得他的说法对吗？试说明理由．5. 按下列程序计算，把答案填在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个 规律？x ? 平方 ? ? x ? ? x ? ? x ? 答案（1）填写表内空格： 输入 x 输出答案 3 1 2 1 -21 3... ...（2）发现的规律是：____________________。 （3）用简要的过程证明你发现的规律。14三： 【课后训练】1. 下列各式不是代数式的是（ ）A．0 B．4x2－3x+1 C．a＋b= b+a D、2 y2. 两个数的和是 25，其中一个数用字母 x 表示，那么 x 与另一个数之积用代数式表示 为（ ） A．x（x＋25） B．x（x―25） C．25x D．x（25－x） x y 2 3. 若 ab 与 a b 是同类项，下列结论正确的是（ ） A．X＝2，y=1；B．X=0，y=0；C．X＝2，y=0；D．X=1，y=1 4. 小卫搭积木块，开始时用 2 块积木搭拼（第 1 步） ， 然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第 2 步） ，如图反映的是前 3 步的图案，当第１0 步结 束后，组成图案的积木块数为 （ ） 第1步 第3步 第2步 A．306 B．361 C．380 D．420 5. 科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一 个奇特的数列――著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?? 仔细观察以上数列，则它的第 11 个数应该是 .2 2 6. 若x=-2,则3x -x+2x +3x=；7. 一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一 部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗． 8. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：⑴ 第 4 个图案中有白色地面砖 ⑵ 第 n 个图案中有白色地面砖 9. 下面是一个有规律排列的数表：块； 块．上面数表中第 9 行，第 7 列的数是_________．1510. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ⑴在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；??①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32；④；⑤；⑵通过猜想写出与第 n 个点阵相对应的等式.??四： 【课后小结】16初三数学总复习整式一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1.整式有关概念 （1） 单项式： 只含有 的积的代数式叫做单项式。 单项式中____________ 叫做这个单项式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数； （2）多项式：几个 的和，叫做多项式。____________ 叫做常数项。 多项式中____________的次数， 就是这个多项式的次数。 多项式中____________ 的个数，就是这个多项式的项数。 2.同类项、合并同类项 （1） 同类项： ________________________________ 叫做同类项； （2） 合并同类项： ________________________________ 叫做合并同类项； （3）合并同类项法则： 。 （4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ； 括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都 。 3.整式的运算 （1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。 （2）整式的乘除法： ①幂的运算：a m ? a n ? a m? a m ? a n ? a m?(a m ) n ?(ab) n ? a nb n 1 a 0 ? 1, a ? p ? p (a ? 0, p为整数) a②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。 单项式乘以多项式： m(a ? b) ? 单项式乘以多项式： (m ? n)(a ? b) ? ③乘法公式： 平方差： 完全平方公式： 。 。。 。a、b型公式： ? a)( x ? b) ? x2 ? (a ? b) x ? ab (x17④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因 式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相 同字母相除要用到同底数幂的运算性质。 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加．（二）【课前练习】 ：1 1. 代数式－ 4x 2 y2 + xy3 -1有___项， 每项系数分别是 __________. 2 a b+2 5 2-b 2. 若代数式－2x y 与 3x y 是同类项，则代数式 3a－b=_______3. 合并同类项： ⑴-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4(2)-7x 2 y ? 5xy 2 ? 4 x2 ? 3xy 2 4. 下列计算中，正确的是（ ） 3 3 6 2 3 2 2 2 A．2a+3b=5ab；B．a?a =a ；C．a ÷a =a ；D． （－ab） =a b 5. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ） ． ①（2a－3b） （3b－2a） ；②（－2a ＋3b） （2a+3b） ③（－2a +3b） （－2a －3b） ；④（2a+3b） （－2a－3b） ． A．①②；B．②③ ；C．③④ ；D．①④二： 【经典考题剖析】1.计算：－7a b+3ab －｛[4a b-(2ab -3ab)]-4ab-(11ab b-31ab－6ab ｝2 2 2 2 2 22. 若 x3m =4,y3n =5, 求(x ) +(y )3－x ?y 的值．2m 3n2mn3. 已知：A=2x +3ax－2x－1, B=－x +ax－1，且 3A+6B 的值与 x 无关，求 a 的值．224. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b） （其中 4 n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b） 展开式中的 系数： 1 (a+b) =a +b； 2 2 2 (a+b) =a +2ab+b 3 3 2 2 3 (a+b) =a +3a b+3ab +b 4 4 3 2 2 则(a+b) =____a +____a b+___ a b +_____ 6 (a+b) =1825. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来 2 表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a+b)=2a 2 ＋3ab+ b 就可以用图 l－l－l 或图 l－l－2 等图形的面积表示． （1）请写出图 l－1－3 所表示的代数恒等式： （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示： 2 2 （a+b） （a+3b）＝a ＋4ab 十 3b ． （3）请仿照上述方法另写一下个含有 a、b 的代数恒 等式，并画出与之对应的几何图形．三： 【课后训练】1. 下列计算错误的个数是（ ）⑴x3 +x3 =x 3+3； m6 ? m6 =2m6； a ? a 3 ? a 5 =a 0?3?5 =a 8 ; ⑷(-1) 2 (-1) 4 (-1)3 =(-1) 2? 4?3 =(-1)9 ⑵ ⑶A．l 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2. 计算： (3a 2 -2a+1)-(2a 2 +3a-5) 的结果是（ ） A．a －5a+6;2B．a －5a－4;2C．a +a－4;2D. a +a+623 3. 若 x 2 +ax=(x+ )2 +b ，则 a、b 的值是（ ） 2 9 9 9 3 A. a=3,b= ; B.a=3,b=- ; C.a=0, b=- ; D.a=3, b=4 4 4 24. 下列各题计算正确的是（ ） 8 4 3 8 -8 100 99 10 5 -2 4 A、x ÷x ÷x =1 B、a ÷a =1 C. 3 ÷3 =3 D.5 ÷5 ÷5 =5 5. 若 3a 3 b n -5a m b 4 所得的差是 单项式． m=___． 则 n=_____， 这个单项式是____________． 6. －? ab2 c32的系数是______，次数是______．7. 求值： （1－1 1 1 1 1 ） （1－ 2 ） （1－ 2 ）?（1－ 2 ） （1－ 2 ） 2 3 9 2 4 1028. 化学课上老师用硫酸溶液做试验，第一次实验用去了 a 毫升硫酸，第二次实验用去 2 了 b 毫升硫酸，第三次用去了 2ab 毫升硫酸，若 a=3．6，b=l．4．则化学老师做 三次实验共用去了多少毫升硫酸？199. ⑴观察下列各式：⑵由此可以猜想：( ⑶证明你的结论：b n ) =____(n 为正整数，且 a≠0) a10. 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+?1 +100=？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+4+5+?+n= n(n+1)，其中 n 是 2 正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式： 1?2+2?3+3?4+?+n(n+1)=?1?2= 2?3= 3?4=1 (1?2?3－0?1?2) 3 1 (2?3?4－1?2?3) 3 1 (3?4?5－2?3?4) 31 将这三个等式的两边分别相加，可以得到 1?+2?3 3?4= ?3?4?5=20 3读完这段材料，请你思考后回答： ⑴1?2+2?3+3?4+?+100?101=_________. ⑵1?2+2?3+3?4+?+n(n+1)=___________. ⑶1?2?3+2?3?4+??+n(n+1)(n+2)=______-. （只需写出结果，不必写中间的过程）四： 【课后小结】20初三数学总复习因式分解一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解 因式． 2．分解困式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提 出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公 因式法． ⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ； 3．分解因式的步骤： （1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然 后再考虑是否能用公式法分解． （2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方 公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区： 提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项 被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能 继续分解等（二）【课前练习】 ：1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ） 2 2 3 A．3x－2 与 6x －4x B.3（a－b） 与 11（b－a） C．mx―my 与 ny―nx D．ab―ac 与 ab―bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ）A.x 2 ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1) ;B.1 ? 4 y 2 ? (1 ? 2 y)(1 ? 2 y) C.81x 2 ? 64 y 2 ? (9 x ? 8 y)(9 x ? 8 y); D.(?2 y) 2 ? x 2 ? (?2 y ? x)(2 y ? x)3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）A.9 x 2 ? 49 y 2 C.9 x 2 ? 49 y 22B. ? 9 x 2 ? 49 y 2 D. ? (9 x 2 ? 49 y 2 )24. 分解因式：x +2xy+y －4 =_____ 5. 分解因式： （1） 9n 2 ? ? （2） x ? y ?2 2 2 2?2 ； 2a 2 ? ?2 2?2； 公式； （3） 25x ? 9 y ?（4） (a ? b) ? 4(a ? b) ； （5）以上三题用了21二： 【经典考题剖析】1. 分解因式：3 2 （1） 3 y ? xy 3 ； 2） x ? 18x ? 27 x ； 3） x ? 1? ? x ? 1 ； 4） ? x ? y ? ? 2 ? y ? x ? （ 3 （ ? （ 4 x2 2 3分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意 数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。 ②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意 ? a ? b ?2n? ?b ? a ? ， ? a ? b ?2n2 n ?1? ? ?b ? a ?2 n ?1④分解结果（1）不带中括号； （2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多 项式在后； （3）相同因式写成幂的形式； （4）分解结果应在指定范围内不能再分解 为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。 2. 分解因式： （1） x2 ? 3xy ?10 y 2 ； （2） 2 x3 y ? 2 x2 y 2 ?12 xy3 ； （3） x ? 42??2? 16 x 2分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数” ，另一个字母视为“常 数” 。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为 3 项，可考虑完全平方式或十字相 乘法继续分解；如果项数为 2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。 （3）题无公因 式，项数为 2 项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。 3. 计算： （1） ?1 ?? ?1 ?? 1? ? 1 ?? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? 2 ?? 2 ?? 3 ? ? 9 ?? 10 ?2 2 2 2 2 2 2（2） 2002 ? 2001 ? 2000 ? 1999 ? 1998 ? ? ? ? ? 2 ? 1 分析： （1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。 （2）分解后，便有规可循，再求 1 到 2002 的和。2 2 2 4. 分解因式： （1） 4 x ? 4 xy ? y ? z ； （2） a ? a ? 2b ? 2a b3 2分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法， 5. （1）在实数范围内分解因式： x ? 4 ；4（2）已知 a 、 b 、 c 是△ABC 的三边，且满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ，2 2 2求证：△ABC 为等边三角形。 分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证 a ? b ? c ， 从已知给出的等式结构看出， 应构造出三个完全平方式 ? a ? b ?2 ? ? b ? c ?2 ? ? c ? a ?2 ? 0 ， 即可得证，将原式两边同乘以 2 即可。略证： a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ? 02 2 2222a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 0?a ? b?2 ? ?b ? c?2 ? ?c ? a?2 ? 0∴a ? b ? c 即△ABC 为等边三角形。三： 【课后训练】1. 若 9 x2 ? mxy ? 16 y 2 是一个完全平方式，那么 m 的值是（ A．24 B．12 C．±12 ab ? 1 ? a ? b 因式分解的结果是（ 2. 把多项式 ） A． ? a ?1??b ?1?2） D．±24 D． ? a ?1??b ?1? ）B． ? a ?1??b ?1?C． ? a ?1??b ?1?3. 如果二次三项式 x ? ax ? 1 可分解为 ? x ? 2?? x ? b ? ，则 a ? b 的值为（ A．－148B．1C．－2D．2 ）4. 已知 2 ? 1 可以被在 60～70 之间的两个整数整除，则这两个数是（ A．61、63 5. 计算：＝ 6. 若 a ? a ? 1 ? 0 ，那么 a2 2001B．61、652C．61、67 ， 27 ? 46 ? 27 ? 23 ＝2D．63、65 。? a 2000 ? a1999 ＝。2 2 n 7. m 、 满足 m ? 2 ? n ? 4 ? 0 ， 分解因式 x ? y ? ? mxy ? n ? ＝??。8. 因式分解： （1） x ? 3x2??22 2 ? 2 ? x 2 ? 3x ? ? 8 ； （2） a ? b ? 2ab ? 2b ? 2a ? 12 （3） ? x ? 1?? x ? 2?? x ? 3?? x ? 4? ? 1； （4） 1 ? a???1 ? b ? ? 4ab29. 观察下列等式：13 ? 1213 ? 2 3 ? 32 13 ? 23 ? 33 ? 6 2 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ??想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规23律？用等式将其规律表示出来：4 2 2 4。2 210. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边，且满足 a ? b c ? b ? a c ，试判断△ABC 的形 状。阅读下面解题过程： 解：由 a ? b c ? b ? a c 得：4 2 2 4 2 2a 4 ? b4 ? a 2 c 2 ? b2 c 2① ② ③ ④ ；若不正确，请指出错在哪一步？ ；本题?a2? b 2 ?? a 2 ? b 2 ? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?2 2 2即a ?b ? c∴△ABC 为 Rt△。 试问：以上解题过程是否正确： （填代号） ；错误原因是 的结论应为 。四： 【课后小结】24初三数学总复习分式一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1．分式有关概念 （1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说： ①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有 在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。 （2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。 （3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将 一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与 分母的_________。 （4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分 式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。 （5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母 叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项 式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的 系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分 式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。 2．分式性质： （1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式 的值 ．即：A A? M A ? M ? ? (其中M ? 0) B B?M B ? M（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的 值不变。即：?a a a ?a ? ?? ?? b ?b b ?b3.分式的运算：? 注意：为运算简便，运用分式 a b a?b ? ? ? ? ?同分母 ? c c c 的基本性质及分式的符号法 ?加减 ? a c ad ? bc ? 则： ?异分母 ? ? ? ? b d bd ? ①若分式的分子与分母的各项 ? a c ac ? ? 系数是分数或小数时，一般要 ? ? ?乘 ? ? b d bd 化为整数。 分式运算 ?乘除 ? a c a d ad ? ?除 ②若分式的分子与分母的最高 ? ? ? ? ? ? b d b c bc ? 次项系数是负数时，一般要化 ? n ?乘方 ( a )n ? a (n为整数) 为正数。 ? b bn ? ? ? （1）分式的加减法法则： （1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减； （2）25异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进 行计算 （2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________ 做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分 子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ； （3）分式乘方是____________________，公式_________________。 4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。 5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．（二）【课前练习】 ：1. 判断对错： ①如果一个分式的值为 0，则该分式没有意义（ ②只要分子的值是 0，分式的值就是 0（ ） ③当 a≠0 时， 分式 2. 在 3x, 0, ）1 ＝0 有意义 （ a） ④当 a＝0 时， ； 分式1 ＝0 无意义 （ a））x? y 1 2 x2 1 2 x2 , x ? 13, , , , 中，整式和分式的个数分别为（ 3 2 3 x x? y ?A．5，3 3. 若将分式B．7，1C．6，2D．5，2a?b (a、b 均为正数）中的字母 a、b 的值分别扩大为原来的 2 倍，则 ab 1 1 ；C．不变；D．缩小为原来的 2 4。分式的值为（ ） A．扩大为原来的 2 倍 ；B．缩小为原来的4.分式9 ? x2 约分的结果是 x2 ? 6 x ? 95. 分式x y , ,7( y ? 2) 的最简公分母是 4( x ? y)( y ? 2) 6( y ? x)(2 ? y)x ?5 x ? 4x ? 52。二： 【经典考题剖析】1. 已知分式 2. 若分式 分式有意 义； x=______时， 当 分式的值为 0． , 当 x≠______时， ）x2 ? x ? 2 的值为 0，则 x 的值为（ x ?1A．x=－1 或 x=2 B、x=0 C．x=2 3.（1） 先化简，再求值： (D．x=－13x x x2 ?1 ? )? ，其中 x ? 2 ? 2 . x ?1 x ? 1 x（2）先将x2 ? 2 x 1 ? (1 ? ) 化简，然后请你自选一个合理的 x 值，求原式的值。 x ?1 x26（3）已知 4.计算 （1）x y z x? y?z ? ? ? 0 ，求 的值 3 4 6 x? y?za2 ? 4 1 x2 ? 2 x ?1 ? x ? 4 ? ? a ? 2? ? ? x ? 2； ； （2） （3） ?1 ? ? ?? 2 a?2 a?2 x?2 ? x x ? 2 ? x ? 2x（4） ??2 1 1 2 4 2 ?x? y ?? x ? y ? ? ? ； （5） ? ? x ? y ?? ? ? 2 1? x 1? x 1? x 1? x4 x ?? ? 3x x ? y ? 3x分析： （1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的 要先算乘方， 若分式的分子、 分母是多项式， 应先把多项式分解因式； 2） （ 题把 ? ? x ? 2? 当作整体进行计算较为简便； （3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要 化为最简分式或整式。对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简 化。 （4）题可以将 ? x ? y 看作一个整体 ? ?x ? y ? ，然后用分配律进行计算； （5）题 可采用逐步通分的方法，即先算 5. 阅读下面题目的计算过程：1 1 2 ? ，用其结果再与 相加，依次类推。 1? x 1? x 1 ? x22 ? x ? 1? x ?3 2 x ?3 ? ＝ ? 2 x ? 1 1 ? x ? x ? 1?? x ? 1? ? x ? 1?? x ? 1?＝ ? x ? 3? ? 2 ? x ?1?①②＝ x ? 3 ? 2x ? 2 ③ ＝ ?x ?1 ④ （1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 （2）错误原因是 （3）本题的正确结论是 。。 。三： 【课后训练】1. 当 x 取何值时，分式（1）3 3x ? 2 2 ； （2） ； （3） 有意义。 2x ?1 2x ?1 x ?42. 当 x 取何时，分式（1）x ?3 2x ? 3 ； （2） 的值为零。 3x ? 5 x?33. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。27（1）2n ( ) ab ? b2 a ?b ； （2） 2 ? ? 2 m ? 2 3(m ? 2) ab ? b ( )4. 若 a ? b ? 7; ab ? 12 ，则a 2 ? b2 ＝ ab。5. 已知1 1 2 x ? 3 xy ? 2 y 的值为 ? ? 3 。则分式 x y x ? 2 xy ? y。6. 先化简代数式 (a 2 ? b2 a ? b 2ab ? )? 然后请你自取一组 a、b 的值代入求值． a 2 ? b 2 a ? b (a ? b)(a ? b) 27. 已知△ABC 的三边为 a，b，c， a 2 ? b 2 ? c 2 = ab ? bc ? ac ，试判定三角形的形状． 8. 计算：（1） 1 ? (a ?3? x ? 5 ? 1 2 a2 ? a ? 1 ； （2） ??x ? 2? ) ? 2 ? 1? a a ? 2a ? 1 x?2 ? x ?2?? 1 x 1 m?n m n? n2 ? m n ? ? （3） 2 ； （4） ? 2 ? 2 ?? 2 x ? 4x ? 4 x 2 ? 4 2x ? 4 m ? n2 ? n ?1 ? m ? 2m n ? n9. 先阅读下列一段文字，然后解答问题：1 1 1 1 2 1 已知：方程 x ? ? 1 的解是x1 =2,x 2 ? ? ； 方程 x ? ? 2 的解是x1 =3,x 2 ? ? ； x 2 2 x 3 3 1 3 1 方程 x ? ? 3 的解是x1 =4,x 2 ? ? ； x 4 4 1 4 1 方程 x ? ? 4 的解是x1 =5,x 2 ? ? ； x 5 5问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10 =10 10. 阅读下面的解题过程，然后解题： 已知10 的解，并写出检验． 11x y z (a、b、c互相不相等)， x+y+z 的值 求 ? ? a ?b b ?c c ?a x y z =k, ? ? a ?b b ?c c ?a解：设则x ? k (a ? b); y ? k (b ? c), z ? k (c ? a); 于是x+y+z=k (a ? b ? b ? c ? c ? a) ? k ? 0 ? 0仿照上述方法解答下列问题： 已知：y?z z?x x? y x? y?z ? ? ( x ? y ? z ? 0), 求 的值。 x y z x? y?z四： 【课后小结】28初三数学总复习一次方程一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1.方程的分类2.方程的有关概念 （1）方程：含有 的等式叫方程。 （2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。 （3）无理方程：__________ 叫做无理方程。 （4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。 （5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。 （6）方程的解： 叫做方程的解。 （7）解方程： _叫做解方程。 （8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。 （9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________ ②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项： 步骤 去分母 具体做法 依据 等式性质 乘法分配 律、去括 号法则 移项法则 合并同 类 项法则 等式性质 注意事项? ?整式方程 ?有理方程 ? 方程 ? ?分式方程 ? ?无理方程去括号移项 合并 同 类项 系数 化 为1 5. 二元一次方程组的解法．29（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元” ，主 要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出 来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方 程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法． （2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一 次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 6．整体思想解方程组． （1） 整体代入． 如解方程组 ??3( x ? 1) ? y ? 5 ① ?5( y ? 1) ? 3( x ? 5) ②， 方程①的左边可化为 3(x+5)－18=y+53 ③，把②中的 （x+5） 看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得 y．然后求 出方程组的解．?1 x +3y ? 19 （2） 整体加减， ? 3 如? ? ?3x+ 1 y ? 11 ? 3 ? ① ②因为方程①和②的未知数 x、 的系数正好对调， y所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得 x+y=9③，利用②－① 得 x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得 x，y． 7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别： （1）二元一次方程有两 个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程用一个等式表示两个未知 数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列 表或图象来表示两个变量之间的关系． 联系： （1）在直角坐标系中分别描出以二 元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上； （2）在一次 函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程． 8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两 个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元 一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点， 9.用作图象的方法解二元一次方程组： （1）将相应的二元一次方程组改写成一次函 数的表达式； （2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象； （3）观察图象的 交点坐标，即得二元一次方程组的解．（二）【课前练习】 ：1. 若 (3 ? 2 x) ∶2＝ (3 ? 2 x) ∶5，则 x ＝ 2. 如果 。 。2x ? 3 2 与 x ? 3 的值互为相反数，则 x ＝ 5 33. 已知 ??x ? 1 ?ax ? by ? 12 是方程组 ? 的解，则 a ? b ＝ y ? ?1 4 x ? by ? 2 ? ?4 ?2 m ?1。4. 若单项式 a b A.2与?2 m2 m ? 7 a b 是同类项，则 m ＝（ 3C.－230）B.±2D.45. 已知方程组 ??5 x ? y ? 3 ?x ? 2 y ? 5 与? 有相同的解，则 a 、 b 的值为（ ?ax ? 5 y ? 4 ?5 x ? by ? 1B、 ?）A、 ??a ? 1 ?b ? 2?a ? ?4 ?b ? ?6C、 ??a ? ?6 ?b ? 2D、 ??a ? 14 ?b ? 2二： 【经典考题剖析】x ? 3 7x ? ?1 3 2 k ( x ? 3) k ( x ? 2) 1? 2x ? 3x ? 2. 若关于 x 的方程： 10 ? 与方程 5 ? 2( x ? 1) ? 的解相 5 4 3 同，求 k 的值。1. 解方程： 2( x ? 1) ? 3. 在代数式 ax ? by ? m 中，当 x ? 2, y ? 3, m ? 4 时，它的值是零；当 x ? ?3, y ? ?6,m ? 4 时，它的值是 4；求 a、 b 的值。4. 要把面值为 10 元的人民币换成 2 元或 1 元的零钱，现有足够的面值为 2 元、1 元的 人民币，那么共有换法（ ） A. 5 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 10 种 解：首先把实际问题转化成数学问题，设需 2 元、1 元的人民币各为张（ x、y 为非1、 3、 5 负数） 则有：2 x ? y ? 10 ? y ? 10 ? 2 x ，0 ? x ? 5且x为整数 ? x ? 0、2、 4、。 ，5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中 B、C、D 为风景点，E 为两条路的交叉点， 图中数据为相应两点的路程（单位：千米） 。一学生从 A 处出发以 2 千米／小时的速 度步行游览，每个景点的逗留时间均为 0.5 小时。 （1）当他沿着路线 A→D→C→E→A 游览回到 A 处时，共用了 3 小时，求 CE 的长； （2）若此学生打算从 A 处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最 短时间内看完三个景点返回到 A 处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计 的理由（不考虑其它因素） 。 1 1.2 略解： （1）设 CE 线长为 x 千米，列方程可得 x ＝0.4。 ? D? C x （2）分 A→D→C→B→E→A 环线和 A→D→C→E→B→E→A ? 环线计算所用时间，前者 4.1 小时，后者 3.9 小时， E 0.4 ? 故先后者。 1.6三： 【课后训练】B? 1. 若 2x+1= 7，则 x 的值为（ ） A 问题二图 A．4 B、3 C、2 D、－3 2. 有一个密码系统，其原理由下面的框图所示： 输入 x → x+6 → 输出 当输出为 10 时，则输人的 x＝______ 3. 三个连续奇数的和是 15，那么其中最大的奇数为（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 4. 已知 2x+5y＝3，用含 y 的代数式表示 x，则 x=___________；当 y=1 时，x=________3115. 若 3a b 和－7a b 是同类项，则 x、y 的值为（ ） A．x＝3，y ＝－1 B．x＝3，y＝ 3 C．x =1，y=2 6. 方程 ?x y+7-1-4y 2xD．x＝4，y＝2 ）3 ? x+y=2 没有解，由此一次函数 y=2－x 与 y= －x 的图象必定（ 2 ? 2x+2y=3B．平行 C．相交 D．无法判断A．重合6. 二元一次方程组 ? 的交点坐标是? y=2 x ? 1 的解是_______；那么一次函数 y=2x―1 和 y=2x+3 的图象 ? y=2x+3；7. 已知 a、 b 是实数， 2a ? 6 ? b ? 2 ? 0 ， 且 解关于 x 的方程： a ? 2) x ? b2 ? a ?1 ( 8. 若 a?b 4b 与 3a ? b 是同类二次根式，求 a、b 的值. 9. 解方程（组）1? x x?2 1.8 ? 0.8 x 0.03 ? 0.02 x x ? 5 （1） ? 3? （2） ? ? ； ； 3 4 1.2 0.03 2? x ? 1 y ? 2 2( x ? y ) ? 3 ? 4 ? 2x ? 3 y ? 5 ? ? 5 （4） ； （3） ? ? ?3x ? 2 y ? 1 ? x ?3 ? y ?3 ? 2y ? x ? 4 3 ?10. 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解的解加以验证四： 【课后小结】32初三数学总复习一元二次方程一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一 元二次方程。 它的一般形式是 （其中 、 ） 它的根的判别式是△= ；当△＞0 时，方程有 实数；当△=0 时，方程有 实数根；当△＜0 时，方程有 实数根； 一元二次方程根的求根公式是 、 （其中 ） 2．一元二次方程的解法： ⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程 2 的方法．用配方法解一元二次方程：ax ＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二 次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次 项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值 一半的平方；④化原方程为 (x+m)2 =n 的形式；⑤如果 n ? 0 就可以用两边开平 方来求出方程的解；如果 n=＜0，则原方程无解． ⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推 导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2 ? 4ac ? 0)注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。 ⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它 的理论根据是两个因式中至少要有一个等于 0，因式分解法的步骤是：①将方程 右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0， 得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程 的解． 3．一元二次方程的注意事项： ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意， 强调 a≠0． 因当 a=0 时， 不含有二次项， 2 2 即不是一元二次方程．如关于 x 的方程（k －1）x +2kx+1=0 中，当 k=±1 时就是 一元一次方程了． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形 2 2 式；②确定 a、b、c 的值；③求出 b －4ac 的值；④若 b －4ac≥0，则代人求根公 2 式，求出 x1 ,x2．若 b －4a＜0，则方程无解． 2 ⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) =3（x＋4）中， 不能随便约去（x＋4） ⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌 握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．33（二）【课前练习】 ：1. 用直接开平方法解方程 ( x ? 3)2 ? 8 ，得方程的根为（ A. x ? 3 ? 2 3 C. x ? 3 ? 2 2 B. x1 ? 3 ? 2 2, x2 ? 3 ? 2 2 D. x1 ? 3 ? 2 3, x2 ? 3 ? 2 3 ）2. 方程 x 2 ( x ?1) ? 0 的根是（ ） A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1 。 。3. 设 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 的两根为 x1、x2 ，且 x1 ＞ x2 ，则 x1 ? 2x2 ＝ 4. 已知关于 x 的方程 4 x ? 4kx ? k ? 0 的一个根是－2，那么 k ＝2 24 x? 3 二： 【经典考题剖析】5. x ?2＝ ( x ? ________)21. 分别用公式法和配方法解方程： 2 x ? 3x ? 22分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。 用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为 1，再移常数项；②两边同时加上一次 项系数一半的平方。2. 选择适当的方法解下列方程： （1） 7(2 x ? 3) ? 28 ；2（2） y ? 2 y ? 399 ? 02（3） 2 x ? 1 ? 2 5x ；2（4） (2 x ? 1) ? 3(2 x ? 1) ? 2 ? 02分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。 （1）宜用直接开方法； （2）宜用配 方法； （3）宜用公式法； （4）宜用因式分解法或换元法。343. 已知 (a2 ? b2 )2 ? (a2 ? b2 ) ? 6 ? 0 ，求 a ? b 的值。2 2分析：已知等式可以看作是以 a ? b 为未知数的一元二次方程，并注意 a ? b 的2 2 2 2值应为非负数。4. 解关于 x 的方程： (a ?1) x2 ? 2ax ? a ? 0 分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当 a ＝1 时，是一元一 次方程；当 a ≠1 时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有 无实数解作进一步讨论。5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案． 2 已知：m 是关于 x 的方程 mx －2x＋m＝0 的一个根，求 m 的值． 3 2 解：把 x=m 代人原方程，化简得 m =m，两边同时除以 m，得 m =1，所以 m=l， 把=l 代入原方程检验可知：m=1 符合题意，答：m 的值是 1．三： 【课后训练】1. 如果在－1 是方程 x +mx－1=0 的一个根，那么 m 的值为（ ） A．－2 B．－3 C．1 D．2 2. 方程 2 x( x ? 3) ? 5( x ? 3) 的解是（ ）A? x ? 3 B ? x ? 5 2 C ? x1 ? 3, x2 ?2 25 D ? x ? ?3 22 23. 已知 x1，x2 是方程 x －x－3=0 的两根，那么 x1 +x2 的值是（ ） A．1 B．5 C．7 D、49 4354. 关于 x 的方程 (k ? 1) x 2 ? 3(k ? 2) x ? k 2 ? 42 ? 0 的一次项系数是－3，则 k=_______ 5. 关于 x 的方程 (a ? 1) xa2? 2 a ?1? x ?5 ? 0是一元二次方程，则 a=__________.6. 飞机起飞时， 要先在跑道上滑行一 段路程， 这种运动在物理中叫做匀加速直线运动， 其公式为 S=1 2 at ，若某飞机在起飞前滑过了 4000 米的距离，其中 a=20 米／秒，求 22所用的时间 t． 7. 已 知 三 角 形 的 两 边 长 分 别 是 方 程 x ? 3x ? 2 ? 0的 两 根 ， 第 三 边 的 长 是 方 程2 x 2 ? 5x ? 3? 0 的根，求这个三角形的周长。8. 解下列方程：（1）x2 ? 5x ? 2 ? 0；（2） x ? 3)2 ? 4(2x ? 5)2 ? 0 ； 9(2? x ? ? x ? 2 2 （3） (6 2 ? ? ? 5? ? ? 6 ? 0；（4） x ? 7 x) ? 2(6 x ? 7 x) ? 3 ； ? x ?1 ? ? x ?1 ?9. 在一个 50 米长，30 米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰 好为荒地面积的一半，试给出你的设计。 10. 已知△ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程2x2 ? (2k ? 3) x ? k 2 ? 3k ? 2 ? 0 的两个实数根，第三边 BC 的长是 5。（1） k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形； （2） k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。四： 【课后小结】36初三数学总复习分式方程及应用一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）, 将分式方程转化为整式方程； 3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件， 当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转 化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程 的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验 根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。 4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍 复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用 含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求 解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合 理性． 5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特 殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。 6. 分式方程的解法有 和 。（二）【课前练习】 ： 1 1? x ? ? 1 的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） 1. 把分式方程 x?2 2? xA．1-(1-x)=1 2. 方程 B．1+(1-x)=1 ） C.－2， D.－2，1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-21 2 1 2mx ? 1 3. 当 m =_____时，方程 ? 2 的根为 m? x 24. 如果2 3 ? ? 2 的根是（ x x ?1 1 A.－2 B. 2A B 5x ? 4 ，则 A=____ B＝________. ? ? 2 x ? 5 x ? 2 x ? 3x ? 10 a x ?1 ? ? 3 有增根，则增根为_____，a=________. x?2 x?25. 若方程二： 【经典考题剖析】372 x x 5 2? x 1 1 1. 解下列分式方程： 1 ? （） ? 1；（2） ? ? 1；（3） ? ? ； x x ?3 2x ? 5 5 ? 2x x ?3 2 x ?3（4）x ?x ?2 x 2 ? 1 3( x ? 1) 1? ? 1? ? ? ；（5） ? 2 ? 4；（6） ? x 2 ? 2 ? ? 3 ? x ? ? ? 1 2 x?2 2? x x ?1 x ?1 x ? ? x? ?分析： （1）用去分母法； （3） （2） （4）题用化整法； （6）题用换元法；分别 （5） 设y?1 x2 ? 1 ， y ? x ? ，解后勿忘检验。 x x ?1?1 1 1 ?x ? y ? 3 1 1 ? 2. 解方程组： ? 分析：此题不宜去分母，可设 ＝A， ? ＝B 得： x y ?1 ? 1 ? 2 ?x y 9 ?1 ? ?A ? B ? 3 ? ，用根与系数的关系可解出 A、B，再求 x、 y ，解出后仍需要检验。 ? 2 ?A? B ? ? ? 9 ?3. 若关于 x 的分式方程2 m 6? x ? ? 2 有增根，求 m 的值。 x?2 x?2 x ?4384. 某市今年 1 月 10 起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 25％，小明家去年 12 月份的水费是 18 元，而今年 5 月份的水费是 36 元，已知小明家今年 5 月份的用 3 水量比去年 12 月份多 6 m ，求该市今年居民用水的价格． 3 3 解： 设市去年居民用水的价格为 x 元／m ， 则今年用水价格为(1+25％) x 元／m ． 根 据题意，得36 18 ? ? 6，解得x=1.8 (1 ? 25%)x x经检验，x=1．8 是原方程的解．所以 (1 ? 25%) x ? 2.253．答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x 元／m ． 点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的 3 关键是根据题意找到相等关系：今年 5 月份的用水量一去年 12 月份的用量=6m . 5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润 1000 元；经粗加工后销 售，每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售每吨利润涨至 7500 元。当地一公司 收获这种蔬菜 140 吨， 其加工厂生产能力是： 如果进行粗加工， 每天可加工 16 吨； 如果进行精加工，每天可加工 6 吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条 件限制，公司必须在 15 天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种 可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成。你认 为哪种方案获利最多？为什么？ 略解：第一种方案获利 630 000 元；第二种方案获利 725 000 元；第三种方案先设 将 x 吨蔬菜精加工，用时间列方程解得 x ? 60 ，故可算出其获利 810000 元，所以应 选择第三种方案。三： 【课后训练】 1 x ?1 ? 1 去分母后，可得方程（ 1.方程 ? x x ?1）A ? 2x2 ? x ?1 ? 0; B?x2 ? 2x ? 0; C ? 2x2 ? x ?1 ? 0; D ? x2 ? 2x ? 2 ? 02.解方程2 ? 1 ? x 2 ? x ，设 y ? x2 ? x ，将原方程化为（ x ?x2）A ? y 2 ?1 ? 0; B ? y 2 ? y ? 2 ? 0; C ? 2 y 2 ? y ? 0; D ? y 2 ? y ? 2 ? 03. 已知方程 A．3 4. 方程ax 2 6 ? ? 1的解与方程 =3 的解相同，则 a 等于（ a ? 1 x ?1 x）B．－3C、2D．－2 。10 3 11 ? ? 的解是 x ? 2 4 x ?35. 分式方程x k x ? ? ? 0 有增根 x=1，则 k 的值为________ x ?1 x ?1 x ? 1396. 满足分式方程 A．2 7. 解方程：(1)x+1 x ? 1 的 x 值是（ ? x-2 x ? 2）B．－2C．1D．0x ? 1 3x ? 3 1 1 2 3x 5 ? ? 2;(2) ? ? 1;(3) ? ? x ?1 x ? 1 x ?1 x ? 1 x ? 1 1 ? x 1 ? x225x 2 x ? 8 3x ? x2 11 ? x ? (4) ? ? ? 6 ? 0;(5) 2 ? ? ? x ? 3x x?4 3 ? x ?1 ? x ?18. 先阅读下面解方程 x＋ x ? 2 ＝2 的过程，然后填空. 解： （第一步）将方程整理为 x－2＋ x ? 2 ＝0； （第二步）设 y＝ x ? 2 ，原方程可 化为 y ＋y＝0； （第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当 y＝0 时， （第五步）所以 x ? 2 ＝0；解得 x＝2，当 y＝－1 时， x ? 2 ＝－1，方程无解； x＝2 是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是 定方程 ，第四步中，能够判2x ? 2 ＝－1 无解原根据是。上述解题过程不完整，缺少的一步是 。 9. 就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用 1200 元， 后来又有 2 名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊 30 元，试求原计 划结伴游玩的人数． 10. 2004 年 12 月 28 日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建 设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的 312 km 缩短至 154 km，设计 时速是现行时速的 2．5 倍，旅客列车运行时间将因此缩短约 3．13 小时，求合宁 铁路的设计时速．四： 【课后小结】40初三数学总复习方程及方程组的应用一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1.列方程解应用题常用的相等关系 题型 工作 （工程） 问题 比例问题 年龄问题 基本量、基本数量关系 工作量、工作效率、工作时间 把全部工作量看作 1 工作量=工作效率?工作时间 寻找思路方法 相等关系：各部分工作量之和=1 常从工作量、工作时间上考虑相等关系 相等关系：各部分量之和=总量。设其 中一分为 x ，由已知各部分量在总量中 所占的比例，可得各部分量的代数式 抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。甲:乙:丙=a : b : c大小两个年龄差不会变稀释 问题溶剂（水） 、溶质（盐、纯酒精） 、 溶液（盐水、酒精溶液） 由加溶剂前后溶质不变。两个相等关 系： 溶质 百分比浓度 ? ?100% 加溶剂前溶质质量=加溶剂后溶质质量 溶液 加溶剂前溶液质量+加入溶剂质量=加 溶质=溶液?百分比浓度 入溶剂后的溶液质量 同 上 由加溶质前后溶剂不变。两个相等关 系： 加溶质前溶剂质量=加溶质后溶剂质量 加溶质前溶液质量+加入溶质质量=加 入溶质后的溶液质量 等量关系： 混合前甲、乙种溶液所含溶质的和=混 合后所含溶质 混合前甲、乙种溶液所含溶剂的和=混 合后所含溶剂 本息和、本金、利息、利率、期 数关系：利息=本金?利率?期数 路程、速度、时间的关系： 路程=速度?时间 同 上41浓 度 问 题加浓 问题混合 配制 问题 利息 问题 追击 问题 行 程 问 相遇 问题相等关系： 本息和=本金+利息 1：同地不同时出发：前者走的路程=追 击者走的路程 2：同时不同地出发：前者走的路程+两 地间的距离=追击者走的路程 相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲 乙两地间的路程题 航行 问题顺水（风）速度=静水（风）速度 +水流（风）速度 逆水（风）速度=静水（风）速度 －水流（风）速度 多位数的表示方法： abc 是一个1：与追击、相遇问题的思路方法类似 2：抓住两地距离不变，静水（风）速 度不变的特点考虑相等关系。 1：抓住数字间或新数、原数间的关系 寻找相等关系。 2：常常设间接未知数。 首先确定售价、进价，再看利润率，其 次应理解打折、降价等含义。数字问题 商品利 润 率问题多位数可以表示为 a ?10 ? b ?10 ? c （其中 0＜a、b、c＜10 的整数）2商品利润=商品售价－商品进价商品利润率=商品利润 ?100% 商品进价2.列方程解应用题的步骤: （1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数； （3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程； （4）解方程； （5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意； （6）答：注意带单位．（二）【课前练习】 ：1. 某商品标价为 165 元，若降价以九折出售（即优惠 10％） ，仍可获利 10％（相对 于进货价） ，则该商品的进货价是 2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲 与乙投资额的比例为 3：4，首年的利润为 38500 元，则甲、乙二人可获得利润分 别为 元和 元 3. 某公司 1996 年出口创收 135 万美元，1997 年、1998 年每年都比上一年增加 a％， 那么，1998 年这个公司出口创汇 万美元 4. 某城市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8％，农村人口增加 1.1％， 这样全市人口将增加 1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城 镇现有人口数为 x 万，农村现有人口 y 万，则所列方程组为 5. 一个批发与零售兼营的文具店规定， 凡是一次购买铅笔 301 支以上 （包括 301 支） ， 可以按批发价付款；购买 300 支以下（包括 300 支）只能按零售价付款，现有学 生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买 1 支，则只能按零售价付款， 2 2 需用(m －1)元（m 为正整数，且 m －1&100） ；如果多买 60 支，则可以按批发价付 2 款，同样需用(m －1)元.设这个学校初三年级共有 x 名学生，则①x 的取值范围应 为 ②铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元二： 【经典考题剖析】1. A、 两地相距 64 千米， B 甲骑车比乙骑车每小时少行 4 千米， ?如果甲乙二人分别从 A、 B 两地相向而行，甲比乙先行 40 分钟，两人相遇时所行路程正好相等，?求甲乙二人 的骑车速度．422. 某市为了进一步缓解交通拥堵现象，?决定修 建一条从市中心到飞机场的轻轨铁 路．为使工 程能提前 3?个月完成，?需要将原定的工作效率提高 12%，问原计划完 成这项工程用多少个月？3. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件 衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？4. 某音乐厅 5 月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会， ?入场券分为团体票和零售票，2 ．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在 5 月份内，团体 3 3 票每张 12 元，共售出团体票数的 ，零售票每张 16 元，共售出零售票数的一半．如 5其中团体票占总票数的 果在 6 月份内，团体票要按每张 16 元出售，并计划在 6 月份内售出全部余票，那么 零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？5. 要建一个面积为 150m 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条 墙，墙长为 am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为 35m， （1）求鸡场的长 与宽各为多少？（2）题中墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？C A F B2三： 【课后训练】DE1. 如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：① 2001 年的利润率比 2000 年的利润率高 2％；②2002 年的利润率比 2001 年的利润率 高 8％；③这三年的利润率 14％；④这三年中 2002 年的利润率最高。其中正确的结 利润（万元） 资金投放总额（万元） 论共有（ ） 50 40 A.1 个 B.2 个 300 30 250 200 C.3 个 D.4 个 20100 0210年份（年） 200020012002年份（年）432.北京至石家庄的铁路长 392 千米，为适应经济发展，自 2001 年 10 月 21 日起，某客 运列车的行车速度每小时比原来增加 40 千米， 使得石家庄至北京的行车时间缩短了 1 小时，求列车提速前的速度（只列方程） ． 3. 2003 年春天，在党和政府的领导下，?我国进行了一场抗击“非典”的战争．为了控 制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制 19.2 万只加浓抗病毒口罩的任务， 为使抗病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工 0.4 万只，结果 提前 4 天完成任务，该厂原计划每天加工多少万只口罩？ 4. 一水池有甲、乙两水管，?已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用 10 小 时．现在首先打开乙管 10 小时，然后再打开甲管，共同再灌 6 小时，可将水池注满， 如果一开始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？ 5. 某公司向银行贷款 40 万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的年利率为 15％ （不计复利， 即还贷前每年息不重复计息） 每个新产品的成本是 2.3 元， ， 售价是 4 元， 应纳税款为销售额的 10％。如果每年生产该种产品 20 万个，并把所得利润（利润＝ 销售额－成本－应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还清？ 6. 某商店 1995 年实现利税 40 万元（利税＝销售金额－成本） ，1996 年由于在销售管 理上进行了一系列改革，销售金额增加到 154 万元，成本却下降到 90 万元， （1）这个商店利税 1996 年比 1995 年增长百分之几？ （2）若这个商店 1996 年比 1995 年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同， 求这个商店销售金额 1996 年比 1995 年增长百分之几？ 7. 甲、乙两组工人合做某项工作，4 天以后，因甲另有任务，乙组再单独做 5 天才能完 成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用 5 天，求各组单独完成这项工作所需要 的天数。 8. 正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24 天可 以完成；需费用 120 万元；若甲单独做 20 天后，剩下的工程由乙做，还需 40 天才能 完成，这样需费用 110 万元。问： （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？ 9. 某同学把勤工俭学挣的 100 元钱，按活期存入银行，如果月息是 0.15％，数月后本金 与利息的和为 100.9 元，那么该同学的钱在银行存了几个月？ 10. 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼，每层楼有 8 间教室，进出这栋大楼共有 4 道门， 其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对 4 道门进行了测试： 当同时开启一道正门和两道侧门时，2 分钟内可以通过 560 名学生；当同时开启一道 正门和一道侧门时，4 分钟内可以通过 800 名学生。 （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低 20％。安全检查规定： 在紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离。假设这栋教学大楼 每间教室最多有 45 名学生，问：建造的这 4 道门是否符合安全规定？请说明理由。四： 【课后小结】44初三数学总复习一元一次不等式一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示 的式子叫不等式。 2．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去） ，不等号 的 ． （2）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号 的 ． （3）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的 方向 ． 3．不等式的解：能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解． 4． 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的 ， 组成这个不等式的解集． 5．解不等式：求不等式 的过程叫做解不等式． 6．一元一次不等式：只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，系数不为 零的不等式叫做一元一次不等式． 7．解一元一次不等式易错点： （1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不 等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意； （2）在不等式两 边不能同时乘以 0． 8． 一元一次不等式的解法： 解一元一次不等式的步骤： ① ， ② ， ③ ，④ ，⑤ （不等号的改变问题） 9．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的 所有解，再从中找出所需特解． 10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 一个一元一次不等式组． 11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ， 叫做这个一元一次不等式组的解集． 12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 13．一元一次不等式组的解． （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴或口诀求出这些解集 的公共部分，即这个不等式的解。 （口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于 大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。 ） 14.不等式组的分类及解集(a＜b） ．（二）【课前练习】 ：1. 下列式子中是一元一次不等式的是（ A.-2&-5 B.x &42） D.C.xy&0x Cx& -1 22．下列说法正确的是（ ） A.不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变； B.不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变；45C.不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变； D.不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3. 关于 x 的不等式 2x－a≤－1 的解集如图所示，则 a 的取值是（ ） A.0 B.－3 C.－2 D.－1 4. 不等式 2x≥x+2 的解集是_________． 5. 把不等式组 ?? x+1&0 的解集表示在数轴上，确的是图中的（ ? x-1 ? 0）二： 【经典考题剖析】 y ?1 y ?1 y ?1 ? ? ? 1 ，并在数轴上表示出它的解集。 1. 解不等式 3 2 6分析：按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以 或除以一个负数时，不等号的方向要改变。答案： y ? 6? x ? 2( x ? 1) ? 3 ? 2. 解不等式组 ? 2 x ? 5 ，并在数轴上表示出它的解集。 ? 3 ?x ?分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，故应将不等式组里各不等式分 别求出解集，标到数轴上找出公共部分，数轴上要注意空心点与实心点的区别，与 方程组的解法相比较可见思路不同。答案：－1≤ x ＜5 3. 求方程组 ??x ? y ? k 的正整数解。 ?5 x ? 3 y ? 26分析： 由题设知，k 必为正整数， 由方程组可解得用含 k 的代数式表示 x、 y ， x、 y 又 均大于零，可得出不等式组，解出 k 的范围，再由 k 为正整数可得 k ＝6、7、8，分 别代入可得解。答案：当 k ＝6 时， ??x ? 4 ?x ? 1 ；当 k ＝8 时， ? ?y ? 2 ?y ? 74. 已知不等式 3x ? a ≤0，的正整数解只有 1、2、3，求 a 。 略解：先解 3x ? a ≤0 可得： x ? 范围，可得 3≤a a ，考虑整数解的定义，并结合数轴确定 允许的 3 3a ＜4，解得 9≤ a ＜12。不要被“求 a ”二字误导，以为 a 只是某 3个值。 5. 某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件，已知生产一件 A 种产品用甲种原料 9 千克，乙种原料 3 千克，可46获利 700 元；生产一件 B 种产品用甲种原料 4 千克，乙种原料 10 千克，可获利 1200 元。 （1）按要求安排 A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产 A、B 两种产品总利润为 y 元，其中一种产品生产件数为 x 件，试写出 y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？?9 x ? 4(50 ? x) ? 360 略解： （1）设生产 A 种产品 x 件，那么 B 种产品 (50 ? x) 件，则： ? ?3x ? 10(50 ? x) ? 290解得 30≤ x ≤32 ∴ x ＝30、31、32，依 x 的值分类，可设计三种方案； （2）设安排生产 A 种产品 x 件，那么： y ? 700 x ? 1200(50 ? x) 整理得： y ? ?500 x ? 60000 （ x ＝30、31、32） 根据一次函数的性质，当 x ＝30 时，对应方案的利润最大，最大利润为 45 000 元。三： 【课后训练】1.如图⑴所示，天平右盘中的每个破码的质量 都是 1g，则物体 A 的质量 m(g)的取值范围． 在数轴上：可表示为图⑵中的（ ） 2.使不等式 x－5＞4x―l 成立的值中的最大的整数是（ ） A．2 B．－1 C．－2 D．0 3.不等式 2（x－2）≤x―2 的非负整数解的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.使 x ? 1 、 A．x＞0 5.不等式组 ?1 0 、(x－3) 三个式子都有意义，x 的取值范围是（ ） xB．x≥0 且 x≠3 ） C、－2 ＜x＜1 D、x＜2 C．x＞0 且 x≠3 D．一 l≤x≤0?2x+4&0 的解集为（ ? x-1&0A．x＞l 或 x＜－2B．x＞l?2x-3&0 6.不等式组 ? 的整数解是______________. ?3x+2&07.解不等式并把解集在数轴上表示出来； （1）x?2 x-7 3x-2 y ?1 y ?1 y ?1 ? ( x ? 1) ? 1 ； +1& ? ? （2） ； （3） 2 2 2 3 2 6478.解不等式组?3x ? 4( x ? 2) ? 3 ?2x+4&0 ?3x+2&2(x-1) ?2x-1&x+1 ? ? (1) ? ;(2) ? 1 ;(3) ? ;(4) ? x 2x ?1 (x+8)-2&0 ?4x-3 ? 3x-2 ?x+8&4x-1 ?2 ? 2 ?1 ? 3 ? ?9.已知 a ? 3 ? 3 ? a ，当 a 为何整数时，方程组 ??3x ? 6 y ? 1 的解都是负数？ ?5 x ? 11y ? a10.将若干只鸟放入若干个笼子，若每个笼子里只放 4 只，则有一只鸟无笼可放；若每 个笼子放 5 只，则有一个笼子无鸟可放。问至少有几只鸟？几个鸟笼？四： 【课后小结】48初三数学总复习不等式(组)的应用一： 【课前预习】 （一）【知识梳理】 ：1．列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少” “最多” “不低于” “不大于” “不小于”等词，要正确理解这些词的含义． 2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤 基本相似， 其步骤包括： ① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ 。 （其中检验是正确求解的 必要环节）（二）【课前练习】 ：1.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共 25 道，每道题都给会 4 个答案，其中 只有一个答案正确，选对得 4 分，不选或选错倒扣 2 分，得分不低于 60 分得奖， 那么得奖至少应选对（ ）道题． A．18 B．19 C．20 D．21 2.某班在布置新年联欢晚会会场时， 需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的短形彩条 如右图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为 1cm 的矩形 彩条 a1，a2，a3??若使裁得的矩形彩条的长都不小于 5cm，则将每张直角三角形彩 纸裁成的矩形纸条的总数是( ) A．24； B．25； C．26； D．27 3.一个两位数，其个位数字比十位数字大 2，已知这个两 位数大于 20 而小于 40，求这个两位数． 4.若干学生分住宿舍，每间 4 人余 20 人；每间住 8 人有一间不空也不满，则宿舍有 多少间？学生多少人？ 5.某通讯公司规定在营业网内通话收费为： 通话前 3 分钟 0.5 元， 通话超过 3 分钟每 分钟加收 0.1 元(不足 1 分钟按 1 分钟计算)某人一次通话费为 1.1 元， 问此人此次 通话时间大约为多少？二： 【经典考题剖析】1. 光明中学 9 年级甲、乙两班在为“希望工程”捐款活动中，两班捐款的总数相同， 均多于 300 元且少于 400 元．已知甲班有一人捐 6 元，其余每人都捐 9 元；乙班有 一人捐 13 元，其余每人都捐 8 元．求甲、乙两班学生总人数共是多少人？2.若方程 x ? kx ? 3k ? 2 ? 0 一个根大于-1，另一个根小于-1，求 k 的取值范围2493. 由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电．规定：在每天的 7：00 至 24：00 为用电高峰期．电价为 a 元／度；每天 0：0 0 至 7：0 0 为用电平稳期，电价 为 b 元／度．下表为某厂 4、5 月份的用电量和电费的情况统计表： ⑴ 若 4 月份在平稳期的用电量占当月用电量的 5 月份在平稳期的用电量占当月用电量的1 ， 31 ，求 a、b 在的值； 4⑵ 若 6 月份该厂预计用电 20 万度， 为将电费控制在 10 万元至 10． 万元之间 6 （不 含 10 万元和 10．6 万元） ，那么该厂 6 月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应 在什么范围？4.现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂 有 A、B 两种不同规格的货车车厢共 40 节，使用 A 型车厢每节费用为 6000 元，使用 B 型车厢每节费用为 8000 元。 （1）设运送这批货物的总费用为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢 x 节，试写出 y 与 x 之 间的函数关系式； （2）如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，每节 B 型车厢最多 可装甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨，装货时按此要求安排 A、B 两种车厢的节数， 那么共有哪几种安排车厢的方案？ （3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？5. 在车站开始检票时，有 a （ a ＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后， 仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也 是固定的。若开放一个检票口，则需 30 分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完50毕；若开放两个检票口，则需 10 分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如 果要在 5 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到 随检，至少要同时开放几个检票口? 分析：该题联系生活实际，设计巧妙，要求学生有较强的阅读理解能力，综合应用 不等式、方程、函数等方面的知识建立数学模型；对学生如何运用所学数学知识解决 实际问题（即将实际问题转化为数学问题）的能力提出了较高的要求。本题解题方法 多，给学生发挥才能的空间大，是一道考查学生分析问题和解决问题能力的好题。三： 【课后训练】1. 已知导火线的燃烧速度是 0.7 厘米／秒，爆破员点燃后跑开的速度为每秒 5 米，为 了点火后跑到 130 米外的安全地带，问导火线至少应有多长？（精确到 I 厘米） 2. 甲、乙两车间同生产一种零件，甲车间有 1 人每天生产 6 件，其余每人每天生产 11 件， 乙车间有 1 人每天生产 7 件， 其余的生产 10 件， 已知各车间生产的零件数相等， 且不少于 100 件又不超过 200 件，求甲、乙车间各多少人？ 3. 商场出售的 A 型冰箱每台售价 2190 元，每日耗电量为 1 度，而 B 型节能冰箱每台售 价虽比 A 型冰箱高出 10％，但每日耗电量却为 0．55 度．现将 A 型冰箱打折出售时一 折后的售价为原价的1 ， 问商场至少打几折， 消费者购买才合算 （按使用期为 10 年， 10每年 365 天，每度电 0．4 0 元计算） ． 4. 现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住 4 人，则还有 19 人无宿舍住；若每 间住 6 人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生人数和宿舍间数． 5. 为了保护环境．某企业决定购买 10 台污水处理设备，设有 A、B 两种型号的设备， 其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如表．经预算，该企业购买设备的资金 不高于 105 万元． ⑴清你设计该企业有几种购买方案； ⑵若企业每月产生的污水蟹为 2040 吨． 为了节约资金，应选择哪种购买方案； ⑶在第⑵问的条件下，若每台设备的使用年限为 10 年，污水厂处理污水费为每吨 10 元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10 年节约 资金多少万元？（企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费） 6. 某钢铁企业为了适应市场需要，决定将一部分一线员工调整到服务岗位．该企业现 有一线员 11000 人． 平均每人全年可创造钢铁产品产值 30 万元． 根据规划， 调整后，51剩下的一线员工平均每人全年创造钢铁产品产值可增加 30％，调整到服务岗位人员 平均每人全年可创造产值 24 万元．要求调整后企业全年的总产值至少增加 20％， 并且钢铁产品的产值不能超过 33150 万元．怎样安排调整到服务岗位的人数？ 7. 某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器 供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算， 本次购买机器所耗资金不能超过 34 万元． ⑴ 按该公司要求可以有几种购买方案？ ⑵ 若该公司购进的 6 台机器的日生产能 力不能低于 380 个，那么为了节约资金 应选择哪种购买方案？ 8. 某生产“科学计算器”的公司有 100 名职工，该公司生产的计算器由百货公司代