整合教材 ――“鸡兔同笼”教学有效设计的思考
“数学广角”是人教版教材中的一大亮点。在教学“数学广角”时每一位数学教师都应该思考：怎样让每一位学生能真正体验和感悟数学思想方法？“鸡兔同笼问题”是人教版教材六年级上册中的一个教学内容，笔者自己执教过很多次，也听了许多鸡兔同笼的公开课。总以为自己的设计很好，孩子在自己的引导下能够产生解决问题策略的多样化，甚至还有老师没有想到的算法。课堂中有学生独立思考的空间，有师生间围绕核心问题进行的交流，也有老师适时作出的指导。但是在课后对学生的掌握程度进行检测时，却依然出现了尴尬。尴尬一：学生假设是兔（鸡），求出来的也是兔（鸡），只知套用不知根本。解决最基本的鸡兔同笼问题，孩子们的正确率达到了80%左右。还有部分学生能套用假设法列出算式，但是他根本不知道算出来的答案是鸡的只数还是兔的只数。也就是假设什么，最后算出来的可能还是这个，会出现张冠李戴的现象。学生很多时候是滥用套路，并没有真正理解和掌握假设法。尴尬二：只知鸡兔，不知其它。也就是情景变换不知所措，不能根据已学的知识产生类比联想，举一反三，也就做不到学以致用了。解答生活中的一些实际问题（如：小红的储蓄罐里1元和5角的硬币有145枚，共127元。她的储蓄罐里1元和5角的硬币各有多少枚？）正确率那就更低了；对一些情境变化大一些的“鸡兔同笼问题”（如：学校买来4个篮球和5个排球，一共用了185元，1个篮球比1个排球贵8元。篮球的单价是多少元？）学生根本就想不到用假设法来解题。面对这些尴尬，我陷入了沉思：问题究竟出在了什么地方？我们该怎么办呢？ 前不久参加省“领雁工程”培训时，在一次“同课异构”的研讨活动中，笔者有幸听了两种不同版本教材（人教版和北师大版）的“鸡兔同笼”研讨课。他们目标定位不同、教材处理不同、思路设计不同，教学效果也随之不同。长期以来，一直困在我心头的“鸡兔同笼”的教学效果问题，在这一刻有了一个很大的触动。由于笔者使用的一直是人教版教材，所以在这次“同课异构”研讨活动中，听了北师大版“鸡兔同笼”的研讨课后，引起了我对列表枚举这一数学思想方法的思考与重视。对此，笔者找来两种教材，并结合两位上课教师的教学设计，认真分析了该课内容，加以探究，希冀能从这相同内容不同编排的处理中引发出怎样设计更为有效的一些思考和探索。一、人教版和北师大版教材的分析
在人教版教材中，由《孙子算经》中的“鸡兔同笼” 问题引入。这一课时的教学目标是让学生通过不同方法研究解决鸡兔同笼问题，使学生理解并掌握鸡兔同笼问题的解题方法。解决“鸡兔同笼”问题时，它先后呈现了猜测列表法、假设法、列方程、抬腿法（另一种假设法），注重体现解决问题的不同思路和方法。其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。 配合“鸡兔同笼”问题，教材在“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，比如“龟鹤”问题，生活中的一些实际问题等，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，并巩固用“假设法”或方程的方法来解决这类问题。
在北师大版教材数学五年级上册的尝试与猜测中安排了《鸡兔同笼》这一教学内容，从读懂教材这一角度来看，在本课教材中呈现了3种解决问题的方法，都是通过假设举例与列表的方法，寻找解决问题的结果。其中，第一张表格是常规的逐一举例法，第二张运用了跳跃列表法，第三张运用了中列举法。但需要注意的是，教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要并不是为了解决“鸡兔同笼”这个问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表，让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中，体会出解决问题的一般策略――列表枚举，旨在通过对一些现象的观察与思考，使学生从中发现一些特殊的规律，获得解决问题的一般策略。 二、两种不同类型课的比较 1.案例一（人教版教材） 教学目标： 1．了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。 2．尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，使学生体会假设和代数方法的一般性。 3．在解决问题的过程中，培养学生的逻辑推理能力，并向学生渗透转化、函数等数学思想和方法；让学生体会到数学问题在日常生活中的应用。 教学过程： 一．导入新课 1．谈话：同学们，你们听说过“鸡兔同笼”问题吗？在我国古代流传着很多有趣的数学问题，“鸡兔同笼”就是其中之一。大约一千五百年前，《孙子算经》中记载 3
着这样一道有名的数学趣题。 2．出示《孙子算经》中的原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 3．理解原题意思：现有鸡和兔同在一只笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问鸡和兔各有几只？ 4．揭示课题：鸡兔同笼 二．探索新知 1．出示例1：笼子里有若干只鸡兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？ 2．先让学生猜测有几只鸡和兔。 3．独立解决问题（用自己喜欢的方式） 4.反馈交流方法 （1）画图法：画8个小圆圈代表8个头，先在每个头上都画2只脚，共得16只脚，还差10只脚，再在一些头上添上2只脚。
从图中看出4只脚的有5只，2只脚的有3只，从中可知道笼中有5只兔子，3只鸡。 （2）列表法 鸡 兔 脚 8 0 16 7 1 18 6 2 20 5 3 22 4 4 24 3 5 26 2 6 28 1 7 30 0 8 32 从表中知道有5只兔子，3只鸡 （3）假设法 ①．假设全是鸡：（26－8×2）÷（4－2） ＝10÷2 ＝5（只）………………兔 ②．假设全是兔：（8×4－26）÷（4－2） ＝（32－26）÷2 ＝3（只）………………鸡 （4）列方程：设有x只兔，则有（8－x）只鸡 4x＋2×（8－x）＝26 4x＋16－2x＝26 x＝5
8－5＝3（只）
4．小结方法：（1）刚才我们在解决鸡兔同笼问题时用到了哪些方法？（画图法、列表法、假设法、代数法） （2）你喜欢哪一种方法，并说明理由。（让学生了解各种方法的优缺点） 三．巩固练习 1．让学生选择自己喜欢的方法解决《孙子算经》中的原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（用自己喜欢的方法解决） 四、课堂总结：通过今天这节课的学习，你有什么收获？ 【我的思考】 这节课充分体现出解决问题策略的多样化以及解决问题策略的优化。教师在课堂上适时引导，学生从多角度思考问题，呈现出列表、假设、代数、画图等多种解题方法。通过学生的独立思考、自主探究、合作交流，将多种解题方法进行观察和对比，使学生充分体验到解题策略的多样性。在体验解决问题多样化的过程中，突出了学生的主体地位，同时尊重了学生的个体差异，允许不同的学生在解题方法上有不同的想法。还注重了画图法、列表法、假设法、代数法等多种方法的比较。这节课老师在学生找到不同策略后，又让学生说一说“你喜欢哪一种方法，为什么？”让学生充分感受到画图法、列表法为特殊方法，都有各自的局限性，如果题中鸡兔的数目太大，则不宜采用。而假设法和代数法是解决鸡兔同笼问题的常用的、也是最基本的方法，这样处理很好的完成了老师制定的一个重要的目标：尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，使学生体会假设和代数方法的一般性。 听了许多鸡兔同笼的课，一般都是按照上面这个案例这样上，但是为什么在课后的练习中会出现笔者前面提到的那些尴尬呢？反观案例中的教学过程，教师注重用假设法解决问题，但面对授课之后依然存在的实际理解效果，笔者认为学生都是套着路子用假设法解题，真正理解的很少。教材中介绍的方法有很多种，教师上课时也可能一一列举了。对于学生来说，众多方法中掌握一种就可以套用路子了，就可以解决问题了。而我认为应该区分数学思想和数学方法的不同，甚至对方法也应分出层次：如果把整个方法体系看作一棵大树的话，那么有一些方法是根，另一些方法便是枝叶。而我们更应该关注能广泛迁移的、具有生长性的方法的根。由此透析上述案例，教师所谓的假设法只是具体地解决了“如何假设”的问题，而对于“为什么要假设”“假设的价值何在，意义何在”，教师未能作有效提点。那么学生对假设的真正目的并不清楚，后面的练习也只是“依葫芦画瓢”；一旦碰到全新的问题时，便会束手无策。笔者认为在教学中应重点沟通假设法与画图、列表法之间的联系。让学生在列表猜测的过程中不断地进行分析和调整，并在这个过程中让学生自己发现规律，总结方法，这样就达到了列表尝试的最高境界――用假设法来解题。假设法解题-学路网-学习路上 有我相伴
假设法解题
来源：互联网
贡献&责任编辑：王小亮 &时间: 12:47:16
要用假设法解题，而且要过程！答：小学数学，用假设法解题答：假设一个也没打破那可以得到500×0.24=120元比实际多120-115.5=4.5元打破一个比不打破少得运费1.26+0.24=1.5元那么打破的就是4.5÷1.5=3个答：一共打破3个数学。用假设法解题！请在我现有的解题思路上点拨...问：一批水果分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖，这批水...答：一批水果分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖，这批水果共290元。如果每千克水果降价0.05元，这批水果只卖250元。问有多少千克的大水果。思路：由290元到250元，总价少了40元，因为降价0.05元，40/0.05=800千克，说明一共800千...假设法解题(图2)假设法解题(图6)假设法解题(图8)假设法解题(图10)假设法解题(图13)假设法解题(图15)假设法解题例题1：甲、乙两数之和是185，已知甲数的14 与乙数的15 的和是42，求两数各是多少？假设法解题怎么做问：急呀答：首先你假设当前你要证明的这个式子是成立的，然后你就有了一个条件，接下来你要做的是证明它的下一步是不是成立的。比如证明n+n=2n,假设等式在n=k时成立，则可得k+k=2k防抓取，学路网提供内容。练习11. 甲、乙两人共有钱150元，甲的12 与乙的110 的钱数和是35元，求甲、乙两人各有多少元钱？六年级奥数假设法解题，请说明解题思路和过程。问：1.一项工程，甲、乙两人合作12天可以完成。中途甲因事停工5天，因此用了...答：1、假设工作总量为1，则甲乙二人每天的工作量为1/12。假设他们按照这防抓取，学路网提供内容。2. 甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的17 ，乙队人数的13 ，共抽调78人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？假设法解题，别用方程。必采纳，学霸帮帮忙答：防抓取，学路网提供内容。3. 海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥，已知四月份完成总数的13 多50吨，五月份完成总数的25 少70吨，还有420吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？用假设法解题怎么引入，求好心人帮忙！答：其实数学的证明中根本就没有这种方法，只是在有些判断中渗透某种思想方法，往往这种方法跃然不能作为确凿的证据，但支持它后台的理论是反证法，说到现在到底是什么意思呢？防抓取，学路网提供内容。例题2：彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出19 ，则比黑白电视机多5台。问：两种电视机原来各有多少台？五年级奥数题（用假设法解题）我在线等答案，在1点...问：1.一群公猴,母猴,小猴共三十八只,每天摘桃266个。已知1只公猴每天摘桃10...答：解析，（1）8,12,18(2)四年级有16人，五年级防抓取，学路网提供内容。练习21. 姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉17 ，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？求大神们帮忙解解这题，在线等（最好用假设法解题...问：一只蜘蛛八条腿，一只蜻蜓有六条腿，两对翅膀。苍蝇有六条腿和一对翅膀...答：如果没学过解方程的小学生可以这样解先假设所有的小虫都只有6只脚，脚数防抓取，学路网提供内容。2. 学校有篮球和足球共21个，篮球借出13 后，比足球少1个，原来篮球和足球各有多少个？用假设法解题47;88=8.45;据所有条件可得综合式组如下X=4X+Y+Z=10050*X+88*Y+6*Z=9.4*100得87*Y+5*Z=644,因为牛的头数不超过8头,我们不妨假设Y分别=1防抓取，学路网提供内容。3. 小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉120 ，还比鸭多17只，小明家原来养的鸡和鸭各有多少只假设法解题怎么做首先你假设当前你要证明的这个式子是成立的,然后你就有了一个条件,接下来你要做的是证明它的下一步是不是成立的。比如证明n+n=2n,假设等式在n=k时成立,则可得k+k=...防抓取，学路网提供内容。例题3：师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的38 与徒弟加工零件个假设法解题设鸡为X只,兔为Y只,则有方程式:2X+4Y=解得,X=38/3Y=56/3答案肯定没错,只是请出题人查看一下原题数据,是否有误.我是数研组的教授,如果我没记错的...防抓取，学路网提供内容。练习31. 某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的25 和黑白电视机的37 ，共卖出57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？小学数学假设法解题5个九头鸟的尾相当于1个五尾鸟九头鸟:(5)÷(9×5-1)=1010(个)五尾鸟:()÷5=909(个)防抓取，学路网提供内容。2. 甲、乙两个消防队共有336人，抽调甲队人数的57 、乙队人数的37 ，共抽调188人参加灭火。问：甲、乙两个消防队原来各有多少人？假设法解题小青做20道竞赛题,做对一道题得5分,做错一道题倒扣3分,不做得0分.小青得了60分,他做对了几道题?如果全做对则应该得:20*5=100分,实际得了60分,少了:40分做错一题...防抓取，学路网提供内容。急求假设法解题：（要用假设法）问：有面额为1元，2元，5元的邮票共100枚，共值200元。其中面额为2元邮票的...答：如果两个变量的话，我因该会假设法解题怎么做问：急呀答：首先你假设当前你要证明的这个式子是成立的，然后你就有了一个条件，接下来你要做的是证明它的下一步是不是成立的。比如证明n+n=2n,假设等式在n=k时成立，则可得k+k=2k,那么(k+1)+(k+1)=2k+2=2(k+1),即等式在n=k+1时也成立，所以假设成立，...六年级奥数假设法解题，请说明解题思路和过程。问：1.一项工程，甲、乙两人合作12天可以完成。中途甲因事停工5天，因此用了...答：1、假设工作总量为1，则甲乙二人每天的工作量为1/12。假设他们按照这样的速度工作了15天，则超出了总量的15/12-1=1/4而1/4就是甲5天多出的的工作量。因此甲效为1/4÷5=1/20最后得出，甲独做这项工程要20天。2、假设这项工作的总量为1，相当于...
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1、学校买来3个篮球和5个足球,共花去430元.每个篮球比每个足球贵10元.每个篮球和每个足球各几元?
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由“每个篮球比每个足球贵10元”这句话,可把篮球的钱数转化成足球的钱数来进行计算篮球=10+足球3*（10+足球）+5*足球=430元8*足球+30=4308足球=400足球=50元篮球=60元
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