设矩阵A=(1423),求矩阵A矩阵特征值特征向量和特征向量,

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-05-11 07:08 标签： 特征值特征向量
设A为可逆矩阵，λ为A的一个特征值，对应的特征向量为ζ，求: (1)A*的一个特征值及对应的特征向量_百度知道
设A为可逆矩阵，λ为A的一个特征值，对应的特征向量为ζ，求: (1)A*的一个特征值及对应的特征向量
（2）P^（-1）AP的一个特征值及对应的特征向量
(1)因为 Aζ = λζ所以 A*Aζ = λA*ζ所以 |A|ζ = λ A*ζ所以
A*ζ = (|A|/λ)ζ所以 |A|/λ 是 A* 的特征值, ζ 是对应的特征向量.(2)因为 Aζ = λζ所以 P^-1AP (P^-1ζ) = λP^-1ζ所以 λ 是 P^-1AP 的特征值, P^-1ζ 是对应的特征向量.
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A*A^(-1)=|A| A*=|A|A^(-1)特征值λ*=|A|λ^(-1) 对应的特征向量为ζ考研数学(二)模拟试题题库
本试题来自：（2011年考研数学(二)模拟试题，）三、解答题设矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵
(Ⅰ)求B+2E的特征值与特征向量．
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一道线性代数题目设一个三阶对称矩阵A的特征值是6 3 3其中6对应的特征向量a是[1,1,1]T求A 15
A对称所以存在P使得
P'AP为对角阵对角线上为三个特征值
设P=[a1，a2，a3]
则a1=[1,1,1]’
a2，a3是对应于特征根3，3的特征向量
且a1，a2，a3正交
可以取a2=[1,0,0]’
a3=[0,1,0]’
代入P'AP=diag（6,3,3）
就能解出A了
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特征值是中的一个重要概念在数学物理学化学计算机等领域有着广泛的应用外文名eigen value别&&&&称本征值表达式Ax=λx提出时间1904应用学科数学，物理学，化学，计算机适用领域范围量子力学等
又称英文名eigen value特征一词译自的eigen由在1904年首先在这个意义下使用在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念eigen一词可翻译为自身的特定于...的有特征的或者个体的这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的[1]设A为n阶矩阵若存在λ及n维x使得Ax=λx则称λ是矩阵A的特征值x是A属于特征值λ的[2]如将特征值的取值扩展到领域则一个广义特征值有如下形式Aν=λBν
其中A和B为矩阵其广义特征值第二种意义λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0得到det(A-λB)=0其中det即行列式构成形如A-λB的矩阵的集合其中特征值中存在的复数项称为一个丛(pencil)
若B可逆则原关系式可以写作Aν=λν 也即标准的特征值问题当B为非可逆矩阵无法进行逆变换时广义特征值问题应该以其原始表述来求解
如果A和B是则特征值为这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显因为A矩阵未必是对称的[1]求特征值及特征向量
求n阶矩阵A的特征值的基本方法
根据定义可改写为关系式(λE-A)x=0E为其形式为主对角线元素为λ- 其余元素乘以-1即(λE-A)x=0有非零解的值λ则可求出n个满足|λE-A|=0的λ即为A的特征值
具体操作以右图为例　　
定义1设是一个阶方阵即使一个n*n的矩阵是一个数如果方程
存在非零解向量则称为的一个特征值相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量
1式也可写成
这是个未知数个方程的齐次线性方程组它有非零解的充分必要条件是系数行列式
上式是以为未知数的一元次方程称为方阵的特征方程其左端是的次多项式记作称为方阵的特征多项式
显然的特征值就是特征方程的解特征方程在复数范围内恒有解其个数为方程的次数重根按重数计算因此阶矩阵有个特征值
设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系不难证明
若为的一个特征值则一定是方程的根,因此又称特征根若为方程的重根则称为的重特征根方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下
第一步计算的特征多项式
第二步求出特征方程的全部根即为的全部特征值
第三步对于的每一个特征值求出齐次线性方程组
的一个基础解系则的属于特征值的全部特征向量是
其中是不全为零的任意实数
例1　求的特征值和特征向量.
解的特征多项式为
所以的特征值为
当=2时解齐次线性方程组得
解得令=1则其基础解系为=
因此属于=2的全部特征向量为.
当=4时解齐次线性方程组得令=1
则其基础解系为因此的属于=4的全部特征向量为
[注]若是的属于的特征向量则也是对应于的特征向量因而特征向量不能由特征值惟一确定反之不同特征值对应的特征向量不会相等亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
例2　求矩阵
的特征值和特征向量.
解的特征多项式为
所以的特征值为==2二重根.
对于==2解齐次线性方程组由
得基础解系为
因此属于==2的全部特征向量为不同时为零.
对于解齐次线性方程组由
得基础解系为
因此属于的全部特征向量为
由以上讨论可知对于方阵的每一个特征值我们都可以求出其全部的特征向量但对于属于不同特征值的特征向量它们之间存在什么关系呢这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用对此我们给出以下结论
定理1　属于不同特征值的特征向量一定线性无关.设A为n阶根据关系式Ax=λx可写出(λE-A)x=0继而写出|λE-A|=0可求出矩阵A有n个特征值包括重特征值将求出的特征值λi代入原特征多项式求解方程(λiE-A)x=0所求x就是对应的特征值λi的特征向量设有n阶矩阵A和B若A和BA∽B则有
1A的特征值与B的特征值相同λ(A)=λ(B)特别地λ(A)=λ(Λ)Λ为A的
2A的特征多项式与B的特征多项式相同|λE-A|=|λE-B|
3A的等于B的迹trA=trB/其中i=1,2,…n即上元素的和
4A的值等于B的行列式值|A|=|B|
5A的等于B的秩r(A)=r(B)[2]
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据相似对角化矩阵可有两个充要条件1矩阵有n个不同的2特征向量重根的重数等于的个数对于第二个充要条件则需要出现二重以上的重特征值可验证一重相当于没有重根[2]
若矩阵A可对角化则其Λ的主对角线元素全部为A的特征值其余元素全部为0一个矩阵的对角阵不唯一其特征值可以换序但都存在由对应特征向量顺序组成的P使=Λ量子力学
设A是的一个如果空间中某一通过A变换后所奇异矩阵特征值得到的向量和X仅差一个常数因子即AX=kX 则称k为A的特征值X称为A的属于特征值k的或(eigenvector)如在求解薛定谔波动方程时在满足有限连续性和条件下势场中运动粒子的总(正)所必须取的特定值这些值就是正的
设M是n阶 I是 如果存在一个数λ使得 M-λI 是即不 亦即为零 那么λ称为M的特征值
在A变换的作用下ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍称ξ是A 的一个特征向量λ是对应的特征值本征值,是实验中能测得出来的量与之对应在量子力学理论中很多量并不能得以测量当然其他理论领域也有这一现象
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特征值与特征向量、相似矩阵、二次型 练习题(三)
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