五年级奥数09周一般应用题_百度文库
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五年级奥数09周一般应用题|
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某车间接到一批任务，需要加工6 000个A型零件和2 000个B型零件，车间共有224名工人，每人加工5个A型
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某车间接到一批任务，需要加工6 000个A型零件和2 000个B型零件，车间共有224名工人，每人加工5个A型零件的时间可以加工3个B型零件，将这批工人分成两组，两组同时工作，每组加工一种型号零件，为了在最短时间内完成任务，应分配( )人来加工A零件．A．90B．80C．70D．60E．50请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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/ 算得巧　
）。他们合作5天完成这项工程：5×（1 1 1? ? ）。12 x 20于是，我们可以找到下列等量关系：15×（1 1? ? ） ? 1。12 乙单独做工的天数 20解：设乙单独做，需 x 天可以完成这项工程。5×（ 112? 1 ?x1
） ? 1，201
112 x 2060? 1 ，55 ? ? 3 ? 12 ，x60 ? 4 ，xx ? 15。答：乙单独做这项工程 15 天可以完成。巧用直觉思维　　有一些应用题，由于题目的条件和结构比较特殊，常常不需要把所 给的条件全部列在算式上，而是根据题目的特殊 性，一次或两次计算就能简单而巧妙地解答出来，我们称这种巧解法为 “直觉思维”。例 1 兄弟两人，从家到工厂，哥哥步行要 40 分钟，弟弟步行要 30分钟。如果哥哥离家 5 分钟后，弟弟再出发，要走几分钟后，才能追上 哥哥？分析：这是一道比较特殊的追及应用题，如果用一般思维方法，我们可以先求出他们兄弟之间的速度差。即（ 1
） ?401120。再去除哥哥先行的部分，即 540，得到：5
） ?30 405
÷ 140 120? 15（分）如果我们用直觉思维的方法，可以这样去想：　　哥哥先离家 5 分钟，那么比弟弟晚到 5 分钟，追及时，应是弟弟在 旅途中的中点，于是可以直接用 30÷2=15（分）。　　答：弟弟 15 分钟可追上哥哥。　　例 2 前进厂运来一堆煤，原计划每天烧 3 吨，可以烧 12 天，实际 每天比原计划节省 0.6 吨，这样可比原计划多烧多少天？分析：我们利用直觉思维来进行推想：实际每天节省煤 0.6 吨，相当1于实际每天烧煤吨数（3 ? 0.6）的 。由于煤的总吨数一定，每天烧煤节4约 1 ，所以，可以烧的天数比原计划就多 1 。因此，可以用下列简单的算4 4式就解答出这道题，即： 112×4? 3（天）。答：这样可比原计划多烧 3 天。例 3 在一只底面半径是 30 厘米的圆柱形储水桶里，有一段半径是10 厘米的圆柱形钢材浸在水中，当钢材从储水桶中取出时，桶里的水下 降了 5 厘米，这段钢材有多长。　　分析：如果把这道题当作一般的求体积应用题来解的话，必须要先 求出这段钢材的体积，再根据半径为 10 厘米的钢材底面积，求出钢材的 长。这样解法既麻烦，又属一般体积求法。我们如果用直觉思维去思考， 就设想一下：钢材底面积与水面积的关系，然后再找出钢材长与水面下 降部分的关系，就可以不用求体积，而直接求出钢材的长来。我们根据水面半径30厘米和钢材底面半径10厘米，看出它们的关系是：钢材底面半径是水面半径的 10 ，即 1 。从而可知：钢材底面积是水面底面积的 130 3 32即 1 。这样，我们可以得出钢材的长是水面下降部分的9 倍。很快就找到9了简捷而巧妙的解答方法。即：　5×9=45（厘米）。 答：这段钢材长 45 厘米。巧用放缩法在一些应用题中，由于条件和问题的特殊情况，仅从直 接给的已知条件中，不容易找到简捷的解题途 径。这时候，我们不妨把某一个已知条件扩大或缩小一定的倍数，从而 使他条件相应发生变化，由此找到简单的解答方法。　　当然，什么情况下要扩大，什么情况下要缩小，这要看具体题目而 定。下面，我们看几个例子。　　例 1 10 千克砂糖的价钱相当 1.6 千克茶叶的价钱，如果 4 元钱可 买 5 千克砂糖，那么 16 元钱可买多少千克茶叶？　　分析：这道题我们如果按照一般解答思路去分析，必须先要求出 10 千克砂糖的价钱是多少，然后求出 1.6 千克茶叶的价钱，再求出每千克 茶叶的价钱，从而求得 16 元钱可买多少茶叶。　　　　我们如果用放缩的方法，把其中一个条件放大几倍来思考。我们将 4 元钱买 5 千克糖的这个条件放大 4 倍，可以知道 16 元钱可买 20 千克糖。 又因为 10 千克砂糖与 1.6 千克茶叶的价钱相等，所以 20 千克砂糖价钱 可买茶叶 1.6×2=3.2 千克。解：1.6×（20÷10）=1.6×2=3.2（千克）。答：16 元钱可以买 3.2 千克茶叶。 下面，我们再使用缩小的方法来解一道解。　　例 2 把鸡和兔放在一起，共有 48 个头，114 只足，问鸡、兔各有 几只。分析：这是一道鸡兔同笼的典型问题，我们也用放缩法， 不妨把鸡和兔的足数缩小 2 倍，那么，鸡的足数 和它的头数一样，而兔的足数是它的只数的 2 倍。所以，总的足数缩小 2 倍后，鸡和兔的总足数与它们的总只数相差数就是兔的只数。解：114÷2－48=9（只）???兔的只数，　48－9=39（只）?????鸡的只数。 答：有鸡 39 只，兔 9 只。下面，我们来看一道既采用放大的方法，又采用缩小的方法来解答的较复杂的应用题。例 3 某工厂两个车间，甲车间每月的产值比乙车间多 5 万元，甲车间产值的2
等于乙车间的 2 ，问两个车间产值各是多少万元？15 3分析：这一道较复杂的分数应用题中，分数间的关系比较隐蔽，我们不妨先将“甲车间产值的2
等于乙车间产值的 2 ”这个条件的数量15 3同时放大3倍，得到“甲车间产值的 2 等于乙车间产值的2倍”。根据5这个新的条件，我们再把这个条件的数量同时缩小2 倍，于是，就得到了“甲车间产值的 1 等于乙车间的产值。”根据这个条件，我们就可以5清楚地看出“甲车间的产值比乙车间产值多5万元”也就是甲车间比乙车间多（1? 1 ），即 4 。于是，甲车间的产值就可以求出来了。5 5解：5÷(1 ? 1)5? 5÷ 45? 6 1 (万元)????甲车间产值，41 16 ? 5 ? 1
（万元）???乙车间产值。4 4答：甲车间产值 6.25 万元，乙车间产值 1.25 万元。巧用“份数”解题　　在解一些分数应用题时，如果我们把分数问题变成份数问题，那么 原题就变为在整数范围内对份数进行分配的问题了，从而使运算过程变 得简捷而又明确。我们把这种方法称为“份数法”。下面通过一些例题 来体会此方法的妙用。　　例 1 维修一条下水道，甲、乙两队合修 10 天可完，两队合修 4 天 后，余下的由乙队单独修还需 12 天，由乙队单独维修这条下水道需要多 少天？解：把 10 天的工作量，分成 10 份，甲、乙两队合修 4 天就是完成了 4 份，还剩下（10－4=）6 份。这 6 份乙队需要 12 天，完成 1 份需要（12÷6=）2 天，完成全部的 10 份，就需要 10 个 2 天。 综合算式：12÷（10－4）×10=12÷6×10　=20（天）。 答：乙队单独修需要 20 天。　例2
某校绿化校园，买来树苗株数是原来校内树木株数的7
，第12一天种植买来树苗的 1 后，剩下的树苗比原有树木少180株。问原有树7木多少株？解：将原来校内树木株数平均分成 12 份，那么买来树苗株数就相当于 7 份，第一天种了 7 份中的 1 份，还剩 6 份，正好是原有树木株数的 一半，这样就能很简单地求出原有树木数。180×2=360（株）。答：原有树木 360 株。例3 某生产专业组今年小麦亩产375千克，比去年增产 1 ，今年比去4年每亩增产多少千克？　　解：把去年小麦亩产量看作 4 份，则今年小麦亩产量比去年增加了 1 份，今年的亩产量相当于 5 份，所以，今年增加的亩产量相当于今年亩产量的 1 ，即相当于375千克的 1 ，由此可直接求出今年小麦增加的亩产量。5375×11 ? 45? 75（千克）。答：今年比去年每亩增产 75 千克。例4 有两筐苹果，已知第二筐苹果是第一筐的 910，若从第一筐拿出10千克放入第二筐，则两筐苹果重量相等。这两筐苹果共重多少千克？　　解：把第一筐苹果看作 10 份，第二筐苹果看作 9 份，那么，它们一 共有 19 份，相差 1 份。由条件可知，两筐苹果相差 20 千克，即 1 份是20 千克，所以两筐苹果一共有　20×19=380（千克）。 答：两筐苹果共重 380 千克。　　以上几个例题使我们看到了利用“份数法”在解决分数应用题中的 妙用。最后，我们再用此法解两道百分数应用题。　　例 5 肥皂厂一个月计划生产 3200 箱肥皂，前 10 天完成 45%，按这 样的速度，一个月（30 天）可超产百分之几？　　解：把一个月分三份，每份 10 天。一个 10 天完成了计划的 45%，按 这样的速度 3 个 10 天就完成了计划的 45%×3=135%，由此可知，一个月 可超产 35%。45% × 30 ? 1 ? 35%。10答：一个月可超产 35%。　　例 6 洗衣机厂一月份计划生产洗衣机 240 台，结果上半月完全月 计划的 60%，下半月完成的和上半月同样多，这个月可超产多少台？解：把一月份分成两份，每份为 15
天。这样，先求出 半个月超产的台数，然后再乘以 2 就可以求出一 个月超产的台数。综合算式：240×（60%－50%）×2=24×2　=48（台）。 答：这个月可超产 48 台。巧用探源法　　有些应用题是由两种或两种以上类型的应用题组合而成的；还有些 应用题的已知条件与所求问题之间的关系比较隐蔽，使问题的难度增 大。这些应用题，我们都把它们叫做复杂应用题。任何复杂应用题都是在基本应用题的基础上发展起来的。在解题过程中，人们常常要从复杂关系和条件中探寻出隐蔽的基本问题和基本题 型，最后找到解题的突破口。我们把这种解题方法叫做“探源法”。例1 粮店卖出库存面粉的12 后，又运进面粉3500千克，这时库存13面粉千克数恰是原来的75%，每千克面粉0.37元，卖出的面粉值多少元？　　这道题猛一看，关系比较复杂，使人一时无从入手。但是，若仔细 分析一下，就会发现这是一道分数应用题和一般 应用题的复合题。　　要求卖出的面粉共值多少元，现在已知道每千克面粉是 0.37 元，所 以，只要再求出卖出多少千克，问题就解决了。　　但是，怎么求卖出面粉的千克数呢？我们知道，解答分数应用题， 关键要判断选哪个量为单位“1”，再找准量、率对应关系。　　分析：根据卖出库存面粉的 12 ，可以知道 12 是以原来面粉千克数13为单位“1”，卖出12 ，还剩下原来面粉的13131
。通过运进面粉3500千克13后，这时面粉千克数恰是原来的 75%，可以知道，75%也是以原来面粉千克数为单位“1”，所以75% ?1
得到的“分率”正好与3500千克相对13应。于是，我们可以求出原来面粉的千克数，进而再求出卖出面粉的千 克数，所求问题得解。解：1 ? 12 ?
113 131 3575% ? ? ，13 523500÷ 35 ? 3500× 52
? 5200（千克），52 355200× 12 ? 4800（千克），?13　0.37×（元）。 答：卖出的面粉共值 1776 元。例2
某工厂计划4天生产一批机器零件，第一天完成了总数的 3
，10第二天完成了第一天的80% ，后两天生产零件的比是3∶2 ，第四天生产了 1460 个，正好完成任务，这批零件有多少个？ 这又是一道复杂应用题。我们经过对已知条件进行认真的分析和探寻后，就不难发现这是一道由分数应用题和比例分配应用题组成的复合题。分析：根据“后两天生产零件的比是 3∶2，就可以求出第四天占后两天生产零件总数的2 ，又知第四天生产1460个，就可以求出后两天生5产这批零件共有多少个：1460÷2 ? 3650（个）。至此，要求这批零件的5总数，就必须求出3650个所对应的分率。已知第一天完成总数的3 ，而20第二天完成的是第一天的80%，也就是完成 3 的80%，那么第二天完成的20就是总数的? 73%。3 ×80% ? 12%，这样3650个零件所对应的分率就是1?
320 20? 12%解：3+2=5，21460÷535? 1460×2? 3650( 个) ， ×80% ? 12%2033650÷(1 ? ? 12%) ? 3650÷73%20　=5000（个）。 答：这批零件共有 5000 个。　　例 3 从甲地到乙地相距 270 千米，乘车和步行共用 6 小时，乘车 的时间是步行的 2 倍，乘车的路程比步行多 210 千米，求乘车和步行每 小时各行多少千米？　　这道题不仔细看，可能觉得很容易。我们用探源法分析发现，这是 一道由行程问题、和倍问题、和差问题三个典型问题复合而成的。根据 题意，我们要想求乘车与步行每小时各行多少千米，就必须求出乘车与 步行的时间和路程。从已知条件分析，求时间是个“和倍问题”、求路 程是个“和差问题”，根据“和倍问题”与“和差问题”的解题规律， 就很容易求出各自的时间和路程了。解：(1)步行几小时？　　6÷（2+1）=2（小时）。 (2)乘车用几小时？2×2=4（小时）。(3)步行多少千米？　（270－210）÷2=30（千米）。 (4)乘车行多少千米？30+210=240（千米）。(5)乘车每小时行多少千米？　240÷4=60（千米）。 答：乘车每小时行 60 千米。步行每小时行 15 千米。巧用不变量　　对于一些数量关系复杂多变的应用题，要善于从已知条件中找出不 变量，用这种思路来寻找解题的突破口。这就是“不变量法”。下面，让我们先用不变量法来解一道年龄问题。　　例 1 今年小红 6 岁，她爸爸 33 岁，过几年小红的爸爸年龄正好是 小红的 4 倍？　　分析：今年小红的爸爸年龄比小红大“33－6=27（岁）”，由于每 过一年小红和爸爸每人都增加一岁，所以若干年后小红的爸爸仍比小红大 27 岁，也就是小红与她爸爸的年龄差是不变量。所以解题时可抓住“年 龄差”这个不变量来思考。如果把几年后小红爸爸年龄看作单位“1”，那么小红年龄相当于她爸爸年龄的 1 ，比她爸爸年龄少 3 ，这个 3 对应的数就是27 。4 4 4解：列综合算式：（33 ? 6）÷(1 ?? 27÷ 3 ? 334? 36 ? 33? 3（年）。1) ? 33 4答：再过 3 年小红她爸爸年龄正好是小红的 4 倍。 细心的读者可能已经注意到了，上题在解题过程中采用了“单位 1”，关于这种方法，我们前边已经做了专门介绍。在利用不变量法解题时， 设置“单位 1”是常常用到的方法。下面我们再看一道题。　　例 2 有甲、乙两个车间，如果从甲车间调 18 人给乙车间，甲车间 比乙车间少 3 人；如果从两个车间各调出 18 人，乙车间剩下人数是甲车间剩下人数的 5 ，甲、乙两个车间原来各有多少人？8　　分析：从第一个条件中分析，“甲车间调 18 人给乙车间，甲车间比 乙车间少 3 人”，可见甲车间比乙车间多 2 个 18 人又少 3 人，即（18×2－3=）33 人，这 33 人是两个车间人数之差（差量）。从第二个条件中分析，“两个车间各调出 18 人，乙车间剩下人数是甲车间剩下人数的 5 ”，虽然两个车间前后人数都发生了变化，但是，由于调出的人数8相等，所以这两个车间人数之差（33）始终未变。5解：设甲车间剩下人数为1倍量，当乙车间剩下人数是其 时，它们8相差（1 ? 5 ? ） 3 。这 3 所对应的是33人，由 8 8 8此可求出甲车间剩下的人数，这个人数加上调出的 18 人，就是甲车间原来的人数。 根据题目的第一个条件，甲车间原来人数减去 33 人，就是乙车间原来的人数。(1)甲车间比乙车间多多少人？　18×2-3=33（人）。 (2)乙车间剩下人数比甲车间剩下人数少几分之几？1 ? 5 ? 3 。8 8(3)甲车间剩下多少人？33÷ 3 ? 88（人）。8(4)甲车间原来有多少人？　88+18=106（人） (5)乙车间原来有多少人？　106－33=73（人）。 综合算式：　（18×2 ? 3）÷（1? 5 ） ? 188? 33÷ 3 ? 188? 106（人）???甲车间人数。求乙车间人数的方法同(5)。答：甲车间原来有 106 人，乙车间原来有 73 人。 有时，在应用不变量法解题时，从已知条件中不是一下 子能看出谁是“不变量”，这就需要我们认真审 题，从有限的文字中发现“蛛丝马迹”，从而达到利用不变量法解题的 目的。下面再看这样一道例题：例3
职工子弟小学原有科技书、文艺书共630本，其中科技书占1 ，5后来又买进一些科技书，这时科技书占这两种书的少本？3
，又买进科技书多10　　分析：根据题目中的已知条件，原来的 630 本与增加后总本数都是 1 倍量，这两个不同的 1 倍量，为直接求出买进科技书的本数造成了困难。 但是，如果读者细心地分析已知条件，不难发现，真正的不变量应该是 文艺书的本数（分量），因此要从这里寻得解题的突破口。文艺书占原来总本数的（1 ? 1
? ） 4 ，也占增加后总本数的5 5（1 ?
310? ） 710，这就说明原来总本数的 4 与增加后总本数的 75 10相等。因此，用 4 ÷ 75 10就是增加后总本数相当于原来总本数的1 17倍，比原来的总本数多 1 ，所多的 1 正好是又买进科技书的本数，7 7用630× 1 的结果，就是题目中所要求的答案。7解：(1)文艺书占原来总本数的几分之几？1 ? 1 ? 4 。5 5　 (2)文艺书占增加后总本数的几分之几？　1 ?
。10(3)增加后总本数是原来总本数的几倍？4 ?
75 10? 1 1 (倍)。7(4)比原来总本数多几分之几？1 1 ? 1 ? 1 。7 7(5)又买进科技书多少本？630 ? 1
? 90(本)。　　　7综合算式：630 ? ??1 ? 1? ? ?1 ?3 ? ?1???? 630 ? ?4 ?? ?5? ?7 ?? 1?10? ?5 10? 90( 本) 。答：又买进科技书 90 本。试一试　　1.生物学家研究出一种奇怪的孢子，每个孢子每小时分裂成三个孢 子，一小时后，这三个孢子中的每一个又分裂成三个，如此连续不断地 进行下去。一天中午 12 时，生物学家在一个容器里放入一个孢子，到了 晚上 12 时，孢子正好充满了容器。问在什么时候容器里正好装满三分之 一？2.某仓库运出 5 批原料，第一批占库存总数的一半，第二批占余下总数的一半，以后每一批都运出前次剩下的一半。第五批运出后，剩下的原料全部分给甲、乙、丙三厂，甲厂得 1 ，乙厂得 1 ，丙厂得8吨。3 2问最初仓库里有多少吨原料？　　3.一年级植树 56 棵，比二年级少植 8 棵，三年级植树的棵数是二年 级的 2 倍，三年级比一年级多植树多少棵？4. 甲、乙、丙三人参加储蓄了560元，乙储蓄的钱数是甲的 5 ，乙7储蓄的钱数比丙少 20%。乙、丙各储蓄多少元？　　5.小学买了 3 本大字簿和 5 本作业文簿，共付 0.82 元，每本大簿比 作文簿贵 0.06 元。两种簿本每本各多少元？6.（据说此题是俄国文学家托尔斯泰喜欢的算题）一组割草人要把两块草地的草割完，大的那块草地比小的大一倍。上午，全体组员在大 的一块草地里割了半天。下午将人数对半分开，一半留在大块继续割， 到收工时大块已割完；另一半人到小块去割，收工时还剩一小块，需由1 人再割 1 天才能割完，如果每人工效相等，这组割草人有多少人？　　（提示：可根据题意用长方形来图解，算出还剩一小块是占大的一 块草地的几分之几？）　　7.将 3800 张纸订成 240 本练习本，140 本是厚的，其余是薄的。如 果每本厚的比薄的多用 10 张纸，问厚、薄练习本 各用几张纸？8. 某车间有工人176人，其中男工人数的 1 比女工人数的 1 多123 4人，这个车间有男、女工各多少人？9.松鼠采蘑菇，晴天每天采 20 个，雨天每天采 12 个，共采 112 个，平均每天采 14 个，问雨天是多少天？　　10.一个数是 5 个 2，3 个 3，2 个 5，1 个 7 的连乘积，这个数当然 是许多约数是两位数，这些两位数的约数中，最大的是几？　　11.五年级原有学生 42 人，男生和女生的比是 4∶3，后来又转来女 生若干人，这时男生和女生的比是 6∶5，转来的女生有多少人？12.东西两村相距 11 千米，甲、乙两人由东村去西村，甲每小时行9 千米，乙每小时行 12 千米，当甲走出 1.5 千米后，乙才出发，乙追上 甲时，距西村还有多少千米？13. 一个书架有上、下两层，如果从上层取书 1 放进下层，这时下5层的书是上层的 2 倍，已知上层原有书 50 本，下层原有书多少本？14. 一筐香蕉，筐的重量是香蕉重量的 112，卖掉19千克后，剩下香蕉重量是筐重的2 1 倍，原来筐内有香蕉多少千克？215. 买花布6 1 米、白布5米共用了35.4 元，已知花布2 米的价钱与白2布 3 米的价钱相等，求花布、白布每米各多少元？16. 圆珠笔售价是钢笔售价的 3 ，买了3支圆珠笔和5支钢笔，共用513.6 元，圆珠笔和钢笔的单价各多少元？17.新华书店运来一批儿童读物，第一天卖出 1800 本，第二天卖出的本数比第一天多卖 1 ，余下总数的 3 第三天全部卖完，这批书共有多9 7少本。18.参加交通规则竞赛的男生比女生多 28 人，女生全部得“优”，男生的 3 得“优”，男、生得优的共42 人，求男、女生参加竞赛的各多4少人（提示：可把女生人数作为单位“1”。）19.甲、乙两个工人接受了加工一批零件的任务，规定两各完成这批零件的一半。已知乙的工作效率相当于甲的 4 ，工作了8小时，甲完成5了自己的生产任务，这时乙还差 24 个零件没有完成，这批零件共有多少 个？20.一条狗追猎 30 米外的一只狐狸，狗跳跃一次为 2 米，而狐狸仅1 米。不过狐狸跳 3 次的时间，狗只跳 2 次。狗要追多少米能赶上狐狸？21. 甲、乙二人到书店去买书，共带去
元，甲用了
自 己 钱 的 75% ，乙用了自己钱的 4 ，两个剩下的钱数正好相等。甲、乙原来各带去多少5元？22. 菜场卖出一批鱼，已经卖出了全部的 1 ，如果再卖出55千克就　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8卖出了全部的 1 ，求这批鱼卖出了多少千克？6　　23.某工人接受生产一批零件的任务，第一天生产一部分，已完成的 个数和未完成的个数的比是 3∶4，第二天生产了 52 个，这时已完成的 个数是未完成个数的 4 倍，第一天生产了多少个？（提示：可将第一天总个数看为 7 份。）24. 甲乙两个共存款2700 元，如果甲取出本人存款的 2 ，乙取出本5人存款中的 300 元，则两个所余的存款数相等，甲、乙两个原来各存款 多少元？25. 贾村用全部耕地的 5 种小麦，另用186 公亩地种蔬菜，其余的地种9棉花，已知棉田比总亩数的 1 少6公亩，皮棉平均每公亩产120千克，3求共收皮棉多少千克？　　26.粮店运来花生和黄豆。第一次运来 4 袋花生和 6 袋黄豆共重 1100 千克，第二次运进 10 袋花生和 8 袋黄豆共重 2400 千克。求一袋花生和 一袋黄豆各重多少千克？27.4 头牛和 3 匹马每天吃草 90 千克，8 头牛和 2 匹马每天吃草 140千克。每头牛和每匹马每天吃草多少千克？　　28.2 捆甲谷，3 捆乙谷，4 捆丙谷相应比 1 捆乙谷、丙谷，甲谷各 多打 1 石，求甲谷、乙谷、丙谷每捆各打多少？29.有一条大鲨鱼，头长 3 米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半。这条大鲨鱼的全长多少米？30.父亲遗嘱把遗产的 13分给儿子， 25分给女儿 ； 剩余的钱中，2500 元偿还债务，3000 元归遗孀所有。问遗产共有多少？子女各分多 少？31.有一批货物，用 12 辆大卡车可以一次运完，如果改用手扶拖拉机要用 36 辆才能运完。已知每辆卡车比手扶拖拉机多运 2 吨，这批货物 共有多少吨？32. 某工程队筑一条马路，6 天完成了全部路程的 2 ，如果再筑605米，刚好是全路的 1 ，按前6 天的工作效率，完成这条马路需要几天完2成？　　33.小华要加工 1600 个零件，前 4 天完成了 25%，照这样计算，完 成全部任务还要多少天？　　34.从甲地到乙地共有 250 千米，一辆汽车从甲地开出，前 3 小时已 行了 30%，照这样的速度，还要几小时可到达目地？35.东风电扇厂原计划 20 天生产电扇 800 台，由于改进技术，实际每天比原计划多生产 1 ，这样实际只要几天就能完成 ？436.水果店运来苹果 240 千克，梨 400 千克，几天后，苹果和梨都卖出了相同的数量，这时剩下的苹果重量是梨的 3 ，还剩梨多少千克？437.有两筐重量相同的梨，如果从第一筐中取出 8 千克放到第二筐中，这时第一筐的重量是第二筐的 3 ，原来每筐有梨多少千克？438. 某工厂上半月完成了生产任务的 3 ，未完成的比已完成的少1005个零件，原计划共生产多少个零件？39. 小华看一本书，原来每天看20 页，实际每天比原来多看 1 ，实4际多少天看完这本书？40. 商店有水果1500 千克，其中桔子占8
，其余是苹果。后来又运进15了一批桔子，这时桔子占总数的3.TXT/PGN>9
，运来桔子多少千克？ </PGN0001716巧做几何题等分图形　　等分图形就是把一个大的图形重新分成若干等份。这种数学思想在 利用图形解题时常常用到。石块的启示公元前
世纪，古希腊有一位杰出的数学家毕达哥拉 斯，他抓住一个意外的机会，证明了勾股定理。 一天，毕达哥拉斯到一位朋友家串门。他坐在客厅里，一面听朋友 讲话，一面注视着铺着正方形石块的地面。忽然，他发现也不知道是谁在 6 块正方形石块上用炭笔画了对角线（如图 1）。他伸手擦去几条（如图 2），新的图形触发了他的灵感：中间一个直角三角形的两条直角边 上的正方形面积的和正好等于斜边上的正方形的面积（因为它们分别等 于直角三角形的 4 倍）。他告辞了朋友，回到家中继续钻研，终于发现： 任意给出一个正方形，以它的一边为斜边作一个不等腰直角三角形，再 在两条直角边上分别作正方形，上述结论依然正确。这就是毕达哥拉斯 定理。　　毕达哥拉斯证明这个定理的方法，实际上是一种等分图形的思想方 法，即把每块正方形石块平均分成四等份。这样一来，图形中某些数学 关系就变得一目了然了。均分整体有这样一类问题，只要把大的图形均分为小的图形，就 能找到问题的答案。 请看这样一个问题：下面两个图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形。已知图 3 中的正方形的面积是 72 平方厘米，求图 4 中正方 形的面积。注意：内接是指正方形的四个顶点全部在三角形的边上。
这个题的一个关键条件是左右两个三角形完全相同。我们不防把这 两上图形进行等分，看看两个正方形分别与同一个等腰直角三角形的关 系。从图5可知，其中正方形的面积占整个图形面积的 < /PGN000176.TXT2/ PGN > ?42；从图61可知，其中正方形的面积占整个图形面积的。 4 由于图3中的正方
9形面积是72平方厘米，所以等腰直角三角形的面积是72 ? 1
? 1442（平方厘米）。显然，图6中的正方形面积为144 ? 4
? 64 （平方厘米）。9这就是图 4 中的正方形面积。　　再看，一个用七巧板拼成的正方形（如图 7）。它的边长是 20 厘米， 问七巧板中平行四边形一边（阴影部分）的面积是多少？易知，平行四边形的一块占整个正方形面积的 1 ，为20 ? 20 ? 1 ? 508 8（平方厘米）。同学们，你们能看出这个正方形是怎样等分的吗？均分局部还有些问题，图形的整体不能均分，就要考虑把局部均分，然后再从整体上进行观察，往往也能使问题得到解决。　　如图 8，正方形 ABCD 中画有甲、乙、丙三个小正方形，请问乙加丙 的面积与甲的面积到底哪个大？　　在前面，我们已经知道，像甲、乙这样的两个正方形的面积不相等 的。如图 9，我们还知道，经过等分图形，正方形甲的面积等于△ABC 面积的一半；正方形丙的面积等于△DEF 面积的一半；正方形乙的面积 等于梯形 ACFE 面积的一半。这样，把一个大正方形划分为三个局部：等 腰直角△DEF，等腰梯形 ACFE，等腰直角△ABC。其中，丙、乙、甲的面 积分别为各自所在的图形面积的一半。易知，丙加乙的面积等△ACD 面 积的一半，而△ACD 和△ABC 面积相等，所以乙加丙的面积等于甲的面 积。平移变换　　你坐过电梯吗？电梯的升降就是日常生活中见到的平行移动的实 例。数学中也有平移，这就方法是图形变换中常用 的方法。在平移的过程中，图形上所有点的移动方向相同，移动的距离 相等。平移是用运动的观点研究数学问题的重要思想方法。线段的平移我们观察一下，下面两个图形的周长是否相同？　　从表面看，右边的图形的周长似乎要比左边的图形的周长长些。如 果我们用运动的观点，把右图中有关线段平移，就会发现这两个图形的　　周长相同。　　从图 12 可以看出，有线段向上、向左、向右平移后，图 11 就变成 图 10。这种形式的图形还可以举出很多。比如下面两个图： 　　图 13 是一个希腊十字（由 5 个小正方形拼合而成的图形），知道一 个边长为 2，求周长。图 14 是个篱笆，知道最长处为 36 米，最宽处为 24 米，求周长。这两个题就留给读者自己去完成了。图形的平移请计算一下，下面图形中有阴影部分的面积。这个题，如果按部就班地算，就应该用正方形的面积减去 1 圆面积，4求出图 15 右半部分左上角的阴影部分的面积，然 后 再 与 图 15 左 半 部 分那个阴影部分的面积： 1 圆面积相加，就得到了整个阴影部分的面积。4其实，认真观察一下就会发现，图 15 左半部分的空白部分与图 15 右半 部分相应部分的空白部分与图 15 右半部分相应部分的阴影部分的大小一样。这时，只需将图 15 右半部分左上角的阴影部分向左平移（如图16），正好用它填补了图 15 左上角的空白处。于是易知一个小正方形的 面积正好是阴影部分的面积。即
5×5=25。 还有一些更复杂的题目。比如，有一块长 32 米，宽 24 米的草坪，其中有两条走道把草平分为四块。请计算一下草坪的面积。　　这个题按照一般的方法，应先算出整个这块地的面积，然后再减去 两条走道的面积，最后求出草坪的面积。即32×24-(2×32+2×24-2×2)=768-108=660(平方米）。 这时，假设能把丙、丁两块草平向甲、乙两块草坪平移、对接，那么竖的一条走就会移到右边，形成了一条长方形空地。易知，这条长方形空地与原来的平行四边形小道的面积相等（如图 18）。　　同样，假如能把乙、丁两块草坪向上平移、对接，那么横的一条走 道就会移到下边，形成了一条和原来长方形走道面积、形状相同的空地（如图 19）。　　于是，四块分开的草坪拼合成一个新的长方形（如图 19），它的面 积就是本题的答案：(32-2)×(24-2)=660(平方米)。 这道题的巧妙之处在于，用运动的观点，通过平移，把分散的图形加以集中，使复杂的问题变为简单问题，即可以 避免差错，又节省了时间。旋转变换你坐过转椅吗？转椅的旋转是日常生活中见到的旋转的实例。 在数学的图形变换中，旋转是一种常用的方法。有些几何问题条件分散，如果能设法把图形绕一个定点，在平面内旋转一个定角，使图形 的某部分移到一个新的位置，往往能使分散的条件集中，使问题化难为 易。　　在旋转过程中，图形上任何两点的距离不变，任何两直线间的夹角 不变。因此，一个图形从一个位置旋转到另一个位置，它的形状、大小 不会改变。旋转也是用运动的观点研究数学问题的重要思想方法。旋转成定角　　图形中某一部分到底要旋转多少度角，要因题而异。我们可以根据 需要把部分图形转到有利于我们进行计算的最佳位置上。例如，在图 20 中，半径为 6 厘米的圆的内、外各有一个正方形，圆内正方形的四个角的顶点都在圆周上，圆外正方形的四条边与圆都只有 一个接触点。问大正方形的面积比小正方形大多少？　　这道题按一般方法就得先求出大正方形面积，再求小正方形面积， 然后用大正方形面积减去小正方形面积。这时，如果把小正方形绕圆的 圆旋转 45°，那么小正方形的四个顶点正好落在大正方形和圆的接触点 上（即大正方形边上的中点处）。图 21 就是旋转后的情形。易看出：小 正方形正好是大正方形面积的一半。两正方形的面积差就是(6×2)2÷2=144÷2=72（平方厘米）。又如，如图 22，求阴影部分部分的面积（单位厘米）。观察图 22，我们发现，如果把这个图左边的扇形绕圆心 O 按顺时针方向旋转 90°，就会得到图 23。图 23 中的阴影部分的面积恰好是平行 四边形面积的一半。20×(20÷2)÷2=20×10÷2=200÷2　　=100（平方厘米）。 有时，为了使分散的条件集中，只作一次旋转变换是不够的，常常需要连续进行旋转变换。比如，如图 24，求正方形内阴影部分的面积（单位：厘米）。 这个题，需要将两个卵叶形阴影部分，分别绕正方形中心按顺、逆时针方向旋转 90°。这样一来，得到了一个由阴影部分拼成的半圆（如图 25）。 阴影部分面积为3.14×22÷2=6.28（平方厘米）。把“折扇”打开　　有些图形互相交错在一起，增加了计算的难度。这时，我们不妨像 打开折扇一样把它们绕某个定点打开，这样常常会使人茅塞顿开，使问 题得到解决。比如，如图 26，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 此题的一般解法是用正方形面积减去两个空白部分的面积。但是，这样做计算量较大。　　图 26 显然是由两个形状相同的扇形互相重叠而形成的。我们先把下 扇形绕左下角的顶点顺时针旋转 90°，得到图 27；再继续顺时针旋转， 得到图 28。在图 28 中，阴影部分的面积正好等于半圆的面积减去一个 形如图 26 的正方形的面积。解答如下：　　3.14×4 2 ÷2－4 2= 42 （3.14 ? 1 ? 1）2? 16 ? 0.57? 9.12（平方厘米）又如，如图 29，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 这个题可把它从中间剪开，以 O 为旋转中心把右边部分按顺时针方向旋转到左边部分的下方拼接起来（如图 30）。于是，阴影部分全部集中到以 2 厘米为半径的圆中。阴影部分的面积等于半圆面积减去中间腰2 厘米的等腰直角三角形的面积。 解答如下：3.14×22÷2-2×2÷2=(3.14-1)×2=2.14×2=4.28（平方厘米）对称变换　　蜻蜓和蝴蝶很受少年朋友喜爱，如果你能仔细观察一下，就会发现， 这两种昆虫都是轴对称的。也就是说，以这两种昆虫身体的中心线为轴， 把左右两部分重叠在一起，你会发现这两部分完全重合。　　在几何图形中也有不少轴对称图形，比如，等腰三角形、等腰梯形、 圆就是这样的图形。　　以上图形中的三条直线 l 就是这三个图形的对称轴。还有一种图形叫中心对称图形。这种图形都有一个对称 中心。在图形上任取一点，把这个点和对称中心 相联结，得到一条线段；再把这条线段在对称中心的另一侧延长，并截 取一段等于另一侧的线段。你会发现新的线段的一个端点也在图形上。 这是判断这个图形是否是中心对称图形分为两部分，让其中一部分绕对 称中心旋转 180°，两部分图形应完全重合。这也是判断一个图形是否 为中心对称的方法。下面的平行四边形和圆就是中心对称图形。以上两个图形中的 O 就是这两个图形的对称中心。 综上所述，不难发现，还有一种既是轴对称，又是中心对称的图形。比如，以上图形中的圆，还有菱形、矩形（包括正方形）等。将军饮马首先，我们给大家介绍一下对称点的概念。已知一条直线 l 和直线外一点 A，求 A 点关于 l 的对称点 A’。　　我们用的方法是自 A 点向 l 引垂线，垂足为 O，延长 AO 至 A’，使 OA’= OA，则 A’点即为所求。其次，我们介绍一下“将军饮马”问题。 据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从 A 地出发到河边饮马，然后再去 B 地（如图 34-(1)），走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？ 提起路线最短的问题，大家知道：连结两点之间所有线中，最短的是线段。一位学者曾幽默地说，这一点连狗都知道，狗抢骨头吃时，决 不会迂回前进，而是径直向骨头扑去。但是，这个题中马走的是一条折 线。这又该怎么办呢？海伦的方法是这样的 （如图 34-(2)) ：设
为河。作 AO⊥l 于 O 点，延长 AO 至 A’，使 A’O==AO。连结A’B 交 l 于 C 点，则 C 点即为所求的点。连结 AC。（AC+CB）为最短路程。 这是因为，A’点是 A 点关于 l 的对称点，显然，AC=A’C，所以AC+CB=A’C+CB=A’B 也就是最短的了。这就是海伦的巧妙方法。 少年朋友喜欢打台球吧，实际台球无时无刻都需要应用海伦的妙法。下面我们看一个有关打台球的实例。　　若在矩形的球台上，有两个球在 M 和 N 的位置上。假如从 M 打出球， 先触及 DC 边 K 点，弹出后又触到 CB 边 E 点，从 CB 边再反射出来。问用 怎样的打法（也就是怎样确定 K 点的位置），才能使这个球反射后正好 撞上在 N 点放置的球（图中，∠1=∠2，这是条自然规律）？图 35　　具体做法是：先作 M 关 于 DC 的对称点 M1 ， 再 作 M1关于 BC 的对称点 M2，那么 M2N 和 BC 的交点为 E，M1E 和 CD 交于 K，E、K 就放各边的撞击点。按 MK 这样的距线打球， 一定会使（在 M 点放置的球）从 BV 边弹出后撞上 N（在 N 点放置的球）。这里边的道理，你看懂了吗？一分为二　　通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线都可以把原图形分 成两个大小、形状完全相同的图形。下面，我们以平行四边形为例。图 36图 36-(1)中，l1、l2 分别把平行四边形平分；图 36-(2)中，l3、l4
也分别把平行四边形平分；图
36-(3) 中， l5
把平行 四边形平分；图 36-(4)中，l 6 把平行四边形平分。　　利用上述性质时，要注意两点：1.图形必须是中心对称图形；2.所 划直线必须通过对称中心。下面看一个比较复杂的问题。把下面图形的面积，用一条直线分成相等的两部分。 解决这个问题有三种办法。三种办法基于同一种思路，即把该图看成是由两个矩形级组成的组合图形。矩形是中心对称图形。我们分别找出两上矩形的称中心，过这两个对称中心作一条直线，就可以把这个组 合图形一分为二。我们还可以举出非同种类型中心对称图形组成的组合图形的情况。 如图 39，长方形 ABCD 内有一个以 O 点为圆心的圆，请画一条直线同时将长方形和圆分为面积相等的两部分。 首先，这两个图形都是中心对称的图形；其次，其中圆的对称中心已经知道（即 O），只要求出矩形的对称中心，问题就解决了。 具体做法是：连结对角线 AC、BD，两线交于 P 点。过 P、O 作直线，此直线即为所求（如图 40）。我们再看一个多于两个图形的组合图形。　　如图 41，请在图形中划一条直线，使它恰好把图形分成面积相等的 两部分。 我们已在图上划出了一条直线，你看这样划对吗？如果你认为划对了，就请你解释一下这样的道理；如果你认为划错了，就请你重新划一 条符合要求的直线。割补“手术”遭受烫伤之苦的病人，常常需要植皮。植皮就是从人体的其他部位取下真皮补在受烫伤坏死的皮肤上。这一割一补的手术，在数学中也经 常用到。比如，在数学中，常把图形中的某部分填补到新的位置，使得 新的图形更便于计算。应该明确的是：当把一个平面图形从一处移到另 一处时，它的面积不变；新组合起来的图形的面积等于分散时各图形的 面积的和。补得合理　　如果直角三角形的直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2。 在国外，人们把上述定理称为毕达哥拉斯定理，中国人称为勾股定 理。这个定理被发现距今已有 2000 多年了。我们应当引以自豪的是，我 国古代数学家独自提出了这个定理的证明，据粗略统计，我国历数学家 创造的证明勾股定理的方法不下 200 种，在诸多的证明中，应该说不少 人非常巧妙地利用了割补的方法。下面介绍的陈杰图就是其中的一种。 我们先将边长为 a、b 两个正方形拼在一条直线上（如图 42），CE=a+b。我们在 CE 上取一点 B，使 CB=a，连结 A、B 与 B、F 得出两个完全相同的直角三形 I 和 II，它们的斜边记作 C。 下面我人将三角形 I 移到三角形 III，把三角形 II 移到三角形 IV 的位 置，所得的正方形 ABFD 的面积等于原来的两个边长为 a 与 b 的正方形的 面积之和，即 a2+b2。由于拼成的正方形的边长为 c，面积为 c2，所以　　　　　　　　　　　　　　　a2+b2=c2。下面，我们再举一个例子。　　如图 43，这个图的三个圆的面积都是 3 平方厘米，且三个圆两两相 交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积。　　这是一道非常绝妙的题目，粗粗一看无从下手。仔细观察就能发现： 根据轴对称性，将图形 1 翻折到图形 2 的位置，再将图形 3、4 割下，补 到图形 5 的位置上。这样，阴影部分正好拼成了一个半圆（如图 44）。 显然，三块阴影部分的面积之和为3÷2=1.5（平方厘米）剪得奇巧　　利用割补术解的题目，有时以做手工的形式提出。下面，我们再看 两个题目。　　上海《新民晚报》上，曾经刊出了一则智力游戏：剪两刀将一个希 腊十字剪成 4 块，然后将这 4 块成一个正方形。
所谓希腊十字是指用 5 个完全相同和小正方形组成的十字图形（如 图 45）　　当题目刊出后，读者纷纷寄去自己的解答。最后编辑选取了 3 种较 好的方法刊登出来。这三种剪法有一个共同点，就是剪开线互相垂直（见图 46 左边三个图）。　　《北京晚报》上，也曾刊出一则智力游戏：请把“H”形的纸块剪一 刀，使它组拼成一个正方形。请注意，这个“H”形实际上是 8 个大小相同的正方形组成的。此题的设计非常巧妙，答案是不易寻找的。 此题的答案是：首先把 “ H”形对折成图 48-(1) 的形状， 从虚线上剪一刀，使“H”形被剪成 5 小块；然后，按图 48-(2)，便可组拼成正方形了。扩大、缩小　　在利用图形进行的计算中，有时需要把图形扩大，使原来一时难以 解决的问题变得十分简单。尽管这种解题方法不是处处灵验，但是作为 一种数学思想还是可取的。还有些时候，采用相反的思维方式，把一个图形缩小，缩小到一个最基本的局部，这个局部代表了整体，可谓麻雀虽小五脏俱全，解剖一 只足矣。成倍扩大　　如图 49，这是一个圆心角为 45°的扇形，其中直角三角形 BOC 的直 角边为 6 厘米，求阴影部分的面积。　　这是一个组合图形，要求阴影部分的面积只要用扇形面积减支直角 三角形的面积就可以了。可是，在小学阶段，我们还没有办法求出扇形 半径 R。这时，我们看到圆心角为 45°，不妨把此图扩大一倍（如图 50）。　　　　根据图 50，可求出三角形的面积：(6+6)×6÷2；同一个三角形的 面积还为： R2÷2。所以，可得 R2=72。现在这个扇形的面积正 好是 1 圆面积，为3.14 ×72÷4 = 56.52 （平方厘米）。图50中阴影部4分的面积为 56.52-36=20.52（平方厘米），所求阴影面积为 20.52÷2=10.26（平方厘米）。 这种先扩大再缩小的方法必须针对图形的特点进行。这道题中的 45°提醒了我们，把原图作为一个整体圹大了一倍，于是出现了 90°角，问题迎刃而解了。下面再举一个与此类似的例子。
如图 51，这个图中扇形的半径为 10 厘米，圆心角为 45°，求阴影 部分的面积。　　这个题自然仍可以用上面的方法解，那么有没有别的方法呢？有。 解这个题的关键是求出空白三角形的面积。这时，我们不妨以 10 为边作 一个正方形。这个正方形的面积恰好等于空白三角形面积的 4 倍。于是， 空白三角形的面积为 10×10÷4=-25（平方厘米）。阴影部分面积为245 ? 3.14 ? 10360? 25 ? 14.25（平方厘米）。这道题与上题解法不同之处在于，它是把局部扩大。
到底是把整体扩大，还是把局部扩大，要具体问题具体分析。解剖麻雀　　图 52 是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是 14 厘米，白色小 正方形的边长是 6 厘米。问：这块布中白色部分的面积占总面积的百分 之几？　　　　这道题看起来让人眼花缭乱，静下心来细看，你会发现这块布由形 状完全相同的 9 个图形组成（如图 53）。实际上，只要我们求出一个小 图形中，白色图形占整个小图形的百分之几就足够了。这个题的解答过程是： (14×14+6×6)÷[(14+6)×(14+6)]=(196+36)÷400=232÷400=0.58=58%下面再看一个问题。　　图 54 是一个对称图形。请问黑色部分面积大还是阴影部分面积大？ 这个图形是一个对称图形，如果在它的横向中间画一条线，再在它 的纵向中间画一条线，就可以把图形一破为四。这四个图形完全相同。我们不需要研究完整的图形，只需要研究四分之一的图形就够了。2如图55。设OA = 2r，则以OA为直径的半圆面积为 3.14 ? r2。又知，直角扇形OAB的面积为 3.14 ? (2r)2= 3.14×r 2 。所以，半圆弧OA平分直角扇形面积。这时，用上半部分减去黑色部分的面积等于半圆面积减去 卵叶形面积。既然被减数和差都相等，那么减数肯定相等。因而，这四 分之一图形中，黑色部分和阴影部分的面积相等。显然，整个图形中黑 部分和阴影部分和面积也相等。等积图形　　在此节以前，我们所研究的图形变换都是在它的形状、大小不变的 情况下的变换。下面我们要研究的是等积变换，即图形的面积不变的变 换。我们知道三角形的面积公式是：　　　　　　　　S△=底×高÷2。我们还知道平行四边形的面积计算公式是：　　　　　　　　　　　　S =底×高。 在利用等积变换时，常常要判断两个三角形或两个平行四边形面积是否相等？因此，我们可以把上述两个公式概括为： 等底等高的两个三角形的面积相等。 等底等高的两个平行四边形的面积相等。 下面是两组面积相等的三角形（简称等积三角形）：　　图 56-(1)中，AB=BC=DE，I、II、III 三个三角形的顶点相同，底边 在同一直线 l 上，符合等底等高的条件，所以这三个三角形等积。　　图 56-(2)中，l 与 AB 平行，也就是说 l 上任一点到 AB（或 AB 延长 线）的距离相等，说明以 AB 为底，顶点在 l 上的三角形也符合等底等高 的条件，所以△ABE 的面积=△ABC 的面积=△ABD 的面积。图 56判断面积相等　　判断两个或几个图形的面积是否相等是学好这部分知识的关键。这 对于培养一个人的观察能力是十分重要的。下面我们看几个题目。1.用三种不同的方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。我们先用三种方把图形画出来，然后再讨论。　　图 57-(1)，把△ABC 的底边等分为四份，显然△ABD、ADE、△AFC 等积。图 57-(2)，把△ ABC 的底边二等分(即 D 为 BC 的中点 )，易知△ABD的面积 = △EBD的面积 =
1 ? △ABD的面积；△AEC的面积 =2△EDC的面积 =
1 ? △ADC的面积。所以 2△ABE的面积 = △EBD的面积 =△AEC 的面积=△EDC 的面积。图 57-(3)，由读者做解释工作。图 572.如图 58。平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF。请问与△BEC 等积的三角形能找出哪几个？　　因为 AB 平行于 CE，所以△BEC 与△AEC 等积；因为 EF 平行于 AC， 所以△AEC 与△AFC 等积；又因为 BC 平行于 AD，所以△AFC 与△ABF 等 积。以上判断的根据只有一条：两个三角形，等底等高必等积。　　因此，与△BEC 等积的三角形共有三个，它们是△AEC，△AFC，△ ABC。比较面积大小　　比较两个图形的面积常常以求一个图形的面积占另一个图形面积的 几分之几的形式出现。如图 59，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点。求三角开 AEF 的面积是平行四边形面积的几分之向？ 为了书写方便，我们事先约定：三角形 AEF 的面积、平行，四边形的面积分别记作 S△AEF 和 S ABCD。　　　　　　　　　　　　　　图 59 应该说，这个题是有一定难度的。我们先把平行四边形 ABCD 纵向一破为二：取 AD 的中点 G，连结 G、E，显然再把平行四边形横向一破为二：取 AB 的中点 H，连结 H、F，显然最后可求因为1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ，所以4 4 8 8　　下面再举一个例子。这个例子是初中平面几何中的一个题，但是不 需多少知识，小学的同学也可以做出。图 60如图60 ，ABCD为任意四边形，其中AE = 2 AB，BF = 2 BC，3 3CG = 2 CD，3DH =
2 DA， 连结 E、 F、 G、 H，求四边形EFGH的面3积：四边形 ABCD 的面积=？1 2我们连结E、D和B、D。易知，S ?AEH所以? S ?AED ，而S ?AED
? S ?ADB ，3 31 2 2S ?AEH
3 ? 3 S ?ABD
? 9 S ?ABD 。 同理 S = 2 S 。?CGF9
?BCD2因此，S ?AEH? S ?CGF? (S ?ABD
? S ?BCD )9显然，S?BFE? S ?DHG? 2 S9? 2 S9四边形ABCD四边形ABCD4所以：S ?BFE
? S ?DHG? 9 S 四边形ABCD ，S 四边形EFGH? ?1?? 4?S9?
四边形ABCD5? S 四边形ABCD 。9即 四边形 EFGH 的面积∶四边形 ABCD 的面积=5∶9。巧算图形面积　　利用等积变换计算图形面积是一和中常用的技巧。它的好处是使分 散的图形集中，把生疏、麻烦的问题转化为熟悉、简单的问题。如图 61，这是个直角梯形。求阴影部分的面积（单位：厘米）。 这个题的阴影部分由两个同高的三角形组成：图 611△ABE的面积 ? ? BE ? 3,2△DEC的面积 ?
1 ? EC ? 3.2所以，△ABE 的面积+△DEC 的面积1 1? ( BE ? EC) ? 3 ? ? 6 ? 3 ? 9(平方厘米).2 2这个题也可以把两个阴影部分集中：连结 A、C，因为 AD 平行于 BC，所以△DEC 的面积=△AEC 的面积。两个阴影部分可合并为△ABC。显然，△ABC 的面积=6×3÷2=9(平方厘米)。再举一个例子：如图 62，这是大小两个正方形组成的图形，大正方形边长是 6 厘米，小正方形边长是 4 厘米。求阴影部分的面积。这个题的一般解法相当麻烦。下面，我们给出一种巧妙的解法。　　连结 B、E。经过认真观察，我们会发现，△ABE 和△BEC 是等积三角形。道 理很简单，这两个三角形都是以小正方形的边长为底，以大正方形的边长为高。 从这两个三角形中分别减去△BEF，就得到△ABF 和△FEC 为等积三角形。因此，△ABC 的面积=△AFC 的面积+△ABF 的面积=△AFC 的面积+△FEC 的面积=△AEC 的 面积。所以，△ABC 的面积 ? 42
? 2 ? 8(平方厘米).。巧证几何问题　　利用图形之间等积关系还可以证明初中将学到的几何问题。由于这方面的内 容很多，这里仅举一个例子。　　
如图 63，△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上任一点，DE 垂直于 AB，DF 垂直于 AC，CG 是△ABC 中 AB 边上的高。证明：CG=DE+DF。这里所说的 DE 垂直于 AB，DF 垂直于 AC，是指 DE 和 AB，DF 和 AC 相交成 90°。我们连结 A、D。这样一来，△ABC 被分成了两个三角形，即△ABD 和△ADC。 显然，S ? 1 ? AB ? DE , ①△ABD 2S ? 1 ? AC ? DF . ②△ADC 2既然 AB=AC，那么我们不妨以 AB 取代，①+②得S ? S ? ? ? AB ? ( DE ? DF).△ABD △ADC ?又S△ABC
? S △ADC , 且 S ? ? ? AB ? CG ,△ABC ?所以 ? ? AB ? CG ? ? ? AB ? ( DE ? DF),? ?即 CG=DE+DF。等量关系　　利用图形之间的数量关系，找出相等的关系。这如同列方程解应用题 一样，不过，利用图形找等量关系更需要观察。当然，这里边也有一些技 巧。古为今用　　我国古代数学中有一个叫“弦图”的图形，如图 64。有的数学家用它 成功地证明了勾股定理。后人并没有停留在仅仅用它证明勾股定理上，而 是用这种思想方法证明了大量实际问题。宋朝数学家曾提出了这样一个问题：　　一块长方形的面积是 864 平方米，已知它的宽比长少 12 步，问长与 宽各多少步？古人巧妙地构思令人叫绝。假定用四个面积为 864 平方步的长方形拼成一个“弦图”(如图 65)。中间小正方形的面积恰为?? ?
(平方步)。这样， 整个大正方形的面积为 864×4＋122=3600(平方步)，边长为 60 步。于是，可得原长方形的宽为(60-12)÷2=24(步)，长为60-24=36(步)。　　第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题中两次出现应用“弦图” 来解的题目。特别是决赛中的那道题：从一块正方形木板上锯下宽为 1 米的一个木条以后，剩下的面积是265 平方米。问锯下的木条面积是多少平方米？18这个题和上面讲到的题基本上是一致的，不同的地方：1.这里长和宽的差是间接给出的，题中指出“从一块正方形木板上1锯下宽为 米的一个木条”，这就告诉我们锯下木条以后的长方形的宽2比长少 1 米；2. 本题没有剩下的木板的长和宽，而是求锯下木条的面积。2假设我们有剩下的长方形木板四块，用前面讲过的方法可拼成一个“弦图”(如图 66)。用刚才学过的方法可得：大正方形的面积为 ?? ×? ? ( ?) ?
??? ???? ? ??? ??? ? (平方米)；边长为 (米)；原正方形的边长为? ? ?? ??? ? ?? ???? ? ?( ? )÷? ?? ?÷? ??(米), 剩下木条的面积为 × ? ?? ? ? ??(平方米)。纵横交错把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常要根据长和宽的关系找出等量关系。如图 67，这是由同样大小的小纸片摆成的图形。已知小纸片的宽是12 厘米，求阴影部分的总面积。　　从图 67 可以看出，5 个小纸片的长等于 3 个小纸片的长加上 3 个小纸 片的宽。所以，2 个小纸片的长等于 3 个小纸片的宽，1 个小纸片的长等 于是 12×3÷2=18(厘米)。阴影部分的正方形边长为 18-12=6(厘米)，阴 影部分的总面积为 6×6×3=108(平方厘米)。　　《小学生数学报》上有这样一个题目：“有 9 个长方形，它们的长和 宽分别相等，用这 9 个小长方形拼成大长方形(如图 68)的面积是 45 平方 厘米，求这个大长方形的周长。”　　应该说，解这道题的关键是求出一个小长方形的长和宽。那么，如何 寻找小长方形的长与宽的数量关系呢？从图 68 可以看出：5 个小长方形的宽等于4 个小长方形的长，说明小长方形的宽是长的 ? 。这样一?来，很容易把下面 4 个小长方形重新分割成 5 个小正方形，而每个小正方 形的边长正好是小长方形的宽(如图 69)。也就是说，下面 5 个小正方形的 面积恰好等于 4 个小长方形的面积。于是，5 个小正方形的面积为 ?? ×? ? ??(平方厘米),?个小正方形的面积为?? ÷? ? ?(平方厘米),?个?正方形的边长(即 1 个小长方形的宽)为 2(厘米)。小长方形的长为?÷ ? ? ?.?(厘米). 因此, 原题中大长方形周长为(?.?×? ? ?.? ? ?) ×? ? ???(厘米).这个问题也可以这样考虑：既然小长方形宽的5 倍等于它的长的 4 倍，那么一定可以用 20 个小长方形拼成一个大的正方形 ( 如 图 70) 。大正方形的面积为 ?? ×?? ? ???( 平方厘米), 大正方形的边长为??( 厘米)?小长方形的长为 10÷4=2.5(厘米)，小长方形的宽为 10÷5=2(厘米)。原 大长方形周长为(2.5×4+2.5+2)×2=29(厘米)。对号入座看电影要对号入座。做数学题的过程中，有时遇到两个图形面积相减的情况，这时常常要想一下减得的图形是什么？这种寻找图形之间等量关 系的方法往往使问题的解答得到简化。
如图 71，在矩形 ABCD 中，BC=9 厘米。问 BE 长多少厘米，才能使三 角形 ABE 的面积是梯形面积 AECD 的一半？　　既然梯形 AECD 的面积是△ABE 面积的 2 倍，那 么不妨从大的图形中减去小的图形：作 EF 垂直于 AD，则△AEF 的面积等 于△ABE 的面积。这时，我们观察被 EF 分割成两部分的矩形 ABEF 和矩形 FECD。显然，矩　　形ABEF的面积等于?倍的矩形FECD的面积.即BE×EF?EC×CD?, 但是EF?? CD, 所以 BE
? ? , BE ? ?EC ? ?× ? BC ? ?× ? ×? ? ?(厘米).EC ? ? ?与此类似，我们还可以举一个例题：
如图 72，一个平行四边形被分为两部分，它们的面积差是 18.6 平方 厘米。问图中梯形上底是( )厘米。　　既然梯形与三角形两部分的差是 18.6 平方厘米，那么我们就切切实 实地把这个差找出来，看它是一个什么样的图形。如图 73，我们过 E 点作 一条与 AB 平行的直线，交 BC 于 F 点。易知，平行四边形 EFCD，被对角线 分成的两部分面积相等。即△EFC 的面积=△ECD 的面积。于是可知，平行四边形 ABFE 就是梯形 ABCE 与△ECD 的差。这时，知道这个平行四边形的面积为 18.6 平方厘米，高为 6.2 厘米，底 AE=18.6÷6.2=3(厘米)。 寻找直观的图形，常常是解题的一把钥匙。面积之比　　在几何初步知识中，常常把特殊图形的面积之比变为两件线段的长度 之比。这样做，往往使复杂的问题得到简化。这是一种重要的解题思路。下面，我们给出两个重要的结论：1.等底的两个三角形的面积的比等于它们对应的高的比(如图 74)。原因是?S △ABC? ×BC×AD? ? ?? ?
.S △A?BC?×BC×A ?D ??A ?D?2.等高的两个三角形的面积的比等于底的比(如图 75)。?S×BC×AD原因是△ABCS △ABC ?? ? ?? ?×B? C ?×A ?D???×BC×h? ?? ?? ×B?C ?×h?BC.B? C?当然，与以上两条结论类似，还可得出：等长的两个矩形面积之比等于它们宽的比。 等宽的两个矩形面积之比等于它们长的比。如图76 ，△ABC的三条高交于P点，请你讲讲 PD ?
PF ? ?为什么成立？AD BE CF从图 76 可以看出，△PBC 和△ABC 是同底的两个三角形。显然，S △PBCS △ABCPD? . 同样道理, 我们还能得到ADS △PCAS △ABCS△PAB? , ? .BE
S △ABC CFS △PBCS △PCAS △PABPD PE PF所以 ? ? ? ? ? .S △ABCS △ABCS △ABCAD BE CF但是 S△PBC+S△PCA+S△PAB+S△ABC，PD PEPF S △ABC因此 ? ? ? ? ?.AD BE CFS △ABC在第一届“华罗庚金杯”赛上，曾有过如下一道题：
如图 77，一个长方形地面被两条直线分成 4 个长方形，其中三个的面 积分别是 20 公亩、25 公亩和 30 公亩。问另一个(图中阴影部分)长方形的 面积是多少公亩？
从图 77 可以看出，右边两个长方形是同长的长方形，它们的面积之 比等于宽的比。同样，左边两个长方形也是同长的长方形，它们的面积之 比也等于宽的比。设阴影部分的面积为χ公亩。由于左右两组长方形　　??面积之比等于相同的宽之比，所以????? , ? ? ??.?(公亩).?间接条件　　有些数学题常常需要直接利用间接条件。有时需要直接利用间接条件 参与计算；有时需要善于发现隐含条件参与计算。这种简捷的思维方法可 以克服由于所学知识不够所造成的困难，大大减少计算的时间。不必求出最后结果有一道题曾被很多人引用过，但是由于它具有典型性，这 里仍讲一下。如图 78，已知正方形的面积为 18 平方厘米，求阴影部分面积。　　按正常思路，这道题应该用正方形的面积减去圆的面积。但是，在这 个题的条件下，圆的半径(或直径)不会求。至此思路中断。这时，应该冷 静下来想一想：求圆的面积需要什么条件呢？大家知道，圆面积?S ? ?r?
?d( 其中, r为圆的半径, d为圆的直径).这里关键是要? ?知道 r2 或 d2，至于能不能求出 r 或 d 并不重要。下面，我们用三种办法求解。1. 着眼于半径的平方。如图 78 ，显然， (2r)(2r)=18 ，所以 ??? r ?? ??, r ?? ? ?.?. 图中圆面积为?.?? ×r ??? ?.?? ×?.? ? ??.??(平方厘米)，阴影部分面积为 18-14.13=3.87(平方厘米)。2.着眼于直径的平方。设正方形边长为 a，则 a 即圆的直径，所以?a?
? ??. 图中圆面积为?.??×(?a )??? ?.??× a???? ?.??×?? ?.?? ×?.? ? ??.??( 平方厘米 ) ，阴影部分面积为
18-14.13=3.87( 平方厘米 ) 。　　3.着眼于半径、直径。一开始我们就说过，这种做法行不通。这是就 一般情况而言。这道题的正方形面积是 18 平方厘米，这是个还算理想的 数字。如果先把正方形面积扩大 2 倍，即 36 平方厘米，那么这时的正方 形边长为 6 厘米，也就是圆的直径为 6 厘米，半径为 3 厘米。因此，扩大2 倍后，图形的阴影部分的面积为 36-3.14×32=36-28.26=7.74(平方厘米)。原图形中阴影部分的面积为 7.74÷2=3.87(平方厘米)。 还有一道与此类似的题目：如图 79，ABCD 的矩形，里边有一个最大的半圆，OC=10 厘米，求阴影部分面积。
如图 79，我们分割矩形，把它为分为两个小正方形，并连结 OD。由 于△DOC 为等腰直角三角形，OC=OD=10(厘米)，所以 S△DOC=10×10÷2=50(平方厘米)，S 小正方形=r2=50(平方厘米)，S 矩形=50×2=100(平方厘米)。因此，阴影部分面积为 100-3.14×50÷2=100-78.5=21.5(平方厘 米)。利用定比
现在，我们回过头来仍然看图 78，按照在“扩大、缩小”一节的思路， 我们可以把图 78 一分为四(如图 80)。现在，我们集中观察这四分之一的 图形。我们发现，这个小正方形的边长改变后，相应的小正方形的面积和 阴影部分面积也会改变。但是，变中有个不变的因 素，就是阴影部分的面积和小正方形的面积之比不变。实际上这也是题中 的一个间接条件。为了便于计算，我们假设小正方形边长为 10 厘米，则 S 阴 102-3.14×102÷4=100-78.5=21.5(平方厘米)，阴影部分占小正方形面积的21.5÷102×100%=21.5%。
由此可知，只要是由这样的基本图形拼合成的图形，就都可以利用这 个定比。请看下面一组图形(单位：厘米)：(1) 图可分割为
个小正方形，于是阴影部分的面积为 12×6×21.5%=15.48(平方厘米)。(2)图可分割为 4 个小正方形，于是阴影部分的面积为　　　10×10×21.5%=21.5(平方厘米)。 (3)图与以上解法不同，因为这一个正方形中有两个阴影部分，于是阴影部分的面积为　　　6×6×(21.5%×2)=36×43%=15.48(平方厘米)。 (4)图空白部分占整个正方形的 21.5%×2=43%，所以阴影部分面积为　　　8×8×(1-21.5%×2)=64×57%=36.48(平方厘米)。 利用间接条件解题是一种重要的思路。这里，我们给出的仅仅是其中的两类问题。事实说明，在我们做题的时候，不仅要利用直接条件，也要 利用间接条件。拼 接、截 割　　图形可以组合，也可以分解。经过组合或分解，图形的性质有的发生 了变化；有的没有发生变化。下面，我们对平面图形和立体图形分别进行 讨论。平面图形的接、割　　拼接和截割是两个互为相反的过程。对平面图形而言，拼接是把两个 或两个以上的图形拼接在一起；截割是把一个图形截割成两个或两个以上 的图形。下面，我们重点讲拼接的情况。
如图 82-(1)，两个一模一样的长方形，它们的长为 6 厘米，宽为 2 厘米，问把长方形的长拼接前、后，面积、周长有什么变化？拼接前、后，面积不变，均为6×2×2=12×2=24(平方厘米)。拼接前，图 82-(1)是两个小长方形，它们的周长之和是 (6+2)×2×2=8×2×2=16×2=32(厘米)。拼接后，图 82-(2)是一个大长方形，它的周长是 (6+2×2)×2=(6+4)×2=10×2=20(厘米)。拼接前、后的周长相差　　32-20=12=6×2(厘米)。 也就是说，两个相同的长方形拼接以后，周长减少了，减少的长度正好是拼接部分长度的 2 倍。再看，如图 83-(1)，正方形边长为 4 厘米，长方形的长为 8 厘米，宽为 4 厘米，问两个图形拼接前、后，面积、周长有什么变化？ 拼接前、后，面积不变，均为　　4×4+8×4=16+32=48(平方厘米)。 拼接前，图 83-(1)中，两个图形的总长为4×4+(8+4)×2=16+12×2=16+24=40(厘米)拼接后，图 83-(2)的周长为　　8×2+4×4=16+16=32(厘米)。 拼接前、后的周长相差　　40-32=8=4×2(厘米)。 也就是说，正方形和长方形拼接以后，周长减少了，减少的长度正好是拼接部分长度的 2 倍。 以上两题都是由左边两图经过拼接变为右边一个图的过程，我们分别作了小结。反之，由右边一个图经过截割变为左边两个图的过程，希望读 者自己来小结。　　从以上观察、对比中，我们可以发现平面几何图形拼接或截割后，面 积、周长的变化规律是：　　1.两个或两个以上的平面图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等 于原来若干几何图形的面积之和；而周长却减少了，如果拼接部分总长度为 a，那么拼接后减少的周长就是 2a。　　2.把一个几何图形截割后，各小块图形面积之和等于原来几何图形的 面积；截割后各小块几何图形的周长之和比原几何图形的周长增加了，如 果所有截割部分的长度为 a，那么截割后增加的周长就是 2a。下面举一个例题：　　如图 84，正方形被分成大小、形状完全一样的三个长方形。每个小长 方形的周长都是 24 厘米，求这个正方形的周长？　　我们容易知道：24×3=72(厘米)不是正方形的周长，而是三个小长方 形的周长之和。根据上面的经验，我们不妨假设大正方形是由三个小长方 形拼接而成的(如图 85)。三个小长方形的周长减少了 4 个“长边”，而这4 个“长边”就正好相当于拼接后的正方形周长。也就是说，72 厘米里包 含有两个正方形的周长。所以，这个正方形的周长为24×3÷2=72÷2=36(厘米)。立体图形的接、割我们先看一个例题：　　图 86 中的(1)、(2)分别是棱长为 3 厘米的正方体和底面边长为 6 厘 米的正方形、高为 3 厘米的长方体。它们的体积和表面积分别是多少？若 把它们拼接在一起(图 86-(3))，则这个组合体的体积和表面积分别是多 少？　　 很显然，拼接前、后的体积未变，均为3×3×3+6×6×3=27+108=135(立方厘米)。拼接前，图 86-(1)、(2)的表面积之和为3×3×6+(6×6+6×3+6×3)×2=54+72×2=54+144　　=198(平方厘米)。 拼接后，图 86-(3)的表面积为3×3×5+6×6+(6×6-3×3)+6×3×4=45+36+27+72　　=180(平方厘米)。 拼接前、后表面积相差　　198-180=18(3×3)×2(平方厘米)。 也就是说，正方体和长方体拼接以后，表面积减少了，减少的面积正好是重叠部分面积的 2 倍。 由于截割的过程与此过程相反，结论自然也不相同。这里就不细讲了。请同学们自己去完成。 从以上观察、对比中，我们可以发现几何体拼接或截割后，体积、表面积的变化规律是：　　1.两个或两个以上个几何体拼接组合成一个新的几何体，它的体积等 于原来若干个几何体体积之和；而表面积却减少了，如果重叠部分面积为 S，那么减少的面积就是 2S。　　2.把一个几何体截割后，各部分体积之和等于原来几何体的体积；截 割后各部分表面积之和比原来几何体的表面积增加了，如果其中截面面积为 S，那么增加的表面积就是 2S。 光有以上的认识还不够，还必须全面地分析思考问题。　　如图 87，把一块棱长为 4 厘米的木块锯成形状、大小完全相同的两个 长方形，求表面积增加了多少平方厘米？　　木块锯开后，表面积增加，因为截面积为 4×4=16(平方厘米)，所以 表面积增加了 16×2=32(平方厘米)。　　如图 88，把长 8 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体木块锯成形状、 大小相同的两个长方体，求木块的表面积增加了多少平方厘米？　　　　有的同学自以为已经熟练地掌握了几何体截割后表面积变化的规 律，得出　　4×6×2=48(平方厘米)。 这种解法虽然知道原木块锯成两个长方体后，木块表面 积增加了两个截面的面积。但是，这种思考是不全 面的，只答对了三分之一。本题应分三种情况分别求出木块表面积增加了多少。图 89-(1)：4×6×2=24×2=48(平方厘米)； 图 89-(2)：8×6×2=48×2=96(平方厘米)； 图 89-(3)：8×4×2=32×2=64(平方厘米)。试一试计算下列各题：
1.下图是一个边长为 4 厘米的正方形，我们把它称为第一个正方形。 依次联结四条边的中点，得到第二个正方形，继续这样下去，得到第三个、 第四个、第五个正方形。求第五个正方形的面积是多少平方厘米？2.如图，求阴影部分的面积(单位：厘米)。
3.在一块边长 11 米的正方形花圃里有一条 1 米宽的小道(如图)，请 计算种花的面积。4.如图，求阴影部分的面积(单位：厘米)。5.求阴影部分的面积(单位：厘米)。
6.如图，请在图形中划一条直线，使它恰好把图形分成面积相等的两 部分。7.如图，求阴影部分的面积(单位：厘米)。注：右图 4 个小圆的半径都是 2 厘米(这里只画了一个)。8.用剪子把下面三角形分成三块，再拼成一个长方形。　　9.下面左图是一个扇形和一个正方形构成的，扇形半径是 6 厘米，求 阴影部分面积。10.上面右图的正方形边长为 2 米，四个圆的半径都是 1 米，圆心分别是正方形的四个顶点。问正方形和 4 个圆盖住的面积是多少平方米？
11.如图，已知大正方形的边长是 12 厘米，小正方形的边长是 10 厘 米，求阴影部分面积。　　12.把长为 9 厘米，宽为 6 厘米的长方形，划分为如下图的四个三角 形，其面积分别为 S1、S2、S3、S4，如果 S1=S2=S3+S4=，求 S4=？
13.如图，大小两个正方形部分重合，两块没有重合的阴影部分的面 积差是多少(单位：厘米)？14.如下左图，已知正方形面积为 12 平方厘米，求阴影部分面积。15.如上右图，求阴影部分的面积(单位：厘米)。
16.一块底面 30 厘米见方，高为 16 厘米的蛋糕，如图所示切三刀。 问把蛋糕切开后，表面积比原来增加了多少平方厘米？
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