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(C)2017 列表网&琼ICP备号-12&增值电信业务经营许可证B2-&&p&题记：算法时间复杂度与解的精确度是一对&b&矛盾体，&/b&任何抛开一方只谈一处的纯属耍流氓。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先不得不提算法理论的经典教材：&/p&&p&Computers and Intractability： A Guide to the Theory of NP-Completeness&/p&&p&其第一版发布于1979年，他引7 W多次。&/p&&h2&算法复杂度的定义&/h2&&blockquote&We denote an algorithm has a complexity of O(g(n)) &br&if there exists a constants c ∈ R + , such that t (n) ≤ c · g(n), ?n ≥ 0 . &/blockquote&&p&这里n是算法的输入大小(input size)，可以看作是变量的个数等等。&/p&&p&方程t在这里指的是算法的“时间”，或者执行基本算法需要的步骤。&/p&&p&方程g在这里指的是任何函数，例如问题中的g(n) = n?。&/p&&p&&br&&/p&&p&算法复杂度要考虑的是这个算法&b&最坏情况的运算时间(worst case running time)&/b&&/p&&p&因此，这里求一个t(n)的上确界（upper bound）-- g(n)。&/p&&p&&br&&/p&&h2&多项式时间算法 VS 指数级时间算法&/h2&&blockquote&If g(n) is a polynomial function on n, then we say t is a polynomial-time algorithm. &br&Or equivalently, the problem is polynomial-time solvable.&/blockquote&&p&如果g(n)是一个多项式方程，例如n?, n, 1等等，那么算法t被称为是多项式时间算法。&/p&&p&&br&&/p&&p&反之，如果不存在多项式的g(n)，该算法是指数级时间算法(exponential time algorithm).&/p&&p&注：也包含 g(n) = n^{log_n} 这样的非指数方程。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&h2&指数爆炸&/h2&&p&算法工程师就是不断搜寻一个实际问题的高效解法。&/p&&p&高效在这里通常就是指“多项式时间可解”。&/p&&p&那么如果一个算法不是多项式时间可解（即指数时间可解），会发生什么呢？&/p&&p&答案就是：指数爆炸&/p&&p&见下图最后一行：&/p&&p&当输入大小n=10时，算法需要0.59秒；&/p&&p&当n=20时，需要58分钟；&/p&&p&当n=30时，却需要&b&6.5年&/b&！！！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-faffec3bee8c6_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&567& data-rawheight=&477& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&567& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-faffec3bee8c6_r.jpg&&&figcaption&指数爆炸：最后俩行为解一个指数级时间复杂度问题所需要的时间&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&h2&大数据 VS NP hard问题&/h2&&p&最近不是最流行什么大数据么，例如一张图片有几百万个像素，这里的n = 1 million.&/p&&p&这时候，高效算法就显得由为重要了。&/p&&p&&br&&/p&&p&但是现实生活中很多问题是NP难的，例如邮递员问题（Traveling Salesman Problem）&/p&&p&（NP完全问题是指那些被证明不存在多项式时间算法，除非P = NP。）&/p&&p&&br&&/p&&p&笔者研究的，则是较为“不实用“的精确算法（exact algorithm）-- 我TM就是要求那个最优解，即使要花几百年的时间！&/p&&p&&br&&/p&&p&例如下例为笔者最近submit的paper，用精确算法求解一个图像分割问题（生成超像素）。&/p&&p&最后一行为笔者的模型，得到的精确度最高，无奈审稿因为高算法复杂度的原因给了差评！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ebbbf8b47a6d30d9a0071173acafb3ae_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&680& data-rawheight=&788& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&680& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ebbbf8b47a6d30d9a0071173acafb3ae_r.jpg&&&figcaption&审稿因为高算法复杂度的原因给了差评&/figcaption&&/figure&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&留德华叫兽：请问超像素(Superpixel)的大致原理以及State-of-the-art？&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&计算机有个分支叫&b&理论计算机专业，&/b&他们就是研究如果设计高效的算法来近似地解决NP难问题。&/p&&p&这些算法虽然不一定能求得原问题的最优解，但是给出的解可以证明在最优解的一定范围之内（有质量保证的优质解）！&/p&&p&&br&&/p&&p&关于这俩者的异同，参见：&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&【学界】整数规划精确算法/近似算法/(元)启发算法/神经网络反向传播等算法的区别与关联&/a&&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&图片及本回答部分引自算法经典书籍：Computers and I A Guide to the Theory of NP-Completeness&/b&&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//dl.acm.org/citation.cfm%3Fid%3D574848& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Computers and I A Guide to the Theory of NP-Completeness&/a&&/blockquote&&hr&&p&更多运筹学、人工智能（算法）干货，敬请关注公众号『&b&运筹OR帷幄&/b&』，以及：&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/operations-research& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-b82d3a85a4d399df7c7b25_ipico.jpg& data-image-width=&200& data-image-height=&200& class=&internal&&『运筹OR帷幄』大数据人工智能时代的运筹学&/a&
题记：算法时间复杂度与解的精确度是一对矛盾体，任何抛开一方只谈一处的纯属耍流氓。 首先不得不提算法理论的经典教材：Computers and Intractability： A Guide to the Theory of NP-Completeness其第一版发布于1979年，他引7 W多次。算法复杂度的定义We …
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data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dbdfb469f4b0b7171c4fc_r.jpg&&&/figure&&br&&br&3.&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-01d71c9f47db3c018ceffa2a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-01d71c9f47db3c018ceffa2a_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4f169bb8ea3b5f_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4f169bb8ea3b5f_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&4.&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-31fdfb236c7a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-31fdfb236c7a_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-63bde3d6ae5cc1b7a1327d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-63bde3d6ae5cc1b7a1327d_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&5.&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6f8efb2c5c1c4f5fdbb0_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6f8efb2c5c1c4f5fdbb0_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dee8afa05575_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dee8afa05575_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&6.&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d469b850bdc4c8e7d975f8b8_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d469b850bdc4c8e7d975f8b8_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4d28d1fa744cbc41af125d0d8a547f61_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4d28d1fa744cbc41af125d0d8a547f61_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&7.&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-7441e5adab7d80ceb2de0a78ce645abe_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-7441e5adab7d80ceb2de0a78ce645abe_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-0ca6a56cf5c6f5fddd098f9cdb08e21a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-0ca6a56cf5c6f5fddd098f9cdb08e21a_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&8.&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-4ec4cbe4fc4_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-4ec4cbe4fc4_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3cf50b41a70fe09a633f31_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3cf50b41a70fe09a633f31_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&9.&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ee760a47ad4d1cdd668f3fa_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ee760a47ad4d1cdd668f3fa_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-499fba13e8e1c21a924f37bf114b3880_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-499fba13e8e1c21a924f37bf114b3880_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&10.&br&&figure&&img data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& 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src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4a5d3d1f14f10d23d7d4_b.jpg& class=&content_image& width=&324&&&/figure&&br&&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&313& data-rawheight=&200& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-39b7aa53c2_b.jpg& class=&content_image& width=&313&&&/figure&&br&&br&愿你快乐，&br&祝你幸福！
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&p&他是宠儿，也是弃儿。&/p&&p&他被追逐，也被放逐。&/p&&p&他在失重中重获尊重，更在尊重中获得更多的尊重。&/p&&p&他将离开，也永远不会离开。&/p&&p&他叫大卫·贝克汉姆。&/p&&p&他是一个牵动世界的人，而这次，他是一个动人的球员。&/p&&p&——2007年《贝影》&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c1965ead16df_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&485& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&485& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c1965ead16df_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&青春、岁月，无非都是生命中的匆匆过客， &/p&&p&只有记忆能够向我们证明， &/p&&p&这条路， &/p&&p&你曾经走过。&/p&&p&——2013年《贝影·大结局》&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-888b777542cfa9bf87e5d83e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1134& data-rawheight=&633& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1134& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-888b777542cfa9bf87e5d83e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当时光的列车缓缓驶过酋长球场，&/p&&p&32岁的亨利就坐在那里，&/p&&p&深情的目光望过去，&/p&&p&都是自己22岁的影子。&/p&&p&——2010年《亨利：谁与争锋》&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-dc0b2cec034c5b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1099& data-rawheight=&717& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1099& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-dc0b2cec034c5b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&一段记忆之所以刻骨铭心，&/p&&p&是因为繁华落尽，&/p&&p&心痛犹存。&/p&&p&——2012年《巴拉克：战车之魂》&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-1a625c0ce5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&328& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-1a625c0ce5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&什么时候，风在发端的少年，变成了雕塑；&/p&&p&什么时候，纯如白纸的婴儿，停止了啼哭。&/p&&p&在那圣火纷飞的硝烟中，&/p&&p&你依然在你的远方孤立无助。&/p&&p&——2012年《因扎吉：永不消逝的皮波》&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cff40e3af70f71e0ec62a7eed7165583_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&365& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cff40e3af70f71e0ec62a7eed7165583_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&岁月你别催，该来的我不推；&/p&&p&岁月你别催，走远的仍要追。&/p&&p&当不得不说再见的时候，挥别的那一刻就如同流水的光阴，&/p&&p&谁能抵得过，谁能叹息、奈何。&/p&&p&——2011年《罗纳尔多：传奇》&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ce788bc99e7287dab6941_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1152& data-rawheight=&864& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1152& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ce788bc99e7287dab6941_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&时间赐予的，时间也会拿走；&/p&&p&时间夺走的，时间终将归还。&/p&&p&——2017年《皮尔洛：思行合一》&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-eab38bc900d778e81acec5a5ebfff556_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&483& data-rawheight=&260& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&483& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-eab38bc900d778e81acec5a5ebfff556_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&人们都会说人无再少年，&/p&&p&但之于卡卡他却永远是那个少年。&/p&&p&陌上人如玉，公子世无双，&/p&&p&这世间不会再有下一个卡卡，&/p&&p&我们的生命里只有这一个卡卡。&/p&&p&——2018年《卡卡：天选之子》&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eb71b723f3be_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eb71b723f3be_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&飞科剃须刀，全方位浮动剃须，三环弧面刀网，全身水洗。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-9f796914bdbd95b024daf20e04ea77f0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&775& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-9f796914bdbd95b024daf20e04ea77f0_r.jpg&&&/figure&
他是宠儿，也是弃儿。他被追逐，也被放逐。他在失重中重获尊重，更在尊重中获得更多的尊重。他将离开，也永远不会离开。他叫大卫·贝克汉姆。他是一个牵动世界的人，而这次，他是一个动人的球员。——2007年《贝影》 青春、岁月，无非都是生命中的匆匆过客…
&p&&b&1.屠龙少年&/b&&/p&&p&少年躲在人群之后，望着一身华服的公主，就在几天前，他还以为那是个普通的女孩。&/p&&p&他长叹口气，转身离开。&/p&&p&一年后，巨龙袭击了王城，将公主掳走。消息传遍了全国。&/p&&p&那晚，少年一夜未眠。&/p&&p&第二天清晨，他收拾行装，独身远征。残破的剑劈开荆棘，少年终于站在巨龙面前，他扬手，锋刃泛起寒光。&/p&&p&“喂！不要！”女孩喊道。巨龙一跃，躲在她的身后，瑟瑟发抖。&/p&&p&“什么情况？”少年一头雾水。&/p&&p&“哼，我等了你整整一年，不这样，你是不是一辈子都不找我？”&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2.枯骨&/b&&/p&&p&“你能不能别蹲在我身边？瘆得慌。”男人冻得脱力，他蜷着身子，瑟瑟发抖。面前是一具骷髅，不知什么原因，仍能运动与发声。&/p&&p&山洞中冰寒刺骨，仅靠着地下河捕捉的鱼作为食物带来的热量早已不足以抵御严寒。四周全是潮湿的石壁，火石扔在一边，早就被放弃了。&/p&&p&距离出去只有半天的行程，寒冷使他再难前进。他不是第一个即将殒命于此的探险者，骷髅便是证据。&/p&&p&“反正你也要死了，我看看怎么了？”骷髅不屑道，“几百年没见过生人，怪寂寞的。”&/p&&p&“我真的要死了？”男人声音沙哑，“我不想女儿以后没有父亲。”&/p&&p&“真的。”骷髅道，然后是长久的沉默。男人捂着脸，无声的啜泣。&/p&&p&“妈的，一个大男人。”骷髅骂了一句，起身捡起火石，用力砸向了自己的颈椎。&/p&&p&火焰点燃了一根骨头，伴随着噼啪声响，散发出温暖的光与热。&/p&&p&“出去之后，把我的头骨，埋在阳光下面。”&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3.歪脖树&/b&&/p&&p&它是一颗槐树，歪脖子的。可能也是因为独特的枝杈，自从它长成以后，几乎每个月，总会有几个人来上吊。&/p&&p&夜色昏黑，书生把麻绳甩上树枝，打了紧紧的结，然后绕上脖子，踢翻了垫脚的石头。&br&往事如走马灯一般，从书生的眼前闪过。他突然有了一丝悔意，但绳子死死陷入他的皮肤，将他的生命一点点抽离。&/p&&p&千钧一发之际，树枝突然折断。书生落在地上，如释重负地喘着粗气。体力恢复后，他捡起书箱，默默离开。&/p&&p&身后，槐树只剩下唯一的树干，笔直冲着天空。&/p&&p&“为什么要自断枝桠？”&/p&&p&“他还不想死。”槐树语气轻松，“只是太冲动而已。”&/p&&p&“你总是这样。”柏树摇头，长叹了口气，“到了今天，你甚至都不剩一片叶子，连一粒果实都未曾留下。”&/p&&p&“谁说的？”槐树望着书生的背影，轻轻地笑。&/p&&p&“这个世界上，到处是我的果实。”&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&4.回家&/b&&/p&&p&“你也真是肯吃苦。”黑无常摇头，“一千年的苦工，换那么一