点球中的博弈论：守门员扑向何方？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
点球中的博弈论：守门员扑向何方？
守门员怎么判断扑向何方？点球大战靠什么赢？足球经济学
本文作者:antares
欧洲杯决赛近在咫尺，在这个关键时刻，又一只队伍倒在了 12 码。自古无数豪门，一遇点球都歇菜。点球大战之所以可怕，就在于它充满变数和意外，这种变数对那些飞奔了 120 分钟的球员来说，实在是沉重的心理负担。当球员走上点球点时，他会选择把球射向哪边？而守门员又会扑向哪边？这无疑是一场博弈，经济学家和统计学家对此就做过不少研究。
从未罚失过点球的巴洛特利罚球瞬间
经济学家的研究
在观看过法国与意大利国内联赛中共 459 个点球的录像后，《魔鬼经济学》作者 Steve Levitt 与他的朋友一起撰写了一篇关于点球的论文。他们觉得，测试现实世界中的博弈理论能让他们获得独特的视角，而点球恰好就是博弈论在现实世界中的最典型的例子。
就和猜硬币一样，始终选择同一个方向显然是不明智的——对方只要知道你的模式，就可以用相应的策略打败你。搬弄一下博弈论的术语，就是“纯策略不是最优策略”。永远选择同一个方向的纯策略很直观，最优策略解释起来就有点麻烦。简而言之就是说，在对方知道你的策略的前提下跟你玩，你选择某个策略比选择其他策略收益都高，那么这个策略就叫最优策略。
但是，如果对方知道你的策略，难道不是总能找出应对立于不败之地么？那么，我们来看看一个叫“混合策略”的做法：罚球员的策略是扔一个骰子，然后 1/3 的概率选择三个方向之一。即使守门员知道罚球员是扔骰子决定的，他也没办法选择该扑哪个方向；而无论他怎么选，最后都是 1/3 概率扑中， 2/3 概率扑不中，最后结果是罚球员可以拿到2/3*1=2/3分。这比罚球员选择只踢左边的纯策略要好得多：守门员知道罚球员选择这样的纯策略的话，就可以每扑方向必中，这无疑就大大提高了扑出的概率。
在博弈论里，但凡这种带有随机决定的策略，都称作混合策略。不同的概率分布对应不同的混合策略：例如罚球员可以选择2/3概率踢左边，1/3概率踢右边的混合策略——当然这样的话守门员只要选择只扑左边，就可以以2/3概率扑对方向，所以这样的策略就不如刚才说的那种混合策略。如果考虑纯策略和混合策略的话，所有零和游戏里必然所有人都有最优策略，而所有人都执行相应最优策略的情况，则被称为纳什均衡。
当然，实际点球可不会这么简单。最重要的一点在于，无论选对还是选错方向，球都不是必进或必不进的。根据 Steve Levitt 论文里的统计数据，球员向惯用的左侧踢球比向右侧的进球率高：球员向左侧踢球的话，守门员即使选对了也有 63.6% 的概率进球；向右则是 43.7%。而守门员选错的情况也不是必进的，根据罚球员向左还是向右踢有 5% 和 10% 的概率不进球。
如果把这一点应用在模型上，虽然具体数据有所差异，但模型表现和上面说的那个简单模型是类似的——守门员和罚球员都存在唯一的最优策略，而且这个策略是一种混合策略。但是，根据具体的进球率数值不同，选择哪种混合策略的概率也会有所不同。
靠小纸条能赢得点球大战吗？
（接上图）巴洛特利点球罚中
不过经济学家的研究终归是纸上谈兵。实际上，无论选择什么策略，在选择的时候球员并没有办法判断这个策略是好是坏。这也是每逢关键时刻，总有人走上点球点，深呼吸，然后立刻崩溃的原因。
既然是选择什么策略最好是如此的不靠谱，那么统计球员罚球习惯或许更加靠谱。在 2006 年世界杯四分之一决赛，德国对阵阿根廷的点球大战上，一张小纸条送阿根廷回了老家。在那张提前准备好的小纸条上，记载了阿根廷一些可能主罚点球的球员倾向性：
无独有偶，还记得 08 年，莫斯科那场大雨吗？在切尔西对阵曼联的决赛点球大战之前，切尔西球员也准备一张“小纸条”，他们不仅统计了曼联队友的罚球习惯，甚至统计了曼联门将范德萨的扑救特点。不过这次小纸条却没能发挥神奇效用，切尔西不幸输掉了点球大战。直到 4 年后的欧战决赛，切尔西在点球大战中轻松战胜了几乎崩溃的拜仁。
在我们日常的行为中，如果出现了零和博弈的情况，一个比较传统的方法是分析对手的行为习惯，根据统计结果选择策略。在之前提到的研究中，Steve Levitt和他的合作者们发现，样本显示对于对方踢过来的8个点球，有一位守门员全部都选择向左扑救，而在这8个点球中只有2个是朝向左边的，也就是说，对方球员注意到了他倾向于向左扑救。但他们也同时指出：在我们的样本中没有一个球员在 4 次以上的罚球过程中永远朝着同一个方向射门。
说了这么多，或许你早就发现真正的规律就是没有规律。如果不是被吓坏了，那么莱曼的那张小纸条其实也没大用。如果双方在120分钟不能凭实力解决战斗，到了点球大战，那就只能“尽人事听天命”了。
参考资料：
[1] Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer
[2] 《足球经济学》
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当罚球球走上点球点时，他会选择把球射向哪边？罚球球..有种莫名的萌感
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全部评论(97)
贴图不说话：
当罚球球走上点球点时，他会选择把球射向哪边？罚球球..有种莫名的萌感
的话：当罚球球走上点球点时，他会选择把球射向哪边？罚球球..有种莫名的萌感谢谢，已改正
的话：谢谢，已改正不用改啊，多可耐
承重打错了吧。认真点打字？来自
如果能有一个装置能在发球员射门一刻将其角度甚至力度捕捉到并通过预设程序计算出球的大致轨迹，同时向守门员告知球飞向球门的区域，守门员就能逆天了，不过，如果两边都有就没用。
分析这个不看球员左右利足的？大部分都是左脚往右边踢，右脚往左边踢吧。这样好发力，即便门将判断正确也不容易扑到
罚球的压力在球员不在守门员。罚进了都觉得理所当然，罚丢了就被骂死。
我好像记得死理从前有过类似的文章
关于左右选择的问题，想起提到过Nature NeuroScience里一篇文章，能够提前10秒把人脑的动作反向解码出来。
是这个Unconscious determinants of free decisions in the human brain，从此点球皆是浮云。
今早起床，刚好到两牙加时赛的尾声，然后我有幸目睹了这场点球大战。我想说，在家里看球，亮点永远是解说，比如第一轮点球过后的那个声音——“这两个守门员都寂寞了！”寂寞了，寂寞了~
话说有时候自己会不自觉地看比赛时预见下个点球，比如皮尔洛的勺子，阿隆索的右下角，有时候猜得还真不赖
说了这么多其实只有最后一句有用真正的规律就是没有规律……前面那个粗暴地把球门分成左中右三部分的模型过于简洁了，赌方向这种事情只和地滚/半高球有关，要知道，打向球门上半部分的点球，即使门将赌对方向也极难扑到。就算球员扔了个骰子踢左路，他仍然可以选择高球，半高球或者低平球，所以门将扑到的概率其实远低于1/3……
看到第一幅图，题注“从未罚失过点球的巴洛特利”，立刻想到：巴神的世界没人懂，包括门将。
的话：如果能有一个装置能在发球员射门一刻将其角度甚至力度捕捉到并通过预设程序计算出球的大致轨迹，同时向守门员告知球飞向球门的区域，守门员就能逆天了，不过，如果两边都有就没用。以职业球员提出来的球的速度来说，如果守门员不提前移动的话，球门的两边下角都是理论上的死角。
点球是残酷的。来自
感觉这篇文章没说什么东西啊收获就是知晓了一些博弈论的单词术语：最优策略，与混合策略（对手带随机出牌）
作为一个被迫守门的人。。我表示点球什么的最讨厌了。。
想知道从未罚失过点球的巴洛特利真的很神，是么？
新闻专业学士，历史爱好者
今天早上看西班牙对葡萄牙，葡萄牙本身该第三个出场的中卫阿尔维斯，我就给我妈说，你看他那一脸的木讷样，脸部肌肉都紧张的快要痉挛了，肯定要踢飞。结果，纳尼抢着罚了第三个。。。我以为他不会踢了，没想到，第四个他又来了，然后，果真飞了。。然后。。。就没有然后了。。
心理学硕士
的话：以职业球员提出来的球的速度来说，如果守门员不提前移动的话，球门的两边下角都是理论上的死角。是必进的，所以守门员守点球的时候其实压力要比射点球的人小得多~
足球白路过……很有疑惑为什么守将会扑到相反方向呢？守将不能根据球的运动轨迹预测球会飞向左还是右么？？？
感觉这并不是非常典型的博弈论问题呀... 因为即便双方都依据过去统计了解对方的混合策略内容，实际上罚点球的时候门将还是会根据罚球者动作、神态等重新判断方向。这样一来由统计数据反映的混合策略应当是无效的嘛
的话：足球白路过……很有疑惑为什么守将会扑到相反方向呢？守将不能根据球的运动轨迹预测球会飞向左还是右么？？？等球踢出来了再反应大概就只好从球网里拣球了吧，扑反方向的基本上都是预先猜会踢向哪边的，或者被假动作骗到了的
贴地，球速快，角度叼。必进
的话：以职业球员提出来的球的速度来说，如果守门员不提前移动的话，球门的两边下角都是理论上的死角。其实四个角都是死角，就算判断对了，踢上方的两个死角根本救不了
关于切尔西和曼联的点球大战的事情……让我想到了那个范德萨vs阿内尔卡的段子了
其实罚球手占据了一点很大的优势：绝大多数情况下门将面对点球都必须提前扑救，这使得罚球手可以通过节奏变化观察门将的真实扑救意图，等于在无规律的博弈之前有一次利用技巧战胜对手的机会
LZ还是太连清，神的罚点球能力岂是尔等凡人能够说三道四的！
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荷兰神奇门将专扑点球
本报记者&&陈晨曦&&颜&&欢
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　　克鲁尔赛后庆祝胜利。
　　新华社记者 吕小炜摄
　　当地时间7月5日，加时赛最后一分钟被替换上场的队门将克鲁尔在面对哥斯达黎加队的点球大战中如有神助，5次扑救全部扑对了方向，并且扑出了对手的两记射门，护送荷兰队晋级四强。
　　其实，仔细观察克鲁尔的扑球方式，会发现这个1米93的大个子是靠反应来扑救点球的，而他的绝大多数同行，都会在扑救点球时选择“押宝”――提前移动扑向一边，以增加扑救的成功率，比如在120分钟里表现神勇的哥斯达黎加队门将纳瓦斯。
　　点球距离太近，速度太快，堪称门将的“梦魇”。著名物理学家斯蒂芬?霍金不久前还给射手们“支招”：要增加点球的命中率，提高速度是关键。而根据生物力学专家的研究，职业球员射门的平均速度在87.4公里/小时至96.76公里/小时之间，球星克里斯蒂亚诺?罗纳尔多主罚的直接任意球有过103公里/小时的惊人速度。
　　即便按照射门90公里的时速测算，从点球点到球门线的11米距离也只需要0.44秒。在界，短跑选手的反应极限是0.1秒，如果超过这个极限，起跑器会做出“抢跑”的判断。而人的听觉反应要快于视觉反应，守门员要在双眼反应出罚球线路后再做出扑救动作，这显然又增加了难度。
　　不过，在决定球队去与留的点球大战中，球员的射门速度会受到体力和心理的影响而有所减弱，而且，总有球员会将点球射向中路或者不太刁钻的角度。正是抓住了这种心理，克鲁尔才敢于在不到半秒的时间里不作预判，看清球路后再做出扑救动作，这也足以证明他的反应速度要快过常人。其实，熟悉克鲁尔的球迷都知道，这位效力于的门将平素就以反应快速著称，加上其身高臂长，有“金手指”的美誉。
　　此外，在点球大战中，不仅要比反应，更要比心态。将克鲁尔在点球大战前派上场，是主帅范加尔早就安排好的计划，而在上场前，助理教练还在场边对克鲁尔的反应速度进行了特训：用手指向一边，而克鲁尔做出反方向的反应。克鲁尔赛后承认自己在上场前“紧张得发抖”，但一站在门线上就迅速进入了状态，不断用语言和动作给哥斯达黎加队球员施压。在重压之下，鲁伊斯和乌马尼亚打出了两记角度不够刁钻的点球，成就了克鲁尔的神奇表现。克鲁尔的成功告诉人们，在扑点球这件事情上，运气不等于全部。
　　《 人民日报 》（ 日 13 版）
(责编：胡雪蓉、杨磊)
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