10Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展
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10Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展
第２８卷第３期；水文Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．３Ｊｕｎ．，２００８；２００８年６月；ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＨＩＮＡＨＹＤＲＯＬＯＧＹ；Ｃｏｐｕｌａ函数在多变量水文分析计算中的应用及研；郭生练１，闫宝伟１，肖义２，方彬１，张娜１；（１．武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室；２．湖南省水利厅，湖南长沙４１０００４）；摘要：综述了多变量水文分析计算方法及存在的问题；文
第２８卷第３期水文Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．３Ｊｕｎ．，２００８２００８年６月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＨＩＮＡＨＹＤＲＯＬＯＧＹＣｏｐｕｌａ函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展郭生练１，闫宝伟１，肖义２，方彬１，张娜１（１．武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北武汉４３００７２；２．湖南省水利厅，湖南长沙４１０００４）摘要：综述了多变量水文分析计算方法及存在的问题。系统地介绍了Ｃｏｐｕｌａ函数的基本理论与方法，分析探讨Ｃｏｐｕｌａ函数在多变量水文计算领域的适用性及优越性。总结了Ｃｏｐｕｌａ函数应用的关键技术，包括参数估计、拟合检验及类型选择等，并展望了Ｃｏｐｕｌａ函数的研究应用前景。关键词：Ｃｏｐｕｌａ函数；多变量；水文分析计算；联合分布中图分类号：Ｐ３３３．９文献标识码：Ａ文章编号：１０００－０８５２（２００８）０３－０００１－０７造成较大误差，后来一些学者［３－５］采用正态变换方法将原始数据转换成正态分布，然后再利用反变换进行分析，常用的正态变换方法主要有Ｂｏｘ－Ｃｏｘ变换和多项式正态变换。（２）特定边缘分布构成的联合分布。该类方法要求在水文分析计算具有相同的边缘分布，大多限于二维。中常用的边缘分布有对数正态分布［６－９］、指数分布［１０，１１］、水文分析计算是水利工程规划设计的一个重要环水节，频率分析计算是推求设计洪水常用的一种方法。文事件一般具有多个方面的特征属性，如洪水事件包括洪峰、洪量和洪水过程线等，需要从多角度对其进行定义和描述。现行频率分析往往只挑选某一特征来进随着研行单变量分析，无法全面反映事件的真实特征。究问题的复杂性，单变量分析将难以达到设计的要求。近年来，多变量联合分析成为水文计算领域的一个研究热点，并证实比单变量分析能更好地描述水文事件的内在规律和分析各个特征属性之间的相互关系。Ｇｕｍｂｅｌ分布［１２－１６］及Ｐ－Ⅲ分布［１７］等，Ｋｏｔｚ等［１８］对此类方法做了详细论述。（３）非参数方法。近年来非参数理论发展迅速，在水文上主要用于随机模拟和频率分析计算［１９，２０］。Ｓｉｌｖｅｒ－１多变量水文分析计算方法及存在的问题目前在国内外的文献中，二维联合分布的研究和ｍａｎ［２１］、Ｌａｌｌ和Ｂｏｓｗｏｒｔｈ［２２］采用多维核密度估计去模拟两变量的联合分布；王文圣和丁晶［２３］采用多维非参数核密度估计进行水文变量的随机模拟；Ｋｉｍ等［２４］用二维非参数核密度估计进行干旱的特征分析。（４）将多维联合分布转换成一维分布的方法。费永法［２５，２６］利用事件积先后推导出二维及多维随机变量转化为一维随机变量的计算方法，并用来求解丰枯遭遇频率。（５）经验频率法。经验频率法是工程实践中经常采用的方法，郑红星和刘昌明［２７］根据同步水文系列进行经验频率计算，确定南水北调东中两线不同水文区降水丰枯的遭遇概率。应用比较成熟，三维及以上联合分布的求解较为困难，还在探索中。１．１多变量水文分析计算方法（１）多元正态分布。早期研究多集中在多元正态分布的应用上，Ｃｏｒｒｅｉａ［１］在假定洪峰和洪量超定量系列的条件概率服从正态分布的基础上，推导出了二者的联合分布；Ｋｒｓｔａｎｏｖｉｃ和Ｓｉｎｇｈ［３］采用最大熵法推导了多变量正态分布和多变量指数分布，并分别采用这两种分布建立洪峰和洪量的联合分布。众所周知，水文变量大都是偏态分布，硬性的假定各变量都服从正态分布会收稿日期：２００７－１２－２１基金项目：国家自然科学基金（５０６７９０６３）；国际科技合作项目（２００５ＤＦＡ２０５２０），水利部科研专项（２００７０１０１５）作者简介：郭生练（１９５７－），男，福建龙岩人，武汉大学教授，博士生导师，主要从事水文水资源方面的研究。２水文第２８卷上述方法各有所长，究竟哪种方法更适合，一些学者作过比较研究。Ａｓｈｋａｒ等［２８］分别用两种边缘分布均为指数分布的Ｎａｇａｏ－Ｋａｄｏｙａ方法和Ｓｉｎｇｈ－Ｓｉｎｇｈ方法建立了枯水事件的两变量联合分布模型，分析比较后认为，Ｓｉｎｇｈ－Ｓｉｎｇｈ方法不适合于两变量具有非常强的相关性的情形，而Ｎａｇａｏ－Ｋａｄｏｙａ方法更适合于这种情况。Ｙｕｅ和Ｗａｎｇ［１４］通过数值试验比较了两种二维极值分布Ｇｕｍｂｅｌ混合模型和Ｇｕｍｂｅｌ逻辑模型，结果表明，后者除了使用范围比前者广外，在公共的使用范围内二者具有等效性。戴昌军和梁忠民［２９］通过统计试验对正态变换法、费永法方法和经验频率法共３种联合分布计算方法进行比较研究，结果表明，基于正态变换的Ｍｏｒａｎ法具有最优的无偏性和有效性，并用该法分析了南水北调东线径流丰枯遭遇频率。世纪９０年代该方法才得以迅速发展，成为统计学中的一个新的课题。Ｊｏｅ［３２］和Ｎｅｌｓｅｎ［３３］分别对该方法做了详尽的描述，国内尚没有系统介绍该方法的专著。在水文领域，有两篇博士论文对Ｃｏｐｕｌａ函数进行了较细致的阐述，并将其应用于水文分析的不同方面。Ｚｈａｎｇ［３４］应用Ｃｏｐｕｌａ函数对静态与非静态的洪水、降雨和枯水进行了两变量及三变量的频率分析，并用Ｃｏｐｕｌａ函数拟合河道中流速和水深的联合分布，还进行了水质的多变量分析；肖义［３５］对Ｃｏｐｕｌａ函数理论方法进行了回顾，并基于Ｃｏｐｕｌａ函数对多变量水文事件包括设计洪水过程线、洪水过程随机模拟及分期设计洪水进行了深入系统的研究。２．１Ｃｏｐｕｌａ函数的性质Ｓｋｌａｒ定理：令Ｈ为一个ｎ－维分布函数，其边缘分１．２存在的问题方法（１）对非正态分布需要对数据进行转换处理，布为Ｆ１，Ｆ２，…Ｆｎ。则存在一个ｎ－Ｃｏｐｕｌａ函数Ｃ，使得对任意ｘ∈Ｒｎ［３３］：比较复杂，且在数据转换过程中难免会使一些信息失真。方法（２）中联合分布模型的边缘分布都是同一种类型，而在多变量水文分析计算时，不同的水文变量可能服从不同的分布类型，比如对于干旱事件，干旱强度服从Ｇａｍｍａ分布，而干旱历时则服从指数分布［３０］。方法Ｈ（ｘ１，ｘ２，…ｘｎ）＝Ｃ（Ｆ１（ｘ１），Ｆ２，（ｘ２），…，Ｆｎ（ｘｎ））（１）如果Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ是连续的，则Ｃ是唯一的，相反地，如果Ｃ是一个ｎ－Ｃｏｐｕｌａ，Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ为分布函数，则式（１）中所定义的函数Ｈ是一个ｎ－维分布函数，其边缘分布为Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ。从Ｓｋｌａｒ定理可以看出，Ｃｏｐｕｌａ函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构，从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理：变量间的相关性结构和变量的边缘分布，其中相关性结构用Ｃｏｐｕｌａ函数来描述。Ｃｏｐｕｌａ函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布，任意边缘分布经过Ｃｏｐｕｌａ函数连接都可构造成联合分布，由于变量的所有信息都包含在边缘分布里，在转换过程中不会产生信息失真。目前常用于度量水文变量相关性的指标是皮尔逊线性相关系数和Ｋｅｎｄａｌｌ秩相关系数［３３］。Ｋｅｎｄａｌｌ秩相关系数不仅可以描述变量之间的线性相关关系，还适用于描述变量之间非线性的相关关系，其定义如下：⑶中的非参数方法构造的联合分布能够很好地拟合实测数据，但预测能力相对不足，且构造的联合分布的边缘分布类型未知。方法（４）通过将多维随机变量转化为一维进行处理，简化了计算，便于操作，但转化后的系列服从的分布难以确定［３１］。方法⑸仅能根据实测资料进行统计，不具备外延预测能力。另外，上述一些方法仅限于描述具有正相关性的变量，对呈现负相关性的变量显然无能为力。为了解决上述问题，国内外学者将Ｃｏｐｕｌａ函数理论与方法应用于多变量水文分析计算领域。Ｃｏｐｕｌａ函数能够通过边缘分布和相关性结构两部分来构造多维联合分布，形式灵活多样，且求解比较简单。美国土木工程协会出版的《工程水文》杂志（ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｙｄｒｏ－ｌｏｇｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）２００７年第４期对Ｃｏｐｕｌａ函数理论与方法及在水文中的应用作了专刊介绍。!＝（Ｃｎ）２－１&ｓｉｇｎ［（ｘ－ｘ）（ｙ－ｙ）］，（ｉ，ｊ＝１，２，&，ｎ）ｉｊｉｊｉ＜ｊ（２）式中：（ｘｉ，ｙｉ）是观测点据；ｓｉｇｎ（?）是符号函数，当（ｘｉ－ｘｊ）（ｙｉ－ｙｊ）＞０时，ｓｉｇｎ＝１；（ｘｉ－ｘｊ）（ｙｉ－ｙｊ）＜０时，ｓｉｇｎ＝－１；（ｘｉ－２Ｃｏｐｕｌａ函数理论Ｃｏｐｕｌａ是定义域为［０，１］均匀分布的多维联合分布函数，它可以将多个随机变量的边缘分布连接起来得到它们的联合分布，早在１９５９年即被提出，但直到上ｘｊ）（ｙｉ－ｙｊ）＝０时，ｓｉｇｎ＝０。２．２水文领域常用的几种ＡｒｃｈｉｍｅｄｅａｎＣｏｐｕｌａ函数Ｃｏｐｕｌａ函数总体上可以划分为三类：椭圆型、第３期郭生练等：Ｃｏｐｕｌａ函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展３Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ型和二次型，其中含一个参数的多维ＡＭＨＣｏｐｕｌａ函数既能够描述正相关的随机变量，也能够描述存在着负相关性的随机变量，但是不适用于非常高的正相关性或负相关性。（４）ＦｒａｎｋＣｏｐｕｌａ函数。ＦｒａｎｋＣｏｐｕｌａ函数的表达式为：（ｅ－&ｕ－１）（ｅ－&ｖ－１），&∈ＲＣ（ｕ，ｖ）＝－１ｌｎ１＋（－&）ＡｒｃｈｉｍｅｄｅａｎＣｏｐｕｌａ函数应用最为广泛，ＡｒｃｈｉｍｅｄｅａｎＣｏｐｕｌａ函数的构造通常是基于二维的，根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种。其构造形式分别为：对称型：Ｃ（ｕ１，ｕ２，…，ｕｎ）＝!（!（ｕ１）＋!（ｕ２）＋…＋!（ｕｎ））－１&&０#（１１）（３）非对称型：$与&的关系为：$＝１＋４&Ｃ（ｕ１，ｕ２，…，ｕｎ）＝Ｃ１（ｕｎ，Ｃ２（ｕｎ－１，…，Ｃｎ－１（ｕ２，ｕ１）…））＝!１（!１（ｕｎ）＋!１（!２（ｕｎ－１）＋…＋!ｎ－１（!ｎ－１（ｕ２）＋!ｎ－１（ｕ１））…））（４）式中：!（?）是指Ｃｏｐｕｌａ函数的生成元，可以看出，式（３）为式（４）当!１＝!２＝…＝!ｎ－１＝!的特殊情形。－１－１－１１，&∈Ｒｔｄｔ－１&（１２）与ＡＭＨＣｏｐｕｌａ函数类似，ＦｒａｎｋＣｏｐｕｌａ函数既能够描述正相关的随机变量，也能够描述存在着负相关性的随机变量，不同的是，它对相关性的程度没有限制。总的说来，Ｃｏｐｕｌａ函数的应用具体包括以下几个步骤：①确定各变量的边缘分布；②确定Ｃｏｐｕｌａ函数的参数&；③根据评价指标选取Ｃｏｐｕｌａ函数，建立联合分布；④根据所建分布进行相应的统计分析。Ｎｅｌｓｏｎ［３３］对ＡｒｃｈｉｍｅｄｅａｎＣｏｐｕｌａ函数及其性质进行了详细的介绍，在此仅列出在水文及相关领域文献里经常出现的几种二维ＡｒｃｈｉｍｅｄｅａｎＣｏｐｕｌａ函数。（１）Ｇｕｍｂｅｌ－Ｈｏｕｇａａｒｄ相同：（ＧＨ）Ｃｏｐｕｌａ函数。ＧＨ－［１３］Ｃｏｐｕｌａ函数与Ｇｕｍｂｅｌ逻辑模型的结构形式完全（５）２．３参数估计Ｃｏｐｕｌａ函数的参数估计方法大致可分为三种：①相关性指标法，根据上面提到的Ｋｅｎｄａｌｌ秩相关系数$与&的关系间接求得。②适线法，即在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计（６）参数。③极大似然法，对于三维及以上的Ｃｏｐｕｌａ函数，相关性指标法显然不再适用，此时大多采用极大似然法进行参数估计。肖义［３５］在分析前两种方法的基础上，认为相对于单变量分布，Ｃｏｐｕｌａ函数的参数估计对资料的长度要求更高，对于中小样本可能导致估计值抽样误差大，估计值不稳定，他采用自助法耦合这两种方法进行参数估计。统计试验表明，相关性指标法参数估计值的置信区间较窄、结果更稳定，自助法能够提高相关性指标法的估计能力，对于适线法效果却不佳，会造（８）成估计值严重偏大。Ｃ（ｕ，ｖ）＝ｅｘｐ｛－［（－ｌｎｕ）&＋（－ｌｎｖ）&］１／&｝，&∈［１，∞）秩相关系数#存在如下关系：式中：&为ＧＨＣｏｐｕｌａ函数的参数，下同。它与Ｋｅｎｄａｌｌ$＝１－１，&∈［１，∞）ＧＨＣｏｐｕｌａ函数仅能够适用于变量存在正相关的情形，因此，比较适用于构造如洪峰和洪量、洪量与洪水历时等变量相互之间存在正相关性的联合分布。（２）ＣｌａｙｔｏｎＣｏｐｕｌａ函数。ＣｌａｙｔｏｎＣｏｐｕｌａ函数表达式为：Ｃ（ｕ，ｖ）＝（ｕ－&＋ｖ－&－１）－１／&，&∈（０，∞）$与&的关系为：$＝&，&∈（０，∞）仅适用于描述正相关的随机变量。（３）Ａｌｉ－Ｍｉｋｈａｉｌ－Ｈａｑ（７）ＣｌａｙｔｏｎＣｏｐｕｌａ函数与ＧＨＣｏｐｕｌａ函数一样，均（ＡＭＨ）Ｃｏｐｕｌａ函数。（９）２．４Ｃｏｐｕｌａ函数的选择对于Ｃｏｐｕｌａ函数的选择，水文工作者希望选取与已有水文资料相配适的类型，哪种Ｃｏｐｕｌａ函数同资料配合得好，就选用哪种类型。ＡＭＨＣｏｐｕｌａ函数的表达式为：Ｃ（ｕ，ｖ）＝ｕｖ／［１－&（１－ｕ）（１－ｖ）］，&∈［－１，１）$与&的关系为：$＝（１－２）－２（１－１）２ｌｎ（１－&），&∈［－１，１）&（１０）２．４．１Ｃｏｐｕｌａ函数的拟合检验选定的Ｃｏｐｕｌａ函数是否合适，能否描述变量之间的相关性结构，需要对Ｃｏｐｕｌａ函数进行拟合检验。理论上，传统用于单变量分布假设检验的方法都适用于４水文第２８卷Ｃｏｐｕｌａ函数的假设检验，比如!２检验等。这里介绍Ｃｏｐｕｌａ函数的Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ－Ｓｍｉｒｎｏｖ（Ｋ－Ｓ）检验来评价联合分布计算频率与联合观测值的拟合程度，以二维为例，其统计量Ｄ计算如下：３Ｃｏｐｕｌａ函数在多变量水文分析计算中的应用水文事件往往包含多个特征变量，且特征变量之间通常存在一定的相关性，多维联合分布能够考虑变量之间的相关性，可以同时描述多个特征量，能够提供更多的关于多变量的水文事件的信息。Ｃｏｐｕｌａ函数是构建联合分布的一种有效方法，能够灵活的构造边缘分布为任意分布的水文变量联合分布，可以用来描述水文变量之间的相关性结构。Ｃｏｐｕｌａ函数在多变量水文分析计算中的应用具体包括以下几个方面：ｍ（ｉ）－１｜，｜Ｆ（ｘ，ｙ）－ｍ（ｉ）｜Ｄ＝１ｍａｘｉｉ≤ｉ≤ｎ｜Ｆ（ｘｉ，ｙｉ）－&#（１３）式中：Ｆ（ｘｉ，ｙｉ）为（ｘ，ｙ）的联合分布；ｍ（ｉ）为联合观测值样本中满足条件ｘ$ｘｉ，ｙ$ｙｉ的联合观测值的个数。２．４．２Ｃｏｐｕｌａ函数的拟合优度评价拟合优度评价指标是选择分布线型的一个重要标３．１在洪水频率分析计算中的应用准。这里介绍三种可用于评价Ｃｏｐｕｌａ函数拟合程度的指标和方法。（１）离差平方和准则法。采用离差平方和最小准则（ＯＬＳ）来评价Ｃｏｐｕｌａ方法的有效性，并选取ＯＬＳ最小的Ｃｏｐｕｌａ作为联结函数。ＯＬＳ的计算公式如下：Ｆａｖｒｅ等［３７］探讨了Ｃｏｐｕｌａ函数在多维极值分布建模中的应用，并用来分析洪峰和洪量的联合分布。Ｚｈａｎｇ和Ｓｉｎｇｈ［３８］较详细的介绍了二维Ｃｏｐｕｌａ函数理论与方法，用其构造了洪峰、洪量和历时的联合分布，并与二维正态变换分布模型和Ｇｕｍｂｅｌ混合模型进行了比较。Ｇｒｉｍａｌｄｉ和Ｓｅｒｉｎａｌｄｉ［３９］基于三维非对称式Ｃｏｐｕｌａ函数进行洪水频率分析，并与对称式和标准ＯＬＳ＝式中：Ｐｅｉ，Ｐｉ分别为经验频率和理论频率。（２）ＡＩＣ信息准则法。ＡＩＣ信息准则包括两个部分：Ｃｏｐｕｌａ函数拟合的偏差和Ｃｏｐｕｌａ函数的参数个数导致的不稳定性，ＡＩＣ可以表达为［３２］：ｎ&１%（Ｐｅ－Ｐ）ｉｉｉ＝１２（１４）Ｇｕｍｂｅｌ逻辑模型进行了比较研究。肖义等［４０］基于Ｃｏｐｕｌａ函数建立了洪峰和洪量的联合分布，并基于联合分布提出了一种推求设计洪水过程线的方法。在分期设计洪水的研究中，肖义等［４１］基于Ｃｏｐｕｌａ函数研究（１５）（１６）了分期设计洪水频率与防洪标准的关系。以上研究都是针对洪水量级进行的联合分析，方彬等［４２］首次采用ＭＳＥ＝１%（Ｐｅ－Ｐ）ｉｉｉ＝１２ＡＩＣ＝ｎｌｎ（ＭＳＥ）＋２ｍＶｏｎＭｉｓｅｓ分布拟合年最大洪水发生时间的概率分布，采用皮尔逊Ⅲ型分布拟合年最大洪水量级的概率分布，研究探讨了Ｇｕｍｂｅｌ－ＨｏｕｇａａｒｄＣｏｐｕｌａ函数在洪水发生时间和洪水量级两变量联合分布中的实用性。式中：ｍ为模型参数的个数。当ＡＩＣ值越小时，Ｃｏｐｕｌａ函数拟合的越好。ＡＩＣ信息准则适用于参数个数不同的Ｃｏｐｕｌａ函数之间的相互比较和选择。（３）ＧｅｎｅｓｔCＲｉｖｅｓｔ方法。Ｇｅｎｅｓｔ和Ｒｉｖｅｓｔ［３６］提出了一种比较直观地选择Ｃｏｐｕｌａ函数的方法，具体步骤如下：步骤１：对于ＡｒｃｈｉｍｅｄｅａｎＣｏｐｕｌａＣ（ｘ，ｙ），令ＫＣ（ｔ）３．２在降雨频率分析计算中的应用ＤｅＭｉｃｈｅｌｅ和Ｓａｌｖａｄｏｒｉ［４３］用二维Ｃｏｐｕｌａ函数建立了边缘分布为广义Ｐａｒａｔｏ分布的雨强和历时的联合分布。Ｓａｌｖａｄｏｒｉ和ＤｅＭｉｃｈｅｌｅ［４４］又基于Ｃｏｐｕｌａ函数进一步研究了暴雨统计量的联合分布，进而推导出暴雨前某固定时段内降雨量和前期土壤湿度的分布函数。雨深和历时进Ｚｈａｎｇ和Ｓｉｎｇｈ［４５，４６］先后对降雨的雨强、行两变量和三变量的频率分析，并得出联合重现期。＝Ｐ（Ｃ（ｘ，ｙ）$ｔ），对于任意ｔ∈（０，１］，ＫＣ（ｔ）＝ｔ－&（ｔ）／&＇（ｔ＋）。其中，&（ｔ＋）为生成元&的右导数。步骤２：构造ＫＣ的经验估计量Ｋｅ（ｔ），Ｋｅ（ｔ）＝满足（ｔｉ＜ｔ）的个数／Ｎ，其中，ｔｉ＝ｍ（ｉ）／（Ｎ－１），ｍ（ｉ）同式（１３）。步骤３：对所选取的ｔ，分别根据步骤１和步骤２计算理论估计值ＫＣ（ｔ）和经验估计值Ｋｅ（ｔ）（或称参数估计值和非参数估计值），然后点绘ＫＣ－Ｋｅ关系图，如果图上的点都落在４５°对角线附近，表明所选Ｃｏｐｕｌａ函数拟合得好。Ｇｒｉｍａｌｄｉ和Ｓｅｒｉｎａｌｄｉ［４７］运用三维Ｃｏｐｕｌａ函数进行设计雨量图的分析。张娜等［４８］通过Ｃｏｐｕｌａ函数分别构建年最大日雨量与时段雨量的联合分布，推求了暴雨事件中两变量的联合概率分布、条件概率分布及相应的重现期。第３期郭生练等：Ｃｏｐｕｌａ函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展５３．３在干旱特征分析中的应用布的复杂工作简化为研究变量间的相关性结构。目前，该方法被广泛应用于金融风险以及灾难事件的预测，其在水文分析计算中的应用尚处于起步阶段，随着研究的深入，Ｃｏｐｕｌａ函数理论与方法必将得到更加广泛的应用，今后的研究将集中于以下三方面：（１）Ｃｏｐｕｌａ函数理论与方法本身的完善。Ｃｏｐｕｌａ函数虽早在１９５９年就已提出，但直到上个世纪９０年代才得以迅速发展，其本身尚处于不断发展完善阶段，与其他理论如Ｂａｙｅｓ理论、马尔可夫链等的结合将是该理论的一个发展趋势。２００６年，Ｈｕａｒｄ等［５６］Ｓｈｉａｕ［３０］根据标准降水指数来定义干旱，进而用二维Ｃｏｐｕｌａ拟合干旱历时和干旱程度的联合分布。Ｓｈｉａｕ等［４９］运用Ｃｏｐｕｌａ函数构造干旱特征变量的联合分布来评估黄河流域的水文干旱。闫宝伟等［５０］运用游程理论定义干旱，通过Ｃｏｐｕｌａ函数构造干旱历时和干旱程度的联合分布来分析干旱的基本特征，并以汉江上游为例进行了应用研究。Ｄｕｐｕｉｓ［５１］讨论了水文相关变量的二维极值分布，探讨了Ｃｏｐｕｌａ函数在水文应用中的注意事项，并用Ｃｏｐｕｌａ方法研究了枯水事件的特征变量。通过Ｂａｙｅｓ技术确定Ｃｏｐｕｌａ函数的选择，这也是水文学家在洪水或降雨遭遇问题中的应用提出或改进数学方法理论的一个典型例子。另外，当考虑到样本的尾部相关特征时，如何选择与之相适应的３．４Ｃｏｐｕｌａ函数不仅可以描述上述水文事件内在属性之间的相关性，还可以用来分析同一水文事件在不同地区的遭遇性。Ｆａｖｒｅ等［３７］将Ｃｏｐｕｌａ函数应用于洪水的地区组成来分析地区洪水遭遇的概率。熊立华等［５２］应用Ｃｏｐｕｌａ函数来建立同一河流上相邻两个站点的年最大洪水联合分布函数，分析洪水的遭遇组合。闫宝伟等［５３］通过Ｃｏｐｕｌａ函数构造南水北调中线水源区与受水区降雨的联合分布，具体分析水源区与受水区丰枯遭遇的频率，为南水北调中线工程的实施和运行提供相应的科学依据。Ｃｏｐｕｌａ函数也将是今后一个研究热点。（２）Ｃｏｐｕｌａ函数应用范围的拓广。凡是具有相关性的两个或多个变量，无论是互相关还是自相关，理论上都可以用Ｃｏｐｕｌａ函数刻画其相依结构，这就使得Ｃｏｐｕｌａ函数将有很大的应用空间。具体到水文分析计算领域，例如降雨与径流，水沙关系，防洪体系的防洪标准问题，区域水文风险研究等等，都可以应用该理论进行研究。（３）Ｃｏｐｕｌａ函数维数拓展及相关问题。目前对于３．５在水文随机模拟中的应用随机模拟是水文分析计算的另一种途径，通Ｃｏｐｕｌａ函数的研究和应用多限于二维，随着计算机技术的进步及研究问题的复杂性，三维及以上Ｃｏｐｕｌａ函数的应用以及伴之而来的参数估计、函数类型选择等问题都需要进一步的研究。参考文献：［１］ＣｏｒｒｅｉａＦＮ．Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｐａｒｔｉａｌｄｕｒａｔｉｏｎｓｅｒｉｅｓｉｎｆｌｏｏｄｒｉｓｋａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｉｎ：ＳｉｎｇｈＶＰ（Ｅｄ．）．ＨｙｄｒｏｌｏｇｉｃＦｒｅｑｕｅｎｃｙＭｏｄｅｌｌｉｎｇ，Ｒｅｉｄｅｌ，Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ，１９８７，ｐｐ．５４１C５５４．［２］ＫｒｓｔａｎｏｖｉｃＰＦ，ＳｉｎｇｈＶＰ．Ａｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｆｌｏｏｄａｎａｌｙｓｉｓｕｓｉｎｇｅｎｔｒｏｐｙ［Ｍ］．Ｉｎ：ＳｉｎｇｈＶＰ（Ｅｄ．）．ＨｙｄｒｏｌｏｇｉｃＦｒｅｑｕｅｎｃｙＭｏｄｅｌｌｉｎｇ，Ｒｅｉｄｅｌ，Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ，１９８７，ｐｐ．５１５C５３９．［３］ＳａｃｋｌＢ，ＢｅｒｇｍａｎｎＨ．Ａｂｉｖａｒｉａｔｅｆｌｏｏｄｍｏｄｅｌａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｉｎ：ＳｉｎｇｈＶＰ（Ｅｄ．）．ＨｙｄｒｏｌｏｇｉｃＦｒｅｑｕｅｎｃｙＭｏｄｅｌｌｉｎｇ，Ｒｅｉｄｅｌ，Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ，１９８７，ｐｐ．５７１C５８２．［４］ＧｏｅｌＮＫ，ＳｅｔｈＳＭ，ＣｈａｎｄｒａＳ．Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆｆｌｏｏｄｆｌｏｗｓ［Ｊ］．ＡＳＣＥ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｙｄｒａｕｌｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９８，１２４（２）：１４６－１５５．［５］ＹｕｅＳ．ＪｏｉｎｔｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆａｎｎｕａｌｍａｘｉｍｕｍｓｔｏｒｍｐｅａｋｓａｎｄａｍｏｕｎｔｓａｓｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂｙｄａｉｌｙｒａｉｎｆａｌｌｓｄｒｏｌｏｇｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅＪｏｕｒｎａｌ，２０００，４５（２）：３１５－３２６．［６］ＰｏｎｓＦＡ．Ｒｅｇｉｏｎａｌｆｌｏｏｄｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｌｏｇ－ｎｏｒｍａｌｍｏｄｅｌｓ［Ｄ］．ＰｈＤｔｈｅｓｉｓ，ＣｏｌｏｒａｄｏＳｔａｔｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｏｒｔ［Ｊ］．Ｈｙ常通过生成随机水文系列来检验所建模型的合理性及预估未来的水文情势。ＤｅＭｉｃｈｅｌｅ［５４］运用二维ＡｒｃｈｉｍｅｄｅａｎＣｏｐｕｌａ函数随机模拟洪峰和洪量来检验大坝溢洪道的安全性。肖义等［５５］基于Ｃｏｐｕｌａ函数提出了一种洪水过程随机模拟方法，并与传统的ＡＲ（１）模型和典型解集模型进行比较，结果表明统计特征值均优于传统模型。４讨论与展望Ｃｏｐｕｌａ函数是构建多维联合分布模型的一种有效方法，它与现有的建模方法不同，可以考虑和提供更多的有用信息，特别是可以捕捉到非正态、非对称分布的尾部信息。与现有多变量分析计算方法相比，Ｃｏｐｕｌａ函数理论与方法可以将联合分布分为边缘分布和相关性结构两部分来分别处理，一方面，对于任意边缘分布都可以用Ｃｏｐｕｌａ函数构造联合分布；另一方面，可以利用原有单变量分析的计算成果，从而使研究联合分包含各类专业文献、中学教育、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、行业资料、10Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展等内容。　
　copula函数在判别分析中的改进与应用_理学_高等教育_...拟采取的研究方法和技术路线(包括理论分析、计算,...随机变量的联合分布和其边缘分布连接起来的一种函数... 　机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个...Copula函数 二、 Copula 函数的应用 Copula 函数的...具体到水文分析计算领域, 例如降雨与径流, 水沙关系... 　作为一种有效的金融风险度量手 段,风险价值法由于其概念简单易懂、计算方便的...1999 年,Embrechts 等学者将 Copula 函数应用于金融数量分析中, 在研究金融变量... 　Copula理论及其在多变量... 236页 免费 Copula熵理论及其在水文... 暂无评价 ...% 调用 copulacdf 函数计算网格点上的二元正态 Copula 分布函数值 Ccdf_norm =... 　Copula理论及MATLAB应用实例_工学_高等教育_教育专区。Copula一词原意为连接,它把多个随机变量的边缘分布...函数计算网格点上的二元正态 Copula 分布函数值 ... 　应用研究 31、年径流序列随机模拟与预报研究 32、基于 Copula 函数的多变量洪水...频率分析计算 35、地理信息系统在水文水环境中的模拟应用进展 36、流域水文预报... 　计算问题时, 依据的是概率统计理论中的纯随机 模型, 即假设所研究的水文变量是独立随机地抽自同一客观总体,而这个总体是 通过概率分布函数(或概率密度函数)来描述... 　模型对多变量数据进行相关性分析以来,时变 Copula 模型得到广泛的研 究和应用[...对于 Spearman ρ 计算以及性质的研究,往往借助于 Copula 函数。 由于随机变量(... 　关系分开来研究;③通过不同形式 Copula 函数的选择使用,可以准确捕捉到变量 间...Romano(2002)开始用 Copula 进行了风险分析,计算投资组合的风险值,同时用多元...