棱锥的外接球和正三棱锥的内切球半径径怎么算

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-19 08:47 标签： 三棱锥的内切外接球
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简单几何体的外接球与内切球问题
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正三棱锥的外接球,内切球的半径
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正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两相互垂直,则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为正三棱锥P-ABC,棱长a设底面三角形ABC的AB、BC、CA边中点为D、E、F易得三角形BPF、AEP、CDP全等,BF、CD、AE交于O,且PO⊥平面ABC任选PO上一点O',易证明O'到PD、PE、PF的距离相等当OO'等于O'到PD、PE、PF的距离距离时,恰好就是正三棱锥的内切球半径rOF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√6/6PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√2/2PO=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3O到三个侧面的距离=1/3设OO'=r(√3/3-r):√3/3=r:(1/3)r=OO'=(3-√3)a/6验证：O'到PF的距离O'H=OO'设OG⊥PF,O'H//OGsin∠OFP=OP/PF=√6/3,OG=OF*sin∠OFP=a/3(PO-r)/PO=O'H/OGO'H=(PO-r)*OG/PO=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3=(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r所以,正三棱锥内切球的半径r=a(3-√3)/6PO=√3/3
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一、外接球的问题
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．
（一）& 由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
（二）构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
二、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
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