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(本小题满分14分)已知数列满足如图所示的程序框图．(Ⅰ)写出数列的一个递推关系式；(Ⅱ)证明：是等比数列，并求的
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(本小题满分14分)已知数列满足如图所示的程序框图．(Ⅰ)写出数列的一个递推关系式；(Ⅱ)证明：是等比数列，并求的通项公式；(Ⅲ)求数列的前项和．
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图形验证：解：（1）在第一个图形中，只有一层，一个小正方形；在第二个图形中，有两层，从上至下分别为1个、2个小正方形；在第三个图形中，有三层，从上至下分别为1个、2个、3个小正方形；由此归纳：第四个图形中，有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．因此答案如右图所示：（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，所以{bn}构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{bn}的通项公式，∴由等比数列的通项公式，可得着色三角形的个数的通项公式为：．（3）由题意，可得an=1+2+3+4+…+n=，∴，所以 ．①所以 ．②①-②得 ．所以-2Sn=．即，其中n∈N+分析：（1）由前三个图形小正方形的排列规律，不难得出第四个图形有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以{bn}构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{bn}的通项公式；（3）根据（1）和（2）的结论，易得，发现{cn}是一个等差数列和等数列的对应项相乘而得的一个新数列，接下来可用错位相减法，来求它的前n项和Sn．点评：本题以数列的通项与求和为载体，着重考查了归纳推理的一般方法，考查了学生的读图能力，属于中档题．
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科目：高中数学
（;北京模拟）（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式bn（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an（n=1，2，3，…），设cn=2anbnn+1，求数列{cn}的前n项和Sn．
科目：高中数学
来源：北京月考题
题型：解答题
（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；
（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式bn
（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an（n=1，2，3，…），设，求数列{cn}的前n项和Sn．
科目：高中数学
来源：学年陕西省延安市延长中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）
题型：解答题
（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式bn（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an（n=1，2，3，…），设，求数列{cn}的前n项和Sn．
科目：高中数学
来源：2012年北京市会考说明：题目示例（解析版）
题型：解答题
（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式bn（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an（n=1，2，3，…），设，求数列{cn}的前n项和Sn．（本题满分14分）在数列
．（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）求数列
；（Ⅲ_百度知道
（本题满分14分）在数列
．（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）求数列
///zhidao/pic/item/8ad4b31c8bc009d2ffeea.baidu./zhidao/pic//zhidao/pic//zhidao/pic/item/d0c8a786ccbc79e3d568d:///zhidao/pic/item/267f9e2ffa725bbb99ae.jpg" width = "32" height = "27" />
的前<img src="/zhidao/pic/item/d058ccbf6c41b28d；（Ⅱ）求数列
./zhidao/pic/item/e251f8c004ab7a486cd:///zhidao/pic/item/8ad4b31c8bc009d2ffeea:///zhidao/pic/item/8ad4b31c8bc009d2ffeea:///zhidao/pic/item/08fead5d4cb578cb0a46f31fabea.jpg" width = "80" height = "45" />
中.baidu，
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．（Ⅰ）求数列
（本题满分14分）在数列<img src="http；（Ⅲ）证明存在
的通项公式://hiphotos，其中<img src="http://hiphotos，使得<img src="http.baidu
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/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=40aadfa00af7f383cc3fbf2/ebc4d74bda2a8126cffc1e171655.baidu.baidu.baidu://b，可得
://g://h://h.com/zhidao/pic/item/902397dda144ad348b532a34d3a20cf430ad8591.hiphotos，要使③式成立://e.hiphotos.hiphotos://e://d，下面证明.hiphotos.hiphotos.baidu./zhidao/wh%3D450%2C600/sign=2cbbd3a6b1/2f738bd4b31c247f9e2f0708ff56://h:///zhidao/wh%3D450%2C600/sign=/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=caea15ce41bbe80d/4bed2e738bd4b31cf10f7f9e2ff856.hiphotos，推测数列
.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="/zhidao/pic/item/4a36acaf2edda3cca1://h，得<img class="ikqb_img" src="/zhidao/pic/item/a6efce1b9d16fdfa5b806b5db78f8c://d：
．这时数列
的通项公式为
://f.jpg" />
时.hiphotos，当<img class="ikqb_img" src="http.hiphotos://b.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=feddc426b2bcfd09eb9ac5/8d5494eef01f3a29da25bc315d607c91://g://b，　　　①0
都成立．解法二://f://c，首项为0.baidu，等式
．这时数列
.hiphotos.hiphotos://g.baidu.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink">
时.hiphotos://g.jpg" esrc="http.baidu.baidu://d.jpg" esrc="http.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink">
．所以③式成立．因此.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=a724b1bcddf4de20fe1ae5/8718367adab44aed5d7d1a18bfb56://g.jpg" />
.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=54f909d19bbeafe4efbf736afca9ae8c4b.jpg" />
时./zhidao/wh%3D450%2C600/sign=505a3e9dabd3fd1f365caa3e057edda144ad348b532a34d3a20cf430ad8591.jpg" />
://d://g.jpg" />
最大.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=705b06d20cb30f2435cfe405f8a5fd7b/574ede975049dbcfbf6c.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink">
　　　　　　　　&/zhidao/pic/item/728dabdd5f619a8518367adab4e156.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink">
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