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北京大学哲学导论期末论文
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93信息技术导论期末论文
信息技术导论；-----有关小波变换的研究报告；蔺子杰；一．有关小波变换的背景；小波变换是传统的信号理论，是建立在Fourier；?(?)??f(t)?e?i?tdt（1）f??；逆变换公式；f(t)?；分析：12??????(?)?ei?tdt（2）；1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间；2．变换积分核e?i?t的幅值在任何情况
信息技术导论-----有关小波变换的研究报告蔺子杰
一． 有关小波变换的背景小波变换是传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 傅立叶变换（Fourier Transform，缩写为FT）由下列公式定义： 正变换公式?(?)??f(t)?e?i?tdt
（1） f???逆变换公式f(t)?分析： 12??????(?)?ei?tdt
（2） f1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。2．变换积分核e?i?t的幅值在任何情况下均为1，即e?i?t?(?)?1，因此，频谱f的任一频率点值是由时间过程f(t)在整个时间域(??,?)上的贡献决定的；反之，过?(?)在整个频率域(??,?)上的贡献决定的。f(t)程f(t)在某一时刻的状态也是由f?(?)彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局与f部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数g(t??)，使其对信号f(t)进行乘积运算以实现在?附近的开窗，再对加窗的信号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform）。STFT定义如下：Sf(?,?)??f(t)g(t??)e?i?tdt
（3） ???其中，窗口函数g(t)一般取为光滑的低通函数，保证g(t??)只在?的附近有值，在其余处迅速衰减掉。这样，短时傅立叶变换就在?点附近局部地测量了频率分量?的幅度值，得到信号在t??时刻附近的频率信息。D．Gabor采用Gauss函数作为窗口函数，其相应的傅立叶变换仍旧是Gauss函数，从而保证短时傅立叶变换在时域与频域内均有局域化功能。短时傅立叶变换存在固有的局限：即其时间――频率窗口是固定不变的，一旦窗函数g(t)选定，其时频分辨率也就确定了。也就是说，它对所有的频率都使用同样的窗口。我们若想提高时间分辨率，就要把窗口缩得很窄，但这样势必会降低频率分辨率。Heisenberg测不准原理告诉我们，不可能在时间和频率上均有任意高的分辨率，因为时间和频率的最高分辨率受下式的制约：????t?1
（4） 4?上式中?t和??分别表示时间域和频率域的窗口宽度。这表明，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。上述的分析表明，由于使用了固定的窗口，而实际时变信号的分析需要时频窗口具有自适应性，对于高频谱的信息，时间间隔要相对地小以给出较高的精度；对于低频谱的信息，时间间隔要相对地宽以给出完全的信息。换句话说，重要的是要有一个灵活可变的时间――频率窗，能够在高“中心频率”时自动变窄，而在低中心频率时自动变宽。而小波便是为此而设计的。 小波变换定义为Wf(a,b)??f(t)?*a,b(t)dt
（5）变换的核函数为 ?a,b(t)?t?b(),a?0b?R；
（6） a其中，它一般是时域上以t＝0为中心的带通函数，?(t)被称为一个基本小波或母小波，在时域和频域都必须是局部化（紧支撑）的，且其平均值为零，即??(t)dt?0
（7） 二.小波变换的一些方式及实际举例例如：[x0,x1,x2,x3]=[90,70,100,70]取 (x0+x1)/2,(x0-x1)/2 来代表 x0,x1这样 [90,70] --〉 [80,10] ，同理，[100,70] --〉 [85,15]。其中80 和85 是局部的平均值，反映变化相对缓慢的值， 即低频部分的值而10、15是小范围波动的值， 局部变换较快，即高频部分的值。小波变换描述为：第一次变换：[90,70,100,70] --& [80,85,10,15] 即低频部分[80,85] (记为V1）， 高频部分[10,15]（记为W1)第二次变换：同理而[80,85] --& [82.5, -2.5]，
82.5为低频部分(记为V2) ，-2.5为高频部分（记为W2）。则[90,70,100,70] --〉[82.5, -2.5, 10, 15]这是二代小波（harr小波）的二级变换，如果维数高，同样可以进行更高级的变换。 V4 W4 W3 W2 W1V2 W2W2W2 W11 W12 W13图1二带小波与4带小波的空间分解写成矩阵表达形式：[90,70]---& [80,10] 写成?9070????????[90,70,100,70] --& [80,85,10,15]写成??0??????0???00???00[80,85,10,15] --〉[82.5, -2.5, 10, 15] 写成??00???82.5?2.51015???????00????0010??0001??二带小波 4带小波 0??0?? ??????对二维图像操作结果分析 小波变换的精髓就是：对于变化平缓的信息（对应低频信息），在大范围（尺度）上观察，对于变化很快的信息（对应高频信息），在小范围（尺度）上观察。称为多尺度或多分辨率思想。若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由远及近地观察目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致包含各类专业文献、生活休闲娱乐、外语学习资料、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、各类资格考试、应用写作文书、93信息技术导论期末论文等内容。　
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