矩阵可对角化的充分必要条件的判断是什么?

矩阵可以相似对角化的充要条件是什么_作业帮
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矩阵可以相似对角化的充要条件是什么
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这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量线性代数之第5章.特征值和特征向量_矩阵的对角化_百度文库
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线性代数之第5章.特征值和特征向量_矩阵的对角化
线​性​代​数​之​第章​.​特​征​值​和​特​征​向​量​_​矩​阵​的​对​角​化
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你可能喜欢准对角矩阵可对角化的充要条件是每一块都可对角化,的必要性证明,麻烦给下思路,_作业帮
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准对角矩阵可对角化的充要条件是每一块都可对角化,的必要性证明,麻烦给下思路,
准对角矩阵可对角化的充要条件是每一块都可对角化,的必要性证明,麻烦给下思路,
 利用空间的观点比较简单.  当然这里需要用到一个结论:如果矩阵A可对角化,那么我们知道A有特征子空间的直和分解 那么对A的任何不变子空间W,我们有这个结论看起来简单,但是证明起来并不是那么好做的.提示一下,利用范德蒙德行列式!这样的话再来看本题,已知A是准对角阵那么我们知道V有A的不变子空间的直和分解 而A可对角化,因此他有特征子空间的直和分解,这样利用前面的结论可知对于每个Mi,A限制在它上面的Ai显然就有特征子空间的直和分解从而A在每个Mi上的限制可对角化线性变换的矩阵可对角化
上回说道,如果一个线性变换对应的相似矩阵中存在对角阵,用什么办法求解出这个对角阵。是否所有的线性变换都能求出其相似的对角阵呢?答案是否定的,那么什么样的线性变换可对角化呢?即线性变换的矩阵可对角化的问题。
1. 第一步推理
上文已知,线性变换A的矩阵可对角化,即A在n维线性空间V的一组基下可以表示为:
满足特征向量的条件,则是A的n个线性无关的特征向量(线性无关是显然地,因为是V的一组基)。
反过来,如果A有n个线性无关的特征向量,则将其取作线性空间的一组基,显然A在这组基下的矩阵成对角形。
于是得到第一个结果:线性变换A的矩阵可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
2. 第二步推理
显然会有人问:什么样的线性变换才具有n个线性无关的特征向量呢?最直接地,如果线性变换A有n个不同的特征值,则一定有n个线性无关的特征向量,于是矩阵可对角化,证明从略。
这是一个充分条件。也就是说,当一个线性变换没有n个特征值时,也有可能可对角化。
3. 第三步推理
假设线性变换有k个特征值(k&n)
则每个特征值都对应于一个特征子空间,可以记作:
则根据定理“线性空间中子空间的和仍为其子空间”有:
&&如果线性变换在基下的矩阵成对角线,则是A的n个线性无关的特征向量,而每个特征向量必定属于某个特征子空间,故对任意向量,有
于是,得到一个必要条件:线性变换A可对角化,则其所有k个特征子空间之和等于n维线性空间V。
反过来,如果k个特征子空间之和等于V,能否证明线性变换A可对角化。首先,上面我们已知“属于不同特征值的特征向量线性无关”,则特征子空间之间的交集为{0},简单地从每个特征子空间中取一组基,合并即可得到V的一组基,且该组基全部由特征向量组成,则A在该组基下的矩阵成对角形。
& 得到结果:n维线性空间V中线性变换A的矩阵可对角化的充要条件是其特征子空间之和等于V。
需要说明:特征子空间的和是直和,即上面提到的“特征子空间之间的交集为{0}”。
很明显,特征子空间的和等于V的充分必要条件是特征子空间的维数之和等于n,即:
所以线性变换对角化问题可以通过计算特征值和特征子空间的一组基得到解决。
以上网友发言只代表其个人观点,不代表新浪网的观点或立场。n阶矩阵A的n个特征值互不相同是A可以对角化的充分条件?n阶矩阵A有n个线性无关向量才可以推出A可以对角化啊,_作业帮
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n阶矩阵A的n个特征值互不相同是A可以对角化的充分条件?n阶矩阵A有n个线性无关向量才可以推出A可以对角化啊,
n阶矩阵A的n个特征值互不相同是A可以对角化的充分条件?n阶矩阵A有n个线性无关向量才可以推出A可以对角化啊,
确实是n阶矩阵A有n个线性无关向量可以推出A可以对角化.但n阶矩阵A的n个特征值互不相同时,每个特征值各取一个特征向量就找到了n个线性无关的特征向量(对应于不同特征值的特征向量是线性无关的),所以A一定可以对角化.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.

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