求2014汤家凤考研高数视频，或者李永乐的线性代数，王式安的概率论。_百度知道
求2014汤家凤考研高数视频，或者李永乐的线性代数，王式安的概率论。
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出门在外也不愁2014考研数学春季基础线性代数辅导讲义-汤家凤_百度文库
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2014考研数学春季基础线性代数辅导讲义-汤家凤
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于2015年考研数学春季基础班线性代数讲义(汤家凤)的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：2015年考研数学春季基础班线性代数讲义(汤家凤) 仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/6271课程配套讲义说明1、课程名称2014 年考研数学春季基础班线性代数2、课程内容此课程讲授线性代数基础阶段内容,通过梳理知识,使学员掌握整体知识脉络,掌握各个知识点,了解考试重难点。3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。著名考研辅导专家,南京大学博士,南京工业大学教授,江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验,通过自己的归纳总结,在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出,融会贯通,让学生真正掌握正确的解题方法。4、讲义:18 页(电子版)文都网校2014 年 3 月 28 日仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/6272第一讲行列式一、基本概念定义 1 逆序—设 ji, 是一对不等的正整数,若 ji
,则称),( ji 为一对逆序。定义 2 逆序数—设 niii 21 是 n,,2,1
的一个排列,该排列所含(来源：淘豆网[/p-.html])的逆序总数称为该排列的逆序数,记为)( 21 niii
,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义 3 行列式—由 2n 个数组成的下列记号nnnnnnaaaaaaaaaD21
称为 n阶行列式,规定nnnnjjjjjjjjjaaaD 21 2121 21)()1(
。定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnnnnnaaaaaaaaaD21
中元素 ija 所在的 i 行元素和 j 列元素去掉,剩下的 1n 行和 1n 列元素按照元素原来的排列次序构成的 1n 阶行列式,称为元素 ija 的余子式,记为 ijM ,称 ijjiij MA
)1( 为元素 ija 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如naaa00 0000 21,称为对角行列式,对角行列式等于其对角线上元素之积。2、上(下)三角行列式—称nnnnaaaaaa00 0 222 11211及nnnn aaaaaa21 (来源：淘豆网[/p-.html])0为上三角行列式和下三角行列式,它们都等于主对角线上的元素之积。3、范得蒙行列式—形如仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/ ),,,(nnnnnnaaaaaaaaaV 称为 n 阶范得蒙行列式,且nijjinnnnnn aaaaaaaaaaaV1 112 11 2121 )(111),,,( 。三、行列式的性质(一)把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等,即TDD
。2、对调两行(或列)行列式改变符号。3、行列式某行(或列)有公因子可以提取到行列式的外面。推论:(1)行列式某行(或列)元素全为零,则该行列式为零。(2)行列式某两行(或列)相同,行列式为零。(3)行列式某两行(或列)元素对应成比例,行列式为零。4、行列式的某行(或列)的每个元素皆为两数之和时,行列式可分解为两个行列式,即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaa(来源：淘豆网[/p-.html])aaaaaaaaaaaaabababaaaa21 1 111211 。5、行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列),行列式不变,即nnnnjnjjjninjijinnnnnjnjjiniinaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaa21 211 ,其中 k 为任意常数。(二)行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和,即),,2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii
,),,2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj
。7、行列式的某行(或列)元素与另一行(或列)元素的代数余子式之积的和为零。四、行列式的应用—克莱姆法则仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/6274对方程组0 00
1212111nnnnnnnnnxax(来源：淘豆网[/p-.html])axaxaxaxaxaxaxa( I ) 及nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa( II )其中)(II 称为非齐方程组, )(I 称为)(II 对应的齐次方程组或)(II 的导出方程组。令nnnnnnnnnnnnnnnnbaabaabaaDaabaabaabDaaaaaaaaaD21
,其中 D称为系数行列式,我们有定理 1 )(I 只有零解的充分必要条件是 0D ; )(I 有非零解(或者)(I 有无穷多个解)的充分必要条件是 0D 。定理 2 )(II 有唯一解的充分必要条件是 0D ,且),,2,1( niDD当 0D 时,)(II 要么无解,要么有无穷多个解。例题部分1、计算行列式3 2152D (答案: 9 )2、设3 2152D ,求(1)
MMMM (来源：淘豆网[/p-.html]) ;(2) 3231 MM
。3、设 321 ,,,,
为 4 维列向量,且 4|,,,||| 321
A , 21|,3,,||| 321
B ,求|| BA
。仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/6275 4、计算nnaaaaD1 11113 21,其中)1(0 niai
。第二讲矩阵一、基本概念及其运算1、矩阵—形如mnmmnnaaaaaaaaa21 称为 m 行 n 列的矩阵,记为 nmijaA
)( ,行数与列数相等的矩阵称为方阵,元素全为零的矩阵称为零矩阵。(1)若矩阵中所有元素都为零,该矩阵称为零矩阵,记为 O 。(2)对 nmijaA
,称 A 为 n 阶方阵。(3)称1 1E 为单位矩阵。(4)同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同,称两个矩阵为同型矩阵,若两个矩阵为同型矩阵,且对应元素相同,称两个矩阵相等。2、对称矩(来源：淘豆网[/p-.html])阵—设 nnijaA
)( ,若),,2,1,( njiaa jiij
,称 A 为对称矩阵。4、转置矩阵—设mnmmnnaaaaaaaaaA21 ,记mnnnmmTaaaaaaaaaA21 ,称TA 为矩阵 A 的转置矩阵。5、伴随矩阵—设 nnijaA
)( 为 n 矩阵,将矩阵 A 中的第i 行和 j 列去掉,余下的元素按照原来的元素排列次序构成的 1n 阶行列式,称为元素 ija 的余子式,记为 ijM ,同时称ijjiij MA
)1( 为元素 ija 的代数余子式,这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/6276式,记nnnnnnAAAAAAAAAA21 ,称为矩阵 A 的伴随矩阵。6、矩阵的四则运算(1)矩阵加减法—设mnmmnnaaaaaaaaaA21 ,mnmmnnbbbbbbbb(来源：淘豆网[/p-.html])bB21 ,则mnmnmmmmnnnnbababababababababaA1。(2)矩阵乘法1)数与矩阵的乘法—设mnmmnnaaaaaaaaaA21 ,则mnmmnnkakakakakakakakakakA21 。2)矩阵与矩阵的乘法:设mnmmnnaaaaaaaaaA21 ,nsnnssbbbbbbbbbB21 ,21 ,其中 nkkjikij bac1( sjmi ,,2,1;,,2,1
)。[注解](1) OBOA
, 推不出 OAB
,如 OBOA 10 10,01 01, OAB
。(2) BAAB
。(3)矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若 BAAB
,则)2)((23 22BABABABA
,再如)2)(3(62EAEAEAA
。(4)方程组的三种形式仅供学习请于 2(来源：淘豆网[/p-.html])4 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/6277形式一:方程组的基本形式.0,0,0
1212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa( I )与.,,mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa( II ),( I )( II )分别称为齐次与非齐线性方程组。记,,, 2 12 121 mnmnmmnnbbbbxxxXaaaaaaaaaA则方程组( I )、( II )可改写为形式二:方程组的矩阵形式0AX , ( I )bAX
, ( II )令mnmnnnmm bbbxxXaaaaaa111 212 21 111 ,,,,,
,则有形式三:方程组的向量形式Oxxx nn
2211 ( I )Oxxx nn
2211 ( II )二、矩阵的逆阵(一)逆阵问题的产生对一元一次方程)0(
abax ,其解(来源：淘豆网[/p-.html])有如下几种情况:(1)当 0a 时, bax
两边乘以a1得abx
。(2)当 0,0
ba 时,方程 bax
的解为一切实数。(3)当 0,0
ba 时,方程 bax
无解。设 A 为 n 阶矩阵,对方程组 bAX
,若存在 n 阶矩阵 B ,使得 EBA
,则在方程组bAX
两边左乘 B ,得 BbBAX
。(二)逆矩阵的定义设 A 为 n 阶矩阵,若存在 B ,使得 EBA
,称 A 可逆,B 称为 A 的逆矩阵,记为1 AB 。(三)两个问题问题 1 设 A 为 n 阶矩阵, A 何时可逆?问题 2 若 A 可逆,如何求1A ?仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/6278(四)逆阵存在的充分必要条件定理设 A 为 n 阶矩阵,则矩阵 A 可逆的充分必要条件是 0|| A 。(五)逆阵的求法(1)方法一:伴随矩阵法 AAA||11。(2)初等变换法)|()|( 1AEEA 初(来源：淘豆网[/p-.html])等行变换。(六)初等变换法求逆阵的思想体系第一步,方程组的三种同解变形(1)对调两个方程;(2)某个方程两边同乘以非零常数;(3)某个方程的倍数加到另一个方程,以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步,矩阵的三种初等行变换(1)对调矩阵的两行;(2)矩阵的某行乘以非零常数倍;(3)矩阵某行的倍数加到另一行,以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。若对矩阵的列进行以上三种变换,称为矩阵的初等列变换,矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。第三步,三个初等矩阵及性质1、 ijE —将 E 的第 i 行与第 j 行或者单位矩阵 E 的第 i 列与第 j 列对调所得到的矩阵,如23 E。性质: 1) 1|| ijE ;1) ijij EE 1;3) AEij 即为矩阵 A 的第 i 行与第 j 行对调, ijAE 即为矩阵 A 的第 i 列与第 j 列对调,即 AEij是对 A 进行第一种初等行变换, ijAE 是对 A 进行第一种初等列变换。2、)0)(( ccEi —将 E 的第 i 行乘以非零常数 c 或 E 的第 i 列乘以非零常数 c 所得到的矩阵,如)5(500
E 。性质:1) ccEi |)(| ;2) )1()(1cEcE仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/6279 3) AcEi )( 即为矩阵 A 的第 i 行非零常数 c , )(cAEi 即为矩阵 A 的第 i 列非零常数 c ,即AcEi )( 为对 A 进行第二种初等行变换, )(cAEi 为对 A 进行第二种初等列变换。3、)(kEij —将 E 第 j 行的 k 倍加到第 i 行或 E 的第 i 列的 k 倍加到第 j 列所得到的矩阵。性质:1) AkEij )( 即 A 第 j 行的 k 倍加到第i 行, )(kAEij 即 A 第i 列的 k 倍加到第 j 列;2) 1|)(| kE3) )()(1kEkE ijij 。第四步,三个问题问题 1 设 A 是 n 阶可逆矩阵, A 可都经过有限次初等行变换化为 E ?问题 2 设 A 是 n 阶不可逆矩阵, A 是否可以经过有限次初等行变换化为OOOEr?问题 3 设 A 是 n 阶不可逆矩阵, A 是否可以经过有限次初等变换化为OOOEr?第五步,逆阵计算理论问题 1 的答案是肯定的,于是有定理 1 设 A 是 n 阶可逆矩阵,则 A 经过有限次初等行变换化为 E ,且)()( 1 AEEA
。定理 2 设 A 是 n 阶不可逆矩阵,则存在 n 阶可逆矩阵 P 和Q ,使得OOOEPAQ r。(七)逆矩阵的性质(1) AA
11)( 。(2)11 1)(
AkkA 。(3)111)(
ABAB ,更进一步1 11 111 21 )(
AAAAAA nnn
。(4)TTAA )()( 11
。三、矩阵的秩(一)问题背景方程组 bAX
的解的情况有如下三种情形:情形一: A 是 n 阶可逆矩阵,由 bAX
,得 bAX 1 ;情形二: A 是 n 阶不可逆矩阵情形三: A 是 nm 矩阵且 nm
。(二)矩阵秩的定义设 A 是 nm 矩阵, A 中任取 r 行和 r 列且元素按原有次序所成的 r 阶行列式,称为 A 的 r仅供学习请于 24 小时内删除│官网::010-2/844/851/855/876/62710阶子式,若 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零,而所有 1r 阶子式(如果有)皆为零,称 r为矩阵 A 的秩,记为 rAr )( 。(三)矩阵秩的求法将 A 用初等行变换化为阶梯矩阵,阶梯矩阵的非零行数即为矩阵 A 的秩。(四)矩阵秩的性质(1) )()()()( AArAArArAr TTT 。(2) )()()( BrArBA(3) )}(),(min{)( BrArABr
,等价于)()()()(BrABrArABr,即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高。(4)设 snnm BA
, ,且 0AB ,则 nBrAr
)()( ;(5)设 QP, 为可逆矩阵,则)()()()( PAQrAQrPArA(6) )2(1)(,0 1)(,1)(,)( nnArnArnArnAr 。(7) )()( BrArBA(8)1) OAAr
0)( 。 2)若 OA
,则 1)( Ar 。(3)若矩阵 A 至少有两行不成比例,则 2)( Ar 。(4)
1)(Ar 存在非零向量, ,使得TA
。[注解](1)矩阵转置性质1) AA TT)( 。 2)TTkAkA )( (其中 k 为常数)。3)TTTBABA
)( 。 4)TTTABAB )( 。(2)矩阵对应的行列式的性质1)设 BA, 为同阶方阵,则|||||| BAAB
。 2) |||| AAT 。3) |||| AkkA n 。 4)1||||
nAA 。 5)设矩阵 A 可逆,则||1|| 1AA 。例题部分1、设 A 为 n 阶矩阵,且 OAk ,求1)(
AE 。2、设100 110111A ,且 EABA 2,求 B 。播放器加载中，请稍候...
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