（2010•枣庄模拟）如图，四棱锥p abcd-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-08-24 15:42 标签： 已知四棱锥p abcd
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AB垂直AD,AC垂直CD,角ABC=60,PA=AB=BC,E是PC中点.求证1、CD垂直于AE 2、PD垂直于平面ABE_作业帮
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AB垂直AD,AC垂直CD,角ABC=60,PA=AB=BC,E是PC中点.求证1、CD垂直于AE 2、PD垂直于平面ABE
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AB垂直AD,AC垂直CD,角ABC=60,PA=AB=BC,E是PC中点.求证1、CD垂直于AE 2、PD垂直于平面ABE
(1) PA垂直面ABCD =>PA垂直CD CD垂直AC =>CD垂直面PAC =>CD垂直AE(2) AB=BC ∠ABC=60 =>AB=AC=BC=PA 又E是PC终点 =>AE垂直PC加上（1）中AE垂直CD 所以AE垂直面PCD =>PD垂直AE又PA垂直AB AB垂直AD =>AB垂直面PAD =>AB垂直PD综上有PD垂直面ABE(1)求证：AM⊥PD；
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．
解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，∴AB⊥平面PAD.
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB?平面ABM，
BM?平面ABM，∴PD⊥平面ABM.
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0，1,1)．
∴＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,0)．
设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥可得
令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，
则sinα＝＝.
∴cosα＝.
∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.
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（2014o温州模拟）如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为矩形．PA=AD，侧面PAD垂直于底面ABCD，E是PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面AEC．
（2014o温州模拟）如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为矩形．PA=AD，侧面PAD垂直于底面ABCD，E是PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面AEC．
（1）连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴以EO∥PB，（2分）又∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；（6分）（2）∵侧面PAD垂直于底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．（8分）∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．（10分）∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PDC．（12分）又∵AE?平面PAD，∴平面PDC⊥平面AEC．（14分）
本题考点：
平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
问题解析：
（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（2）要证平面PDC⊥平面AEC，需要证明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC内的两条相交直线．四棱锥P-ABCD底面为矩形PD垂直于底面ABCD,AD=AP=2,EF分别是CD,PB 的中点，求证EF垂直于面PAB_百度知道
四棱锥P-ABCD底面为矩形PD垂直于底面ABCD,AD=AP=2,EF分别是CD,PB 的中点，求证EF垂直于面PAB
提问者采纳
F分别是PA.com/zhidao/pic/item/eac4bb16b9fb48a82b9014b90ebff.baidu，又∵AD⊥CD.baidu，∴DG⊥AP(等腰三角形三线合一)∴DG⊥平面/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=eeccf3a0a246fd3a76de27/eac4bb16b9fb48a82b9014b90ebff，∴GF∥且=1/2AB又∵CD∥=1/2AB∴GF∥且＝CD，∴CD⊥平面/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=055c8be5f21fbe091c0bcb105e502005/eac4bb16b9fb48a82b9014b90ebff；∵DA=DP、DG、PB中点，∴四边形DEFG是平行四边形，∴CD⊥DG∴DG⊥GF://g.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http，∴EF∥DG∵PD⊥平面ABCD.hiphotos，连结GF，∴PD⊥CD.baidu，∵G.hiphotos://g.jpg" />取AP中点G://g.hiphotos.jpg" esrc="http<a href="http
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PD垂直底面，连结DG
这样就构造出了一个 平行四边形EFDG
而由题给条件，容易知道三角形PAD 是一个 等腰直角三角形GD是这个三角行的中垂线过F作FG平行AB，交PA于G，AD=PD
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