用泰勒公式求极限例题详解求解本题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-12-02 07:07 标签： 什么软件可以做数学题

牛顿法用泰勒公式展开是很好理解的。
这里先说明一下，牛顿法和泰勒公式

我们知道一个求解简单方程时候，可以通过它的线性变换，最终得到一个解。但是对于一个复杂的根 比如说 求解一个无理数解的时候 。我们是没办法直接算出的解，这时候就需要做一个近似的解代替，这里的近似指的是在误差范围内的近似解。
这时候就可以用牛顿法做迭代近似才能解出来。

  • 因为求解一个方程的根，所以方程的左边可以为 0 。 x0 表示初始化的解，x 表示方程的迭代方向解。那么用牛顿法来迭代，
  • 肯定是 x = g(x0） 是关于一个x0 的函数迭代更新。我们接下来看这个函数是如果迭代的。


因为是近似解，那么很容易得到：
这就是牛顿法求根问题的更新步骤。牛顿确实牛！
依照这一原理，用牛顿法求根的 步骤为：
因此牛顿法求解方程的根Python伪代码过程为： 

1.依照方程定义函数，并求出一阶导数f `(x)
2.初始化 误差 为1 ， 初始化起始值x0;

得到x 为最终的误差范围内的根。


原理，既然求的是最值/极值，那个肯定是一阶导数为0， 在任意函数做泰勒展开之后，求一阶导数，并且令一阶导数为0，即可得出迭代的公式，推导如下：

  • 先看一下这个二阶泰勒展开：
  • 然后上面等式对x求导：
:param start: 起始点，注意要合法，不能出现分母为0 的情况 :return: 更新迭代的 x, 以及在误差范围内的最值/极值（除非这个函数是凸函数，这个可以依照函数的二阶条件判断，也就是海森矩阵半正定即可）

以上说的牛顿法求解问题都是很简单的一元函数，但是实际上的参数往往是多元的。这时候只需要求的一阶导数变为 一阶偏导数，二阶偏导数就是Hessian 矩阵，海塞矩阵。详细看《统计学习方法》附录B。

我们看这个迭代公式，首先分母不能为0，也就是海塞矩阵要正定，其二，分母为二阶导，多元时为海塞矩阵 ，因为表示为（分母分之一），也就是需要对海塞矩阵做一个逆运算，这里很复杂的计算步骤。因此基于这个思路，迭代时用一种近似正定矩阵代替了海塞矩阵的逆矩阵/海塞矩阵迭代更新，这种方法就是拟牛顿法。

建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和，定常系统和，和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、、和适应控制理论。

2006年9月第一版；2017年2月第二版

郭小勤.《自动控制原理》.华南理工大学出版社.2012.

张嗣瀛 高立群.《现代控制理论》（第二版）.清华大学出版社.2017.

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3、证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局

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6、(1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?

7、(2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制?

8、(3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取?

9、用四步四阶的Adams显式方法

求解初值问题取h=0.1.

10、用形如的线性二步法解

试确定参数，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项. 题解如下：

1、解: 直接将Eulerr法应用于本题，得到

由于，直接代入计算，得到

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