高等代数 上册作者：丘维声，絀版社：清华大学出版社出版时间：2010年05月，高清扫描版带完整书签
北京市高等教育精品教材立项项目 高等代数(册) 大学高等代数课程创噺教材 苯大学出版社 北京 内容简介 本套书作为大学“高等代数”课程的创新教材,是国家级优秀教学团队(北京大学基础数学教学 团队)课程建設的组成部分,是国家级教学名师多年来进行高等代数课程建设和教学改革的成果。 本套书以讲述线性空间和多项式环的结构及其态射为主線,遵循高等代数知识的内在规律和学生 的认知规律安排内容体系,按照数学思维方式编写,着重培养数学思维能力上册内容包括:线性方程 组,荇列式,n维向空间K",矩阵的运算,欧几里得空间Rn,矩阵的相抵、相似,以及矩阵的合同与二次 型。下册内容包括:多项式环,线性空间,线性映射,具有度量嘚线性空间(欧几里得空间、酉空间、正交 空间和辛空间),环、域和群的概念及重要例子,多重线性代数 书中每节均包括内容精华、典型例题、习题,章末有补充题,还特别设置了“应用小天地”板块。本书 内容丰富、全面深刻,阐述清晰、详尽、严谨,可以帮助读者在高等代数理论上囷科学思维能力上都达到 相当的高度本书适合用作综合大学、高等师范院校和理工科大学的“高等代数”课程的教材,还可作为 “高等代數”或“线性代数”课程的教学参考书,也是数学教师和科研工作者高质量的参考书。 本书封面贴有清华大学出版社防伪标签,无标签者不得銷售 版权所有侵权必究侵权举报电话:010-1121933 图书在版编目(CIP)数据 高等代数(上册)—大学高等代数课程创新教材/丘维声著.一北京:清华大学出版社,.cn 邮编:100084 社总机:010- 邮购:010- 印数:1~5000 定价:43.80元 产品编号: 序 高等代数是大学数学科学学院(或数学系,应用数学系)最主要的基础课程之一。本 套教材是作者在北京大学進行高等代数课程建设和教学改革的成果,它具有下述鲜明 特色 1.明确主线:以研究线性空间和多项式环的结构及其态射线性映射,多项式环的通 用性质)为主线。自从1832年伽罗瓦( Galois)利用一元高次方程的根的置换群给出了方 程有求根公式的充分必要条件之后,代数学的研究对象发生了根本性的转变研究各种 代数系统的结构及其态射(即保持运算的映射)成为现代代数学研究的中心问题。20世 纪,代数学研究结构及其态射的观点已經渗透到现代数学的各个分支中因此,在高等代 数课程的教学中贯穿研究线性空间和多项式环的结构及其态射这条主线,就是把握住了 代数學的精髓。 本套教材上册的第1,2,3章研究线性方程组的解法、解的情况的判别和解集的结构 时,贯穿了研究数域K上n维向量空间K”及其子空间的结構这条主线线性方程组是 数学中最基础、最有用的知识,n维向量空间K"是n维线性空间的一个具体模型,n元齐 次线性方程组的解空间的维数公式夲质上是线性映射的核与值域的维数公式。因此把线 性方程组和n维向量空间K作为高等代数课程的开始部分的内容,既符合学生的认知 规律,又昰高等代数知识的内在规律的体现上册的第4,5,6章研究矩阵的运算,矩阵的 相抵、相似、合同关系及与它们有关的矩阵的特征值和特征向量、②次型。研究矩阵的运 算为研究线性映射打下了基础矩阵的相抵关系在解决有关矩阵的秩的问题中起着重要 作用,而矩阵的秩本质上是相應的线性映射的值域的维数。研究矩阵的相似标准形本质 上是研究线性变换在一个合适的基下的矩阵具有最简单的形式研究对称矩阵的匼同标 准形与研究二次型的化简密切相关,而二次型与线性空间V上的双线性函数有密 切联系。 本套教材下册的第7章研究一元和n元多项式环的結构及其态射(多项式环的通用 性质),第8章研究线性空间的结构,第9章研究线性映射,第10章研究具有度量的线性 空间的结构及与度量有关的线性变換第11章研究多重线性代数时,基础概念是多重线 性映射,主要工具是线性空间的张量积 2.内容全面。本套教材包括线性代数,多项式理论,环、域群的概念及重要例子,多 重线性代数,共四部分在下册第7章从数域K上所有一元多项式组成的集合、整数集、 数域K上所有n级矩阵组成的集合都囿加法和乘法运算,自然而然地引出了环的概念; 从数域K上所有分式组成的集合、模p剩余类(力是素数)组成的集合,水到渠成地引出 了域的概念。於是我们在下册第8章讲的是任意域上的线性空间,而不只是数域上的线 高等代数(上册 性空间这是当今信息时代的需要,因为在信息的安全与鈳靠中大量使用二元域上的线 性空间理论。我们不仅着重研究有限维的线性空间,也研究无限维的线性空间,因为许多 函数空间都是无限维线性空间我们在第9章不仅研究线性变换的 Jordan标准形,而且 研究线性变换的有理标准形。我们在第10章不仅研究欧几里得空间和酉空间,而且研究 正茭空间和辛空间;不仅研究欧几里得空间上的正交变换、对称变换,西空间上的酉变换, 而且研究酉空间上的 Hermite变换、正规变换在第0章讲了欧几裏得空间上的正交变 换,酉空间上的酉变换,正交空间上的正交变换,辛空间上的辛变换之后,水到渠成地引出 群的概念,介绍了正交群、酉群、辛群。我们在第11章研究了线性空间的张量积,张量及 张量代数,外代数(或格拉斯曼( Grassmann)代数),它们在微分几何、现代分析、群表示论 和量子力学等领域Φ有重要应用 本套教材的第 个组成部分,内容之间的内在联系可以用下述框图来表示 数域K上n维 具有度量的 向量空间K 线性空间 线性空间 线性代數 线性方程组 运算 线性映射 相抵 矩阵 线性变换 与内积有关 相似 线性函数 的线性变换 二次型 双线性函数 一元多项式环 结构 多项式理论 高次方程 通用性质 结构 n元多项式环 通用性质 环(整数环,一元多项式环,n元多项式环, 全矩阵环,线性变换环,模m剩余类环) 环、域 群的概念 及重要例子 域〔数域,模p剩余类域) 群(一般线性群,正交群,酉群,辛群) Ⅲ 3.理论深刻本套教材阐述了深刻的理论,证明了许多重要结论。举例如下 矩阵A的秩是A的行向量組的秩,也是A的列向量组的秩A的秩等于A的不为 零的子式的最高阶数,等于A的行向量组生成的子空间(简称为行空间)的维数,等于A 的列向量组生成嘚子空间(简称为列空间)的维数。设V是域F上的n维线性空间,V上 的线性变换A在V的一个基a1,a2,…,an下的矩阵为A,则A的秩等于A的值域的维数 设V中向量组B1,R2,…,B的唑标组成的矩阵为B,则B的秩等于1A2,…,B生成的子 空间的维数。由此可知,矩阵的秩是一个非常深刻的概念,它有许多重要应用例如,线 性方程组有解嘚充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相等的秩。n元齐次线性方 程组AX=0的解空间的维数等于n-rank(A)矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 设A,B分别昰数域K上的s×n,n×s矩阵,则 I,-AB=JIr-BA I 利用这个结论证得,AB与BA有相同的非零特征值,并且重数相同。 AA 设A 是数域K上n级对称矩阵,且A1是r级可逆矩阵,则 Az A Ⅳ 高等代数(上册) A A A|=A1||A4-A241A2 0A4-A411A 利用这个结论简洁地证得,实对称矩阵A是正定的充分必要条件是:A的所有顺序主子 a B 式全大于0利用上述结论还证得,设M 是n级正定矩阵,则|M≤A||D B′D 等号荿立当且仅当B=0进而证得,若A=(a4)是n级正定矩阵,则|A|≤a12…am, 等号成立当且仅当A是对角矩阵由此立即得到 Hadamard不等式 若C=(c)是n级实矩阵,则C|2≤Ⅱ(a,+c3,+…+ 数域K上n级矩阵A能够汾解成一个主对角元都为1的下三角矩阵B与可逆上三 角矩阵C的乘积A=BC(称为LU-分解)当且仅当A的各阶顺序主子式全不为0,并且A 的这种分解是唯一的。 n级實可逆矩阵A能够唯一地分解成正交矩阵T与主对角元都为正数的上三角矩 阵B的乘积A=TB 设A是m×n列满秩实矩阵,则A能够唯一地分解成A=QR,其中Q是列向量组為 正交单位向量组的m×n矩阵,R是主对角元都为正数的n级上三角矩阵,这称 为QR分解 设A是n级实可逆矩阵,则存在正交矩阵T和两个正定矩阵S1,S2,使得A=TS1 S2T,并且A嘚这两种分解的每一种都是唯一的。(这称为极分解定理) 设A是n级复可逆矩阵,则存在酉矩阵P和两个正定 Hermite矩阵H1,H2,使得 A=PH1=H2P,并且A的这两种分解的每一种嘟是唯→的。(这也称为极分解定理) 对于任一n级实可逆矩阵A,存在两个正交矩阵T1,T2,使得 A=Tdag{A1,A2,…,n}T2,其中λ,A2,…,A2是A'A的全部特征值 设A是m×n实矩阵,则A可以分解成A=QDT,其ΦQ是列向量组为正交单位向量 组的m×n矩阵;D是主对角元A1,入2,…,An全为非负数的n级对角矩阵,且A,A,…,入2是 AA的全部特征值;T是n级正交矩阵,它的第列是AA的属于特征值入的一个特征 向量,=1,2,…,nA的这种分解称为奇异值分解,其中D的非零的主对角元称为A的 奇异值。A的奇异值分解在生物统计学等领域中有应鼡 设f(x),g(x)∈F[x],域E=F,则在F[x]中g(x)|f(x)当且仅当在E[x]中 g(x)|f(x),称之为整除性不随域的扩大而改变。f(x)与g(x)的首项系数为1的最大公 因式也不随域的扩大而改变,从而互素性也不隨域的扩大而改变若F是特征为0的 域,则f∫(x)有无重因式不随域的扩大而改变。我们证明了:设A是域F上的n级矩阵,域 E→F,则A的最小多项式m(λ)不随域的擴大而改变显然,A的特征多项式不随域的扩 大而改变。我们还证明了:A的特征多项式f()与A的最小多项式m()在域F中有相 同的根(重数可以不同),在域E中吔有相同的根(重数可以不同) 本套教材在研究线性空间的结构时,证明了有限维线性空间的许多结论对于无限维 线性空间也成立例如,域F上线性空间V的两个子空间V1,V2(它们可以是无限维的) 的和是直和当且仅当V1的一个基与V2的一个基合起来是V1+V2的一个基。域F上线 序 V 性空间V的任一子空间W(可以昰无限维的)都有补空间,即存在V的子空间U,使得 V=W⊕U从而对于V的任一子空间W,都存在平行于W的一个补空间U在W上的 投影Pw,并且ImPw=W, Ker Pw=U 若A是域F上线性空间V上的冪等线性变换,则A是平行于KerA在ImA上的投 影,且V= Im AOKer A。反之,若V=WU,则平行于U在W上的投影Pw是幂等变 换,平行于W在U上的投影Pu也是幂等变换,且PPw=PwPu=0(此时称Pu与Pw正 分解成上述┅次因式的方幂的乘积,我们通过把ⅴ分解成A的根子空间的直和,在A的 每个根子空间W=Ker(A-λ,)中取一个合适的基(通过W上的幂零变换 B=A|W,一λ来找合适的基),使得AW,在此基下的矩阵A,为一个 Jordan形矩阵;把 W(j=1,2,…,s)的基合起来成为V的一个基,则A在V的这个基下的矩阵 A=diag{A1,A2,…,A,}是一个 Jordan形矩阵,称它为A的 Jordan标准形除去 Jordan 块的排列次序外,A的 Jordan标准形是唯一的 Witt消去定理的推广:设F是特征不等于2的域,A1,A2是域F上n级对称矩阵 B1,B2是域F上的m级对称矩阵。如果 A10 A20 0 B 0 B 且A1=A2,那么B1≈B2 设V是特征不为2的域F上的n維线性空间,f是V上的对称或斜对称双线性函 数,W是V的一个非平凡子空间,则V=WW的充分必要条件为f在W上的限制是 非退化的,其中W:={a∈Vf(a,B)=0,VB∈W 设q是欧几里得空间R”上的一个二次函数,则q的零锥S(即:使得q()=0的所有 组成的集合)包含Rn的一个标准正交基的充分必要条件是:q在R的一个标准正交基 Ⅵ 高等代数(上册) (从而茬R的任一标准正交基)下的矩阵的迹等于0由此立即得到解析几何中的一个 结论:在直角坐标系中,顶点在原点的二次锥面a1x2a2y2+a2+2a12xy+2a13xz+ 2a23yz=0有3条互相垂直的直母線的充分必要条件是a1+a22+a3=0。从上述结论及 其充分性的证明可得到:n级实对称矩阵A正交相似于主对角元全为0的矩阵当且仅当 A的迹为0我们还证明了:對于域F上的n级矩阵A,若A的迹为0,则A相似于一个 主对角元全为0的矩阵 我们建立了域F上n维线性空间ⅴ上的双线性函数空间T2(V)与V上的线性变换 空间Hom(V,V)之间嘚一个同构映射(不用矩阵作为桥梁):设f是V上的一个非退化双 线性函数,任给V上的一个双线性函数g,存在V上唯一的一个线性变换G,使得 g(a,B)=f(G(a, B), Va, V 令a:g→G,则a是T2(V)到Hom(V,V)的┅个同构映射。利用这个同构映射,我们 给出了特征不为2的域F上两个n级对称矩阵A,B可一齐合同对角化(即存在同一个可 逆矩阵P,使得PAP和PBP都为对角矩陣)的充分必要条件当A可逆时,这个充分 必要条件是A-B可对角化(即A1B可相似于一个对角矩阵)。当A不可逆时,若存在 A∈F,使得A+入B可逆且(A+入0B)B可对角化,则A与B鈳一齐合同对角化;若存 在A0∈F,使得A+A0B可逆且(A+A0B)1B不可对角化,则A与B不能一齐合同对 角化 n维欧几里得空间V上的任一正交变换都可以表示成至多n+1个镜面反射的乘积, 其中n≥2 设A是n维欧几里得空间v上的斜对称变换(即:Ha,∈v,有(Aa,B)=-(a,AB)) 则A—【与A+I都可逆,且B=(A+D(A—1)是V上的正交变换反之,若B是V上 的正交变换,且-1不是B的特征值,則A=(B-D)(B+Ⅰ)1是V上的斜对称变换 实内积空间V上的变换P是V在一个子空间上的正交投影当且仅当P是幂等的对 称变换。 设P1和P2分别是实内积空间V在子空间U1和U2仩的正交投影,则P1+P2是正 交投影当且仅当U1和U2是互相正交的(即UU),且此时P1+P2是V在UU2上 的正交投影;P1P2是正交投影当且仅当PP2=P2P1,且此时P1P2是V在U1∩U2上的正 交投影 设A是n维歐几里得空间V上的对称变换,A1,入2,…,λ:是A的所有不同的特征值,属 于A;的特征子空间记作V,用P;表示V在V,上的正交投影,=1,2,…,s,则A ∑λP;。这表明正交投影是对称變换的基本建筑块又由于n维欧几里得空间v上的线性 变换A是对称变换当且仅当V中存在一个标准正交基使得A在此基下的矩阵为对角矩 阵,因此囸交投影是V中能够找到标准正交基使得在此基下的矩阵为对角矩阵的线性变 换的基本建筑块。 设A是n维欧几里得空间V上的对称变换,对于任意a∈V且a≠0,令F(a) (a,),则F(a)在A的属于最小(大)特征值的一个单位特征向量处达到最小(大)值