课时训练14　数列求和

　　二、裂项相消法求和

　　(2)求数列的前n项和Tn.

　　由已知可得又q>0,

　　三、错位相减法求和

　　7.数列,…,,…前n项的和为　　　　.

　　解:(1)由题意有,

　　(建议用时:30分钟)

　　1.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为(　　)

　　2.已知数列an满足a1{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=,则项数n等于(　　)

　　由等比数列的性質可得{}仍为等比数列,且首项为,公比为q2,

　　5.已知数列an满足a1{an}:,…,那么数列{bn}=前n项的和为(　　)

　　∴数列的前2 013项的和为:

　　高三数列压轴题归纳总结

　　一、奇偶数列求和问题： 1、相邻两项符号相异:

　　2、相邻两项之和为常数;

　　3、相间两项之差为常数;

　　4、相间两项之比为常数;

　　②、几个字母的取整问题：

　　; (3)是否存在正整数m,n且1?m?n，使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在求出m,n的值，若不存在说明理由.

　　(3)是否存在正整数m,n?1?m?n?，使嘚T1,Tm,Tn成等比数列?若存在求出所有m,n 的值;若不存在，请

　　说明理由.(6分)

　　; (3)设有m项的数列?bn?是连续的正整数数列并且满足：

　　问数列?bn?最多有幾项?并求这些项的和.

　　(2)求数列{an}的通项公式;

　　三、用放缩法求和问题及证明不等式问题：

　　(3)是否存在正整数m，n使得成立?若存在，请求出所有符合条件的有序整数对?m

　　(m,n);若不存在请说明理由.

　　(2)求数列?an?的通项公式;

　　(3)证明：对任意的整数m>4,有

　　2、已知曲线C：y?

　　时，數列{an}中是否存在三项构成等差数列若存在，请求出此三项;若不存在请说明理由. 3

　　(n?N*)，求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项の积. an

　　四、分段与周期数列

　　⑴当a1=1c=1，d=3时求数列{an}的通项公式

　　五、单调性求最值及恒成立问题：

　　??对一切n?N*都成立?若存在，求出角?的取值范围;若不存在请说?2n?1?

　　六、与其他点结合题型： 1、与二项式结合：

　　例：已知递增的等差数列{an}的首项a1?1，且a1、a2、a4成等比数列.

　　(1) 求函数f(x)的解析式和值域;

　　(2) 试写出一个区间(a,b)使得当a1?(a,b)时，数列{an}在这个区间上是递增数列并说明理由; (3) 已知a1?

　　，是否存在非零整数?使嘚对任意n?N，都有 3

　　恒成立若存在，求之;若不存在说明理由.

　　(2)设数列{cn}对任意n?N，都有

　　2、与程序框图结合：

　　例：对任意函数f?x?x?D，可按图示构造一个数列发生器其工作原理如下：

　　4、与圆锥曲线集合：

　　①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1?f(x0);

　　②x1?D则数列发生器结束工作;若x1∈D，则将x1反馈回输入断再输出

　　,则由数列发生器产生数列{xn}.请写出数列{xn}的所有项; 65

　　?An?1AnPn，? 均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A0為坐标原点).

　　(1)写出an?1、an和xn之间的等量关系

　　以及an?1、an和yn之间的等量关系; (2)猜测并证明数列{an}的通项公式; (

　　(2)若要数列发生器产生一个无穷的瑺数数列，试求输出的初始数据x0的值;

　　(3)(理)若输出x0时产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n均有

　　3、与概率统计结合：

　　例：已知数列an满足a1{an}是仅从?1,0,1这三个整数中取值所得 到的数列，?为常数经过右框图中的程序处理，输出S和T.

　　(1)若输入n?50及一个确定的?值且输出的S和T分别滿足S??50?，

　　(2)若输入n?10??1，且输出的S和T分别满足S?6T?30.试求满足条件的数列{an}的个数;

　　6、与绝对值不等式结合：

　　(3)已知数列an满足a1{an}中恰有54项的值为0，且输出的S的值为20若对于任意的??4都有T?106恒成立，试求数列{an}的项数n的最小值.

　　(3)是否存在a1使得a1,a2,?an,?成等差数列?若存在，求出所有这样的a1若不存在，说明理由.

　　七、创新定义数列：

　　1、如果存在常数a使得数列?an?满足：若x是数列?an?中的一项则a?x也是数列?an?中的一项，称数列?an?为“兑换數列”常数a是它的“兑换系数”.

　　(1)若数列：1,2,4,m(m?4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值;

　　(2)已知有穷等差数列?bn?的项数是n0(n0?3)所有项之囷是B，求证：数列?bn?是“兑换数列”并用n0和B..表示它的“兑换系数”;

　　(3)对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列?cn?是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.

　　3、对于给定数列{cn}如果存在实常数p,q使得cn?1?pcn?q对于任意n?N都成立，我们称数列{cn}是 “M

　　(1)若an?2nbn?3?2n，n?N数列{an}、{bn}是否为“M类数列”?若是，指出它对应的 实常数p,q若不是，请说明理由;

　　(2)证明：若数列{an}是“M类数列”则数列{an?an?1}也是“M類数列”;

　　(4)根据对(2)(3)问题的研究，对数列{an}的相邻两项an、an?1提出一个条件或结论 与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假.

　　4、定义：若数列?An?满足An?1?An则称数列?An?为“平方递推数列”。已知数列an满足a1?an? 中a1?2，

　　?an?1 ;②存在实数M使an?M. 2、如果无穷数列?an?满足下列条件：①n

　　其中n?N，那么我们称数列?an?为?数列.

　　(1)设数列?bn?的通项为bn?5n?2n且是?数列，求M的取值范围; (2)设?cn?是各项为正数的等比数列Sn是其前项和，c3? 证明：数列?Sn?是?数列;

　　(3)设数列?dn?是各项均为正整数的?数列求证：dn?dn?1.

　　(Ⅰ)证明：数列?2an?1?是“平方递推数列”，且数列?lg(2an?1)?为等比数列

　　求数列?an?的通项及Tn关于n的表达式。

　　1.已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是(　　).

　　解析　设公比为q对于选项A，当a1<0q≠1时不正确;选项C，当q=-1时不正确;选项D当a1=1，q=-2时鈈正确;选项B正确因为a+a≥2a1a3=2a.

　　3.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累計产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　).

　　解析　由已知可得第n年的产量an=f(n)-f(n-1)=3n2.当n=1时也适合，据题意令an≥150n≥5即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年.

　　所以n<则n≤9，

　　故当n=9时Sn取得最大值.

　　.若数列{an}为等比数列，且a1=1q=2，则Tn=++…+的结果可化为(　　)

　　==.答案　二、填空题

　　.已知ab，c成等比数列如果a，xb和b，yc都成等差数列，则+=________.

　　.数列{an}的前n项和为Sn若数列{an}的各项按如下规律排列：

　　，，，，，…，，…，…有如下运算和结论：

　　其中正确的结论有________.(将你认为正确的结论序号都填上)

　　解析　依题意，将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n+1分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于=.

　　对于注意到21=<24<=28，因此数列{an}中的第24项应是苐7组中的第3个数即a24=，因此正确.

　　对于、设bn为、中的数列的通项，则bn=

　　=显然该数列是等差数列，而不是等比数列其前n项和等于×=，因此不正确正确.

　　对于，注意到数列的前6组的所有项的和等于=10因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak=因此正确.

　　综上所述，其中正确的结论有.

　　.已知等差数列{an}的前n项和为SnS5=35，a5和a7的等差中项为13.

　　解　(1)设等差数列{an}的公差为d

　　所以解得a1=3，d=2

　　(2)求数列{an}的通项公式;

　　(3)证明：对一切正整数n，有++…+<.

　　是首项为3公比为的等比数列，

　　.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14且a1，a3a7恰為等比数列{bn}的前三项.

　　(1)解　设公差为d，则

　　所以数列{bn}的首项为b1=2公比q==2，

　　(1)求证：{an}是首项为1的等比数列;

　　综上=a2对所有nN*成立.从而{an}是艏项为1，公比为a2的等比数列.

　　所以要证的不等式化为：

　　当a2=1时上面不等式的等号成立.

　　上面不等式对r从1到n-1求和得