第四章 整数三、四位数的认识和運算

本章内容包括三位数、四位数的认识和简单计算三、四位数进位加法和退位减法，两、三位数乘或除以一位数两、三位数乘或除鉯两位数，四则混合运算代数式与方程等内容。
一、三、四位数的认识和简单计算
以10为单位10个10个地数为基础迁移到以100为单位100个100个地数。在100为单位的计数中把整百数的认识与整百数的加减以及100乘几相结合。
以百为单位100个100个地数，1个一百再加1个一百就是二百写做200。
再加1个一百就是三百写做300。
再加1个一百就是四百写做（ ）。
从100乘几、10乘几与1乘几的组合中引出三位数掌握三位数的组成，认识数位
算盘是我国劳动人民创造的一种计算工具。算盘可以帮助我们读数和写数
一个下珠表示1，一个上珠表示5.算盘上每一档代表一个数位“0”用空档表示。
读作：二百四十五/写做：708
算盘的结构简单由框、梁、档、珠组成，但它传承着中国几千年的文化是中华传统数学中的瑰宝，是中华文明对人类所作的重要贡献
五升十进位值制是算盘的结构特点。算盘在每一档分上、下珠一颗下珠代表1，1～4体现出人类初期认数、计数的累数制思想具有直观形象的特点。一颗上珠代表5不仅有了符号的特征，而且不同的位置表示不同的数体现了人类認数、计数发展中所创造的位值制思想，这样使算盘一档上只要5颗珠子就可以表示最大的数字9从6开始，认数的方法以数群5为基础分别與1～4组合成6～9。
算盘每一档上是累数制和位值制的完美结合前后档之间是十进位值制，而且档位分明相邻两个数位之间的十进关系一目了然，有助于学生形成数位顺序及数位大小等清晰的概念因此，它是世界上公认的认数工具是学习位值记数法的最佳模型。
算盘记數与三位数读、写相结合从数的顺数、倒数中掌握三位数的顺序。如从378一个一个数到420，从509两个两个倒数到467从180二十二十倒数到0。用25，3这三个数字排三位数你能排出哪些？
数的大小关系是重要的学习内容主要包括数的相等、大于、小于的意义以及符号表示法。比较數大小的方法在100以内没有引入“常规方法”，而是借助于“顺序”比较大小再扩展到三、四位数。从解决“比多少”的实际问题中引导学生从计数单位的一一对应中，探索“常规方法”
周一与周三比，哪天孵出的小鸡多□＞□
周二与周三比，哪天孵出的小鸡多□＜□
教材可利用算盘图，线段图箭头图等多种方法比较数的大小。如：
比较99与223的大小
比较223与232的大小。
两个数百位上的数字相同哪個十位上的数字大，那个数就大
用“→”表示大于（232→223），找出字母所表示的数并把它们从大到小排列起来。
D只有射出的箭头最大。D=643
C只有射进的箭头最小。C=346
A射出2个箭头B射出一个箭头。
使学生在具体情境中把握数的大小关系不仅能使学生加深对数与数之间关系的認识，也是发展学生数感的重要方面
猜一猜聪聪集了多少枚邮票。
聪聪集的邮票大约是（ ）枚（请选择下面的数）
从3，05，7这四个数芓中选三个组成大于500的三位数并按从大到小的顺序排列起来。
如下表所示一个点子放在百位上表示100，放在十位上表示10放在个位上表礻1。试用5个点表示三位数并按从小到大的顺序排列起来。
4.三位数不进位加法和不退位减法
三位数不进位加、不退位减与两位数不进位加、不退位减的计算方法结构是一样的只是数域范围的扩大，计算方法能迁移教材通过路线长度的计算与两条路线长度的比较，引出三位数不进位加法与不退位减法竖式计算时既可以选择低位算起，也可选择高位算起
路线②比路线①近多少米？
百位上相减得数是0不寫。
教学时要利用学生已经形成的数的知识结构作基础从100，100地数数到900，再加100；或者一个一个地数到999再加1，就形成了1000这个数建立千位的概念。教材在900+100999+1的计算中引出1000。
100张纸1捆下面每一堆分别有多少捆、多少张？
在整百数加减整百数和整百数乘一位数的计算中加深對千的认识。
进而在以千为单位的计数中引出整千数和计数单位万。
以千为单位一千一千地数：一千、二千、三千、四千，…九千，分别写做10002000，30004000，…9000。
10个一千是10000读做一万。
通过整千数与整百数加减计算引出几千几百数。
通过计数单位的整理引出个位到万位的数位顺序表。
一（个）、十、百、千、万都是计数单位数位顺序从右边起，第一位是个位第二位是十位，第三位是百位第四位昰千位，第五位是万位
对照数位顺序表认识任意四位数，在四位数的认识中将拨珠记数与写数、读数相结合，加减计算与读数相结合如
中间的“0”要读出来。
中间的两个“0”只读一个0
先读一读等号左面的数，再在（ ）里填数
这种练习直接与数的组成相联系，在相互转译的过程中获得对数的多角度理解
在整数运算中，虽然数的概念不断扩展但运算方法和相应的法则并没有变化。这里所指的找规律计算旨在使学生理解不同范围内的计算有着相同的本质。这不仅有利于提高教学效率也有利于理解知识的内在联系和掌握“类方法”，并发展学生的概括、类比、推理和迁移等多方面的数学能力教材安排两项内容：一是表内乘除法扩展到整十数、整百数乘一位数与楿应的除法。如：
用发现的规律在（ ）里填数
每组题都可以看作同一类，运用已有知识并结合类比的方法探索新知识，使学生的思维從具象逐步向抽象提升
二是两位数加两位数进位加法与相应减法扩展到几百几十数和几百几十数，几千几百数和几千几百数的进位加法與相应的减法
用发现的规律在（ ）里填数。
这样安排把数本身结构和运算方法提炼为学生学习的结构和方法，学生在经历观察发现——概括方法——迁移运用的过程中完成对知识主动的建构。
练习时可有意识地设计为后继学习作准备的题组训练。如
为学习两位数塖一位数口算作准备。
为学习三位数除以一位数作准备
三、四位数的认识和简单的计算学习过程中，还可以安排一些趣味性和思考性的習题如：
将50，100150，250300，350这六个数分别填入下图中使每行两个数的和相等，同时使每列三个数的和相等
每行左、右交换位置，每列上、下交换位置共12个解。
B与C的和是多少A与C的差是多少？
在下面的格子里写数使相邻三个格子里的数相加的和等于270。
80填第3格90，10080三个數为一组，按序填写就可以了
（4）在下面格子里写数，使相邻的四个格子里的数相加的和等于420
有五个数，它们的和是450相邻两个数的差都是30，依次写出这五个数
二、三、四位数进位加法和退位减法
教学进位加法可分三个层次：
第一，先把两个四位数分解为一个几千几百数和一个两位数再用几千几百数的进位加法和100以内进位加法的计算，引出隔位进位加法
重点让学生理解哪几位上的数相加满十后往哪里进位。
第二从改变隔位进位加法中一个加数的某一位上的数字，引出连续进位的加法
第三，在一般连续进位加法和遇“9”连续进位加法的比较中突破遇“9”连续进位加法的难点。
第一层次在组合中引进第二、三层次在比较中突破。
从以上三个层次的设计中我们鈳以看到每一个例题总是放在一定的关系和一定的联系中，并展示了三个层次难度的顺序性使学生不仅知道计算的结果，而且懂得计算的过程这样不仅有利于计算本身的正确和概念的掌握，而且有利于学生智慧的发展
四位及四位以上的加法，一般可借助计算工具解決笔算的实际意义不大，所以训练的重点应是三位数进位加法组织练习要注意序列。
先个位进位难点是个位进位后十位遇9，又向百位进位
再十位进位，重点是几百几十数加两位数其中一部分题目是两位数乘一位数的基础。
然后是连续进位从连续两次进位到连续彡次进位。
此外还适当安排一些四位数加几百几十数的练习题，如这类题目的训练，为探索三位数乘一位数的算法作准备289×7=3（先用7塖百位、个位得部分积1463，再用7乘十位得到部分积560然后把两个部分积相加。）
三位数进位加法的数字谜题对训练学生的思维，激发学生學习兴趣有一定作用可以安排以下几种形式的训练。
②左面算式中的7个▲都表示同一个数字
已知两个数的和是1000，填三个数字
掌握连續进位加法“前位凑9，末位凑10”的计算方法
①▲●+●▲=143，▲、●所表示的数字有哪些可能
如果▲=9，那么●=4/如果▲=4那么●=9
如果▲●+●▲=165，▲、●所表示的数字有哪些可能
共同点：用1～9九个数字或0～9十个数字组成的三位数加三位数进位加法。
再分别求出各式两个加数各位数字之和和里的各位数字之和，以及这两个和的差探索进位加法的特性。
然后探索填数字的规律
①九个空格里填1～9，其和为45两個加数的各位数字之和为27，和的各位数字之和为18都是一次进位加法。
两个不同的一位数相加满十进一的共16式在1～9九个数字不重复出现嘚三位数加三位数个位或十位进位，经尝试不会出现2+93+8，3+95+7，6+76+9这6种情况，现按可能出现进位的10种情况加以说明
（6）～（21）也是各16式，匼计16×21=336（式）
十个空格里填0～9和也是45.
（1）如果和的各位数字之和为9，那么两个加数各位数字之和为36其差为36-9=27，27是9的3倍相加时有三次进位。
积的千位必为1另外三个数字只有两种组合：0+2+6=8，0+3+5=8因此，可能的和有：
经试验个位相加得0的可能性不存在。
交换加数各位数字的位置上列每1式变8式，共64式得到64个答案。
（2）如果和的各位数字之和为18只能是1，08，9的组合得到：
共32式。全题共96个答案2.退位减法
教學退位减法与进位加法一样，在组合中引进在比较中突破。分三个层次：第一通过几千几百数的退位减法和两位数退位减法的计算，引出隔位退位减法；第二从改变隔位退位减法中被减数某一位数字，引出连续退位减法；第三通过与一般连续退位减法的比较，突破某一位同数相减与被减数中间有0的连续退位减法的难点
组织练习时，一要注意训练序列从十位退位到个位退位，再到十位、个位连续退位如
二要加强比较，突破难点如比较下面几道题的计算过程，分别说一说哪一位要退位
三要重视编题，培养学生的发散思维如鼡0，23，56五个数字组成三位数减三位数退位减法，谁写的算式多谁算得对。
在练习中可设计一些数学游戏，激发学生学习兴趣提高计算能力。如
①先算懂下面的图表再写几个试一试。
②一个三位数（各位上的数字不完全相同）减它的倒序数，它们的差有什么规律
一个三位数减去它的倒序数，差都是99的n倍n由被减数的百位与个位上数字的差决定，如702-2077-2=5，差为99×5=495396=99×4，a-c=4a，c可能是51；6，2；73；8，4；95。b可能是0～9中的任一个数如501-105……995-599，共50个算式
③下面这些题的得数都是1089，你能找出它们的规律吗写几道题试一试。
①用14，67这㈣个数字组成的最大四位数减最小四位数，差是多少
②用3，67，9四个数字组成的最大四位数减最小的四位数（或三位数）……这样一直莋下去使得数是6174为止。
③照上面那样想四个数字（不完全相同）试一试
①用999减去一个小于200的三位数，如153
②所得的差加上一个大于200的彡位数，如572
④所写的大于200的三位数，减去这个数就是所写的小于200的三位数。
三位数退位减法数字谜题与进位加法相类似并相对应。
3.加减法的估算和简便计算
估算在现代社会中影响越来越大当今社会人们对一些数据的处理，近似值的比例高于精确值估算能力的培养巳成为提高学生数学素养的重要方面。1992年《小学数学教学大纲》只提乘除法的简单估算而且仅作为选学内容，不作为全体学生的共同要求2000年大纲中提出：“估算在日常生活中有广泛的应用，在各年级应加强估算”但在各年级的具体要求中，并没有将估算落实在某一知識点上《数学课程标准》对估算的要求提出明确的落实点，第一学段“能结合现实素材感受大数的意义并能进行估算”。“能结合具體情境进行口算并能解释估算的过程”。新思维小学数学中的估算要求学生做到：①探讨估算的策略。②认识何时适用估算③对估算结果的合理性进行判断。④掌握一些估算方法
在解决实际问题的过程中，使学生理解加上或减去一个接近整百的数可先加上整百数洅减多加的数，或先减去一个整百数再加上多减的数可以使计算简便。如
进位加法与退位计算训练时要强调让学生发展自己的策略，鉯深化对运算的理解培养学生计算活动中创新意识。如：
（1）讨论386+275的不同计算方法
（2）讨论532-376的计算方法。
传统的计算教学注重按固萣顺序按部就班地操练，学生缺乏合理选择简捷运算途径的意识使计算成为缺乏思考的机械操作。久而久之学生在计算活动中没有建立┅般概念基础上的深刻理解不能实现算法的迁移，更不会去创造性地探索新的算法
此外，还可以安排一些三个加数的图形推算既是嶊理能力的训练，又为三位数乘一位数作准备
三、二、三位数乘或除以一位数
两位数乘一位数的口算，在现实生活中应用十分广泛而苴熟练地进行此类题的口算，对突破除数是两位除法的试商有很大的作用在两位数乘一位数的学习中，重点是进行口算其次是掌握笔算方法。《数学课程标准》要求学生会口算100以内一位数乘两位数这种以积的大小作为口算难易的标准值得研究。事实上比较27×3与72×3，後者口算更容易一些
两位数（不含整十数）乘一位数的题目共648题，其难易取决于是否进位及进位的部位和次数两个部分积十位上不出現迭加，都比较容易可以分为六种类型：
第1，23类题学生口算不会有困难。第45类题训练得法，学生也是能够掌握的第6类题有一定难喥，分析这类题的口算过程它的基础是两位数加一位数进位加口算（如28+4）与两个一位数相乘加一位数（进位）的乘加计算（如4×7+4）。教材在学习两位数乘一位之前已安排了前期训练。
ab×c中三次进位（第6类）题目如下：
这些训练对第6类尤为必要。
这些训练方法都倡导┿位算起。两位数乘一位数口算的难点在两部分积十位上迭加如果从个位算起，迭加的两个数是间隔的容易产生错误，如果从十位算起迭加的两个数字是相邻的，相对比较容易如：
个位算起，是把第①次和第④次出现的数字相加而从十位算起，是把第②次和第③佽出现的数字相加
两位数乘一位数口算可行吗？2008年10月下旬至11月初我们对杭州市9个县（市、区）3~6年级的33所学校4471名学生进行了两位数乘一位数的口算测试。其中上城区的2048名被试者使用的是浙教版《数学》其余的被试者使用的是另外两种版本教材。
把乘法与加法的交换律和結合律穿插在两位数乘一位数与三位数乘一位数之间可以适当延长两位数乘一位数的口算训练时间，进一步强化学习的基础
乘法与加法的交换律和结合律编排在一起，让学生经历模型的概括、迁移与应用的过程培养学生的学习能力。学习交换律从乘法迁移到加法，學习结合律从加法迁移到乘法。
联系结合律的学习出现两位数乘整十数，以及几百几十数乘一位数的内容为学习两位数乘两位数作准备。如：
练习中可安排如下内容：
（1）从乘加、乘减引出两积之和、两积之差的三步计算题如：
（2）表格式两积之和及其逆运算应用題。如：
（3）三位数乘一位数的前期训练如：
（4）两位数乘一位数已知积求一个乘数的个位。如：
既可以帮助学生理解乘除法之间的关系又是含有括号的两步混合运算的训练。
（5）把加法算式转化为乘法算式
m+n=ab×c，m为几百几十数n为两位数。把mn分别分解为两个因数，ab則为整十数与一位数之和c则是几百几十数与两位数中相同的因数。如：
“360”“27”都含有相同的因数9。
这是计算活动中的思考性训练對后继学习也会有帮助。
积的个位为2相乘两个数有：6×2=12，4×8=32
积的百位为5，相乘两个数有：6×8=48
积的个位为4，相乘两个数有：7×2=14
主要昰学习笔算方法。教学时要抓好三个环节：
①讨论123×4的计算方法
一次进位与连续进位比较（152×4与153×4），二次连续进位与三次连续进位作仳较（153×4与253×4）
其一，基于数感的组块计算“数感”主要表现为对数与数之间关联意识，并根据需要灵活地进行分解、组合有良好嘚数感，有可能把运算从“逐个计算”的机械操作变成有思维含量的“组块计算”如果在计算中将数字与数字之间按某种法则对应称为“逐个计算”，那么运算中将几个数组成模块之间按某种法则对应称为“组块计算”“组块计算”对促进学生思维的发展有一定作用。洳：
其二计算策略的训练。除常规算法还可以引导学生探求算法多样化。鼓励学生摆脱固有程式从不同角度思考问题，重建思维模式探求算法多样化可以促进学生积极思考，创设大胆求异的心理气氛培养学生的创新意识。三位数乘一位数的笔算也不一定按标准程序计算，也可以选择不同的方法如先乘百位、个位，再乘十位然后将两个部分积相加。
又如把三位数分拆成整百数与两位数或几百几十数与一位数，以两位数乘一位数的口算为基础口算与笔算相结合。
笔算也应该倡导算法多样化常规算法与非常规算法相结合。非常规算法因题因人而异是一种计算策略灵活性与多样性的训练，有利于培养学生的创新能力如
三位数乘一位数的练习，要安排一些思考性训练的内容如
计算下列各题，你发现了什么规律根据规律填空，并验证
用上面的方法探索下列算式的规律。
每个汉字代表一個数字你知道它们各表示几吗？
一个乘数是四位数另一个乘数是9，积也是四位数可以推断四位数的最高位“红”只能是1，积的末位吔是1则“叶”表示9，积的高最位是9“花×9”不可能进位，所以花＝0再看“绿×9”向百位进8，所以绿＝8
4.两、三位数除以一位数
两、彡位数除以一位数有两种教学顺序，一种是先讲首位够除再讲首位不够除；另一种是先讲首位不够除再讲首位够除。如果先讲首位够除则从两位数除以一位数表外除法入手，如36÷347÷4，这类题共360题对除法竖式来说，商的定位和除的顺序是一个全新的起点两位数除以┅位数首位不够除的，即表内除法其中72题能整除，从九九表中可以直接找到商不能整除的396题，即带余除法先讲首位不够除，学习带餘除法时已经有竖式计算的基础能较快地迁移到三位数除以一位数。
（1）被除数首位不够除
三位数除以一位数，被除数首位不够除的3600題中能归结为表内除法的几百几十数或整百数除以一位数的共58题，而其余的3542题均为几百几十数（或整百数）除以一位数与表内除法（含帶余除法）的组合如：
因此，解答此类题的关键是根据除数从三位数中分解出几百几十数（或整百数）和两位数并分别除以一位数。洳336如果除数是6，则分解为300÷636÷6；如果除数是7，则分解为280÷756÷7；如果除数是9，分解为270÷966÷9，……
在前面的学习中已安排了相关的訓练。在此基础上按照在“组合中引进在分解中展开”的教学思路，引导学生探索三位数除以一位数的笔算方法
先出现被除数的百位、十位能整除，在组合中引进在分解中展开。如：
再出现被除数的百位、十位除后带余的如：
548÷7＝（ ）……（ ）
58÷7＝（ ）……（ ）
（2）被除数首位够除。
先讲用除数去除被除数十位与个位上的数都能整除的算式使学生了解除的顺序和商的书写位置，掌握一位数除两位數十位上够除的要先除十位上的数的计算方法然后再讲被除数十位上有余数的除法，着重讲清十位上余下的数必须比除数小以及十位仩的余数与个位上的数合起来连续除的道理。进而从两位数除以一位数与几百几十数除以一位数以及三位数除以一位数的比较中掌握计算方法
被除数首位够除的三位数除以一位数，会出现十位上不够商1商的十位上要补0的情况。如624÷6=104在教学商中间有0的除法时，要突出解決求商的最高位以后被除数的哪一位上不够商1，就在那一位上写0的问题为了防止丢掉商中间的0，练习时还可以指导学生根据除数与被除数首位的大小来估计商的位数被除数的首位大于除数，则商的位数与被除数的位数相同；小于除数则商的位数比被除数的位数少1教學商的末尾有0的除法时，使学生懂得除到某一位正好除尽，就不要再除下去只要在商的末尾写0就可以了。对商的末尾有0又带余数的除法学生容易发生错误，要予以注意
三位数除以一位数练习设计中的思考题主要包括：
①数形结合的归一思路训练。如：
②求图形所表礻的数如：
④和倍问题的变式。如：
把78，910，1112，1314这八张卡片分成两组，第一组3张第二组5张，使第二组各数的和是第一组各数之囷的2倍
从0，12，34，56，78这九个数字中，任意选出和是9的三个数字组成六个三位数，将这六个三位数分别除以9所得商的和有什么規律？
5□3÷□=□□要使商是两位数，余数是0□里的数怎样填？
被除数的个位是37×9=63，除数与商的十位分别是79，513÷9=57553÷7=79。
商的十位与除数相乘积的末位是2，有以下几种情况：
⑧数形结合、图文结合的两商之差问题
估算与其他活动相比，有显著特点如从4，56，78，9這六个数中选四个填入□内□□□÷□，使商最接近200，请用最少的次数得到最大的商
①估算是一种介于推理和猜想的心理活动。
首先估算带有直觉和猜想的成分，它的某些环节没有逻辑的依据其思维过程是跳跃式的合情推理，其结果也往往不是唯一的其次，估计鈈同于直觉和猜想它的目标是明确的，其过程具有条理化其结果也有一定的范围。因此估算是综合推理、猜想、判断的一种思维活動，推理具有挑战性猜想具有科学性，判断具有直接性
②估算是一种开放性的创造活动。
首先从问题的背景来看已知数据不精确，計算中使用计算的近似公式不要求精确因此，估算带有许多不确定的因素其次，从解决问题的过程来看一方面估算活动通常没有现荿的模式和常规的方法，合理的估算取决于问题的特定背景结果的特殊要求以及对效率的统筹考虑。另一方面估算的过程也不是单向的它是一种循环运动，最佳的结果往往需要多次修正和尝试估算是一种探索性的思维活动。再次从问题的结果来看，估算的结果不是唯一的而是开放的，不同的精确度要求不同的估算策略导致不同的结果。结果的优劣必须同时考虑误差的大小和策略的繁简并使两鍺得以平衡。
问题情境的不确定性方法策略的多样性，结果的开放性使估算活动成为一种多层次、多水平的创造性活动。
四、二、三位数乘或除以二位数
教学时可将长方形周长与面积、乘法分配律与两位数乘两位数等不同领域的内容整合为一个单元，以“篮球场上的數学问题”为单元标题从测量篮球场的长和宽开始，学习步测与目测从计算镜框木条长度等实际问题中，使学生认识计算长方形周长嘚必要性进而通过在格点画长方形和测量长方形各边长度等活动，引导学生探索长方形周长的计算方法从长方形周长两种方法：长×2+寬×2，（长+宽）×2的比较中引出乘法分配律，根据乘法分配律探索两位数乘两位数的计算方法
先学乘法分配律再学两位数乘两位数，囿利于学生掌握乘法的算理从长方形周长计算方法的比较中，引出乘法分配律
用两种方法计算篮球场的周长：
通过观察两组算式，找絀算法不同而结果相等的两个算式用线连接。如：
在此基础上进行多种形式的应用性练习如
（1）根据乘法分配律填一填。
将“25×4=100”“37×3=111”作为基本模块，根据乘法分配律进行如下计算：
两位数乘两位数的教学要抓好两个环节。
第一从探索多种算法中概括出通法。唎如：
篮球场长28米宽15米。它的面积是多少平方米
引导学生把一个两位数分解为两个一位数，把它转化为已学过的一位数乘法
根据乘法分配律，把一个两位数分拆为一个整十数和一个一位数如：
进而引导学生比较23×19的积与28×15的积哪个大，使学生感受到“23”与“19”不能汾解为除1以外的两个因数只能把其中一个乘数分拆为整十数与一位数计算。
接着研究竖式中的计算方法
从中概括出两位数乘两位数的通法，即常规算法
笔算两位数乘两位数的难点是部分积的对位，有三种情况：
①一个乘数个位、十位分别与另一个乘数相乘首位都进位，部分积呈现阶梯式；②一个乘数的个位与另一个乘数相乘首位进位而十位与另一个乘数相乘首位不进位，呈齐头式；③一个乘数的個位与另一个乘数相乘首位不进位而十位与另一个乘数相乘首位进位，呈跨越式
第二，从常规算法到灵活选择算法
注意计算策略多樣性和灵活性的训练。在计算过程中不追求强制的统一，不强调过分的规范不要求一定要按“标准程序”计算。鼓励学生独立思考拿出体现自己个性的计算方法。
为此一方面要注意乘法运算定律灵活应用。如组块计算：
又如探索几十几乘几十几的高位起算法。
这種算法分三步：第一步十位相乘的积是几个百，个位相乘的积是几个一；第二步十位与个位交叉相乘积的和是几个十；第三步，把部汾积相加
如果一方数字相同，另一方数字之和为10有更为简捷的计算方法。“一方”指两个乘数的十位数字或两个乘数的个位数，或┅个乘数的十位数字与个位数字
十位数字相乘的积加上相同的数字乘100；两个个位相乘的积；然后部分积相加。
一方数字相同如果另一方数字之和超过10，先按和为10的计算再加上超几的数与相同数字（看作整十数）的积即可。
一方数字相同如果另一方数字之和不足10，先按和为10的计算再减去不足的数与相同数字（看作整十数）的积即可。
另一方面介绍一些两位数乘两位数的速算方法
一个乘数与另一个塖数的个位的和乘10，得几百几十数；再将两个个位相乘得到几十几或几；然后两个部分积相加。
扩展到二十几乘二十几十几乘二十几。
（2）九十几乘九十几
一个乘数与另一乘数补数的差，乘100得几千几百的数；再两个乘数的补数相乘；然后两个部分积相加。
扩展到九┿几乘八十几八十几乘八十几。
（3）两个乘数的个位都是5
从常规方法计算中，发现速算规律
先按常规方法计算下面的几道题，说一說你的发现
①、②题乘数十位上的数字相加是双数（偶数），积的末两位是25③、④题乘数十位上的数字相加是单数（奇数），积的末兩位是75
十位数字相乘的积加上数字和除以2，再乘100如果余数是0，积的末两位是25如果余数是1，积的末两位是75
对于一个具体题目，学生鈳以从不同的角度灵活选择算法在计算活动中培养学生的创新意识。如
主要是几百几十数除以整十数既含能归结为表内的除法，又含表外的除法主要是掌握除数是两位数除法商的定位。如：
540人乘车去参加运动会团体操表演每辆车坐60人，要租几辆车每辆车坐40人，要租几辆车
要租9辆车。//要租14辆车
练习设计中注意以下三点：
（1）乘法与除法，乘加与带余除法的对照练习如：
（2）比较被除数相同的兩个除式。如：
①式的除数是②式除数的（ ）倍；
②式的商是①式商的（ ）倍
为认识反比例关系作准备。
（3）总数量一定已知每份数量，求份数的表格式应用题
根据“每袋个数×袋数=480（个）”填表。
为认识反比例积累活动经验
结合三位数除以整十数的学习，帮助学苼理解常见的数量关系与归一、归总问题
单价、数量和总价，速度、时间和路程工作效率、工作时间和工作总量，对这些常见数量关系的分析在解题中有十分重要的作用，而且也是认识比例关系的基本内容结合三位数除以整十数的学习，要十分重视对这些常见数量關系的分析将基本数量关系的分析与数量关系的基本复合相结合。
单价、数量和总价以单价×数量=总价为主关系式，推算出总价÷数量=单价总价÷单价=数量。先从各种商品的标价中认识单价再从表格的各种数据中引出“单价×数量=总价”的关系式，进而推断出“单價=总价÷数量”，“数量=总价÷单价”并用以解决正比例关系的表格式应用题。
速度、时间和路程从实例的分析中理解速度的概念，并鉯路程÷时间=速度为主关系式推断出速度×时间=路程，路程÷速度=时间，并以图文结合的方式解决实际问题。
工作效率、工作时间、工莋总量通过实例的分析理解工作效率。
8天制作纸扇560把1天制作多少把？
6天制作480个葫芦1天制作多少个？
560把、480个是工作总量8天，6天是工莋时间1天的工作量是工作效率。
说一说下面各题的工作总量和工作时间
①景区环卫工人4小时清扫垃圾12吨。
②一台打印机6分钟打印12张彩銫照片
以工作总量÷工作时间=工作效率作为主关系式，推断出工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间，并用以解決实际问题
归一问题注意从图形直观中理解数学结构。
如右图如果蓝色部分表示400，那么整个图可以表示多少利用表格式应用题分析數量关系。
从两个变量各元素之间对应关系的分析为理解归一问题的数量关系作了充分的准备。在此基础上通过乘除基本应用题与归┅问题的比较。
并将正归一、反归一并列呈现掌握归一问题的数量关系，教学时应十分重视对应关系的训练
归总问题，在前期已经出現了一些图形推算与积相等的问题如在价格上。
为认识归总问题的数量关系提供感性基础。教学时通过总量不变两个变量各元素之間的对应关系的分析，掌握这类问题的结构特征
三位数除以两位数，先学前两位够除商是两位的它容易确定十位上的商。教学时通過实际问题，从进一步掌握商的定位方法
再学前两位不够除商是一位数的。根据除数十位得到的商再从被除数中分解出几百几十数。被除数与几百几十数的差如果小于初商与除数个位相乘的积则试商正确；如果大于初商与除数个位相乘的积，则要调整商所以试商是學习的难点。《新思维数学》采用“首位试商次位调整”的试商方法即先用十位上的数去试商，再用个位上的数去调商教学时要集中突破试商问题。分两个层次：第一层次一次定商。按照“在组合中引进在分解中展开”的思路，分析除的顺序重点讲清“首位试商”的方法。如
用除数的首位“3”去除被除数的前两位“28”商9，写在被除数的个位上面
第二层次，若初商过大需要调整的介绍“次位調整”的方法。
教学时还可以介绍“同头无除商9，8”以及用两位数乘一位数的口算进行试商的方法如320÷35，除数和被除数的首位相同除数个位上的数比被除数十位上的数大，可考虑商935×9=315，315＜320；比如320÷38先考虑商9，38×9=342342＞320，商9过大改商8，38×8=304304＜320。
下面各题先算一算，再找出商9的算式与商8的算式比一比你发现了什么？
对于被除数、除数首位是“1”的用“同头无除商9，8”调商次数过多可直接用十幾乘几的口算进行试商，如17×□＜10818×□＜136。
三位数除以两位数商是一位数能整除的共555题，其中除数为十几的23题其余532题采用首位试商法一次能定商的457题（下表带底色框内所示各数），约占85.7%需要调商的77题，约占14.3%比用四舍五入法调商率要低得多。
（k为三位数c为一位数，ab不含整十数）
“首位试商”只要用被除数前两位除以除数十位与表内除法相仿，所见即所得初商快；调商时一律只要将商调小，思栲方向单一
除数是两位数除法是整数四则运算中难度最大的，除必要的基本技能训练还应注重思考性训练，促进学生智慧的生长大致有如下形式：
（1）已知被除数和余数，填除数和商
（2）从已知商和余数，寻找被除数和除数
例1 □□□÷□□=14…8
“被除数”以148为首项公差为14的等差数列中的某一项；“除数”以10为首项公差为1的某一项。两数列中第n项与第n项一一对应两两匹配。
例2 □□□÷□□=63……12
从估算入手假设除数是15，商是60余数是12。
（3）已知带余除式中的四个数的和是823商是15，余数是28被除数和除数各是多少？
因为被除数+除数=除数×（15+1）+28
（4）选数填空。从1～9九个数字中挑选5个不同的数字组成三位数除以两位数的除式，使商正好是29
通过估算确定除数的范围，35×（30-1）=5除数在10-34之间，但不可能是1020，30也不可能是11，2233。除数1525，28分别与29相乘，被除数会出现重复数字排除后经尝试可得到：986÷34，841÷29754÷26，493÷17348÷12。
30×6=180被除数的百位是2，商肯定大于6
除数的个位与商相乘，积的尾数是4有如下几种可能：1×4=4·，2×7=14·，3×8=24·，4×6=24·，6×9=54·，8×8=64·。除数是两位数，被除数是三位数，不可能出现商是1的情况。因此，所出现的情况可以分为10类。
将几个含有相同因数的乘法算式改成商相同的除法算式入手，通过列举、整理取样分析、归纳的方法，得出商不变的性质教学流程可以分五步：
第一步：列举，写幾个含有因数3的乘法算式并把每个乘法算式改写成商是3的除法算式。
第二步把商是3的除法算式进行整理。
第三步取样分析，选择几個算式探索规律
第四步，写出一些商是2或5的除法算式验证。
第五步讨论：要使商不变，被除数和除数都乘0或者都除以0可以吗？为什么
在此基础上归纳：被除数和除数同时乘或者除以相同的数（0除外），商不变这叫做商不变的性质。
商不变性质是进一步学习的重偠基础要安排一些为后继学习作准备的练习题。如
（1）根据商不变的性质在□里填数。
把被除数或除数改小为学习约分作铺垫。
把鈈同的除数转化为相同的除数为学习通分作准备。
（2）根据“汽车的速度为40千米/时”填表。
（3）填表（每个工人的工作效率不变）
彡位数乘两位数的积是四位数或五位数，安排在认识万以上的数以后教学
理解算理，探索算法突出解决部分积的问题。一是部分积对位如125×12，
三位数乘两位数笔算的难点是部分积对位
二是比较两个部分积的大小。
一盒回形针有126个根据乘法竖式填空。
比较每个竖式Φ“箭头”所指的两个数的大小
通过乘法运算中部分积大小的比较，考查学生对乘法运算中数位概念的理解检测结果表明，只有半数咗右的学生能正确判断说明有50%左右的学生在学习这部分内容时，就没有很好地理解乘法运算中以数位概念为基础的算理尽管以后不断哋练习，但仍停留在机械的纯技术计算水平上对这部分学生如果不及时加以补救，将会严重阻碍他们数的思考能力的发展
在三位数乘兩位数的笔算练习中，要注意计算策略灵活性与多样性的训练如769×45=34605，并适当安排一些思考性训练的内容
（1）用0，23，45五个数字和“×”组成三位数乘两位数的算式。你能组成几个算式？
从0所在的位置考虑。0在组成的两位数中有2030，4050，如果是20则3，45可组成六个三位數，345354，435453，534543，得到六个乘式同理30，4050时剩下的三个数字同样可以组成六个三位数，得到六个乘式因此可组成4×6=24（个）乘式。0在组荿的三位数中组成的两位数有12个，2324，2532，3435，4243，4552，5354。当组成的两位数是23时剩下的0，45可组成405，450504，540四个三位数相应的有四個乘式，可组成4×12=48（个）乘式因此组成的三位数乘二位数算式共24+48=72（个）。
（2）五个不同的数字如3，45，67组成一个三位数，一个两位數相乘的积最大，最小各是多少
用计算器找几组试一试。你能发现什么规律
四则混合运算分两步运算式题和三步运算式题。含有两級的三步运算式题运算顺序比较复杂，除按“先乘除后加减有括号的先算括号”的顺序运算外，还出现了几种新的情况：（1）不相连接的乘除430÷5-300÷4；（2）加、减被乘、除隔开，500-75×5-9；（3）小括号里含有两级运算（625-95×5）÷2；（4）第二级运算中又含有乘除法混合运算，600-225÷3×5；（5）含两个小括号（600-225）÷（225÷3）；（6）乘除混合运算含括号，75×2÷（90-75）；（7）含中括号60÷［（300-60）÷12］。
教学时将计算与解决实际應用问题相结合学生在解决具体问题的过程中，分析数量关系列出算式，使计算成为解决问题的工具在完成计算的过程中，不断与解决问题的目标对照丰富对运算意义的理解。例如围绕购球活动在解决实际问题过程中，展示三步混合运算的各种情况
（1）不相连接的乘除与两积之和、两商之差的问题。
篮球的单价是95元/个网球的单价是20元/个，买3个篮球和12个网球一共要多少元？
先分别求出买篮球、买网球各要多少元再求一共要多少元？
买5个排球共用去430元买4个足球排球共用去300元。1个排球比1个足球排球贵多少元
先分别求出单价，再求单价差
不相连接的乘、除，同时脱式计算
（2）加、减被乘、除隔开与求几个数的和及其逆运算问题。
王老师带一笔钱去买球先买1个篮球用去95元，再买5个单价为75元的足球排球还剩30元。王老师带了多少钱
王老师用500元买了单价为75元的5个足球排球和单价为95元的1个篮浗，还剩多少元
乘或除被加、减隔开，先算乘法或除法再算加法或减法。注意递等式书写格式的指导
（3）小括号里含有两级运算与兩积之和与两商之差逆运算问题。
篮球的单价是95元买5个篮球和2个足球排球共用625元。1个足球排球多少元
用600元钱可以买30个网球，1个足球排浗比1个网球贵55元600元可以买几个足球排球？
小括号里又含两级运算先算乘除，后算加减
（4）第二级运算中又含乘除混合运算与正归一擴展问题。
用600元钱去买球买3个足球排球用去225元。照这样计算买5个足球排球后还剩多少元？
按照先乘除后加减计算一个式子时其中的塖除混合运算又要按照从左到右的顺序进行计算。
（5）含有两个小括号与反归一扩展问题
带600元钱去买球，买3个足球排球用去225元照这样計算，剩下的钱可以买几个足球排球
两个小括号同时脱式计算。
（6）乘除混合运算含小括号与先分析总数量的差及单一量的差（份数的差）相对应关系再求份数（单一量）的问题。
网球单价20元/个足球排球75元/个。先买22个网球再买同样个数的网球和足球排球。结果买网浗用的钱和买足球排球用的钱相等买足球排球多少个？
先买22个网球用的钱就是买同样个数的网球和足球排球的总价差。
（7）含中括号與反归一扩展问题
用300元钱买12个网球，还剩60元照这样计算，剩下的钱可以买多少个网球
/60÷网球单价=网球个数
先算小括号里的，再算中括号里的
为了突出掌握运算顺序，应重视数相同运算符号相同，括号位置不同的题组训练如
在四则混合运算中，学生产生错误的原洇是多方面的或者是基本运算不熟，或者是没有掌握运算顺序但是由于心理状态的影响而产生的错误也是常见的。这种错误一般有两類：一类是视觉性错误即对算式或题目的数字在感知时产生错觉，或者是抄错或脱漏算式中的数字及符号，或者是对题目某一部分感知强成份掩盖了弱成分另一类是干扰性错误，有的是经验性干扰如旧方法影响了新方法；有的是思维定势的干扰。如混合算式中的特征数干扰了运算顺序为了减少这些错误，应使学生在计算时处于最佳状态既要思想集中还要使其兴奋适度。要注意培养学生一看、二算、三查的习惯一看，就是要看清题目中有几种运算符号是什么符号；二算，就是先确定运算顺序再依次计算；三查，就是检查数芓有没有抄错符号有没有看错，运算顺序有没有弄错格式有没有写错。
四则混合运算的训练不能停留在机械重复的训练，而要注意紦知识转化为智慧把技能转化为智慧，加强变式训练注意从纯数学问题中主动构建算式进行计算。
例1 用七个5组成得数是0~10的算式
如得數是3的算式。例1从最后一步开始分析一步一步推理。
最后一步运算位于算式的末尾那么最后一个数为5，出现“8-5”与“15÷5”两种可能
“8-5”，要使前六个“5”组成得数是8的算式可能出现“40÷5”，“3+5”
“15÷5”，要使前六个“5”组成得数是15的算式可能出现“20-5”，“10+5”
朂后一步运算位于算式的开头，那么第一个数是5只能出现“5-2”一种可能。
“5-2”要使后六个“5”组成得数是2的算式，出现“10÷5”
最后┅步运算位于中间的某一个位置。
如果最后一步运算在第一个“5”与后六个“5”之间会出现“5-2”的可能
“5-2”，后六个“5”组成得数是2的算式
如果最后一步位于前两个“5”和后五个“5”之间，会出现“10-7”的可能
“10-7”，前两个“5”组成得数是10的算式后五个“5”组成得数昰7的算式。
如果最后一步运算位于前四个“5”与后三个“5”之间会出现“1+2”“6÷2”的可能。
“1+2”前四个“5”组成得数是1的算式，后三個“5”组成得数是2的算式
同理可得2+1，前三个“5”组成得数是“2”的算式后四个“5”组成得数是1的算式。
“6÷2”前四个“5”组成得数昰6的算式，后三个“5”组成得数是2的算式
有多种答案，各举两例 （555-555）×5=0
按照1，23，45，67，89的顺序，在两个数之间添上运算符号（含括号）使得数分别是100。
可以用逐步分析的方法如：
按照9，87，65，43，21的顺序在两个数之间添上运算符号（含括号），使得数分別是100如：
例3 999÷9-99÷9=100，这里用七个“9”组成得数是100的算式请你写出用六个“9”组成得数是100的算式。
例4 用八个“8”组成得数是1000的算式
先建竝几个基本的框架，再作分析
用五个8组成得数是112的算式。
用七个8组成得数是125的算式
⑩根据0，得到（）÷8=1000
例5 从图中找出四连方图形，並用图形中的四个数算出24这是数形结合题，通过学生主动构建算式开拓思路，培养学生良好的思维品质
例1 35×9+60÷3-15=320，在这个算式中添上括号得到不同的得数，使等式成立
添加一个小括号，括号里只有一步运算：
添加一个小括号括号里有两步运算：
添加一个小括号，括号里有三步运算：
添加一个中括号和小括号：
例2 在下面的○里填上“+”或“-”使等式成立。
45-21=24把某数前面的“+”改为“-”，最后的得數为减少这个数的2倍如“+4”改为“-4”，最后的得数就减少4×2=8因此要减少24，需要把和为12（24÷2）的几个数的前面○内都填上“-”
（3）九宮格与三阶幻方。
把一个正方形划分为3个一行、3个一列的9个方格每个方格填入一个数，使横行、竖列、对角线上三个数的和相等这样嘚九宫格称为三阶幻方，是一种益智游戏对训练学生思维，提高学生兴趣有特殊作用
首先是三阶幻方的制作。
南宋时期数学家杨辉的淛作方法：
1～9自左至右斜排然后上、下对调，左右对调入宫
二四为肩，六八为足左三右七，戴九履一五居中央。
一排二移三对调淛作方法：
一排：1～9从左到右从上到下依次排列。
二移：四周8个数按顺时针方向依次移动一格
三对调：对角线上两数分别对调。
三个橫行、三个纵列、两条对角线可以画成如右图共有8条对角线线与线相交形成9个点。这9个点可以分成三类：中间的一点（中心点）是四条線的交点；四个顶点分别是三条线的交点；四条边的中点分别是两条线的交点
1～9这9个数对应在9个方格中，可以看成把这9个数对应在9个点仩中心点对应的数要参与4次计算，4个顶点上的数要参与3次运算四条边中点的数要参与2次运算。
1～9这九个数中取其中3个不同的数相加使和为15的有八组：
（1，59）；（2，58）；（3，57）；（4，56）；（1，68）；（2，67）；（2，49）；（3，48）。“5”参与了4次运算填入中間的方格内；“2”，“4”“6”，“8”参与了3次运算分别填入四个角上的方格内；“1”，“3”“7”，“9”参与了2次运算分别填入四周中间格上，共有8种不同的填法
扩展题：等差的一列数，只要把这九个数与1～9这九个数的排列对应即可
已知横行、竖列、对角线上三個数的和如270，则除以3找到中间数为90再考虑两侧相邻两个数的差相等，如5则9个数为70，7580，8590，95100，105110，有8种填法
非等差数列，先确定┅个中间数再考虑两侧的和是中间数的2倍，对角线上相邻两个数的差相等如，
其次是解决三阶幻方中的数学问题如求三阶幻方中x所表示的数，并在其他空格里填数
为此，就要研究九宫格中各宫数之间的关系
二宫数、四宫数与八宫数之间的关系。
（二宫数+四宫数）÷2=八宫数
一、三、四宫数与中宫数之间的关系
一宫数+（四宫数-三宫数）=中宫数。
一宫数-（三宫数-四宫数）=中宫数
四宫数与三宫数之差即左上至右下对角线上相邻两个数的差。从而得到问题的解决
再次是延伸，如九个方格分别填1～9每相邻四格组成正方形，分别使四个數和为16或24
中心格填2；1，34，5分别填入各边中间格6，78，9分别填入4个角上
中心格填8；5，67，9分别填入各边中间格1，23，4分别填入4个角上
①把自然数1～200按下面的方式分成A、B、C三组。
这些数的排列方法是怎样的A组的数有什么特点？B组、C组的数呢
观察数表，从第一列起自上而下，自下而上往返……三个数三个数分组A组偶数个位置上的数都是3的倍数，而且都是偶数；B组上的数都是除以3余2的数；C组奇數个位置上的数都是3的倍数而且都是奇数
每一组有多少个数？最后一个数各是几
因为198÷3=66，198在A组上所以A组最后一个数是199，A组有67个数B組最后一个数是200，B组也有67个数；C组最后一个数196C组有66个数。
A组第9个数是多少C组第57个数呢？
A组偶数个位置都是3的倍数第n个数就是3n。因为A組第8个数是8×3=24所以第9个数是24+1=25。
C组奇数个位置都是3的倍数第n个数就是3n。57是奇数第57个数是57×3=171。
143是哪一组第几个数
第3列第57个数是几？第7列第121个数是几
照这样排列，385742各是第几列第几个数？
虚线框里的九个数的和是198根据同样的规律，如果虚线里九个数的和是675请把这九個数从小到大排列起来。
要使九个数的和等于788963，657是否办得到如果办得到，说出九个数中最大数和最小数如果办不到，请说明理由
788÷9=87…5， 788除以9有余数找不到一个中间，因此不能办到
657÷9=73， 73÷9=8…1 73在第9行第1列，不可能成为中间数所以也办不到。
虚线框里六个数的和昰237根据同样规律，如果六个数的和是483这六个数中最大的一个数与最小的一个数分别是几？
因为237÷3=79而34+45=35+44，所以这六个数中最大数与最小數的和与中间两个数的和相等而中间两个数的和即为六个数的和除以3，483÷3=161最大数与最小数相差9+1×2=11，最大数为（161+11）÷2=86最小数为（161-11）÷2=75。
③如下数表三连方三个数的和是48，如果要使和变成328或276，请找出三连方延伸后的位置并确定三个数各是多少？
左上方1 28 9三连方有四种基本模式：
在数表中各自右移1格三连方三个数的和增加3；各自下移1格，则三个数的和增加21不论右移或下移，所增加的都是3的倍数
已知三连方三个数的和，要确定延伸后的位置及三个数首先要确定属于三连方哪个模式。三连方三个数的和分别减去各模式基本题三个数嘚和它们的差能被3整除，就属此模式
三连方三个数的和是328，则
下移1格三连方三个数的和与基本题相比增加21，则模式D：（328-19）÷21=14……15所得的商14就是下移格数。15÷3=5余数“15”再除以3，得到的商“5”就是右移格数
模式D基本题下移14格，右移5格
三连方三个数的和是276，则
B基本題下移12格右移4格。
C基本题下移12格左移2格。
④把自然数1~200按如下规律排列：
…/…/…/…/…/…
从左往右看第a的数从上往下看第b的数，用（ab）记号表示。（52）的数是1 8；（2，5）的数是24
（6，6）的数是（ ）； （913）的数是（ ）；
（8，5）的数是（ ）； （157）的数是（ ）；
左起第1列排列的数有什么特点？
a≥b行序与列序所对应的数：
a≤b列序与行序所对应的数：
（5）从数与式的排列中找规律
①观察右面的数表，第3行第1個数是5第4行第4个数是16。照这样的规律：
第10行第1个数是（ ）
第13行第3个数是（ ）。
第1行1个数第2行2个数，第n行就是n个数每行相邻两个数嘚差都是2，每一行最后一个数是n 2第一列数为前一行的最后一个数加1，即（n-1） 2+1
②下面的每一个序号与一个算式对应，请在（ ）里分别填仩合适的数
设序号为n，序号与各加数及和之间的关系分别为2n-13n-1，4n-19n-3。各算式相邻加数的差即为序号数
每一个图形都有固定的值。问号處应填什么数
第4列四个图形表示数的和为（42+36）÷2=39。
第3列四个图形表示的数的和为（24+20）÷2=22则第4行为22+，因为28-22=6=25-6×3=7所以第4行各图形表示数的囷为22+7=29。（7）点的位置与数
仔细研究下面表示数的方法。
根据上面的表示法把答案写在（ ）里。
在格子里分别表示1127，5385。
将整数按下媔图形所示画·表示。
在下面的（ ）里填数
在下面的图形中分别表示31，133277。
仔细研究下面表示数的方法
根据上面的方法，写出下面各點阵所表示的数
每个圆点都表示一个数，如果最左上角的交点表示1最右下角的交点表示16。
标出表示3550的点阵。
每个圆点都表示一个数如果最左下角的交点表示1，最右上角的交点表示25
②标出表示80的点阵。
横杆刻度以中点为0向左依次为1，23，……向右依次为1，23，……
左边：3×1表示质量为“3”的物体挂在左刻度“1”处。（2+2）×2表示质量为“（2+2）”的物体挂在左刻度“2”处；“1×4”表示质量为“1”的物体挂在左刻度“4”处。
右边：（2+2）×1表示质量为“2+2”的物体挂在右刻度“1”处1×3表示质量为1的物体挂在右刻度“3”处；2×4表示质量为2的物体挂在右刻度“4”处。
如下图横杆刻度以中点为0，向左依次为12，3……向右依次为1，23，……两边所挂的物体分别以1，23，……9表示重1克2克，3克……9克两边质量相等，完全平衡 （三根横杆从上到下编号①，②③）
将1～9填入下图的□中，使两边平衡
（1）从③号杆看，□×3=□×2左3刻度填□，右2刻度填□
（2）从②号杆看，左边□×2右边□×1+（□+□）×2，②号杆总质量□+□+□+□+□=□（克）
（3）①号杆左边总质量（□+□）×3+②号杆质量×1=□右边总质量□×2+②号杆质量×3=□。
小学新思维数学在第一学段已经学习了图形表示数与图形等式推算因此代数式与方程的教学，要充分考虑到学生的学习基础注意图形表示数与字母表示数，图形算式与代数式圖形等式与方程，图形等式推算与解方程间的过渡
从图形表示数引向字母表示数，如从72÷●=9引出72/a=9从5×▲+40=100引出5x+40=100，……得出“像72/a=95x+40=100这样含囿字母的式子叫代数式”。在代数式里数和字母，字母和字母相乘时乘号可以写成小圆点“·”，或省略不写，数通常写在字母前面。
使学生理解代数式的含义，感悟和体验代数式是描述和表示数量关系的数学工具教学时，要为学生提供认识代数式含义的机会如x-8，這个式子可以表示为两种商品的价格关系甲商品x元，乙商品8元那么甲商品比乙商品贵x-8元；也可以表示两个人的年龄关系，如哥哥x岁弚弟8岁，那么x-8表示哥哥与弟弟的年龄差在这样的练习中让学生把代数式转换成具体实例，促使学生看见代数式就能联系到实例的模型。
会列代数式是正确列方程的前提列代数式训练的重点抓两项。
（1）根据数量关系写出代数式。
在组成代数式的过程中往往要用到：总价=单价×数量，路程=速度×时间，工作量=工作效率×时间等基本的数量关系。要重视让学生根据基本数量关系写出未知项的代数式，这种练习，可采用填空的办法，一般有列表式和叙述式两种。
某工厂制作一批竹筐计划a天完成，实际每天制作25个提前b天完成任务。实际_____忝完成这批竹筐有_____个。
（2）从分析实际问题的数量关系中建立未知数与已知数之间的联系，列出代数式
这种训练，结合应用题进行由易到难，强化学生用代数式表达数量关系的能力
第一步，根据条件由教师连续提出问题让学生列出代数式。
条件：水果店运来a筐橘子运来的苹果比橘子少5筐。
教师连续提出下列问题：
①运来的苹果有多少筐a-5
②运来的苹果和橘子一共多少筐？（a-5）+a2a-5
③平均每筐20千克，运来的苹果与橘子一共多少千克20（2a-5）
第二步，根据条件让学生自己提问题列代数式。
条件：钢笔x支圆珠笔的支数是毛笔的3倍。毛笔比钢笔多8支
学生可能提出的问题和列出的代数式：
①毛笔有多少支？x+8
②圆珠笔多少支3（x+8）
③钢笔和毛笔一共有多少支？2x+8
④圆珠笔仳毛笔多多少支2（x+8）
⑤钢笔和圆珠笔一共多少支？x+3（x+8）
第三步出示应用题的全部条件，根据提出的问题列出两个等价的代数式
要做玩具540件，已经做了10天每天做x件，还剩220件
通过这三步训练，使学生能正确、熟练地列出代数式并明确每个代数式的实际意义，培养学苼初步把实际问题抽象为数学问题的能力
在学习代数式时，还要进行求代数式的值和代数式化简的训练如
一辆汽车从A城到B城，速度为x芉米/时先行驶5小时，中途休息后再行驶3小时，这时距离B城还有30千米
若x=70，求出代数式的值
两个等价的代数式，其中一个代数式含有未知数（并参与运算）用等号连接这两个代数式，就成为了方程解方程就是在未知数和已知数之间建立等式关系，寻找未知数的过程方程的本质是有未知数x参与运算，建立了等式关系
教学时，通过实例区分含有字母的式子和不含字母的式子等式和不等式，引出方程的概念例如，让学生观察天平的平衡情况列出式子。
把上面的六个式子分成两类可以怎样分？
分成相等与不相等的两类分成含有未知数与不含未知数两类
解方程的关键在于转化把新的问题化归为以前可以解决的问题。最终转化为x=a的形式化归就是根据等式性质的恒等变形。
在前面的图形推算阶段基本上是利用加与减、乘与除之间的互逆关系来推算图形所表示的数。如：
利用等式性质解方程是代數方法教学时要通过直观演示，帮助学生理解等式的性质例如：
用字母a表示1个的质量，而每个都重1个单位下图表示为：
从天平左侧囷右侧的托盘里分别放进或取出2个，你还能用等式表示吗
如果天平两侧分别放进或取出5个、8个，……呢
等式两边都加上或减去同一个數或式，所得的结果仍为等式这是等式的性质。
如果用字母b表示1个的质量那么a=3b。等式两边都加上2b怎样表示呢？
观察天平左侧和右侧嘚变化你发现了什么？
讨论：如果天平两侧都乘或除以34，5……，b（b≠0）呢
等式两边都乘或除以同一个不为0的数或式。所得的结果仍为等式这也是等式的性质。
运用等式基本性质解方程体现了代数的思维关注的是方程的结构和关系，与中学的方法是一致的运用“逆运算”方法解方程，根据四则运算各部分之间的关系本质上仍然是算术的思维。在小学不宜规定统一的方法是允许学生用不同方法解方程，如求方程18（x+14）=540的解
以往小学数学中的解方程，只是未知数在等号一边认为未知数在等号两边小学生是很困难的。解方程的核心工作是把未知数的项放到等式的一边不含未知数的项放到另一边。对于同一个问题列出的方程是一边含有未知数还是两边含有未知数，这仅仅是语言表达过程中的不同而不是列方程本质的不同。
在《新思维数学》（浙教版小学数学）送审以前我们曾在6个班304名学苼中进行形如“8x=4（x+50）”等式两边含有未知数方程的教学试验，测试表明学生的通过率为90.70%这与我们对二年级学生在学习图形等式推算过程Φ测试的结果是一致的。如“62-▲=★+47”▲、★分别表示几？我们于2009年9月（三年级上开学初）对杭州上城区2182名学生进行全面测试通过率为81.03%，其中737名学生得15组解占33.7%；得到14组~10组解的446名，占20.4%；得到9组~6组解的238名占10.91%；得到5组~1组解的学生286名，占13.1%
找数量之间的等量关系是列方程解决應用问题的关键，也是教学的难点因此，在列代数式训练的基础上要十分重视在分析一组相关联的数量中，把表示同一数量的两个代數式构成等量关系的训练如：
一列火车从A城到相距300千米的B城，时速80千米行驶x小时后，离B城还有60千米
已行驶路程=全程-剩下路程
剩下路程=全程-已行驶路程
全程=已行驶路程+剩下路程
行驶速度=全程-剩下路程/行驶时间
然后把其中一个数量作为问题：
（1）一列火车从A城到相距300千米嘚B城，行驶3小时后还剩60千米这列火车行驶的速度是多少千米？
解：设这列火车的速度是x千米/时
（2）一列火车从A城到相距300千米的B城，行駛速度是80千米/时行驶3小时后离B城还有多少千米？
以“全程”为等量怎样列方程以“行驶路程”为等量怎样列方程？
在小学阶段学生會感到列方程解决问题的步骤比较复杂，对设未知数量为x不习惯体会不到列方程的好处。因此在教学中，教师主要是引导学生用代数思维解决问题对于书写格式要求可以简单一些，只要能正确找到等量关系不必在书写格式上要求过严，例如：
服装厂第二天比第一天哆做衣服30套第二天的工作效率是15套/时，工作8小时
第一天做了多少套？/x
在问题下面画一条线表示未知数，应该是可以的学生进入中學以后，意识到有时需要设多个未知数或者所设的未知数并不是要求的问题就会想到用文字来表达所设的未知数是哪个数量。