一、无聊的序列奇特的理论

在介绍主题以前，我们先来做一件看似无聊的事情我写下一个数：

然后问你看见了什么。你回答道：“1个1”我把你的回答中的数字依次寫下：

然后问你看见了什么。你回答道：“2个1”我把你的回答中的数字依次写下：

然后问你看见了什么。你回答道：“1个21个1。”我把伱的回答中的数字依次写下：

然后问你看见了什么你回答道：“1个1，1个22个1。”我把你的回答中的数字依次写下：

然后问你看见了什么你回答道：“3个1，2个21个1。”我把你的回答中的数字依次写下：

我们可以一直这样下去得到一个序列，序列里的每一项都是一个数字串这个数字串序列被称为“边看边说序列”(Look-and-say sequence)，也有人翻译成“外观数列”注意到其实这并不是一个数列，因为其中的每一项并不是一個数比如第三项21并不代表数字二十一，而是2和1这两个数字构成的字符串（本文称之为数字串）

咋一看这个序列很枯燥，生成的过程一點技术含量都没有大概只适合做脑筋急转弯的素材：“请问：1, 11, 21, , 312211接下去一项是什么？”

1977年在贝尔格莱德举行国际奥林匹克数学竞赛的闲暇時刻荷兰队向英国队提出的挑战，似乎是这道脑筋急转弯题的最初记载不过也许它还有更早的历史。赛后英国参赛队员将它带回英國，辗转相传到了1983年11月，轮到在英国剑桥大学教书的著名数学家J·H·康威(John Horton Conway)做这道题了

康威是一位在代数、几何、数论等领域都有相当夶贡献的数学家。群论中的魔群月光猜想（一种拥有极其众多元素的被称作“怪兽”的群和模形式之间有意想不到的联系猜想名字中的“月光”是“疯狂”的意思）由他和Simon P. Norton提出和命名；1998年英国数学家Richard Borcherds因证明此猜想而获菲尔兹奖。康威最为数学爱好者们乐道的则是他在组合遊戏理论中的巨大成就以一系列奇思妙想而闻名。他建立了超实数理论（这是一个把游戏和数结合在一起的理论其中每个数都是一个遊戏局面），并创作了以此理论为基础来分析大量经典（以及自创的）游戏的数学科普书籍《稳操胜劵》他提出的“生命游戏”更是脍炙人口，让元胞自动机理论广为人知科普大师马丁·加德纳将《数学嘉年华》一书题辞献给康威，感谢他在趣味数学领域作出了“深刻、優雅和幽默相结合的独特贡献”

不过要比脑筋急转弯，象康威这样出色的数学家似乎也不比一个小学生更厉害当他的学生抱着点恶作劇的心理拿这题给他做时，康威平时智计百出的脑子不好使了阴沟里翻船，最终无奈地让学生告知他答案

但和一般人听到答案后呵呵┅笑了之不同，直到那年的圣诞节期间康威还在不断研究——按照他的说法，是“把玩”——这个序列并从中发展出一个怪异而美妙嘚理论来。在这个理论中有一个小小的宇宙这个宇宙由92或94种元素组成。这些元素在衰变中互相演化让这个小小宇宙以每天增长大约30%的速度膨胀。

二、分割、元素、化学定理和算术定理

在具体介绍这个理论的内容以前先让我们也来把玩一番前面这个序列，以便对它的演囮有一些直观的了解

把这个序列多写出几项来：

注意到从第8项起在数字串中多写了一个“.”，它将数字串分成了前后两个子串而这两蔀分接下去在互不影响地独立演化：

前子串总是以2结束；这是一个很容易证明的一般规律的特例：如果一个序列以某数字x结尾，那么它的所有后代也总以x结尾而后子串的开头则以
的形式循环，所以永远不可多折能以2开始于是前后这两部分不会再交缠在一起。

另一个简单嘚例子是如果一个数字串恰好以两个2结尾：……s22（其中s是不为2的数字），那么它可以分割成……s.22的形式因为如上所说，前子串的后代總以s结尾而后子串的后代永远是它本身：22。

从上面的例子里我们看到了这个理论中最重要的现象——数字串的分割：一个数字串可以分割成若干子串使得它的演化结果是由这些子串的独立演化结果拼接而成。这样对一个数字串的演化的研究可以转化成对它的子串的演囮的研究。可以把这个现象和正整数的乘法分解作对比我们知道，每一个大于1的正整数都可以唯一地分解成素数的乘积素数犹如构建囸整数的基本砖块，这个结论因极其重要而被称为算术基本定理它确定了素数在数论研究中的核心地位。在康威的边看边说序列理论中和素数的地位相当的是无法再分割得更小的数字串，康威称之为元素或原子比如说从1开始演化的这个序列的前七项，都是无法分割的え素而它的第8项则可分割成两个元素：11132和13211。这些不可多折分割的元素就是构建数字串的基本砖块由元素拼接起来的数字串则被称为化匼物。

毫无疑问这种命名方式是一种暗喻，将边看边说序列理论中的对象和化学理论联系起来（当然这绝不是在暗示边看边说序列理论嫃的是研究现实世界中化学元素和化合物的理论）在后面大家会看到这种暗喻是相当巧妙和贴切的。因此我们也将相当自由地使用一些佷容易直观理解的术语比如前面谈论数字串的“演化”以及它的“后代”。我们会谈论元素的“衰变”也就是它的演化过程。数字串烸演化一项我们会说“一天后”数字串如何如何。康威把序列的第一项称为“第0天”然后依次为“第1天”、“第2天”等等，在本文后續章节中我们甚至会看到“一天引理”和“两天引理”

边看边说序列理论中的元素有许多种，确切地说有无数种。比如将“13”重复n次嘚数字串1313……13就是无法分割的：假设它在某个1和3之间可以分割：

出现了跨越分割号的连续三个1这就是说前面假设中的分割是错误的。假設它在某个3和1之间可以分割：

出现了跨越分割号的连续两个3这同样是错误的分割。

康威的重要发现是：存在着一族共有92种特殊的元素咜们之间会互相演化。这92种元素被他称为“普通元素”并分别以化学元素表中1号（氢）到92号（铀）元素命名。对于普通元素有如下的結论：

• 存在92种普通元素（具体的元素列表和它们的性质将在稍后给出）。可以分割成普通元素的化合物称为“普通化合物”（为了简化叙述起见我们也把普通元素看作是仅由一个元素组成的普通化合物）。
• （化学定理）任何一种普通元素的后代都是普通化合物普通化合粅的后代也是普通化合物。除了第1号元素氢（即数字串22）外从任意一种普通化合物开始，演化足够多天后得到的化合物将由所有92种元素组成。
• （算术定理）从任何一个普通化合物开始每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比，越来越趋近于一个固定常数λ。在此过程中，每种元素在这些数字串中的比例越来越趋近一个（仅和此元素本身相关而与初始普通化合物的选择无关的）大于0的常数值，称为這种元素的丰度上述固定常数λ是以下71次多项式的唯一的正实数根（也是所有根中模最大的）：

它约等于1.，称作康威常数

在整个边看邊说序列理论中，最令人吃惊的大概就是上面这个多项式了乍一看真可谓从天而降，莫名其妙欲知其妙，则需懂得一些线性代数的知識我们将在本文后续章节中比较详细地讨论这件事情，并通过在康威发表论文之后线性代数的新成果得到比以上算术定理中叙述的更恏的结果。

化学定理指出普通化合物是一个封闭的圈子，普通化合物只能演化成普通化合物但是还有一些本不是普通化合物的数字串，它们可以在若干天内演化成普通化合物掉进这个圈子里去。对这样的数字串来说上面的结论绝大部分也同样成立，因为考虑的是“演化足够多天后”的事情比如本文最开始讲到的从1开始的序列，数字串1本身不是普通化合物但在第八天演化成可以分割为72号元素铪（11132）和50号元素锡（13211）的普通化合物。所以演化足够多天后得到的化合物也将由所有92种元素组成，数字串的长度和前一天长度之比也将越来樾接近康威常数每种元素在化合物中的比例也越来越接近于此元素的丰度。

下面是完整的92种普通元素列表本文中元素名称前通常以前丅标形式注明相应的原子序数以便查询，毕竟不是每个人都能熟练地说出某元素的原子序数；笔者就无法做到这点所以阅读康威的论文時对此有痛苦感。如果不是要自己动手验证的话读者大可不必仔细阅读这个表格。这个表里值得注意的有几点：

• 1号元素氢所代表的数字串22是唯一的衰变到自己的元素
• 92号元素铀所代表的数字串3是最短的元素。
• 除氢外第n号元素“一天后衰变物”一栏中都有一个加粗的第n-1号え素成份。康威基于这个性质给这92种元素排序此性质将在后面的论证中用到。这个“第n号元素一天后会衰变出第n-1号元素”的次序并不是唯一的康威只是挑选了其中一种。
• 两种元素并不是可以随意拼合在一起的比如92号元素铀（3）和20号元素钙（12）顺次拼合在一起的结果“312”应看作是另一种元素——30号元素锌，而非可分割的而铀（3）和91号元素镤（13）顺次拼合在一起的结果“313”既不是普通化合物，又不可多折分割是一种不稳定的元素。判定一个数字串是否可被分割和如何分割的准则称为“分割定理”，是比较技术性的内容留在本文下篇介绍。
• 一个31号元素镓会在下一天衰变出两个20号元素钙这是唯一的某个元素会在下一天衰变出超过一个的同一种元素的情况。

下面是元素的丰度表和康威的原始论文中一样，数据被乘以了一百万以使长度固定；也就是说，一个普通化合物演化足够长时间后得到的数字串被分割成普通元素后每一百万个元素里大约会有91790个1号元素氢，3237个2号元素氦4220个3号元素锂等等。注重细节和有耐心的读者可以将下表这些数据和康威论文中的数据相对比就会发现小数最后一位往往会有一点不同，比如2号元素氦的丰度是而原始论文中是下表的数据我使鼡了两种不同的计算软件库得到，结果相同所以应该没有错误。原始论文数据的差异应当是上世纪80年代时康威使用的计算软件的浮点精喥不够的缘故当然这完全没有什么大碍。有兴趣和能力的朋友也可自行计算验证计算方法将在本文后续章节中介绍。

我们讨论了普通え素（以及普通化合物）的性质但我们知道，存在着无数不同于普通元素的元素这些元素的演化结果会是什么？象1这样的元素最终會演化成普通化合物，从而掉进普通化合物的圈子那么有不同于普通化合物的封闭圈子吗？这是上节中的化学定理和算术定理没有回答嘚问题

作为数学家，把理论推广是一种本能康威也考虑以其他的有限数字串作为起始的演化序列的情况。比如从55555开始然后得到

等等；字符串中也可以含有其他不是十进制数字的符号（但为了方便我们仍称之为数字串），比如从%5##开始得到

等等。对这样的边看边说序列它们又会有什么样的演化性质？

这里有一个技术细节要处理如果我们从1000个1组成的数字串出发，序列的第二项是1000 1（我特意在1000和1中间加了┅个空格）问题是第三项应该是什么？第一种选择是把前面这个1000看作是1个1和3个0，那么第三项就是113011而第二种选择是，把前面这个1000看作昰一整个不可多折分割的符号那么此时我们看第二项时会说那是1个1000和1个1，那么第三项就应该是1(1000)11这里1000被括号括起，表示这是整一个不可哆折分割的符号我们完全可以为1000引入一个特别的符号，比如“M”那么就没有歧义了：看见第一项1000个1组成的数字串，我们会说那是M个1於是第二项是M1，第三项则是1M11等等。这种另引入符号的方法其实早就有了十六进制里我们为了表示十进制的10，1112，1314，15往往用“A”，“B”“C”，“D”“E”，“F”来表示它们上面的第二种选择无非就是使用了“无穷进制”，为每一个自然数单独引入一个不同的符号

其实采用第一种选择还是第二种选择，对于下面要叙述的结论影响并不大只是采取第二种选择能够让我们在演化时间上得到一个更为精细的结论，这也是康威原始论文中的选择所以我们也同样采取这个选择。而对于不愿意在细节方面纠缠的读者来说完全可以把初始嘚数字串限定为只由0-9这十个符号组成，而且其中没有超过九个连续的相同数字你不会因此少欣赏到多少这个理论的有趣之处。

对于这样嘚推广情况前面针对普通化合物的结论显然需要修改，因为那些不是“1”、“2”、“3”的符号在演化过程中永远也不会消失所以演化過程再长，演化结果也不会仅由普通元素组成但是令人吃惊的是，前面第二节中的结论并不需要修改很多：

• 除了92种普通元素外还有两類被称为“超铀元素”的镎和钚的同位素（具体形式在后面给出）；
• 从任意数字串（可以包括除“1”、“2”、“3”以外的符号）出发，在囿限天内它就会演化成为普通元素和超铀元素拼接而成的化合物如果对个数的解释采用前面的第二种选择的话，则我们可以找到这个“囿限天”的上限：在24天后（也即从第25项起）任意数字串都会演化成为普通元素和超铀元素拼接而成的化合物；
• 除了1号元素氢（即数字串22）外，从任意数字串出发演化足够多天后，得到的化合物将由所有92种普通元素和一些超铀元素组成每种普通元素在这些化合物中的比唎越来越趋近于它的丰度，而超铀元素的比例则趋近于0；
• 从任意数字串出发每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比，越来越趋近於前面所说的康威常数

上面关于任意数字串的结论被称为“宇宙学定理”，是本理论中的基本定理宇宙学定理要比化学定理强得多，咜说明了普通元素加上超铀元素组成的化合物是终极圈子无论从什么数字串出发，最多过24天都会掉进这个圈子中。尽管元素有无穷多種但是能够长期存在的，却只有普通元素和超铀元素它们被称为稳定元素。所有其他的元素都是不稳定的

两类超铀元素如下，其中n昰任何一个除“1”、“2”、“3”以外的符号：

每选取一个不同的n就会有相应的不同的93号元素镎和94号元素钚，它们被称作镎和钚的同位素注意到两类超铀元素是彼此的衰变产物。

“24天”这个下限不可多折能再缩短了因为我们可以找到寿命恰为24天的不稳定元素n，其中n是不為“1”的数字（可以是“2”或“3”或其他符号）下面是它的衰变过程（为了简短起见，一旦产生了稳定元素我们就在后续项中忽略掉這一部分的后代）：

康威将这种寿命最长的达到24天的形如n的不稳定元素命名为鎷(Methuselum)。这用的是《旧约》中玛土撒拉的典故因为传说他活了969姩，是活得最长的人

在后续章节中我们将讨论一些技术性比较强的问题，如化学定理、算术定理和宇宙学定理的证明以及关于元素丰喥的计算，和那个神秘的多项式的来历并利用这些定理做一些具体的计算。

为后面的定理证明作技术性的准备大概是本文最没有意思嘚一节。因为它的内容从难度来说可能高年级的小学生也能理解，但却相当琐碎都是些考虑各种可能性的叙述和论证。一般的读者大鈳只阅读几个命题的内容而跳过论证对于想自己编程验证的读者，则请特别注意分割引理的内容和我在后面的算法建议

在康威的论文Φ，所有单独列出来的命题都叫“定理”下面将介绍的“一天引理”、“分割引理”等等在他的论文中叫“一天定理”和“分割定理”等等。但是这些命题基本上用来证明过其他结论后就可以丢在一边或展示的是技术性细节，所以我改称“引理”以示它们和在上篇里介紹的三个主要定理在重要性上有区别

我们最终要考虑以任意数字串开始的边看边说序列，故本节中提到的数字串都不排除含有除了“1”“2”和“3”以外的符号——我们也称其为“数字”并把它们称为“大于3的数字”（如果其中选用了符号“0”，那么它在上述意义下也是個大于3的数字）对个数的解释我们则采用上篇中提到的第二种选择，也就是说如果有连续1000个1的话，我们就替1000引入一个新的符号如“M”称这是M个1。

下面的“一天引理”说其实你只需在第一天里为引入新符号头痛一下。

（一天引理）任何一个年纪至少为1天的数字串里鈈可多折能含有这样的子串：

1) 从奇数位置开始的baca，其中ab，c是相同或不同的数字；

2) aaaa或aaabbb，其中ab是相同或不同的数字。

这个引理的证明可鉯用“显而易见”来形容所谓的“年纪至少为1天的数字串”无非是说，它不是任意给出的而是对着某个数字串边看边说出来的。要是茬奇数位置开始出现了baca这样的子串相当于在说看到的那个数字串里有“b个a，c个a”这是不允许的，令d=b+c你得说是“d个a”。不允许出现aaaa也┅样因为即便它在偶数位置开始，那也是在说“……个aa个a，a个……”aaabbb形式的子串也一样证明。

因为连续4个相同的字符不可多折能出現在一个年纪至少为1天的数字串里那么连续4个以上相同的字符也不可多折能。所以所有大于3的数字要么是最初（第0天）就有的，要么昰第1天产生的（比如最初字符串里有连续1000个1会在第1天被描述成M个1，从而引入数字M）从第2天开始就不会再有新的了。而对年纪至少为2天嘚数字串我们还可以排除掉更多的子串的可能性：

（两天引理）在第2天和以后都不可多折能产生新的除了“1”“2”和“3”以外的符号。任何一个年纪至少为2天的数字串里不可多折能含有这样的子串：

1) 3a3（特别地，不可多折能有333这样的子串）；

2) ab其中a和b都是大于3的数字。

3a3这樣的子串如果是在奇数位置开始出现的那是边看前一天的数字串边说“3个a，3个……”也就是aaabbb这样的子串，可根据一天引理这是不可多折能的；如果是在偶数位置开始出现的那则是在讲“……个3，a个3”这是不允许的。

如果有ab这样的子串其中a和b都是大于3的数字，那么意味着前一天有“a个b”或是“b个……”形式的子串一天引理也排除了这种可能性。

顺便说一句从第3天起，数字串中大于3的数字的数量當然不会增加但也不会再减少了，它们最终会产生出超铀元素的同位素比如第0天的数字串如果是4444，第1天变成44第2天变成24，“4”的数目┅直在减少但从第3天起，序列中的每个数字串都有且仅有一个4

一个数字串中如果没有一天引理中的2)和两天引理中1)和2)提到的那些子串，咜就是个好数字串一天引理和两天引理说的就是，如果一个数字串是一个年纪至少2天的数字串的子串它一定是个好数字串。好数字串總是演化出好数字串来我们接下来要考虑的数字串都是好数字串。

下面介绍三种数字串模式都是规定它是怎么开始的。这些模式在后媔的引理中很重要：

• A型：1a……的形式其中a是不同于1的数字，而省略号部分或者是空的（也就是整个数字串就是1a）或者是一个不以a开头嘚数字串。
• B型：111……的形式其中省略号部分或者是空的（也就是整个数字串就是111），或者是一个不以1开头的数字串
• C型：3……的形式，其中省略号部分或者是空的（也就是整个数字串就是3）或者是一个不以3开头的数字串，而且前3个数字不都相同（如果这部分的长度至少昰3的话）

容易证明，任何A型好数字串过一天会变B型好数字串任何B型好数字串过一天会变C型好数字串，任何C型好数字串过一天会变A型好數字串这3型数字串都不以2开头，以2开头则有三种引申出来的数字串模式：

• A'型：22……的形式其中省略号部分是个A型数字串。
• B'型：22……的形式其中省略号部分是个B型数字串。
• C'型：22……的形式其中省略号部分是个C型数字串。

这样我们就得到了3种循环模式而下面的引理则哽进一步：

（起首引理）：一个数字串的演化最终总会进入下面三种循环之一：

1) ……→A型→B型→C型→……

2) ……→A'型→B'型→C'型→……

如果它還没有进入循环，那么“1”“2”和“3”将均会出现在它后面演化过程中各项的首个数字中

命题的最后一句话其实是说，如果一个数字串朂终会进入ABC循环可是却还没进（也就是它还不是ABC型中的一种）那么它迟早会演化出一项以2开头的数字串来，然后再进入循环（那时不断哋以1或3开头）；而如果一个数字串最终会进入A'B'C'循环可是却还没进那么它迟早会演化出一项以1开头的数字串，和一项以3开头的字符串然後再进入循环（那时总以2开头）。循环3)则是数字串22独有的

起首定理的具体证明就不多说了，完全是力气活把所有可能性都考虑一遍；哆亏一天和两天引理，可以少考虑不少可能性这证明小学生也能看得懂，可就是太啰哩吧嗦真想看就只好请读者直接读原论文了。为叻叙述方便起见我们再引入两个数字串开始的类型：

• X型：以大于3的数字开始
• X'型：22……的形式，其中省略号部分或者是空的（也就是整个數字串就是22）或者是个X型数字串。

现在我们终于可以引入下面这个重要的引理也就是分割的准则：

（分割引理）一个好数字串可以在某处分割成前后两个子串，当且仅当在满足以下某种情况时：

有了起首引理分割引理“当”部分的证明很容易。第一种情况很简单以“1”，“2”或“3”开始的后数字串总还是演化成以“1”“2”或“3”开始的数字串，不会和永远以大于3的数字结尾的前数字串混起来第②种情况，前数字串永远以“2”结尾后数字串永远以“1”或“3”或是大于3的数字开始，也不会混起来第三种情况，前数字串永远不以“2”结尾后数字串永远以“2”开始，也不会混起来注意到如果结合第二种情况，在第三种情况下我们其实总能将数字串分割成3段：前數字串22，以及一个A型或B型或C型或X型的数字串——除非原本的后数字串就是22本身

还要证明“且仅当”部分，即除上述情况之外就不能分割这个留给读者证明，去读康威的论文也没用他同样也留给读者证明。证明过程的关键是起首引理结论的最后一部分

如果读者要自巳编一个分割数字串的程序，我建议采用如下方法：

首先验证那是个好字符串然后找到所有不是“1”“2”“3”的数字，在它后面分割將数字串分割成若干段。对每段分割好的子串进行如下操作：找到所有2验证它后面的子串是否A、B、C、X型，如是则在这个2后面分割对每段分割好的子串进行如下操作：验证它是否以恰好2个2结尾，如是则将这2个2分割。

容易看出这个算法能够将好数字串作完全的分割，既鈈会分割错也不会有该分割却没有分割的地方。

最后相应于起首引理还有个结尾引理没什么太大用处，为了完整起见也叙述一下：

（結尾引理）：经过足够长时间后

1) 任何一个以“1”结尾的数字串在演化过程中，序列的数字串末尾总会进入4步循环：

2) 任何一个以“2”结尾嘚数字串在演化过程中序列的数字串末尾总会进入2步循环：

3) 任何一个以“3”结尾的数字串在演化过程中，序列的数字串末尾总会进入2步循环：

4) 任何一个以大于3的数字“n”结尾的数字串在演化过程中序列的数字串末尾总会进入2步循环：

五、化学定理和宇宙学定理的证明

在此重新叙述一下化学定理的内容：

（化学定理） 任何一种普通元素的后代都是普通化合物，普通化合物的后代也是普通化合物除了1氢外，从任意一种普通化合物开始演化足够多天后，得到的化合物将由所有92种普通元素组成

第二节的元素列表具体地拿出来后，定理前面┅句的证明就差不多完成了：无非是验证一下元素所代表的数字串一天后的产物的确就是“一天后衰变物”一栏中化合物所代表的数字串而且其中的分割是正确的。

定理后面一句如果可以用算术定理的话证明也很简单：因为经过足够多的时间后，除了1氢外的任何普通化匼物演化出的数字串中各普通元素的比例会趋近于丰度而每种普通元素的丰度都严格大于0，所以我们自然能得出每种普通元素都在这些數字串中存在的结论不过如果不用算术定理，只通过元素列表我们也同样能证明这一点。

首先通过元素列表的重要特性，即对任何夶于1的自然数n第n号元素一天后会衰变出第n-1号元素这点可知，任选一种除了1氢外的普通元素从它出发都能衰变出任何一种普通元素。因為所有原子序数较大的都能衰变出原子序数较小的而衰变到2氦时则能回头衰变出91镤，然后能衰变出39钇最终衰变出92铀来，从而进一步衰變出任何普通元素

其次，容易看出两种元素间通过固定的衰变途径从一种元素演化到另一种元素的时间间隔是固定的。比如通过6碳→5硼→4铍→32锗→67钬这条衰变途径从6碳到67钬用了4天，那么我们可以肯定如果在第d天化合物中有6碳元素，那么第d+4天化合物里一定有67钬元素

紸意到2氦→3锂→2氦这条途径，从2氦出发每隔一天能产生出一个2氦来。如果第一个2氦出现在第h天那么后面所有和h间隔偶数天的日子里也會有2氦。再看2氦→20钙→19钾→18氩→……→4铍→3锂→2氦这条途径如果第h天有2氦，那么第h+19天也会有2氦然后从那以后每隔一天都会有2氦。也就昰说如果第h天有2氦，那么从第h+19天起每天都有2氦。所以我们有了第三个结论：任选一种除了1氢外的普通元素从它出发，在足够长时间後每天产生的化合物中都有2氦。

上面这三点结合起来的推断出的结论自然就是任选一种除了1氢外的普通元素，从它出发在足够长时間后，每天产生的化合物中都有92种普通元素中的任何一种这就完成了化学定理的证明。

至于宇宙学定理按照康威的说法，那是非常非瑺难的写出来会很长。他和Richard Parker花了一个月搞出来过一个证明但是稿子遗失了。Mike Guy也曾证明了这个定理比前面这个短一些可还是很长，而苴他的稿子也遗失了基于以上理由，在论文里他干脆就什么证明都没放只问“你能找到一个几页就能写下的证明吗？拜求！”

康威的宇宙学定理的“证明”

这大概是自费马在《算术》一书的书边对他的“大定理”写下“我确信已发现了一种美妙的证法可惜这里空白的哋方太小，写不下”后最拽的“此定理已证”的声明吧

直到2003年，美国路易斯安那州立大学的数学家R. A. Litherland才给出了一个完整的宇宙学定理的证奣这个证明是由计算机辅助完成的，也就是说先使用人工的推理将定理的证明转化成对一些特殊的有限的情况的验证，然后再使用程序来验证这些情况因为使用人力来验证太困难。史上最著名的采用计算机辅助方式的证明大概是四色定理的证明

宇宙学定理中和普通囮合物算术定理并行的部分很容易通过后者证得：因为超铀元素的数目从第二天开始就固定，而普通元素的数量则随着演化趋向于无穷所以超铀元素对化合物长度和成分的贡献可以忽略不计。

本文对宇宙学定理的证明的介绍就到此为止接下去应该介绍算术定理的证明了，这是本文最有意思的一部分但是了解它需要线性代数的知识。所以在此之前我打算先讨论一下边看边说序列理论中的这几个定理的應用，这一部分不需要线性代数的知识

中国共产党在长期的实践探索中坚持把马克思主义基本理论同中国实际和时代特征相结合，扎根中国大地、吸纳人类文明优秀成果、独立自主走自己的路我们党在推進马克思主义中国化的历史进程中产生了毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系两大理论成果。毛泽东思想系统回答了在一个半殖民地半封建的东方大国如何实现新民主主义革命和社会主义革命的问题，并对建设什么样的社会主义、怎样建设社会主义进行了艰辛探索Φ国特色社会主义理论体系系统回答了在中国这样一个十几亿人口的发展中大国建设什么样的社会主义、怎样建设社会主义，建设什么样嘚党、怎样建设党实现什么样的发展、怎样发展等一系列重大问题，是对毛泽东思想的继承和发展这两大理论成果从根本上改变了中國人民和中华民族的前途和命运，使中华民族大踏步赶上了时代前进的潮流迎来了民族伟大复兴的灿烂曙光。

当今中国已经是世界第二夶经济体正站在一个新的历史起点上；当今世界两种意识形态的较量暗流涌动，两种社会制度的竞争日趋激烈作为具有5000年文明史的大國，中国有责任也完全有信心为人类对更好社会制度的探索提供中国方案“一切划时代的体系的真正内容都是由产生这些体系的那个时期的需要而形成起来的［1］(P544）。”新的伟大实践要求我们党适应新的情况、迎接新的挑战、创造新的思想、培育新的理念、提出新的战略引领新的伟大斗争。今日之中国为了实现从站起来、富起来，到强起来的伟大飞跃对人类做出更大贡献，就必须在完善和发展中国特色社会主义的基础上推进国家治理体系和治理能力现代化，使国家治理体系制度化、科学化、规范化、程序化使国家治理者善于运鼡法治思维和法律制度治理国家，从而把社会主义各方面的制度优势转化为治理国家的效能

党的十八大以来，习近平作为党和国家最高領导人顺应历史和时代要求深刻总结世界社会主义运动的经验教训，精辟分析我国面临的新形势新任务围绕改革发展稳定、内政外交國防、治党治国治军发表了一系列讲话和文章，在进一步深化对什么是社会主义、怎样建设社会主义这个基本问题认识的同时探索和回答了怎样治理国家、建设什么样的国家治理体系的重大问题，形成了治国理政的新理念新思想新战略集中体现了新一届中央领导集体的治国理念和执政方略，进一步丰富和发展了科学社会主义理论实现了马克思主义与当代中国与世界实际相结合的新的历史飞跃，体现了當代中国马克思主义和21世纪马克思主义的新发展为在新的历史条件下推进中国特色社会主义伟大事业提供了科学理论指导和行动指南，為人类对更好社会制度的探索提供了中国经验和中国方案

一、习近平治国理政思想的产生顺应了历史潮流和时代要求

恩格斯指出：“每┅个时代的理论思维，从而我们时代的理论思维都是一种历史产物，在不同的时代具有非常不同的形式并因而具有非常不同的内容。”［2］(P284)一个政党在某一时期要完成的历史使命一代领导人要解决的时代课题，都是由当时的时代要求和人民愿望决定的今天的中国，需要解决的时代课题集中起来，就是党的十八届三中全会宣布的：“完善和发展中国特色社会主义制度推进国家治理体系和治理能力現代化。”［3］(P512)习近平治国理政思想的产生和形成是由当代中国社会的主要矛盾、世界格局的新发展和广大人民群众的愿望和要求决定的符合当代中国发展的历史规律、时代逻辑和现实要求，具有历史必然性

（一）习近平治国理政思想的产生是当代中国社会矛盾运动规律决定的

如何治理社会主义国家是前所未有的事业，必须进行艰辛的探索但这种探索是有规律的。习近平治国理政思想的产生和形成是甴当代中国社会主要矛盾运动决定的体现了中华民族伟大复兴的历史逻辑与中国特色社会主义伟大事业的现实要求的统一。

近代以来中華民族的主要任务是实现民族复兴民族复兴的内容和任务是由社会主要矛盾决定的。近代中国社会的主要矛盾是帝国主义与中华民族的矛盾、封建主义与人民大众的矛盾毛泽东等老一代革命家面临的紧迫任务是改变旧的生产关系和上层建筑，赶走帝国主义、推翻封建主義和官僚资本主义建立新中国，解放和发展社会生产力实现国家富强、人民幸福。

新中国建立后社会主要矛盾转化为落后的社会生产與人民群众日益增长的物质文化需要的矛盾新的生产关系和上层建筑极大地解放和发展了生产力，“一五”时期国家各方面的建设得到夶发展但生产关系一定要适应生产力发展的要求，层级低了不行高了也不行在国际形势和亿万劳动群众生产热情的鼓舞下，毛泽东等黨和国家领导人一定程度上忽视了经济规律的要求想片面地通过生产关系变革，搞一大二公加快社会主义建设事业的发展。结果事与願违影响了生产力的进一步发展。

改革开放以来以邓小平为代表的党和国家领导人为了进一步解决社会主要矛盾，从社会主义初级阶段的实际出发从解放生产力入手，对生产关系和上层建筑进行了适当调整坚持以经济建设为中心，通过改革开放解放和发展社会生产仂极大地增强了社会发展活力和动力。改革开放30多年来中国发生了天翻地覆的变化，这种变化体现在思想大解放、生产力大发展、社會财富大增加、国家实力大提高、人民生活大改善这是有目共睹的事实。

溯源这些变化根本原因在于改革把中国社会内在的生机和活仂极大地激发了出来。然而事情总有两面性，就在我们把中国搞活的同时却出现了许多乱象。改革开放之初我们强调“放开”，之後又进一步强调“放活”为经济建设“松绑”；这时虽然也强调“两手抓”，但在一定程度上存在着“一手硬”“一手软”开始出现淡化主流意识形态、放弃“原则”的现象，出现了贫富差距不断拉大的现象；接下来则出现了某种程度的“放松”、“放任”对党员干蔀放松了纪律和规矩要求，一些人放松世界观、人生观改造思想道德严重滑坡，出现了有权就任性、有钱就任性、有嘴就任性有的人想说什么说什么、想干什么干什么、想去哪里去哪里；极少数人受到敌对势力追捧不以为耻反以为荣，甚至走向“放荡”或“放肆”做囚做事用权毫无底线，践踏一切党纪国法这些乱象的产生不仅严重影响了经济社会的进一步发展，而且使我们党面临“四大危险”

党內和社会上的各种乱像，引起人们对党的命运、国家命运的担忧这就要求我们治乱，建设一个活而有序（搞活不能搞乱；治乱，不能治死）的社会从而解决伴随改革发展而来的种种矛盾和问题，把中华民族复兴大业推进到一个新的历史阶段

这个阶段主要矛盾没有变，但矛盾两个方面的内涵都有了变化人民需求方面不再是解决基本温饱问题，而是逐步提高生活质量、追求健康幸福；社会生产方面部汾低端产业产能过剩需要调整产业结构、提高产品质量，以满足人民需要随着中国与世界经济的高度融合和社会阶级阶层结构的变化，当下的中国出现了利益多元、观念多样、思想多变中国社会处在结构调整、力量转移、利益博弈、思想分化、转型升级和小康决胜阶段，然而存在的问题和短板是“现代国家治理跟不上”

这一问题体现出的仍是生产力与生产关系的矛盾。一方面要继续解放生产力（生產方面加强供给测结构改革实现产业结构优化升级），另一方面要解决生产关系、上层建筑方面阻碍生产力发展的问题一是进一步解決生产资料所有制的实现形式问题，二是解决人们在生产过程中形成的地位及相互关系建立和谐劳动关系，三是在分配、交换、消费关系中更加注重公平正义，让广大人民群众共享改革开放成果逐步实现共同富裕，四是要解决经济、政治、文化、社会、生态文明、党嘚建设、国防和军队建设的一系列制度现代化问题解决制度执行力问题。在这个阶段建设一个什么样的国家治理体系、怎样治理国家的問题突显出来了这就是社会历史发展和我们所处的时代给习近平为核心的党中央提出的重大历史课题。

（二）习近平治国理政思想的产苼是国际格局变化对中国发展的要求

国际力量对比是国际格局和国际秩序形成的基础国际力量对比变化必然引起国际格局的变化和国际秩序的调整。当今世界时代主题仍然是和平与发展但由于新一轮权力转移的出现和国际力量对比的变化，美国主导的国际格局和国际秩序存在的弊端愈发凸显进而引发了各种矛盾和冲突，因此各方要求变革全球治理体系和国际秩序的呼声日益强烈。

第二次世界大战后形成了以美苏为中心以华沙条约组织和北大西洋公约组织两大军事集团对立、帝国主义阵营和社会主义阵营全面对抗为特点的两极格局。随着苏联解体国际格局由两极格局转变为“一超多强”格局。其基本特征是: 美国成为唯一超级大国并努力打造单极世界;中国、俄罗斯、欧盟、日本等多强在国际事务中仍然发挥着不可多折忽视的作用并在很大程度上制约着单极世界的形成。进入21世纪国际力量对比发苼了持续变化，传统上占据主导地位的发达国家的力量在下降而以中国为代表的越来越多的新兴国家进入国际政治经济的中心舞台。

“9?11”事件发生后美国决意报一箭之仇，接连发起阿富汗和伊拉克两场战争美国发动阿富汗战争得到了全部盟友的支持和世界多数国家嘚同情。然而仅两年后，当美国绕过联合国以不充分的理由发动伊拉克战争时却遭到相当多国家的反对，甚至法国和德国这两个北约偅要成员也同俄罗斯联手反对这场不义之战从而导致西方世界分裂，使美国政府政治上、道义上更加弧立始于2008年的金融危机更进一步偅创了美国的软硬实力。美国的实力和形象因两场战争已遭损伤华尔街泡沫演变成的金融海啸殃及全球，更使美国金融与经济连遭重创社会与民众心理饱受打击。以此次金融危机为分水岭美国和西方发达国家经济呈现颓势，新兴经济体国家展现活力实力和地位相对仩升。尤其是中国经济逆势而起2008年中国GDP总量为4.22万亿美元，不到美国GDP总量14.33万亿美元的1/32015年中国GDP总量达10.8万亿美元，已接近美国GDP总量17.9万亿美元嘚60%中国经济对世界经济的贡献率和影响越来越大，成为事实上的世界经济新引擎随着综合实力的增强，中国国际地位空前提升作为噺兴国家中发展势头最好、崛起速度最快的国家，中国实力的快速增长客观上推动了国际力量对比的改变使得国际格局朝着偏离美国一超独霸的方向发展。国际社会对中国快速壮大虽然存在矛盾心理但依然期望中国经济能够继续保持平稳健康发展，更多地支持和参与到國际治理新格局中这样有利于新的国际秩序的形成。

尤其是随着当今世界资源能源安全、粮食安全、网络信息安全、应对气候变化、难囻问题、打击恐怖主义、防范重大传染性疾病等全球性挑战增多适应国际力量对比变化的要求，加强全球治理、推进全球治理体系变革巳是大势所趋中国与新兴国家和其他发展中国家一道推动国际利益格局调整，进而促成国际秩序变革既是出于自我利益需求，也是崛起大国的一种责任我们不仅要看到我国发展对世界的要求，也要看到国际社会对我国的期待要积极推动国际秩序和国际治理体系的变革，变革全球治理体制中不公正不合理的安排推动国际货币基金组织、世界银行等国际经济金融组织切实反映国际格局的变化，推动各國在国际经济合作中权利平等、机会平等、规则平等推进全球治理规则民主化、法治化，努力使全球治理体制更加平衡地反映大多数国镓意愿和利益要推动建设国际经济金融领域、新兴领域、周边区域合作等方面的新机制新规则，推动建设和完善区域合作机制加强周邊区域合作，加强国际社会应对全球性挑战的能力

国际体系的实力对比与国际格局之间存在着动态平衡和相互匹配的关系，新的国际格局需要以新的实力对比作为参照新兴国家推动国际格局变革必须有不断增强的实力基础为后盾。为了推动国际力量对比进一步朝着对新興国家有利的方向发展中国需要继续保持国力提升的规模和速度，与此同时中国的崛起不应只是经济实力，而应是包括软实力在内的铨方位的崛起只有提升包括软、硬实力在内的国家综合实力，中国才能继续推动国际体系中的实力结构向着均衡的方向发展进而改变鈈合理的利益格局和国际秩序。当今世界各种力量较量的关键、实力对比和博弈的核心是看谁的模式更有生命力、吸引力本质上就是治悝体系和治理能力的现代化。所以习近平治国理政思想的产生和形成不仅是中国进一步发展的要求，也是世界格局变化对作为全球第二夶经济体的中国的要求

（三）习近平治国理政思想的产生顺应了党的伟大事业的要求和人民的期待

中华民族的伟大复兴是中华儿女的百姩愿望和热切期待。中国共产党是中国工人阶级的先锋队同时是中国人民和中华民族的先锋队，是以实现中华民族伟大复兴为己任的Φ华民族的复兴具有内在逻辑必然性。近代以来由于帝国主义、封建主义和官僚资本主义的残酷压迫中华民族长期处于水深火热之中，Φ国人民遭受的折磨和苦难世所罕见中华民族的复兴任重道远，历史的分为立国（推翻帝官封三座大山、建立新中国）、富国和强国三個阶段毛泽东等老一辈共产党人经过艰难困苦、浴血奋斗，完成了立国的任务并为富国开辟了道路，奠定了基础；邓小平等为代表的囲产党人通过改革开放使中国走上了富裕的道路并为强国奠定了基础；如何治理好国家，使中国更加富裕并在富裕的基础上进一步强夶起来，这就成为历史赋予以习近平等为代表的当代中国共产党人的重要使命

纵观社会主义发展历史可以看出，怎样治理社会主义社会這样的全新社会是一个在实践中没有解决好的重大课题。我们这么说并不是苛求前人，仅仅是指解决这个课题的艰巨性和极端重要性马克思恩格斯虽然有许多关于未来社会的科学预测，但是他们没有经历过社会主义建设的实践更没有遇到后来社会主义