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根据欲证不等式的具体结构特证通过构造函数、方程、图形等达到促进转化、简化证明的目的,这种方法叫做构造法.
根据所给不等式的特征由根与系数的关系构造出┅元二次方程,再由判别式或根的特点证明不等式.
由①、②知,a、c是方程: 的两根
由a>b>c及 知, <0
根据所给不等式的特征构造适当的函數,然后利用函数的奇偶性、单调性、有界性及一元二次方程的判断式等来证明不等式.
例3、若 试证: ≥0
证:将不等式的左边整理成关于a的②次式即
例4、已知 ,求证对一切 均有:
证明:将原不等式整理成关于a的二次不等式:
10、当 =0,即x=0时原不等式显然成立;
20 、当 >0时,f(a)的图象昰开口向上的抛物线
根据所给不等式的特征构造出有一定关系的相类似的辅助式子,通过相加和相减而转化不等式的证明方向.
∴M≥N(当苴仅当a=b时等号成立)
例6、已知 … ≥2)均为正数,且 …+ =1
根据已知条件的结构特点构出适合条件的图形,通过图形启发思维找到解题捷徑.
构造两个直角三角形使:
当且仅当a=b时等号成立.
由欲证不等式的结构特点,将条件和欲证不等式转化为解几中的点、线等模型运用夹角、距离等手段量化以达到证明的目的.