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小学数学奥数1--6年级培优讲座、习题集、与答案完整版
小学数学奥数 1--6 年级培优讲座、
习题集、与答案完整版
计数问题排列组合讲义
1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写，现有 5 种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？
分析：从 5 个元素中取 3 个的排列：P（5、3）=5×4×3=60
2、从数字 0、1、2、3、4、5 中任意挑选 5 个组成能被 5 除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？
分析：个位数字是 0：P（5、4）=120；个位数字是 5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除 0 在首位的排列）合计 120＋96
另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。
3、用 2、4、5、7 这 4 个不同数字可以组成 24 个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么 7254 是第多少个数？
分析：由已知得每个数字开头的各有 24÷4=6 个，从小到大排列 7 开头的从第 6×3＋1=19 个开始，易知第 19 个是 7245，第 20 个 7
4、有些四位数由 4 个不为零且互不相同的数字组成，并且这 4 个数字的和等于 12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第 24
个这样的四位数是多少？
分析：首位是 1：剩下 3 个数的和是 11 有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11，共有 P（3、3）=6 个；⑵2＋4＋5=11，共有 P（3、3）=6
首位是 2：剩下 3 个数的和是 10 有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有 P（3、3）=6 个；⑵1＋4＋5=10，共有 P（3、3）=6
个；以上正好 24 个，最大的易知是 2631。
5、用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如
等，求全体这样的四位数之和。
分析：这样的四位数共有 P（4、1）×P（4、3）=96 个
1、2、3、4 在首位各有 96÷4=24 次，和为（1＋2＋3＋4）×000；
1、2、3、4 在百位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；
1、2、3、4 在十位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；
1、2、3、4 在个位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；
总和为 000＋9980
6、计算机上编程序打印出前 10000 个正整数：1、2、3、……、10000 时，不幸打印机有毛病，每次打印数字 3 时，它都打印出 x，
问其中被错误打印的共有多少个数？
分析：共有 10000 个数，其中不含数字 3 的有： 五位数 1 个，四位数共 8×9×9×9=5832 个，三位数共 8×9×9=648 个，二位数共
8×9=72 个，一位数共 8 个，不含数字 3 的共有 1＋＋72＋8=6561
所求为 1=3439 个
7、在 1000 到 9999 之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为 2，并且 4 个数字各不相同的四位数有多少个？
分析：1□3□结构：8×7=56，3□1□同样 56 个，计 112 个；
2□4□结构：8×7=56，4□2□同样 56 个，计 112 个；
3□5□结构：8×7=56，5□3□同样 56 个，计 112 个；
4□6□结构：8×7=56，6□4□同样 56 个，计 112 个；
5□7□结构：8×7=56，7□5□同样 56 个，计 112 个；
6□8□结构：8×7=56，8□6□同样 56 个，计 112 个；
7□9□结构：8×7=56，9□7□同样 56 个，计 112 个；
2□0□结构：8×7=56，
以上共 112×7×56=840 个
8、如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
分析：因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、
外语：4×5=20；所以共有 12＋15＋20=47
9、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样
需要增加多少种不同的车票？
分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有 P（7、2）=42 张，（相当于从 7 个元素中取 2 个的排列），现在有 P（10、2）=
90，所以增加 90－42=48 张不同车票。
方法二：1、新站为起点，旧站为终点有 3×7=21 张，2、旧站为起点，新站为终点有 7×3=21 张，3、起点、终点均为新站有
3×2=6 张，以上共有 21＋21＋6=48 张
10、7 个相同的球放在 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？
分析：因为 7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从 6 个加号中取 3 个的组合，C（6、3）=20 种
11、从 19、20、21、22、……、93、94 这 76 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？
分析：76 个数中，奇数 38 个，偶数 38 个
偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703 种，奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703 种，以上共
有 703＋703=1406 种
12、用两个 3，一个 1，一个 2 可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？
分析：因为有两个 3，所以共有 P（4、4）÷2=12 个
13、有 5 个标签分别对应着 5 个药瓶，恰好贴错 3 个标签的可能情况共有多少种？
分析：第一步考虑从 5 个元素中取 3 个来进行错贴，共有 C（5、3）=10，第二步对这 3 个瓶子进行错贴，共有 2 种错贴方法，所以
可能情况共有 10×2=20 种。
14、有 9 张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有 1 张，标有数码“2”的有 2 张，标有数码“3”的有 3 张，标有数码“4”
的有 3 张，把这 9 张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。 ⑴如果 M 处放标有数码“3”的纸片，一共有
多少种不同的放置方法？ ⑵如果 M 处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？
⑴如果 M 处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构： 在剩下的 6 个位置中，3 个“4”必须隔开，共有奇、偶位 2 种放法，在剩下
的 3 个位置上“1”有 3 种放法（同时也确定了“2”的放法）。 由乘法原理得共有 2×3=6 种不同的放法。
⑵如果 M 处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：
结构一： 3 个“3”和 3 个“4”共有 2 种放法，再加上 2 和 1 可以交换位置，所以共有 2×2=4 种；
结构二：3 个“4”有奇、偶位 2 种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有的“3”，加上 2 和 3 可以交换，所以共有 2×2=4 种；
结构三：3 个“3”有奇、偶位 2 种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的“4”，加上 2 和 4 可以交换位置，所以共有 2×2=4 种，
以上共有 4＋4＋4=12 种不同的放法。
15、一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。问：⑴如果 4 个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每
两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？
分析：⑴4 个舞蹈节目要排在一起，好比把 4 个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和 6 个演唱共有 7 个节目，全排列 7！，加上 4 个
舞蹈本身也有全排 4！，所以共有 7！×4！=120960 种。
⑵4 个舞蹈必须放在 6 个演唱之间，6 个演唱包括头尾共有 7 个空档，7 个空档取出 4 个放舞蹈共有 P（7、4），加上 6 个演
唱的全排 6！，共有 P（7、4）×6！=604800 种。
行程问题讲义
1、甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 70 米。问他走后一半路
程用了多少分钟？
分析：解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75 米，走完全程的时间是
分钟，走前一半路程速度一定是 80 米，
时间是 .5 分钟，后一半路程时间是 80-37.5=42.5 分钟
解法 2：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40 分钟
因为 80*40=3200 米，大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 .5 分钟，后一半路程时间是 40
+（40-37.5）=42.5 分钟
答：他走后一半路程用了 42.5 分钟。
2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已
知下坡的速度是平路的 1.5 倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？
分析：解法 1：设路程为 180，则上坡和下坡均是 90。设走平路的速度是 2，则下坡速度是 3。走下坡用时间 90/3=30，走平路一共
用时间 180/2=90，所以走上坡时间是 90-30=60
走与上坡同样距离的平路时用时间 90/2=45
因为速度与时间成反比，所以上坡速度是
下坡速度的 45/60=0.75 倍。
解法 2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是 1 份，时间是 1 份，则下坡时
间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75
解法 3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75
答：上坡的速度是平路的 0.75 倍。
3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶
6 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？
分析：解法１，第二小时比第一小时多走 6 千米，说明逆水走 1 小时还差 6/2=3 千米没到乙地。顺水走 1 小时比逆水多走 8 千米，
说明逆水走 3 千米与顺水走 8-3=5 千米时间相同，这段时间里的路程差是 5-3=2 千米，等于 1 小时路程差的 1/4，所以顺水速度是每小时
5*4=20 千米（或者说逆水速度是 3*4=12 千米）。甲、乙两地距离是 12*1+3=15 千米
解法２，顺水每小时比逆水多行驶 8 千米，实际第二小时比第一小时多行驶 6 千米，顺水行驶时间=6/8=3/4 小时，逆水行驶时间=2
-3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=8*5/（5-3）=20 千米/小时，两地距离=20*3/4=15 千米。
答：甲、乙两地距离之间的距离是 15 千米。
4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人
从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车。到达甲站时，
恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？
分析：骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第 4 到第 12 辆
车，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，时间是 5*8=40（分钟）。
答：他从乙站到甲站用了 40 分钟。
5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点 20 米，当乙游到甲现
在的位置时，甲将游离起点 98 米。问：甲现在离起点多少米？
分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20
答：甲现在离起点 59 米。
6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行 56 千米，乙每小时行 48 千米，两车在离两地中点 32 千米处相遇。问：
东西两地的距离是多少千米？
分析：解法 1：甲比乙 1 小时多走 8 千米，一共多走 32*2=64 千米，用了 64/8=8 小时，所以距离是 8*（56+48）=832（千米）
解法 2：设东西两地距离的一半是 X 千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32），解得 X=416，距离是 2*416=832（千米）
解法 3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离=2*32/（1/13）=832 千米。
答：东西两地间的距离是 832 千米。
7、李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到 20.4 千米外的冬令营报到。0.5 小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多
走 1.2 千米。又过了 1.5 小时，张明从学校骑车去营地报到。结果 3 人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？
分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校 4*（0.
5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）
答：骑车人每小时行驶 20 千米。
8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 5 小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5 小时，慢车到甲地停留 0.
5 小时后返回，快车到乙地停留 1 小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？
分析：解法１，快车 5 小时行过的距离是慢车 12.5-5=7.5 小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行 1 个单程用 5 小
时，如果不停，再次相遇需要 5*2=10 小时，如果两车都停 0.5 小时，则需要 10.5 小时再次相遇。快车多停 30 分钟，这段路程快车与慢
车一起走，需要 30/（1+2/3）=18（分钟）所以 10.5 小时+18 分钟=10 小时 48 分钟
解法 2：回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了 0.5/12.5=1/25 全程，两车合起来少开 1/25，节省时间=5*1/25=0.2 小时，
所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8 小时。
答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要 10 小时 48 分钟。
9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午 2 时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用 1 小时。这位劳模在下午 1 时便离厂步
行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午 2 时 40 分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？
解：汽车走单程需要 60/2=30 分钟，实际走了 40/2=20 分钟的路程，说明相遇时间是 2：20，2 点 20 分相遇时，劳模走了 60+20=80
分钟，这段距离汽车要走 30-20=10 分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8
答：汽车速度是劳模步行速度的 8 倍。
10、已知甲的步行的速度是乙的 1.4 倍。甲、乙两人分别由 A，B 两地同时出发。如果相向而行，0.5 小时后相遇；如果他们同向而
行，那么甲追上乙需要多少小时？
分析：两人相向而行，路程之和是 AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是 AB，AB=速度差*追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速
度差=1.4-1=0.4。所以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时）
答：甲追上乙需要 3 小时。
11、猎狗发现在离它 10 米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑 9 步的路程狗只需跑 5 步，但狗跑 2 步的时间，兔却跑
3 步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？
分析：狗跑 2 步时间里兔跑 3 步，则狗跑 6 步时间里兔跑 9 步，兔走了狗 5 步的距离，距离缩小 1 步。狗速=6*速度差，路程=10*6=
答：狗追上兔时，共跑了 60 米。
12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快 4 千米，张比李早到 20 分钟通过途中乙地。
当李到达乙地时，张又前进了 8 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？
分析：解法 1，张速度每小时 8/（20/60）=24（千米），李速度每小时 24-4=20（千米），张到乙时超过李距离是 20*（20/60）=20
/3（千米）所以甲乙距离=24*（20/3/4）=40（千米）
解法 2：张比李每小时快 4 千米，现共多前进了 8 千米，即共骑了 8/4=2 小时，张从甲到乙用了 2*60-20=100 分钟，所以甲乙两地距
离=（100/20）*8=40 千米。
答：甲、乙两地之间的距离是 40 千米。
13、上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发；8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，
到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是 8 千米。问这时是几时几分？
分析：爸爸第一次追上小明离家 4 千米，如果等 8 分钟，再追上时应该离家 8 千米，说明爸爸 8 分钟行 8 千米，爸爸一共行了 8+8=
16 分钟，时间是 8 点 8 分+8 分+16 分=8 点 32 分。
答：这时 8 点 32 分。
14、龟兔进行 10000 米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的 5 倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始
睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它 5000 米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 100 米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少
分析：兔子跑了 00 米，这段时间里乌龟跑了 =1980 米，兔子睡觉时乌龟跑了 =8020 米
答：兔子睡觉期间乌龟跑了 8020 米。
15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍。已知大轿车比小轿车早出发 17 分钟，但在
两地中点停了 5 分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早 4 分钟到达乙地。又
知大轿车是上午 10 时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。
分析：解法 1，大车如果中间不停车，要比小车多费 17-5+4=16 分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即 1/0.8
=5/4，所以大车行驶时间是 16/（5-4）*5=80 分钟，小车行驶时间是 80-16=64 分钟，走到中间分别用了 40 和 32 分钟。大车 10 点出发，
到中间点是 10 点 40 分，离开中点是 10 点 45 分，到达终点是 11 点 25 分。小车 10 点 17 分出发，到中间点是 10 点 49 分，比大车晚 4
分；到终点是 11 点 21 分，比大车早 4 分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11 点 5 分。
解法 2：大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍，大轿车的用时是小轿车用时的 1/0.8=1.25 倍，大轿车比小轿车多用时 17-5+4=16 分
钟，大轿车行驶时间=16*（1.25/0.25）=80 分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64 分钟，小轿车比大轿车实际晚开 17-5=12 分钟，追
上需要=12*0.8/（1-0.8）=48 分钟，48+17=65 分=1 小时 5 分，所以，小轿车追上大轿车的时间是 11 时 5 分
答：小轿车追上大轿车的时间是 11 点 5 分。
1、某解放车队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进。一战士以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？
分析：从排尾到排头用的时间是 450/（3-1.5）=300 秒，从排头回排尾用的时间是 450/（3+1.5）=100 秒，一共用了 300+100=400
答：需要 400 秒。
2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时 3.6 千米，骑车人速度为每小时 10.8 千米。
这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒钟，通过骑车人用 26 秒钟。这列火车的车身总长是多少米？
分析：设火车速度是每秒 X 米。行人速度是每秒 3.6*=1（米），骑车人速度是每秒 1.8*=3（米） 根据已知
条件列方程：（X-1）*22=（X-3）*26，解得：X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米）
分析２，骑车人速度是行人速度的 10。8/3。6=3 倍，22 秒时火车通过行人（设行人这 22 秒所走的路程为 1），车尾距骑车人还有 2
倍行人 22 秒所走的路程，即距离 2；26 秒（即又过 4 秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11，火车行 2+6/11=28/11，火
车与骑车人的速度比为 28/11：6/11=14：3；火车速度=14*10.8/3=504 千米/小时；火车车长=（）*22/ 米。
答：这列火车的车身总长是 286 米。
3、一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身
长为 320 米，速度每秒 17 米。求列车与华车从相遇到离开所用的时间。
分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20 米，车身长=20*23-210=250 米
客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）
答：客车与火车从相遇到离开的时间是 190 秒。
4、铁路旁有一条小路，一列长 110 米的火车以每小时 30 千米的速度向北缓缓驶去。14 小时 10 分钟追上向北行走的一位工人，15
秒种后离开这个工人；14 时 16 分迎面遇到一个向南走的学生，12 秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？
分析：解法 1：工人速度是每小时 30-0.11/（15/3600）=3.6 千米
学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3 千米
14 时 16 分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24 分钟
14 时 16 分+24 分=14 时 40 分
解法 2：（车速-工速）*15=车长=（车速+学速）*12,那么
工速+学速=（车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）*车长
而 14 点 10 分火车追上工人，14 点 16 分遇到学生时，工人与学生距离恰好是
（车速-工速）*6=6/15*车长
这样，从此时到工人学生相遇用时
（6/15*车长）/[（1/12-1/15）*车长]=（6/15）/（1/12-1/15）=24 分
答：工人与学生将在 14 时 40 分相遇。
5、东、西两城相距 75 千米。小明从东向西走，每小时走 6.5 千米；小强从西向东走，每小时走 6 千米；小辉骑自行车从东向西，
每小时骑行 15 千米。3 人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到 3 人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？
分析：3 人相遇时间即明与强相遇时间，为 75/（6.5+6）=6 小时，小辉骑了 15*6=90 千米
答：小辉共骑了 90 千米。
6、设有甲、乙、两 3 人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍。现甲从 A 地去 B 地，乙、丙从
B 地去 A 地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3 人仍按各自原
有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3 人仍按各自原有方向继续前进。问：3 人之中谁最先达到自己的目
的地？谁最后到达目的地？
如图，甲与乙在 M 点相遇，甲走了 AM，同时乙也走了同样距离 BN。当甲与乙在 P 点相遇时，乙一共走了 BP，甲还要走 PB，而丙只
走了 MA。所以 3 人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到。
分析２，由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。将
整个路程分成 4 份，甲丙最先相遇，丙骑行 3 份，步行 1 分；甲先步行了 1 份，然后骑车与乙相遇，骑行 2*3/4=3/2 份，总步行 4-3/2=
5/2 份；乙步行 1+（2-3/2）=3/2，骑行 4-3/2=5/2 份，所以，丙最先到，甲最后到。
答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。
7、有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向
而行，在途中甲与乙相遇后 6 分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？
分析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙 6 分钟的路程之和=（100+75）*6，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此
甲、乙相遇时走了：[（100+75）*6/（80-75）]分钟，两村的距离是（100+80）*[（100+75）*6/（80-75）]=37800（米）
答：东、西两村之间的距离是 37800 米。
8、甲、乙、丙 3 人进行 200 米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有 20 米，丙离终点还有 25 米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终
不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。）
分析：乙跑 200-20=180 米比丙多跑 25-20=5 米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑 200/180*5=5（5/9）=5.56（米）
答：当乙到达终点时，丙离终点还有 5.56 米。
9、张、李、赵 3 人都从甲地到乙地。上午 6 时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走 5 千米，李每小时走 4 千米。赵上午 8 时
从甲地出发。傍晚 6 时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？
分析：甲、乙距离是 5*12=60（千米），赵的速度是 60/10=6（千米），赵追上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间
是 8+4=12（点）
分析２，赵晚走 2 小时，此时张已走出 5*2=10 千米，李走出 4*2=8 千米，从上午 8 时到下午 18：00 时，共 10 个小时，赵、张同时
到达乙地，赵每小时比张多走 10/10=1 千米，那么赵比李每小时多走 1+1=2 千米，追上需要 8/2=4 小时，即追上为 12：00 时。
答：赵追上李的时间是 12 时。
10、快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这 3 辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑
车人。现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米，那么，慢车每小时走多少千米？
分析：快车 6 分钟行 24*=2400（米），中车 10 分钟行 20*=）（米）
骑车人速度每分钟行（）-2400）/（10-6）=700/3（米）
慢车 12 分钟行 *6+700/3*12=3800（米），每小时行 =190000（米）=19（千米）
分析２，6 分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差 6*（24-20）/60=0.4 千米，10 分钟时，中车又开了 4*20/60=4/3 千米，追上
骑车人，说明骑车人 4 分钟骑了 4/3-0.4=14/15 千米，即骑车人速度=（14/15）*（60/4）=14 千米/小时，因为快车用 6 分钟追上骑车人，
由此可知原本三辆汽车落后骑车人 6*（24-14）/60=1 千米，12 分钟时，骑车人离三车出发点 1+14*12/60=3.8 千米，所以，慢车速度=
（3.8/12）*60=19 千米/小时。
答：慢车每小时行 19 千米。
11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站 40 千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达
乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站 20 千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。
分析：第一次相遇一共走了全程 S，其中客车走 40 千米
第二次相遇两车一共又走了 3 个全程 2S，其中客车走（S+20）千米
S+20=3*40，解得 S=100（千米）
答：甲、乙两站之间的距离是 100 千米。
12、甲、乙、丙是 3 个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站 100
米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后 300 米又追上小强。问：甲、丙两站的距离是多少米？
第一次相遇，小明走：全程的一半+100 米
从第一次相遇点再到追上小强时离乙站 300 米，300-100=200 米，小明又走：全程+20
0 米，可知第二段距离是第一段距离的 2 倍。小强第二段也应该走第一段的 2 倍，100+300=400 米，所以第一段走 400/2=200 米。乙丙距
离=200+100=300 米，甲丙距离=2*300=600 米。
答：甲、丙两站距离是 600 米。
13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80 分钟后两人在途中相遇。
张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过 20 分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。问：
当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？
分析：设李 20 分钟走 1 份距离，则 80 分钟走 4 份
张 20 分钟后追上李，李这时走了 4+1 份距离，张 202 分钟走 4+5=9 份，所以
速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走 9 个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次）
答：当李明到达乙地时，张平共追上李明 4 次。
14、甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，在 A，B 之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千
米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米，那么两地之间的距
离等于多少千米？
分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶 5 个 AB，其中甲行 5*3/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行
驶 7 个 AB，其中甲行 7*3/10=2（1/10）AB，这两点的距离是 5/10-1/10=4/10AB=100（千米）
所以 AB=100*10/4=250（千米）
答：两地之间的距离是 250 千米。
15、两名游泳运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米，乙的速度是每秒游 0.6 米，他们同时分别从游泳池
的两端出发，来回共游了 5 分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？
分析：5 分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480 米
第一次迎面相遇，两人一共游了 30 米；以后两人和起来每游 2*30=60 米，就
迎面相遇一次，480=30+60*7+30，迎面相遇了 8 次。甲比乙多游了（1-0.6）*5*60=120 米，甲第一次追上乙时，比乙多游 30 米；以后每
多游 2*30=60 米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙 2 次
两人相遇次数=8+2=10 次。
分析２，甲的速度是每秒游 1 米，一个来回 60 秒=1 分钟，5 分钟共游了 5 个来回；乙的速度是每秒游 0.6 米，一个来回 100 秒，5
分钟共游了 5*60/100=3 个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。
答：在这段时间内两人共相遇 10 次。
多位数与小数讲义
1.计算：+19.91+1.991.
解析：+19.91+1.991
=.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009)
2.计算：.7÷2.7×1.7×0.7.
解析：.7÷2.7×1.7×0.7
=÷27×17×7
=÷999×17
=50.05×17
3.光的速度是每秒 30 万千米，太阳离地球 1 亿 5 千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.）
解析：÷=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分）
光从太阳到地球要用约 8.3 分钟。
4.已知 105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,那么□所代表的数是多少？
解析：105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)
=105.5+（20+□÷4.6-1.53）÷(2×26.8÷26.8×0.125)
=105.5+(18.47+□÷4.6) ÷0.25
=105.5+18.47÷0.25+□÷4.6÷0.25
=105.5+73.88+□÷1.15
因为 105.5+73.88+□÷1.15＝187.5
所以□=(187.5-105.5-73.88) ×1.15=8.12×1.15=8.12+0.812+0.406=9.338
答：□=9.338
5.22.5-(□×32-24×□) ÷3.2=10 在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。那么所填的数应是多少？
解析：22.5-(□×32-24×□) ÷3.2
=22.5-□×(32-24) ÷3.2
=22.5-□×8÷3.2
=22.5-□×2.5
因为 22.5-□×2.5=10，所以□×2.5=22.5-10，□=(22.5-10) ÷2.5=5
答：所填的数应是 5。
6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99.
解析：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99
=(0.1+0.9) ×5÷2+(0.11+0.99) ×45÷2
=2.5+24.75
7.计算：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112.
解析：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112
=0.112×（37.5×21.5+35.5×12.5）
=0.112×（12.5×3×21.5+35.5×12.5）
=0.112×12.5×（3×21.5+35.5）
=0.112×12.5×100
=1250×（0.1+0.01+0.002）
=125+12.5+2.5
8.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7.
解析：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7
=7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7
=7.63×91.8+91.8×2.37
=(7.63+2.37) ×91.8
9.计算：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2).
解析：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2)
=(16.4×2×91-16.4×92-16.4×40×1.75) ÷(0.2×0.2)
=16.4×(182-92-70) ÷(0.2×0.2)
=16.4×20÷0.2÷0.2
10.计算：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87).
解析：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)
=(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-2×(3.15+5.87) -(3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)
=(3.15+5.87+7.32) ×(2+3.15+5.87-3.15-5.87) -2×(3.15+5.87)
=(3.15+5.87+7.32) ×2-2×(3.15+5.87)
=(3.15+5.87) ×2+7.32 ×2-2×(3.15+5.87)
11.求和式 3+33+333+…+33…3（10 个 3）计算结果的万位数字.
解析：个位 10 个 3 相加，和为 30，向十位进 3； 十位 9 个 3 相加，和为 27，加上个位的进位 3 得 30，向百位进 3； 百位 8 个 3
相加，和为 24，加上十位的进位 3 得 27，向千位进 2； 千位 7 个 3 相加，和为 21，加上百位的进位 2 得 23，向万位进 2； 万位 6 个 3
相加，和为 18，加上千位的进位 2 得 20，万位得数是 0。
答：计算结果的万位数字是 0。
12.计算：19+199+1999+…+199…9（1999 个 9）.
解析：19+199+1999+…+199…9（1999 个 9）
=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+…+(200…0（1999 个 0）-1)
=22…20（1999 个 2）-1999×1
=22…2(1996 个 2)0221
13.算式 99…9（1992 个 9）×99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9）的计算结果的末位有多少个零？
解析：99…9（1992 个 9）×99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9）
=99…9（1992 个 9）×（100…0-1）（1992 个 0）+199…9（1992 个 9）
=99…9（1992 个 9） 0（1992 个 0） - 99…9（1992 个 9）+199…9（1992 个 9）
=99…9（1992 个 9） 0（1992 个 0）+100…0（1992 个 0）
=100…0（3984 个 0）
14.计算：33…3（10 个 3）×66…6（10 个 6）.
解析：33…3（10 个 3）×66…6（10 个 6）
=33…3（10 个 3）×3×22…2（10 个 2）
=99…9（10 个 9）×22…2（10 个 2）
=(100…0（10 个 0）-1) ×22…2（10 个 2）
=22…2（10 个 2）00…0（10 个 0）-22…2（10 个 2）
=22…2（9 个 2）177（9 个 7）8
15.求算式 99…9（1994 个 9）×88…8（1994 个 8）÷66…6（1994 个 6）的计算结果的各位数字之和.
解析：99…9（1994 个 9）×88…8（1994 个 8）÷66…6（1994 个 6）
=9×11…1（1994 个 1）×8×11…1（1994 个 1）÷6÷11…1（1994 个 1）
=9×8÷6×11…1（1994 个 1）
=12×11…1（1994 个 1）
=（10+2）×11…1（1994 个 1）
=11…1（1995 个 1）+22…2（1994 个 1）
=193 个 1） 2
各位数字之和=1+=5982
答：计算结果的各位数字之和 5982。
构造与论证讲义
1、有一把长为 9 厘米的直尺，你能否在上面只标出 3 条刻度线，使得用这把直尺可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度？
分析：可以。（1）标 3 条刻度线，刻上 A，B，C 厘米（都是大于 1 小于 9 的整数），那么，A，B，C，9 这 4 个数中，大减小两两之
差，至多有 6 个：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这 4 个数本身，至多有 10 个不同的数，有可能得到 1 到 9 这 9 个不同的数。（2）
例如刻在 1，2，6 厘米处，由 1，2，6，9 这 4 个数，以及任意 2 个的差，能够得到从 1 到 9 之间的所有整数：1，2，9-6=3，6-2=4，6-
1=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除 1，2，6 之外，还可以标出 1，4，7 这 3 个刻度线：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=
8，9。另外，与 1，2，6 对称的，标出 3，7，8；与 1，4，7 对称的，标出 2，5，8 也是可以的。
2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241
被 352 吃掉，123 被 123 吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但 240 和 223 互相都不能被吃掉。现请你设计 6 个三位数，它们当
中任何一个都不能被其它 5 个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取 1，2，3，4。问这 6 个三位数分别是多少？
分析：6 个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有 2 个数位相同。由于百位只取 1，2，十位只取 1，2，3，所以，
只能让 3 个数百位是 1，另外 3 个数百位数是 2。百位是 1 的 3 个数，分别配上十位 1，2，3；百位是 2 的 3 个数同样。这样先保证前两
位没有完全一样的。即：11*，12*，13*，21*，22*，23*。11*最小，个位应取取最大的，4，它要求另外 5 个数个位均小于 4。114
12*较小，个位应取 3，它要求前两位能吃 12*的数，个位小于 3。123
13*个位取 2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃 1
3*的数个位小于 2。132
21*较小，个位应取 3，才能不被 23*和 22*吃。213
22*个位取 2 即可。222
23*各位必须取 1。231
所以这 6 个数是 114，123，132，213，222，231。
3、盒子里放着红、黄、绿 3 种颜色的铅笔，并且规格也有 3 种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3 种颜色和 3 种规格都齐全。
问是否一定能从中选出 3 支笔，使得任意 2 支笔在颜色和规格上各不相同？
分析：如果能选出 3 支笔，使得任意 2 支笔在颜色和规格上各不相同，则这 3 支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这 6 个因子，
即不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有 4 种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3 种颜色和 3 种规格都齐全，
由于红和黄只出现 1 次，必须选，但是这时短已经出现 2 次，必然无法满足 3 支笔 6 个因子的要求。所以，不一定能选出。
4、一个立方体的 12 条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？
分析：立方体的 12 条棱位于它的 6 个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有 3 条边是白色的，就能保证每个面上至少
有一条边是白色。如图就是一种。
5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个 4×4 的棋盘至少要放几个皇后？
分析：2×2 棋盘，1 个皇后放在任意一格均可控制 2×2=4 格；3×3 棋盘，1 个皇后放在中心格里即可控制 3×3=9 格；4×4 棋盘，
中心在交点上，1 个皇后不能控制两条对角线，还需要 1 个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放 2 个皇后。如图所示。
6、在如图 10-1 所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二
行中的 5 个数字各是几？
分析：设第二行从左到右填入 A，B，C，D，E，则 A+B+C+D+E=5 若 E 大于 0，如 E=1，则 B=1，A+C+D=3，小于 4，矛盾，可得：E=0，
A 大于 0 小于 4； 若 D 大于 0，如 D=1，则 B 大于 0，因 A 大于 0，则 A 和 C 无法填写，所以 D=0，A 必等于 2； A=2，可知 B+C=3，只有
当 B=1，C=2 时，ABCDE=21200，符合要求。 所以第二行的 5 个数字是 2，1，2，0，0。
7、在 100 个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所
知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话 196 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。
分析：给 100 个人分别编号 1-100，他们知道的消息也编上相同的号码。 （1）2-50 号每人给 1 号打 1 次电话，共 49 次，1，50 号
得到 1-50 号消息。同时，52-100 号每人给 51 号打 1 次电话，共 49 次，51，100 号得到 51-100 号消息。 （2）1 号和 51 号通 1 次电话，
50 号和 100 号通 1 次电话，这时 1，50，51，100 号这 4 个人都知道了 1-100 号消息。 （3）2-49 号，52-99 号，每人与 1 号（或者 50，
51，100 号中的任意 1 人）通 1 次话，这 96 人也全知道了 1-100 号消息。 这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196（次）。
8、有一张 8×8 的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使得每个 3×4 小长方形（不论横竖）的 12 个方格中
都恰有 4 个红格和 8 个蓝格？
分析：能。3×4=12，有 4 红 8 蓝，即红 1 蓝 2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。
9、桌上放有 1993 枚硬币，第一次翻动 1993 枚，第二次翻动其中的 1992 枚，第三次翻动其中的 1991 枚，……，依此类推，第 199
3 次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？
分析：可以。 按要求一共翻动 1+2+3+……+×997，平均每个硬币翻 997 次，是奇数。而每个硬币翻奇数次，结果都是把
原来朝下的一面翻上来。因为：93+（1992+1）+（1991+2）+……+（997+996） 所以，可以这样翻动： 第 1 次翻 1993 个，
每个全翻 1 次； 第 2 次与第 1993 次（最后 1 次）一共翻 1993 次，等于又把每个翻了一遍； 第 3 次与第 1992 次（倒数第 2 次），第 4
次与第 1991 次，……，第 997 次与第 998 次也一样，都可以把每个硬币全翻 1 次。这样每个都翻动了 997 次，都把原先朝下的一面翻成
10、能否在 5×5 方格表的各个小方格内分别填入数 1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行
中其余各数之和？
分析：不能。
假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数， 行之和也必定为偶数。
1+2+3+……+25 的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。
11、把图 10-2 中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
分析：不能。 假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。
另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了两次，总个数为偶数。两者矛盾，假设不成立。所以，不能使同一条直线上的红圈数都是
12、在 99 枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于 99
枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。
分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99 个硬币总重量恰等于 99 枚真币的重量，说明伪币数为偶数。 如果拿出 1 个真币，
剩下的 98 个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。 如果拿出 1 个伪币，剩下的 98 个里是有奇数个伪币，
随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。
所以，只要把 98 个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。
13、在象棋比赛中，胜者得 1 分；败者扣 1 分；若为平局，则双方各得 0 分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。
现知，其中一个学生共得 7 分，另一个学生共得 20 分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。
分析：设 7 分者胜 X 局，负 Y 局；20 分者胜 M 局，负 N 局，则有 X-Y=7，M-N=20 假设没有 1 次平局，那么由于比赛局数相同，得到：
X+Y=M+N，X+Y+M+N 为偶数。 另一方面，因为 X-Y=7，X 和 Y 两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为 M-N=20，可知 M 和 N 奇偶性相
同，那么 M+N 为偶数。得出的结果是：X+Y+M+N 之和为奇数。
矛盾。说明没有平局的假设不成立。所以，比赛过程中至少有一次平局。
14、如图 10-3，在 3×3 的方格表中已经填入了 9 个整数。如果将表中同一行同一列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作。问：你
能否通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数？
分析：不能。 如果进行操作后，表中 9 个数能变为相同的数，其和必能整除 3；因为每次操作是同一行或同一列的 3 个数加上相同
的整数，增加的数也能整除 3。那么，原来表中的 9 个数的和也必能整除 3。把表中的 9 个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100
不能整除 3，与假设矛盾，所以不能实现。
15、今有长度为 1，2，3，……，198，199 的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成 （1）
一个正方体框架？（2）一个长方体框架？
分析：（1）不能。 正方体有 12 条棱，金属杆长度之和能被 12 整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。1+2+3+……+199=19
900，1+9+9=19，19 不能整除 3，所以长度之和不是 12 的整数倍。 （2）可以。
（1+198）+（2+197）+（3+196）+……+199，可以组成 100 个 199，所以可以构成一个长 199×12，宽 199×12，高 199 的长方体框架，
棱长共（199×12+199×12+199）×4=199×100；也可以构成一个长 199×20，宽 199×3，高 199×2 的长方体框架，棱长共（199×20+1
99×3+199×2）×4=199×100；等等。
加法原理与乘法原理讲义
1、如果两个四位数的差等于 8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？
分析：从两个极端来考虑这个问题： 最大为 21，最小为 21， 所以共有 =79 个，或 1078-1
000+1=79 个
2、一本书从第 1 页开始编排页码，共用数字 2355 个，那么这本书共有多少页？
分析：按数位分类： 一位数：1～9 共用数字 1*9=9 个； 二位数：10～99 共用数字 2*90=180 个；
三位数：100～999 共用数字 3*900=2700 个， 所以所求页数不超过 999 页， 三位数共有：=÷3=722 个， 所以本
书有 722+99=821 页。
3、上、下两册书的页码共有 687 个数字，且上册比下册多 5 页，问上册有多少页？
分析：一位数有 9 个数位，二位数有 180 个数位，所以上、下均过三位数， 利用和差问题解决：和为 687，差为 3*5=15，大数为：
（687+15）÷2=351 个 （351- 189）÷3=54，54+99=153 页。
4、从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这 10 个数中，任取 5 个数相加的和与其余 5 个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。
分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=
15+40=55 最接近的两组为 27+28 所以共有 27-15+1=13 个不同的积。
另从 15 到 27 的任意一数是可以组合的。
5、将所有自然数，自 1 开始依次写下去得到：11213……，试确定第 206788 个位置上出现的数字。
分析：与前面的题目相似，同一个知识点： 一位数 9 个位置，二位数 180 个位置，三位数 2700 个位置，四位数 36000 个位置， 还
剩：-180-=79……4 所以答案为 679 的第 4 个数字 7.
6、用 1 分、2 分、5 分的硬币凑成 1 元，共有多少种不同的凑法？
分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有 3 种方法；1 分和 2 分的组合：其中 2 分的从 1 枚到 49 枚均可，有 49 种方法；1 分和 5
分的组合：其中 5 分的从 1 枚到 19 枚均可，有 19 种方法；2 分和 5 分的组合：其中 5 分的有 2、4、6、……、18 共 9 种方法；1、2、5
分的组合：因为 5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有 2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+
44+47=461 种方法，共有 3+49+19+9+461=541 种方法。
7、在图中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”。那么共有多少种不同的读法？
分析：按最短路线方法，给每个字标上数字即可，最后求和。 所以共有 1+4+6+4+1=16 种不同的读法。
8、在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？
分析：十位是 9 的有 9 个，十位是 8 的有 8 个，……十位是 1 的有 1 个，共有：
1+2+3+……+9=45 个。 或是在给定的两位数中，总是在
中，所以有 C(10、2)=45 个。
9、按图中箭头所示的方向行走，从 A 点走到 B 点的不同路线共有多少条？
分析：同样用上题的方法，标上数字，有 55 条。
10、用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法？
分析：按题意可知，1、4 对称，2、3 对称，这样 1、2、A、B、C、D、E 均有两种选择，
2×2×2×2×2×2×2=128 种。
11、如图，把 A、B、C、D、E 这五个部分用 4 种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一
种颜色，那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？
C－A－B－D－E，根据乘法原理有： 4×3×2×2×2=96 种。
12、如图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方
分析：根据乘法原理，第一个棋子有 90 种放法，第二个棋子有 72 种放法，共有： 90×72=6480 种。
此主题相关图片如下：
13、在图中所示的阶梯形方格表的格子中放入 5 枚棋子，使得每行每列都只有 1 枚棋子，那么这样的放法有多少种？
分析：对于第 1 列必有 1 枚棋子，这有上下两行选择， 对于第 2 列必有 1 枚棋子，这有除第 1 枚外的两行选择， …… 对于第 5 枚
棋子，只有唯一选择， 所以共有 2×2×2×2×1=16 种。
此主题相关图片如下：
14、有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右的第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日，例
如 890817 表示 1989 年 8 月 17 日。如果用这种方法表示 1991 年的日期，那么全年中有 6 个数都不同的日期共有多少天？
分析：因为有 91，所以 1、9、10、11、12 不能出现，实际上 9102XX 也是不行的， 在剩下的 6 个月中，每个月都有 5 天，共 5*6=3
0 天， 例如：三月份：，0328。
15、如果一个四位数与三位数的和是 1999，并且四位数和三位数是由 7 个不同数字组成的，那么这样的四位数最多有多少个？
分析：按题意给出这样一个算式： 由于 1 已定，相应的 8 也就不能用， 对于 D 来说，有 2、3、4、5、6、7、9 共 7 种选择，每一
种选择都有相应的 A, 对于 E 来说，在剩下的数中有 6 种选择，每一种选择都有相应的 B,
对于 F 来说，在剩下的数中有 4 种选择，每一种选择都有相应的 C, 根据乘法原理，共有 7×6×4=168 种。
破译字母竖式讲义
1．在图 4-1 所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？
分析： 首先看个位，可以得到“欢”是 0 或 5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是 0，只能是 5。 再看十位，“欢”
是 5，加上个位有进位 1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是 2；
由此可知，“喜”等于 8。 所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是 85。
2．在图 4-2 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”
所代表的三位数是多少？
分析：还是先看个位，5 个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是 5（0 显然可以排出）； 接着看十位，四个“字”
相加再加上进位 2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是 6； 再看百位，三个“数”相加再加上进位 2，结果尾数还是“数”，“数”
可能是 4 或 9； 再看千位，（1）如果“数”为 4，两个“解”相加再加上进位 1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是 9；5+6+4
+9=24，30-24=6，“巧”等于 6 与“字”等于 6 重复，不能； （2）如果“数”为 9，两个“解”相加再加上进位 2，结果尾数还是“解”，
那说明“解”只能是 8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的三位数是 965。
3．在图 4-3 所示的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．
分析：首先万位上“华”=1； 再看千位，“香”只能是 8 或 9，那么“人”就相应的只能是 0 或 1。但是“华”=1，所以，“人”
就是 0； 再看百位，“人”=0，那么，十位上必须有进位，否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大 1，这样就说明
“港”不是 9，百位向千位也没有进位。于是可以确定“香”等于 9 的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位的，而“回”比“港”
大 1，那么“爱”就等于 8；同时，个位必须有进位； 再看个位，两数相加至少 12，至多 13，即只能是 5+7 或 6+7，显然“港”=5，“回”
=6，“归”=7。 这样，整个算式就是：652。
4．图 4-4 是一个加法竖式，其中 E，F，I，N，O，R S，T，X，Y 分别表示从 0 到 9 的不同数字，且 F，S 不等于零．那么这个算式
的结果是多少？
分析：先看个位和十位，N 应为 0，E 应为 5；再看最高位上，S 比 F 大 1；千位上 O 最少是 8；但因为 N 等于 0，所以，I 只能是 1，
O 只能是 9；由于百位向千位进位是 2，且 X 不能是 0，因此决定了 T、R 只能是 7、8 这两个；如果 T=7，X=3，这是只剩下了 2、4、6 三
个数，无法满足 S、F 是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到 X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是 31486。
5．在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．那么 D+G 等于多少？
分析：先从最高位看，显然 A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为 E 等于 9，说明个位有借位，所以 F 只能是 8；由 F=8 可知，C=7；这
样，D、G 有 2、4，3、5 和 4、6 三种可能。所以，D＋G 就可以等于 6，8 或 10。
6．王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成
的数相加得 2529．求王老师家的电话号码．
分析：我们可以用 abcdefg 来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；
首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，
f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是 8371692。
7．一个三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，这两个数的差正好是原来的三位
数．求原来的三位数．
8．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大 7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最
大是多少？
分析：用 abcd 来表示愿四位数，那么新四位数为 dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a 最大为 2，则 d=9；但个位上 10+a-d=2，
所以，a 只能是 1；接下来看百位，b 最大是 9，那么，c=8 正好能满足要求。所以，原四位数最大是 1989。
9．（1）有一个四位数，它乘以 9 后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．
（2）有一个四位数，它乘以 4 后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．
分析：还是用 abcd 来代表原来的四位数： （1）abcd*9=dcba，四位数乘 9 不进位，显然 a=1、d=9；
再看百位，百位也没有进位，易得 b=0，c=8。 所以，原四位数为 1089。 （2）abcd*4=dcba，先看千位，因为没有进位，且 a 是偶数，
所以，a 只能是 2；那么，d=8； 再看百位，百位没有进位，b 只能是 0、1、2，分别试验可得 b=1、c=7。 所以，原四位数为 2178。
10．已知图 4-6 所示的乘法竖式成立．那么 ABCDE 是多少？
分析：由 1/7 的特点易知，ABCDE=4*3=428571。
11．某个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍．问原数最小是多少？
分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为 6；4*6+1=25，原百位为 5；4*5+2=22，原千位为 2；
4*2+2=10，原万位为 0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是 102564。
12．在图 4-7 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少？
分析：同第 10 题一样，也是利用 1/7 的特点。因为每个字母代表不同的数字，因此“好”只有 3 和 6 可选：
好=3，则：=428571；好=6，则：=857142；两个都能满足，所以，符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是 428571 或 8
13．在图 4-8 所示的算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．
分析：还是利用 1/7 的特点：=999999。
14．在图 4-9 所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。那么被除数是多少？
15．JF，EC，GJ，CA，BH，JD，AE，GI，DG 已知每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中 A 代表 5，并且上面的
9 个数恰好是 7 的 1 倍至 9 倍，这里把一位数 7 记作 07．求 JDFI 所代表的四位数．
分析：由 A=5 易得，C=3，那么，E=6；剩下：JF，GJ，BH，JD，GI，DG，分别为：07、14、21、28、42、49； 根据 21、28、42 及 1
4、42、49 这两组可以推得 J、G 分别是 2、4 中的一个，并且可以得到 BH=07；
进一步分析，GJ 肯定是 42，即 G=4，J=2；于是，F=8，D=1，I=9。所以，JDFI 代表的四位数为 2189。
数字谜问题
横式问题讲义
1、□，□8，□97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？
分析：150*3-8-97-5=340
所以 3 个数之和为 3+4+5=12。
2、在下列各等式的方框中填入恰当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称：
（1）12×23□=□32×21，
（2）12×46□=□64×21，
（3）□8×891=198×8□，
（4）24×2□1=1□2×42，
（5）□3××3□。
分析：（1） 12*231=132*21
（2） 12*462=264*21
（3） 18*891=198*81
（4） 24*231=132*42
3、在算式 2×□□□=□□□的 6 个空格中，分别填入 2，3，4，5，6，7 这 6 个数字，使算式成立，并且乘积能被 13 除尽。那么这
个乘积是多少？
分析：2*273=546
4、在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：
（1）6□□4÷56=□0□，
（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，
（4）8□□□÷58=□□6。
分析：（1）
5、在算式 40796÷□□□=□99……98 的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。
分析：9...98。
6、我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的 4 个不同的数字。如果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多少？
分析：学=1，我=8，数=6
7、□÷（□÷□÷□）=24
在上式的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。
分析：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a&b&c&d)
当 a=1 时，有 6*8/2=24，8*9/3=24；
当 a=2 时，有 4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；
所以，满足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8
÷9）=24。
8、（□＋□＋□＋□）÷（□＋□＋□）=□
将 2，3，4，5，6，7，8，9 这 8 个数字分别填入上面算式的方框中，使等式成立。
分析：将第一个括号内的和（即被除数）用 a 来代替，第二个括号内的和（即除数）用 b 来代替，等式右边（即商）用 c 来代替，
则：a÷b=c，即 a=b×c，a+b+c=44；b×c+b+c=44，（b+1）×（c+1）=45=3*15=5*9；c=2、b=14 或 c=4、b=8，由于 2+3+5=9&8，因此只
能 c=2、b=14；那么，3+4+7=14、3+5+6=14，
所以，满足要求的等式有：（5＋6＋8＋9）÷（3＋4＋7）=2、（4＋7＋8＋9）÷（3＋5＋6）=2
9、○×○=□=○÷○
将 0，1，2，3，4，5，6 这 7 个数字填在上面算式的圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的算式。
问填在方格内的数是多少？
分析：考察上面的等式，共需填入 5 个数，而 0~6 共有 7 个数字，因此必有两个地方是两位数；又 0 必定只能作为两个两位数中的
一个的个位；因此，分析得到：3×4=12=60÷5，即填在方格内的数是 12。
10、□×□=5□
12+□－□=□
把 1 至 9 这 9 个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有 3
个数字已经填好。
分析：根据第一个等式，只有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为 7*8=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当 6*9=54 时，
余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8 或 12+3-8=7 都能满足。
11、迎迎×春春=杯迎迎杯，数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛赛
在上面的 3 个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这 3 个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+
学+赛”等于多少？
分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春春=迎迎赛赛 的只有 88*88=7744，于是，春=8，迎=7，
赛=4；这样，不难得到第一个为：77*88=6776，第二个为：55*99=5445；
所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。
12、迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯
在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？
分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；
这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。
13、□2＋□2=□2，□2＋□2＋□2=□2＋□2
在上面两个算式的各个方框中填入 1 至 9 中的不同自然数，使这两个等式成立。那么第二个等式两端的结果是多少？
分析：最直接的办法，写出 1~9 的平方数，并首先确定第一个：3^2+4^2=5^2，
这样，容易得到第二个为：2^2+7^2+8^2=6^2+9^2=117。
14、已知 A，B，C，D，E，F，G，H，L，K 分别代表 0 至 9 中的不同数字，且有下列 4 个等式成立：
D－K×L=F，E×E=HE，C÷K=G，H×H×……×H=B，求 A+C。
分析：考察 4 个算式，首先可以发现第二个为：5×5=25，或 6×6=36；
如果是 5×5=25，则 E=5、H=2；
再看第 4 个算式，只能是：2×2×2=8，于是 K=3、B=8；
再看第三个算式，这是可以发现已经不行了。这样第二个就只能是 6*6=36，于是：E=6、H=3；
再看第 4 个算式，只能是：3×3=9，于是 K=2、B=9；
再看第三个算式，应该是：8÷2=4，于是：C=8、G=4；
最后看第一个算式，只有 7-2×1=5，于是：D=7、L=1、F=5；
那么，A=0，A+C=8。
15、已知 a，b，c，d，e，f，g，h 分别代表 0 至 9 中的 8 个不同数字，并且 a≠0，e≠0，还知道有等式 abcd－efgh=1994,那么两
个四位数 abcd 与 efgh 之和的最大值是多少？最小值是多少？
分析：分析发现，c 只能是 9，g 只能是 0；那么，最大时：94，最小时：94；
所以，两数之和最大为：000，最小为：98
还原与年龄讲义
1. 某数加上 6，乘以 6，减去 6，除以 6，其结果等于 6，则这个数是多少？
（6×6+6）÷6-6=1，这个数是 1.
2. 两个两位数相加，其中一个加数是 73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加 5，个位数字增加 1，那么求得的
和的后两位数字是 72，问另一个加数原来是多少？
和的后两位数字是 72，说明另一个加数是 99。
十位数字增加 5，个位数字增加 1，那么原来的加数是 99-51=48。
3. 有砖 26 块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半。弟弟不肯，又从
哥哥那儿抢走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块。问最初弟弟准备挑多少块？
先看最后兄弟俩各挑几块：哥哥比弟弟多挑 2 块，这是一个和差问题，哥哥挑的块数=（26+2）÷2=14 块，弟弟=26-14=12 块；
然后再还原：哥哥还给弟弟 5 块：哥哥=14-5=9 块，弟弟=12+5=17 块；弟弟把抢走的一半还给哥哥：哥哥=9+9=18 块，弟弟=17-9=8
块；哥哥把抢走的一半还给弟弟：弟弟原来是 8+8=16 块。
4. 甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着
乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原
来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有 81 元，那么三人原来的钱分别是多少元？
三人最后一样多，那么每人都是 81÷3=27 元；
甲和乙把钱还给丙：每人增加 2 倍，就是原来的 3 倍，那么甲和乙都是 27/3=9 元，丙是 27+2*2*9=63 元；
甲和丙把钱还给乙：甲=9/3=3 元，丙=63/3=21 元，乙=9+2*3+2*21=57 元；
乙和丙把钱还给甲：乙=57/3=19 元，丙=21/3=7 元，甲=3+2*19+2*7==55 元。
所以，三人原来的钱分别是 55、19 和 7 元。
5. 甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖
豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有 51 粒糖豆，那么乙
最开始有多少粒糖豆？
假设最后三个人一样多时都是 4 份糖豆，
丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍：丙=4/2=2 份，甲=4+2=6 份；
乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍：乙=4/2=2 份，丙=2+2=4 份；
甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：甲=6/2=3 份，乙=2+3=5 份；
即甲、乙、丙原来各有 3、5、4 份。
所以，如果开始时甲有 51 粒糖豆，那么乙最开始有（51/3）*5=85 粒
6. 有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等
分后还剩 2 个。问：这筐苹果至少有几个？
因为要求至少多少个，所以我们可以先假设最后的每一份只有 1 个苹果。
那么，第三次没有操作前的两份就有 1*3+2=5 个，2 汾是 5 个显然不对。
我们再假设最后的每一份有 2 个苹果。
第三次取出的两份有 2*3+2=8 个，每份 8/2=4 个；
第二次取出的两份有 4*3+2=14 个，每份 14/2=7 个；
原有 7*3+2=23 个。
7. 今年，父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍；15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍。问：现在父子的年龄各是多少岁？
今年父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍，即父亲的年龄比儿子的年龄 4 倍；
15 年后，父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍，即多一倍，说明儿子现在年龄的四倍等于儿子 15 年后时的年龄，
那么，儿子今年的年龄=15/（4-1）=5 岁，父亲今年就是 5×5=25 岁。
8. 有老师和甲、乙、丙 3 个学生，现在老师的年龄恰为 3 个学生的年龄之和；9 年后，老师年龄为甲、乙两个学生年龄之和；又 3
年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再 3 年后，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和。问：现在各人的年龄分别是多少岁？
老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，丙的年龄是 9 岁；
老师+12=甲+12+丙+12，乙的年龄是 12 岁；
老师+15=乙+15+丙+15，丙的年龄是 15 岁；
所以，老师是 9+12+15=36 岁。
9. 全家 4 口人，父亲比母亲大 3 岁，姐姐比弟弟大 2 岁。四年前他们全家的年龄之和是 58 岁，而现在是 73 岁。问：现在各人的年
龄分别是多少岁？
四个人四年共应增长了 4×4=16 岁，但实际上只增长了 15 岁，说明弟弟在 4 年前还没有出生。那么，弟弟今年应该是 3 岁；姐姐就
是 3+2=5 岁，父母的年龄和是 73-3-5=65 岁，根据和差问题，得到父亲是（65+3）/2=34 岁，母亲是 65-34=31 岁。
10. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 3 岁；当你像我这么大时，我已经 39 岁了。”求老师与学生现在的年
根据年龄差不变，39-3=36 正好是 3 倍的年龄差，所以，年龄差=（39-3）/3=12 岁。
那么，学生现在年龄是 3+12=15 岁，老师现在年龄是 15+12=27 岁。
11. 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的 3 倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为 30 岁。问：哥哥
现在多少岁？
哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，假设哥哥与弟弟的年龄差为 1 份，
哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的 3 倍，哥哥现在的年龄与弟弟当年的年龄相差他们年龄差的 2 倍，
那么，哥哥现在的年龄是年龄差的 3 倍，即 3 份，弟弟现在的年龄是年龄差的两倍，即 2 份；
而哥哥与弟弟现在的年龄和为 30 岁，所以，每一份为 30/（3+2）=6 岁，
则哥哥现在 3*6=18 岁。
12. 梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的 6 倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的 10
倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的 3 倍。”问陈老师有多少子女。
现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的 6 倍，即多 5 倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的 10 倍，即多 9 倍；六年后，我们的
年龄和是子女年龄和的 3 倍，
即多 2 倍。如果是 2 个子女，5*9*2=90，显然不符合常理。
如果是三个，将子女现在的年龄和看作一份，那么，每一份=（18*3-12）/3=14，即子女现在年龄和 14 岁，父母现在年龄和 6*14=8
4 岁，符合要求。
所以，陈老师有 3 个子女。
13. 今年是 1996 年。父母的年龄之和是 78 岁，兄弟的年龄之和是 17 岁。四年后，父亲的年龄是弟弟的 4 倍，母亲的年龄是哥哥的
年龄的 3 倍。那么当父亲的年龄是哥哥的年龄的 3 倍时是公元哪一年？
四年后，父母的年龄和是 78+8=86 岁，兄弟的年龄和是 17+8=25 岁，父=4*弟，母=3*兄，那么父+母=3*（弟+兄）+弟，所以弟弟是 1
1 岁，哥哥是 25-11=14 岁，父亲是 11*4=44 岁，母亲是 14*3=42 岁。显然，再过 1 年后父亲 45 岁，哥哥是 15 岁，父亲是哥哥年龄的 3
所以，当父亲的年龄是哥哥的年龄的 3 倍时是 4=1=5 年后，即公元 2001 年。
14. 甲、乙、丙三人现在年龄的和是 113 岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是 38 岁；当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是
17 岁。那么乙现在是多少岁？
假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是 x 岁，乙就是 2x 岁，丙 38 岁；当甲 17 岁的时候，乙是 17+x 岁，那么丙是乙的 2 倍，
就是 2*（17+x），由甲、丙的年龄差得到：38-x=2*（17+x）-17，所以，x=7。
因为当甲 7 岁、乙 14 岁、丙 38 岁时，三人的年龄和是 7+14+38=59 岁，（113-59）/3=18，即从那时到现在经过了 18 年，所以乙现
在的年龄是 14+18=32 岁。
15. 今年，祖父的年龄是小明的年龄的 6 倍。几年后，祖父的年龄将是小明年龄的 5 倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明年龄
的 4 倍。求：祖父今年是多少岁？
根据年龄差不变，今年祖父比小明多 5 倍，几年后，祖父比小明多 4 倍，又过几年，祖父比小明多 3 倍。3、4、5 最小公倍数是 60，
所以年龄差是 60。再用差倍问题：今年小明是 60/(6-1)=12，祖父是 12*6=72。
和差倍问题讲义
1. 四年级有 4 个班，不算甲班其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班其余三个班的总人数是 134 人； 乙、丙两班的总人数比甲、丁
两班的总人数少 1 人，问这四个班共有多少人？
解答：由“不算甲班其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班其余三个班的总人数是 134 人”得到 131+134=265，这 265 人包括 1
个甲班和 1 个丁班，以及 2 个乙班和 2 个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人，所以用 265-1=264 就刚
好是 3 个乙班和 3 个丙班之和，264÷3=88，就是说乙、丙两个班的和是 88 人，那么，甲、丁两个班的和就是 88+1=89 人。所以，四个
班的和是 88+89=177 人。
2. 有四个数，其中每三个数的和分别是 45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？
解答：把 4 个数全加起来就是每个数都加了 3 遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用总数减去最大的三数之和，
就是这四个数中的最小数，即 64-52=12。
3. 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在 72 中间插入数字 6，就变成了 762。有些两位数中间插入数字后
所得到的三位数是原来两位数的 9 倍，求出所有这样的两位数。
解答：两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的 9 倍，即这个数的个位乘以 9 以后的个位还等于原来的个位，那么个
位只能是 0 或 5。如果是 0，显然不行。因为 20×9=180，30×9=270，......所以个位只能是 5。试验得到：15，25，35，45 是满足要求
4. 某班买来单价为 0.5 元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得 15 本；如果将这些练习本只给男生，平均每
人可得 10 本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?
解答：这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求解。假设班上有 2 个女生，那么就是一共有 3
0 个练习本，这 30 本“只给男生，平均每人可得 10 本”，说明男生有 3 个。那么，分给全部按同学，每人得 30/（2+3）=6 本，因此每
人应该付 6 本练习本的钱，即每人要付 3 元钱。
5. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分
给第三群，则每只猴子可得 20 粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？
解答：由题意可知，花生总数必定是 12、15、20 的倍数。同上题一样，我们也可以用设数法。假设共有花生 12*15*20 粒，那么第
一群猴子有 15*20 只，第二群猴子有 12*20 只，第三群猴子有 12*15 只，即共有（15*20+12*20+12*15）只猴子，12*15*20/（15*20+12*
20+12*15）=5，所以平均分给三群猴子，每个猴子可得 5 粒。
注：如果懂得最小公倍数，那么应该设花生总数为 60 粒，这样，计算就方便很多。
6. 一个整数，减去它被 5 除后余数的 4 倍是 154，那么原来整数是多少？
解答：被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以，余数只可能是 0、1、2、3、4，那么，原来的整数只能是：154+4×0，154+4×1，
154+4×2，154+4×3，154+4×4 中的一个。经试验，结果是 162，154+4×2=162。
7. 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有 22 人，家长比老
师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 2 人，至少有 1 名男老师，那么在这 22 人中，爸爸有多少人？
解答：家长比老师多，所以老师少于 22/2=11 人，即不超过 10 人；相应的，家长就不少于 12 人。在至少 12 个家长中，妈妈比爸爸
多，所以妈妈要多于 12/2=6 人，即不少于 7 人。因为女老师比妈妈多 2 人，所以女老师不少于 9 人。但老师最多就 10 个，并且还至少
有 1 个男老师，所以老师必定是 9 个女老师和 1 个男老师，共 10 个。那么，在 12 个家长中，就有 7 个是妈妈。所以，爸爸有 12-7=5 人。
8. 一次数学考试共有 20 道题，规定：答对一题得 2 分，答错一题扣 1 分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得 23 分，他想知
道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？
解答：20 个题如果全部做对的话，总分是 20*2=40 分。绻?淮?道题的话就要在 40 分中扣除 2 分，而做错一道的话就要扣除 1+2=3
分（因为在 40 分中我们假设它是做对的，给了 2 分，实际是不但不能给，反而要扣 1 分）。小明得了 23 分，比总分少 40-23=17 分。因
为没有做的题是偶数，最小的偶数是 0，如果是 0 道题没答的话，那么 17 分就都是做错被扣的，但 17/3=5…2，所以不可能。同理 2 道
题没做也不可能。结果只能是 4 道题没做，17-2*4=9 分=3*3。所以答错 3 题。
9. 某种商品的价格是：每一个 1 分钱，每五个 4 分钱，每九个 7 分钱，小赵的钱至多能买 50 个，小李的钱至多能买 500 个。小李
的钱比小赵的钱多多少分钱？
解答：由“每一个 1 分钱，每五个 4 分钱，每九个 7 分钱”我们可以知道，九个 7 分钱是最便宜的，是最多的买法。那么，50÷9=5…
5，小赵应该有 5×7+4=39 分钱；500÷9=55…5，小李应该有 55×7+4=389 分钱。那么，小李的钱要比小赵多 389-39=350 分。
10. 某幼儿园的小班人数最少，中班有 27 人，大班比小班多 6 人。春节分桔子 25 箱，每箱不超过 60 个，不少于 50 个，桔子总数
的个位数字是 7。若每人分 19 个，则桔子数不够，现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这
时大班每人分多少桔子？小班有多少人。
解答：首先，总人数不超过 27*3+6=87 人；其次，桔子的个数在 25×50=1250 和 25×60=1500 之间；现在大班每人比中班每人多分
一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。我们可以先从总数中拿出 6 个，让大班中的 6 个人先少拿一个，拿和中班一样多，这
样就变成平均都和中班的拿一样多，（1250-6）/87&14，所以，每人至少分 15 个，但至多分 18 个；再则，桔子总数的个位数字是 7，所
以只能是每人 17 个或 15 个；但 15 个显然不可能，因为任何数乘以 15 后个位只能是 5 就是 0。所以每人应该是 17 个桔子，即大班每人
17+1=18 个。（1250-6）/17=73......3，总人数应多于 73 人，74*17=1258，个位不是 1，要使个位为 1 需加个位为 3 的 17 的倍数，17*
9=153，所以，桔子总数为（）+6=1417 个，总人数 74+9=83 人。
小班有（83-27-6）/2=25 人。
11. 一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于 13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数
和为 18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为 24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？
解答：把小张和小李看到的数相加，就是完整的四个侧面和两次顶面之和，因为位于对面两个数的和都等于 13，那么四个侧面的数
字和应为 13*2=26，由此可知顶面数字为（18+24-26）/2=8，那么贴着桌子的这一面的数就是 13-8=5。
12。图 2-1 是一张道路图。A 处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从 A 开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东
走。如果先后有 60 个孩子到过路口 B，问：先后共有多少个孩子到过路口 C？
13. 比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边
形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的 5 条边分别与 5 块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的 6 条边中，有 3 条边与黑色
皮子的边缝在一起，另 3 条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有 12 块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有
白色正六边形皮子多少块？
解答：12 块黑色正五边形皮子共有 12×5=60 条，这 60 条边每一条都是与白皮子缝合在一起的。而对于白皮子来说，每块 6 条边，
其中有 3 条边是与黑色皮子的边缝在一起，还有 3 条边则是与其它白色皮子的边缝在一起。因此，白皮子的边的总数就是黑皮子的边的
总数的 2 倍，即共有 60×2=120 条边。那么，共有 120/6=20 块白皮子。
14. 5 个空瓶可以换 1 瓶汽水，某班同学喝了 161 瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
解答：这里给出一种思路：我们可以先买 161 瓶汽水，喝完以后用这 161 个空瓶去换汽水，能换到的瓶数在总数中去掉就是实际需
要购买的数量。161 个空瓶可以换回 161/5=32…1，即 32 瓶，那么实际上只需要买 161-32=129 瓶汽水。检验：先买 129 瓶，喝完后用其
中的 125 个空瓶（还留有 4 个空瓶）可以换 25 瓶汽水，喝完后用 25 个空瓶又可以换 5 瓶汽水，再喝完后用 5 个空瓶还可以换 1 瓶汽水，
最后用这个空瓶和开始留下的 4 个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161 瓶汽水。
15. 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的
苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 34 个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的
2 倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？
整数与数列讲义
1、如图 1-1 所示的表中有 55 个数，那么它们的和加上多少才等于 1994？
解答：它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5
=（33×11）×5
[或者：它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]
答：它们的和加上 179 才等于 1994。
2、计算：-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。
解答：-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101
=（-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）
=4+4+……+4+4
=［（）÷1+1］÷4×4
3、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。
解答：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）
=1+（3-2）+（5-4）+……+（）
=1+1×（1989-1）÷2
4、利用公式 l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：15×15+16×16+……+21×21。
解答：15×15+16×16+……+21×21
=21×（21+1）×（2×21+1）÷6-14×（14+1）×（2×14+1）÷6
5、计算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。
解答：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1
=（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）
6、计算：+6×。
解答：+6×
=3×11+6××1111
=15×+48×
=（15+48）×
=（10000-1）×7777
7、计算：93-92-。
解答：93-92-
=93-（92+）
=93-×（1992+1）
=1993×（31992）
8、两个十位数
的乘积中有几个数字是奇数?
有 10 个奇数
答：乘积中有 10 个数字是奇数。
9、我们把相差为 2 的两个奇数称为连续奇数。已知自然数
是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？
解答：=1=1335=3，=66668
答：这两个奇数的和是 66668。
10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。
解答：l×2+2×3+3×4+……+9×10
=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）÷3
=9×10×11÷3
=3×10×11
11、计算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2
×3×4×5×6×7×8。
解答：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3
×4×5×6×7×8
=1！+2×2！+3×3！+4×4！+5×5！6×6！+7×7！+8×8！
=（2！-1！）+（3！-2！）+（4！-3！）+（5！-4！）+（6！-5！）+（7！-6！）+（8！-7！）+（9！-8！）
=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1
12、在两个数之间写上一个?，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如： 13?5=3，6?2=0．试计算：（2000?
解答：，40?9＝4
答：计算结果是 4。
13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼
=狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，
所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，
狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合
运算。混合运算的法则是从左到右，括号内先算。
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。
解答：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）
=羊△羊☆羊△狼
=羊☆羊△狼
答：运算结果是狼。
14、对于自然数 1，2，3，…，100 中的每一个数，把它非零数字相乘，得到 100 个乘积（例如 23，积为 2×3=6；如果一个数仅有
一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与 100 相应的积为 1）。问：这 100 个乘积之和为多少?
解答：1，2，……，9，和是 45；11，12，……，19，和是 1×45；21，22，……，29，和是 2×45；……；91，92，……，99，和
是 9×45；10，20，……，90，和是 45；100 的为 1。
总和是（1+1+2+3+……+9+1）×45+1
＝47×45+1
答：这 100 个乘积之和是 2116。
15、从 1 到 1989 这些自然数中的所有数字之和是多少？
解答：把 1 到 1998 之间的所有自然数，都表示成四位数字的形式：，0003，……，1989，……，，1998。从
两头开始配对组合：（），（），（），……共 999 对。每对的四位数字之和都是 1+9+9+9=28，所以 1
到 1998 的数字和是 28×999=27972。
多算了 1990 到 1998 的数字和，即多算了 1×9+9×9+9×9+1+2+3+4+5+6+7+8=207。765
答：从 1 到 1989 这些自然数中的所有数字之和是 27765。
［专题介绍］
称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。
下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。
［经典例题］
例 1 有 4 堆外表上一样的球，每堆 4 个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品
球每个重 10 克，次品球每个重 11 克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取 1、2、3、4 个球，这 10 个球一起放
到天平上去称，总重量比 100 克多几克，第几堆就是次品球。
例 2