据说起亚要靠这款SUV扭转逆境？
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你可能喜欢不等式研究通讯2003③ ２００３ 年 ６ 月 １ 日 中 国 不 等 式 研 究 小 组 主 办 不等式研究通讯 2003.3目录[解析不等式研究 ]n 个正数的双参数平均……………………………………张志华、萧振纲（ ） 建立不等式的递推降维方法（Ⅰ）…………………………………文家金 （ ） 关于 Simpson 求积公式的误差估计……………………………………刘 证（ ） 两个不等式的加强……………………………………………………李康海（ ） 平均值不等式的一种加强形式及逆向………………………………陈胜利（ ） 对一道不等式问题的解答与探究……………………………………杨学枝（ ） n 元三次多項式不等式猜想的证明… … … … … … … … … … … … … 杨志明 ( ) [几何不等式研究 ]一道征解题的纯代数证明……………………………………………张晗方（ ） 也谈一道 ＩＭＯ 试题的推广……………………………………………杨志明（ ） 一个不等式猜想（ＬＢＱ１０８）的证明……………………………………陈胜利（ ） 一个不等式的证明……………………………………………………吴裕东（ ） 关于旁切圆半径和角平分线的两个不等式…………………………吴善和（ ） 一个不等式的分隔……………………………………………………刘保乾（ ） ＢＯＴ－７７（ａ）的加强、逆向及推广……………………………………杨志明（ ） BOT-77(b)的加强及其逆向…………………………………………杨志明（ ）[问题与猜想 ] 九则…………………………………………………吴裕东等 （ ） 2 不等式研究通讯 2003.3［解析不等式研究］n 个正数的双参数平均 张志华 （湖南省资兴市教研室， 湖南 郴州 ４２３４００） 萧振纲 （湖南省岳阳师范学院， 湖南 岳阳 ４１４００６） 摘要： 利用推广的 Van der Monde 行列式定义了 n 个正数的广义双参数平均, 同时得到了这类平均的一系列不等式.１． 引 言 n +1 在本文里, 总设 R 是实数集, R+ 为正实数集， a = ( a0 , a1 ,L , an ) ∈ R + ,且 ? ( x ) 是 R上的一个函数, 记 (1.1)1 1 V ( ? ) = L 1令 ? ( x) = x n+ r ln k x , 有a0 a1 L an a0 a1 L an2 a0 a12 L 2 ann ?1 L a0 ? ( a0 ) n ?1 L a1 ? ( a1 ) L L L n ?1 L an ? ( an )(1.2)1 1 V ( r , k ) = L 1对 r = 0 , k = 0 , 我们便得著名的 Van der Monde 行列式: (1.3) 这里2 a0 2 a1 L a2 nL a0n?1 L a1n?1 L L n ?1 L ann +r a0 ln k a 0 a1n+ r ln k a1 L n+ r an ln k a nn +i n V (0,0) = ∑ n ai Vi ( a) = ∏ 0≤i & j≤ n ( a j ? ai ) ; i = 0 (?1)1a02 a01 a1 a12 L L L L L (1.4) Vi ( a) = 1 a i?1 ai2?1 L 1 a i+1 ai2+1 L L L L L 2 1 an an L 若记 ln a = (ln a 0 , ln a1 , L, ln an ) , 则得:n ?1 L a0a1n?1 L 1 ain?? 1 ain+?11 L n ?1 an(0 ≤ i ≤ n )(1.5)1 ln a 0 1 ln a1 V ( r , k ) = L L 1 ln a nln 2 a 0 ln 2 a1 L ln 2 a 2 n3L ln n?1 a0 L ln n?1 a1 L L n ?1 L ln a nr a0 ln k a 0 a1r ln k a1 L r a n ln k a n 不等式研究通讯 2003.3设 a 0 , a1 是两个正实数, 则他们的对数平均 L( a0 , a1 ) 和指数平均 I ( a 0 , a1 ) 为:(1.6)? a1 ? a 0 , ? ? ln a1 ? ln a 0 L( a0 , a1 ) = ? ? ? a0 , ?? a a1 ?1 ? ? 1 ? ? a0 I ( a0 , a1 ) = ? e ? a0 ? ?a , ? 0a 0 a1 和 A( a 0 , a1 ) =a0 ≠ a1,a 0 ≠ a1, a 0 ≠ a1 a 0 = a1(1.7)? ? ? ?1 a1 ? a 0以 G ( a0 , a1 ) = 这对 a 0 ≠ a1 , 据[1]有 (1.8)a 0 + a1 分别表示 a 0 , a1 的几何平均和算术平均, 2? V (0,1) 1? I ( a) = exp ? ?∑n k =1 ? , k? ?V (a; 0,0) V (0,0) (1.10) L( a) = nV (a; ?1,1) V (1,1) (1.11) l ( a ) = n!? , V (1,0) 同时证明了对 a i ≠ a j ( 0 ≤ i ≠ j ≤ n ) , 有:(1.9) (1.12) (1.13)G( a0 , a1 ) & L( a0 , a1 ) & I ( a0 , a1 ) & A(a 0 , a1 ) 张志华和萧振纲在文[2, 3] 研究了 ( n + 1) 个正数 a 0 , a1 , L, a n 的指数平均和对数平均:G ( a ) & L (a ) & I ( a) & A( a ) G ( a) & l (a ) & I (a ) & A( a) 1/( n+1) 1 n n 这里 G( a ) = ∏ i= 0 ai 和 A( a) = 分别是 a 0 , a1 ,L , an ∈ R+ 的几何平 ∑ i = 0 ai n +1[]均和算术平均. 1975 年, Stolarsky 在文[4]中得到了 r 阶广义对数平均:(1.14)这里 r ∈ R \ {?1,0} . Alzer 在文[5, 6]推广对数平均后得到了:?? a r+1 ? a r +1 ? 1/r 1 0 ? ?? ? , ?? ( r + 1 )( a ? a ) 1 0 ? ? S r (a 0 , a1 ) = ? ? ? ? a0 ,? r a1r +1 ? a0r+1 ? , ? ? r + 1 a1r ? a0r J r ( a0 , a1 ) = ? ? ? ? a0 ,a 0 ≠ a1 a0 = a1a 0 ≠ a1 a 0 = a1(1.15)这里 r ∈ R \ {?1,0} .Stolarsky 在文 [4]Alzer 在文 [5, 6] 中分别证明了 :对 a 0 ≠ a1 , 平均函数 S r ( a 0 , a1 ) 和J r (a 0 , a1 ) 分 别 是 r ∈ R 的 严 格 单 调 递 增 函 数 , 其 中 定 义 S 0 (a 0 , a1 ) := I ( a0 , a1 ) ,4 不等式研究通讯 2003.3?1 S ?1 ( a0 , a1 ) = J 0 ( a0 , a1 ) := L( a 0 , a1 ) , J ?1 ( a0 , a1 ) := ( L( a 0 , a1?1 )) -1 . 萧振纲和张志华在[7, 8]中得到了 n + 1 个正数 a 0 , a1 , L, a n 的 Stolarsky 平均 S r ( a) 和 Alzer 平均 J r (a ) 为:1/ r ?? ? n ! V ( r ,0 ) ?? ? r ≠ 0,?1,?2,L ,? n ? , n ?? ? ∏ k =1 ( k + r ) V (0,0) ? ? ? ? V (0,1) 1? ? (1.16) S r (a ) = ? exp ? ?∑ n r =0 k =1 ? , k? ?V (a; 0,0) ? 1/ r ?? ? n!?V ( r ,1) ?? , r = ?1,L ,?n (?1) r +1 ( ?r ? 1)!?( n + r )!?V (0,0) ? ? ? ? ? V ( a,0) ? r ? r ≠ 0,?1, L, ?n ? n + r V ( a, r ? 1;0) , ? ? V (a ,0;0 ) , r=0 ? nV ( a,?1;1) (1.17) J r (a ) = ? r V ( a,1) ? ? , r = ?1,L ,?( n ? 1) ? n + r V ( a, r ? 1;1) ? ? nV ( a,0;1) , r = ?n ? ?V ( a, ?n ? 1;0) 且 S 0 ( a) = I ( a ), S ?1 ( a) = J 0 (a ) = L( a) . Stolarsky 平均 S r ( a 0 , a1 ) 和 Alzer 平均 Fr (a 0 , a1 ) 的统一推广是双参数平均(见[9]):(1.18)? ? q + 1 a p +1 ? a p+1 ? 1/( p ?q ) ?? ? 1q +1 0 , q +1 ? ? ? p + 1 a1 ? a0 ? ? 1/( p +1) ? ? 1 a1p+1 ? a0p +1 ? , ? ? p + 1 ? ln a ? ln a ? 1 0 ? ?? E p, q ( a0 , a1 ) = ? 1 ? 1 ? a1a1 ? a1 ? a0 , ? ? a0 ? ? e ? a0 ? ? ? a0 a1 , ?a , ? 0( p + 1)( q +1)( p ? q )( a0 ? a1 ) ≠ 0 ( p + 1)(a0 ? a1 ) ≠ 0, q = ?1 ( p + 1)(a0 ? a1) ≠ 0, ( a0 ? a1 ) ≠ 0, p =qp = q = ?1( p ? q )( a0 ? a1 ) = 0有关两个正数的双参数平均近来有许多不同的研究(见[10-21]).２． 双参数平均的推广 n +1 定义 2.1. 设 a = ( a0 , a1 ,L , an ) ∈ R + , 且 a i ≠ a j (i ≠ j ), 则这 n + 1 个正数的双参数平均 E p, q ( a) 定义为 (2.1)5 不等式研究通讯 2003.3? ? n k + q V ( p ,0) ? 1( p ?q ) n ? ?∏ ( )? , ( p ? q ) [( k + p)( k + q)] ≠ 0 ∏ ? ? k =1 k + p V ( q ,0) ? k =1 ? ? 1 ?? ? ( p? q) ? ? (?1) q+1 (? q ?1)!( q + n )! V ( p ,0) ? ?? ? ? , p ≠ q = ?1, ?2, L, ? n n V ( q ,1) ? ?? ( k + p) ∏ ?? ? k =1 ? ?? E p, q (a ) = ? 1 ? ? ( ?1) q? p ( ?q ? 1)!( q + n)! V (a; p ,1) ? ( p ?q ) ? , p ≠ p, q = ?1, ?2,L , ?n ? ? ? ( ? p ? 1)!( p + n )! V ( q , 1) ? ? ? ? ? V ( p ,1) 1 ? ? exp ? ?∑n , p = q ≠ ?1, ?2,L , ?n k =1 k + p? ? ?V ( p ,0) ? ? 1 ? ? exp ? V (a; p ,2) ? n , p = q = ?1, ?2,L , ?n ∑ ? k =1, k≠? p ? k + p? ? 2V ( p ,1) ? ?引理 2.2. (2.2)这里 dx = dx1dx 2 L dx n , 且 (2.3)V ( ? ) = V (0,0) ? ∫ ? ( n) ( x) dx = V (0,0) ∫ ? ( n ) ( ∑ n i = 0 ai x i ) dx1dx 2 L dxnE E若 n ∈ N , 函数 ? ( x ) 在 I ∈ R+ 上有 n 阶导数 ? ( n ) ( x) , 则n x = a0 + ∑ in=1 ( a i ? a0 ) xi =∑ n i =0 ai xi , x 0 = 1 ? ∑ i =1 xi . ~ = ( a , a , L, a ) , 由(2.2) 有 证明 记 a = ( a , a , L , a ), aE = {( x1 , x 2 , L, x n ) ∑ n , xi ≥ 0, i = 1,2,L , n} i =1 xi ≤ 1n 1 n ?1 0 1 n ?1(2.4) V (a;0,0) = ( ?1) (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) 同时, (2.9)0展开行列式 (1.1)为 ∏ (a ? a ) ? V (0,0) = (a V (a ) = ∏ ( a ? a ) ?V ( ~ a) V (a ) = ( ?1) ∏ ( a ? a ) ?V ( a ) + ∏ V (a ) = ∏ ( a ? a ) ? V ( a )n?1 n j =1 j 0 n?1 j =1 n j 0 n i n ?1 j =1 j j 0 i n n ?1 j =1 0 0n?1 ~ ? a0 )∏ n j =1 ( an ? a j ) ? V (0,0)n ?1 j =1( a n ? a j ) ?Vi ( ~ a) , (0 & i & n )V ( ? ) = ∑ in=0 ( ?1) n+ i ? ( ai ) ? Vi ( a)1 1 ? x1∫E? ( n) ( x) dx = ∫0∫10L∫1??1 i =1 xi ∑n0? (n ) ( a 0 + ∑n i =1(a i ? a0 )xi ) dx1dx 2 L dx n下面用数学归纳法证明等式(2.2). 若 n = 1 , 因为( a1 ? a 0 ) ∫ ? ′( a 0 + ( a1 ? a 0 ) x1 ) dx1 =? ( a1 ) ? ? ( a0 ) = V ( ? ) ,0所以(2.2)式正确. 假定对自然数 n ? 1(n ≥ 2) , (2.2)式成立, 则 (2.10)(2.11)?1 V ( ? ) = ( ?1) n?1? (a n ) ? V0 ( a ) + ∑ n ) n ?1+ i ? (a i ) ?Vi ( a ) i =1 ( ?1 ?2 1 1? x1 1 ?∑ n i =1 xi ?1 = V (0,0) ∫ ∫ L ∫ ? ( n?1) ( a n + ∑ n i =1 ( ai ? an ) xi ) dx1 dx 2 L dx n ?1 0 0 0 n ?1 ~) V (~ ? ) = ( ?1) n ?1+ i? ( a ) ?V (a∑ = V (~0,0) ∫ ∫0 0i =0ii1 1 ? x1L∫1?∑n? 2 i =1 xi0?1 ? ( n ?1) ( a0 + ∑ n i =1 ( ai ? a 0 )x i ) dx1 dx 2 L dxn ?16 不等式研究通讯 2003.3据(2.4-2.11),有V (0,0) ∫ ? (n ) ( x) dxE= V (a; 0,0) ∫=1 1 ? x10 0?1 ? ? ( n?1) ( a0 + ∑ n i =1 ( ai ? a0 ) xi )]dx1dx2 L dxn ?1 ?2 1 1? x1 1?∑ n i = 1 xi ?1 ?1 = ( ?1) n?1 ∏ n L∫ ? ( n?1) ( an + ∑ n j =1 (a j ? a0 ) ? V (a;0,0)∫ ∫ i =1 ( ai ? an )xi )dx1 L dxn ?10 0?2 1 ?∑ n V (a;0,0) 1 1? x1 i =1 xi L [? ( n?1) (a n + ∑ in=?11 ( ai ? a n ) x i ) ∫ ∫ ∫ 0 0 0 an ? a 0∫L∫1??1 i=1 xi ∑n0? ( n ) (a0 + ∑ n i =1 ( ai ? a0 )xi ) dx1 dx2 L dxn1 ~; 0,0) ? ∏ nj? V (a =1 ( an ? a j ) ? ∫1 1 ? x1= (?1) n?1 ∏= ? (a n ) ? ∏?1 +∑n ) i =1 ( ?1?∏n?1 j =1?1 n?1+ i ( a j ? a 0 ) ? [( ?1) n ?1? (a n ) ? V0 (a ) + ∑ n ? ( ai ) ? Vi ( a )] i =1 ( ?1) n?1 n?1 n?1+i ~ (a ? a ) ? (?1) ? (a ) ? V (a ) j =1 n j0 0∫L∫1??2 i =1 xi ∑n00?1 ? (n ?1) ( a 0 + ∑ n i =1 ( ai ? a 0 )x i ) dx1 L dx n ?1n?1 j =1 n?1+ i∑i =1ii(a j ? a 0 ) ?V0 ( a ) ? ( ?1)n?1?1 = ? ( a n ) ? Vn (a ) + ∑ n ) n+ i ? ( ai ) ? Vi ( a) + ( ?1) n ? ( a0 ) ? V0 ( a) = V ( ? ) i =1 ( ?1 这就是说,(2.2) 式对自然数 n 成立. 根据归纳假设可知, 对任何自然数等式(2.2) 成立. 证毕.?1 ? ( ai )[( ?1) n?1 ∏ n Vi ( a ) ? ∏ j =1 (a j ? a 0 ) ?1 ? ( a0 ) ? ∏ nj? V0 ( ~ a) =1 ( an ? a j ) ? n?1 j =1(a n ? a j ) ? Vi ( ~ a )]定理 2.3. 设 E p , q ( a) 是广义双参数平均, 则 1 ?? ( n) ? ( p ?q ) ? ( p , x ) dx 1 ?? ∫E ? , p≠q ?? ( n) ? ? ( q , x ) dx ? ∫ 1 ? (2.12) E p, q ( a) = ?? E ( n) ? ? ?2 ( p, x )dx ? ∫ ? E ?exp ? p=q ? ?, ( n) ? ? ∫ ?1 ( p, x )dx ? ? ? ?E n n 这里 E = {( x1 , x 2 , L, x n ) ∑ i =1 xi ≤ 1, xi ≥ 0, i = 1,2,L , n} , x 0 = 1 ? ∑ i =1 xi ,(n ) p (n ) p x = a0 + ∑ in=1 ( a i ? a0 ) xi =∑ n i =0 ai xi , 且 ? 1 ( p, x ) = x , ? 2 ( p, x) = x ln x .证明 设函数为n ?1 n + p ? ?∏ k =1 ( k + p ) x , (2.13) ?1 ( p, x) = ? ?1 n + p p +1 ? ? ( ?1) ( ? p ? 1)! (n + p)! x ln x, 则 ?1( n) ( p, x) = x p . 对函数[]p ≠ ?1,?2,L ,?np = ?1,?2 L,? n(2.14)1 ? n ?1 n + p n ?∏ k =1 ( k + p) x (ln x ? ∑ k =1 k + p ), ? ?2 ( p, x ) = ? ?1 ? ?( ?1) p+1 (? p ?1)!( n + p )!? x n+ p ln x( ln x ? ? ? ? 2 ?( n) 有? 2 ( p, x ) = x p ln x . 根据引理 2.2 和(2.13-2.14)式, 定理成立.p ≠ ?1,L , ?n∑n k =1, k ≠? p1 ), p = ?1,L , ?n k+ p7 不等式研究通讯 2003.3注解 2.4. 双参数平均 E p, q ( a) 包含分别定义在 (1.16) 和 (1.17) 的 ( n + 1 ) 个正数a 0 , a1 , L, a n 的 Stolarsky 平均 S r ( a) 和 Alzer 平均 J r (a ) . 即(2.15)(2.16) 这里 E , ? (2.17)( n) 1? n!? ? ( n) (r , x )dx 1r , ? ∫ 1 S r ( a ) = E r , 0 (a ) = ? E ( n) ?exp n!?∫ ? 2 (0, x) dx , ? E ? 1( n) ( r , x) dx ∫ E J r (a ) = Er , r?1 ( a ) = ( n) ∫ ? 1 (r ? 1, x)dx[{]}r≠0 r=0E,?( n) 2如定理 2.3. 同时有E p, q ( a) = ( S p ( a)) p /( S q ( a)) q[]1/( p? q)由定义和引理 2.2,不难得到 E p, q ( a) 的如下性质: 定理 2.5. 设 E p, q ( a) 是双参数平均, 则 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)E p, q ( a) = Eq , p (a ) ;lim E p, q ( a) = lim E p, q ( a) =p→∞ q→ ∞ p→ ?∞ p→qlim E p, q ( a) = lim E p, q ( a ) =q→ ?∞lim E p, q ( a) = E p, p ( a );min {ai } ≤ E p, q ( a) ≤ max {a i } ;E p, q ( a) = a 0 , 当且仅当 a 0 = a1 = L =0 ≤i ≤ n 0 ≤i ≤nE p, q (ta) = tE p, q ( a ), t & 0, 这里 ta = (ta0 , ta1, L, tan ) ;p? q p? t t ?q Ep , q ( a) = E p,t ( a) ? Et ,q ( a) ; 引理 2.6. 设 r 是一个整数, 则(见[22]) ,L,i n ≥0 n i ?V (a; 0,0) ? ∑ ii0 ,+i2 a kk , 0 i1 +L+i n = r ∏ k = 0 ? (2.18) V ( r ,0) = ? 0, ? ( ?1) n V (0;0) ? ( n a ) ?1 i0 , i1 ,L,in ≥0 ∏ k =0 k ∑ i0+ i1+L+ in = ? n? r ?1 ∏ nk =0 a k?ik , ?r&0 r =0 r & ?n从定义和引理 2.6, 可得 定理 2.7. 设 E p, q ( a) 是双参数平均, 则 (a) (b) (c) (d) (f)E1, 0 (a ) = S1 ( a) = J 1 (a ) = A( a) ; E0, ? ( n+1) ( a) = S ?( n +1) ( a ) = G (a ) ; E? ( n+1), ? ( n+ 2) (a ) = J ? (n +1) ( a ) = H ( a ) ; E0, 0 ( a) = S 0 ( a) = I (a ) ; E0, ?1 (a ) = S ?1 ( a) = J 0 ( a) = L (a ) .这里 A( a), G ( a) , H ( a) , I ( a) 和 L( a ) 分别是 n + 1 个正数 a 0 , a1 , L, a n 的算术平均, 几何平 均, 调和平均, 指数平均和对数平均. 定理 2.8. 设 r 是一个正整数, 则 (2.19) (2.20) 这里对称平均r ?1 i0 , i1 ,L,i n ≥ 0 n ik 1 / r Er , 0 ( a) = S r (a ) = ∑ [nr] ( a ) = [(C n + r ) ∑ i0 + i1 +L+ in = r ∏ k =0 a k ]Er , r?1 ( a ) = J r ( a) = ∑ [nr ] ( a) / ∑ [nr?1] (a )∑[r ] n( a) 是 D.M .Detemple 和 J.M. Robertson 在 1979 年得到的(见[23]P.50-51).8 不等式研究通讯 2003.3３． 有关双参数平均的不等式 为证明本节的定理 3.2, 我们需要利用如下的引理(见[23]P.26) 引理 3.1. 设 E ? R n , 且对任何 x1 , x 2 ∈ E 可积函数 F ( x), G ( x) : E → R 满足条件( F ( x1 ) ? F ( x 2 ))( G( x1 ) ? G ( x 2 )) ≥ 0 . 同时, 可积函数 g ( x) : E → [ 0,+∞) , 则 (3.1) 等号成立当且仅当函数 F ( x) 或 G ( x) 为常数.∫Eg ( x) F ( x) dx ∫ g ( x) G( x ) dx ≤E∫Eg ( x) F ( x)G ( x ) dx ∫ g ( x) dxE若 ( F ( x1 ) ? F ( x 2 ))( G( x1 ) ? G ( x 2 )) ≤ 0 , 则不等式(3.1)反向.不等式(3.1)称为 Tchebycheff 积分不等式. 定理 3.2. 设 p1 , p 2 ∈ R , 且 p1 & p 2 , 则 (3.2) E p1 , q ( a) & E p2 , q ( a )即双参数平均 E p, q ( a) 是 p ∈ R 上的严格单调递增函数. 证明 若 p = q , 则 ? ? (2n ) ( p, x) dx ? ?∫ ? E p, p ( a) = exp ? E ( n ) ? ? ? ∫E ?1 ( p, x) dx ? ? ( n) ( n) ( n) 在引理 3.1 中令 F ( x) = ?2 (0, x) & 0, G ( x) = ?2 (0, x) & 0, g ( x) = ?1 ( p , x ) & 0 ,得d (ln E p, p ( a)) = dp若 p ≠ q , 则 ∫?E( n) 2( n) ( p, x)? 2 (0, x) dx ( n) ?2 ( p, x )dx∫∫? ?E( n) 1( p, x )? (2n ) ( 0, x )dx ?1( n) ( q, x) dxE∫1&0E? ?1( n) ( p , x ) dx ? ∫ ? E p , q ( a) = ? E ( n ) ? ∫ ?1 (q , x ) dx ? ? E ?于是有( p? q )(n ) ? ?1( n) ( p , x )? 2 ? ∫ ?1( n) ( p , x ) dx ?? ( 0, x ) dx d 1 ∫ ?? E E ? (ln E p, q ( a)) = ? ( p ? q ) ? ln ? 2 ( n ) ? ( n ) dp ( p ? q) ? ? ∫ ?1 (q , x ) dx ? ?? ∫E ?1 ( p, x)dx ? E ?? ?根据 Lagrange 积分中值定理, 得( n) ? ?1( n) ( p, x ) dx ? ?1( n) (ζ , x)? 2 ( 0, x) dx ∫ ∫ E E ?= ln ? ? ( p ? q) ( n) ? ∫ ?1( n) ( q, x ) dx ? ? ( ζ , x ) dx ∫E 1 ? E ? 这里 ζ 介于 p 和 q 之间. ( n) ( n) 令 F ( x) = ?1 ( p ? ζ, x) & 0, G( x) = ?(2n) (0, x) & 0, g ( x) = ?1 (ζ, x ) & 0 , 由引理 2.9,有∫?E( n) 1( n) (ζ , x)? 2 (0, x) dx∫E?1( n) (ζ , x )dx∫? ? ( p ? q) &E(n ) 1(n ) ( p, x )? 2 ( 0, x )dx∫E?1( n) ( p, x) dx? ( p ? q)这说明d (ln E p, q ( a )) & 0 . 故 E p, q ( a) 在 p ∈ R 上严格递增. dp9 不等式研究通讯 2003.3根据定理 3.2,我们容易得到 推论 3.3. 设 p1 & p 2 , q1 & q 2 , 则 (3.3) 推论 3.4. 设 q & 0 , 则 (3.4) 推论 3.5. 设 q & p ? 1 , 则 (3.5) 推论 3.6. 设 p & q, 则 (3.6) (3.7) 若 p & 1, 则有 (3.8)E p1 , q1 ( a ) & E p2 , q2 ( a ) S q ( a) & E p , q ( a) J p (a ) & E p , q ( a) J p ( a) & J q ( a ) S p ( a ) & S q ( a) S p ( a ) & J p (a )推论 3.7. 设 G ( a), L( a), I ( a ) 和 A( a) 分别是 n + 1 个正数 a 0 , a1 , L, a n 的几何平均, 对数平 均, 指数平均和算术平均, 则 (3.9) G ( a ) & L (a ) & I ( a) & A( a ) 证明 据推论 3.6 的(3.7) 式, 有S ?( n +1) ( a ) & S ?1 ( a) & S 0 ( a ) & S1 ( a )由定理 2.7 即得不等式(3.9). 推论 3.8. 设 r 是一个正整数, 则 (3.10) (3.11)两式等号成立当且仅当 a 0 = a1 = L = a n . 证明 对正整数 r , 由推论 3.6 , 可得[ ∑ [nr ] ( a)][∑[r ] n( a) ≤ ∑ [nr +1] ( a )∑ [nr-1] ( a )21 r]≤ [ ∑ [nr +1] ( a )]1( r + 1)J r ( a) ≤ J r +1 ( a) S r (a ) ≤ S r+1 ( a )再由定理 2.8 即知结论成立. 推论 3.9. 设 r & 1 , 则 (3.12)S r (a ) & M r (a )这里 M 0 ( a ) = G ( a), M r ( a) = [( n + 1) ?1证明 设 r (r ? 1) & 0 , 利用算术—几何平均不等式, 得∑n i= 0a ir ] r (r ≠ 0) .1r n n r (?1( n) ( r , x)) r = [a 0 + ∑ n i =1 ( ai ? a0 ) xi ] = [(1 ? ∑ i =1 xi ) a 0 + ∑ i =1 x i ai ] r n r r n r r & (1 ? ∑ n i =1 xi ) a 0 + ∑ i =1 xi a i = a 0 + ∑ i =1 ( ai ? a0 ) x iE E即r r r S rr ( a) = n!?∫ ?1( n ) ( r , x) dx & n!?∫ ( a0 +∑n i =1 ( ai ? a 0 ) xi )dx= ( n + 1)?1于是对 r & 1 , 有 S r ( a ) & M r ( a ) .∑n i =0a = M rr (a )r i10 不等式研究通讯 2003.3４． ＰＥＣＡＲＩＣ－ＳＩＭＩＣ 平均的推广 1999 年, J.Pecaric 和 V.Simic 在文[24]研究双参数平均的另一种推广形式, 即 n +1 定 义 4.1. 设 a = ( a0 , a1 ,L , an ) ∈ R + , 且 a i ≠ a j (1 ≤ i ≠ j ≤ n ), p , r ∈ R , 则 Pecaric -Simic 平均为 (4.1)1/ p ?? n r ? n ! ? r V ( p / r , 0 ) ?? ? ? , r ≠ 0, p ≠ ? kr,0 ≤ k ≤ n, k ∈ N n r ?? ( kr + p ) V ( 0 , 0 ) ∏ k = 1 ? ? ? ? ?1 /(? kq ) r ? n ? V ( - k ,1) ? ?? k +1 , r ≠ 0, p = ?kr,1 ≤ k ≤ n, k ∈ N ? ?( ?1) kr? ?k? ? V ( 0,0) ? ? ? ? ? ? S p, r (a ) = ? ? n! V ( p,0) ? 1 / p ?? n? r = 0, p ≠ 0 ? , ? ? p V (0,0) ? ? ? V ( 0,1) 1 1? ?exp ? ? ∑n p = 0, r ≠ 0 k =1 ?, r k? ? ?V (0,0) r 1 /( n +1) ? n , p=r=0 ? ∏ i= 0 a i()(4.2)t a t = ( a0 , a1t ,L , a tn ) , 则广义 Pecaric -Simic 平均定义为下面我们给出推广的 Pecaric-Simic 平均. n +1 定 义 4.2. 设 p , q, r ∈ R , a = ( a0 , a1 ,L , an ) ∈ R + , a i ≠ a j (1 ≤ i ≠ j ≤ n ), 且1 ? ? n r n ? ( p ?q ) ? kp + q ? V ( p / r ,0) ? ?∏? ? , r ( p ? q ) [(kr + p)(kr + q)] ≠ 0 ? ∏ r ? ? k=1 ? kr + p ? k =1 ? V ( q /r ,0) ? ? ?1 n ?? 1 ? n? n V (? j,1) ? ( jr +q) j +1 ? ?(?1) j ? ?? ?∏(kr + q) ? , r ( p ? q ) (kr + q) ≠ 0,p = ? jr,1 ≤ j ≤ n ? ∏ n! ? j ? k=1 V ( q/ r ,0) ? ?? k =1 ? 1 ?1 (k ?j )r r ?? ? n n j ? ?? ? V ( ? j ,1) j ?k ? ?(?1) , r( p ? q) ≠ 0, p = ? jr, q = ?kr,1 ≤ j ≠ k ≤ n ? ? ?? ? ? k ? j ?? k ? V ( ?k ,1) ? ?? ? ? ? n ?V ( p / r ,1) 1 n 1 ? ? exp ? , r [(kr + p)(kr + q)] ≠ 0, p = q ∏ ?V ( p / r,0) r ∑ k=1 k + p ? ? k =1 ? ? ? Ep ,q ,r (a) = ? r ? 1 ? ? exp ? V (r p,2) ? ∑ n , r ≠ 0, p = q = ?kr,1 ≤ k ≤ n k =1, k≠? p k + p? ? ?2V ( p,1) ? ? 1/( p? q) ? ? qn V( p,0) ? , ( p ? q ) pq ≠ 0, r = 0 ? ? pn ? V ( q,0) ? ? ? ? ? ? n! V ( p,0) ?1/ p ?? n? , ( p ? q) p ≠ 0, r = q = 0 ? ? p V(0,0) ? ? ? ?exp ? V ( p,1) ? n ? , p = q ≠ 0, r = 0 ? ?V (ln a ,0) p ? ? ? ? ? ( n a )1/(n+1) , r = p =q =0 ? ∏i = 0 i定理 4.3. 若 E p, q, r ( a ) 是广义 Pecaric -Simic 平均, 则11 不等式研究通讯 2003.31 ?? ( p? q) (n ) ? φ ( p , x ) dx ?? ∫E 1 ? , ?? (n ) ? φ ( q , x ) dx 1 ?? ∫E ? ? ( n ) ? φ 2 ( p , x) dx ? ?∫ ? ? exp ? E ( n) ?, ? φ ( p , x ) dx ? 1 ? ? ? ∫E ? 1 ? ( p? q) ? ? φ ( n) ( p ,0; x )dx ? E p, q, r ( a ) = ? ? ∫E 1 ? , ? ? ∫ φ1( n) (q ,0; x )dx ? ? ?? E ( n) ? φ 2 ( p,0; x) dx ? ? ?∫ ? ? exp ? E ?, ( n) ? φ ( p , 0 ; x ) dx ? ? ? ∫E 1 ? ? ( n ) ? ? ? ? ∫ φ 2 (0,0; x) dx ? ? exp ? E ( n) ?, φ ( 0 , 0 ; x ) dx ? ? ? ? ∫E 1 ? ?n i =1r( p ? q) ≠ 0 r ≠ 0, p = q(4.3)r = 0, p ≠ q r = 0, p = q ≠ 0 r= p=q=0n这里 E = {( x1 , x 2 , L, x n )r r x = a0 +∑n i =1 (ai r 0 i∑ ? a ) x =∑xi ≤ 1, xi ≥ 0, i = 1,2,L , n} , x 0 = 1 ? ∑ i =1 xi ,n i =0air xi , 且 ?1( n) ( p, x) = x p / r , ?(2n) ( p, x ) = x p/ r ln x .如第 2 节一样, 我们可以类似地讨论广义 Pecaric-Simic 平均. 显然, 前面我们研究的各种 平均都是广义 Pecaric-Simic 平均的特殊情形. 最后, 提出一则猜想供读者思考: 猜想 : E p, q ( a) 和 E p, q, r ( a ) 都是 a i ∈ R+ (0 ≤ i ≤ n) 单调递增函数.参考文献[1] B.C.Carlson, Algorithms involving arithmetic and geometric means, Amer. Math. Mothly, 78(1971), 496-505. [2] Zhi-hua Zhang, There Classes of Now Mean in n + 1 Virables and Their Applications, Journal of Hunan Educational Instute,1997,Vol.15, No.5(Chinese).[3] Zhen-gang Xiao and Zhi-hua Zhang, The inequalities G ≤ L ≤ I ≤ A in n variables, J .Ineq. pure. And Appl. ,Math. , 6(2),2003. [4] K.B.Stolorsky, Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine 48(1975), 87-92. 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[24] J.Pecaric and V.Simic, Stolarsky-tobey mean in n Variables, MIA, );325-341.建立不等式的递推降维方法（Ⅰ） 文家金 成都大学数学与计算机科学系，６１０１０６ 成都 在建立不等式的众多方法中， 我们将提到的递推降维法是用来处理一些难度较大的多元 解析不等式的证明以及建立优化的解析不等式． 本文将通过著名的与新建的不等式来阐明这 种方法的基本思想． 降维思想在对于几何不等式作机器证明时由著名数学家杨路提出过， 并经过前后不断的 改进与发展． 例如， 他最近在 ［１］ 中展示了＂不等式机器证明的降维算法与通用程序＂． 然 而，使用机器证明时要限制不等式中变量的个数为已知数，且在不等式中不涉及参数．这给 我们建立不等式带来了难以克服的困难． 本文提出的降维法就不再受这些方面的限制， 并且 有时还可获得一些最优化的结果．值得注意的是，这种降维思想自杨路提出以来，先后引起 了许多人的兴趣并将它发扬光大， 其中值得一提的有杨路及其学生， 如李广兴、 陈计、 王振、 文家金等人．在国内外还有对于不等式有深邃研究的王中烈与胡克两位教授．要者，胡不仅 对于基础不等式作了改建，且使之在函数论方面找到了多种应用． 所谓降维法是指把 n (n ≥ 2 ) 元解析不等式的证明问题转化为 k (1 ≤ k ≤ n ? 1) 元解析不等 式的证明问题， 在一定的条件下尚可转化为一元解析不等式的证明问题， 从而利用成熟的分 析工具来处理．所谓转化，当然是指后者与前者等价．因而用此法处理不等式问题具有相当 的先进性，且所获得的结果亦经常具有最优性． 对于不等式进行降维转化的手段是多种多样的， 显然将视具体情况而要灵活决策． 下面 根据作者对于递推降维法所掌握的资料并结合近年的研究作一些简要介绍． 具体分为下列几 节： （ⅰ） n 元降为 n－1 元； （ⅱ） n 元降为２元； （ⅲ） n 元降为１元； （ⅳ）李广兴型的降 维法； （ⅴ）构造函数因子法． 我们用过和将用到的符号有：n x = (x1,L, x n )∈ ?n , ? n x x1 & 0, L , x n & 0}； + = {x x1 ≥ 0 , L , x n ≥ 0}， ? + + = {设 F ( x ) 是定义在集合 E 上的 n 元函数．我们将介绍证明不等式13 不等式研究通讯 2003.3 F ( x ) ≥ 0, 的一些降维法手段． §１．n 元降为 n－ 1 元x ∈ E （１）任意固定 x1 , L , x n ?1 ，使得 x ∈ E ．当 x n 变动时，如果当且仅当 xn = f ( x1 ,L , x n?1 ) 时，F ( x ) 取得最小值，则显然不等式（１）与下面的不等式 F ( x1 ,L , x n?1 , f (x1 , L x n ?1 )) ≥ 0,( x1 ,L, x n?1 , f (x1 , L, x n?1 )) ∈ E （２）等价．于是，证明不等式（１）的问题即转化为证明不等式（２）的问题． 我们最感兴趣的是几何平均－算术平均不等式，并将在定理１、定理 1* 、定理 1** 与定 理 1*** 使用不同的降维思路来证明它．为了方便，我们把这个不等式写成如下（３）的形式： 定理１ ．设 x = (x1 ,L, x n )∈ ?n + + , (n ≥ 2 ) ，则有n n x1n + x 2 + L + xn ≥ nx1 x 2 L x n ． （３） n n 证 ．令 F ( x ) := x1n + x 2 + L + xn ? nx1 x 2 L x n , ( x ∈ ? n ++ ) ．任意固定 x1 , L , x n ?1 ．由偏 n ?1 导数 ?F ? x n = n x n ? x1 x 2 L x n?1 知，当且仅当 x n = (x1 x 2 L x n?1 )1 (n ?1) 时 F ( x ) 取得最小()值．将 x n = (x1 x 2 L x n?1 )1 (n ?1) 代入（３）可知， （３）等价于下面的n (n ?1 ) n n x1n + x 2 + L + xn . （４） ?1 ≥ (n ? 1)(x1 x 2 L x n ?1 )（Ａ）当 n = 2 时（３）显然成立． （Ｂ）假设n ?1 n ?1 x1n ?1 + x2 + L + xn ?1 ≥ (n ? 1)(x1 x2 L xn ?1 ) （５）n ( n ?1) 已经证明，则在（５）中以 x k 代 x k (k = 1, 2, L n ) 可以得到（４） ，从而（３）成立．证明完毕． §２ ．n 元降为２元 如果存在二元函数 G(u , v ) 及 n － １元函数 f ( x1 , x 2 , L , x n?1 ) 使得对于任何的 x ∈ E 有 F ( x) ≥ G ( f , x n ) ， （６） 且（６）能取等号，则不等式（１）等价于 G ( f , x n ) ≥ 0, ？ 由（6）知， （7）强于（1） ！?x ∈ E ． （７）定理１ ＊ ．设 x = (x1 ,L, x n )∈ ?n + + , (n ≥ 2 ) ，则有不等式（３）成立． 证 ．假设（５）成立，则（４）成立．于是n n x1n + x 2 + L + xn ? nx1 x 2 L x n14 不等式研究通讯 2003.3n ≥ (n ? 1)(x1 x 2 L x n?1 )n (n?1) + x n ? nx1 x 2 L x n= G ( f , x n ) ， （８）这 里 G(u , v ) = (n ? 1)u n + v n ? nu n?1v, Bernoulli 不等式得到f = ( x1 x 2 L x n?1 )1 ( n?1) ． 因 为 ?u & 0, v & 0 ， 故 从v ? ? ?v ? ?1 + ? 1? ≥ 1 + n ? ? 1 ? ， u ? ? ?u ?即 G (u , v ) ≥ 0 ，所以由（８）可知（３）成立．证毕． 定理２ （Maclaurin 不等式） ．设 x = (x1 ,L, x n )∈ ?n + + , (n ≥ 2 ) ，则有如下不等式n? E ( x) ? ? nn ? ? n ? ? ?1 n()? E ( x )? ≤ L ≤ ? kn ? ? k ? ? ?1 k()? E (x ) ? ≤ L ≤ ? 2n ? ? 2 ?1 2()≤E1 (x )()n 1， （９）这里( ) = n! r!(n ? r )!， En rk( x ) 是关于 x 的 k 阶初等对称函数，即E k ( x) =证 ．只需证明1≤ i1 &L&i k ≤n j =1∑ ∏x1kij．? E ( x )? ? kn ? ? k ? ? ?1 k()? E 1 (x ) ? ≥ ? k +n ? ? k +1 ? ? ?(k +1)( ), (1 ≤ k ≤ n ? 1) ． （１０）为了方便，记? E (x , L , x )? σ k = ? k 1 n?1 n?1 ? ? ? k ? ?1 k( ),(1 ≤ k ≤ n ? 1) ，还定义 σ 0 = max {x1 ,L , x n ?1 }, σ n = 0 ，则E k (x ) = x n E k ?1 (x1 , L , x n?1 ) + E k (x 1 ,L , x n?1 )= xn = 令n k( )σn?1 k ?1k ?1 k ?1+( )σn ?1 kk kk ( )? ? xσ ?nnk ?1 k ?1? k? ? + ? 1 ? ?σ kk ?, ? n? ?(1 ≤ k ≤ n ) ．?k ? k ? k? k ?1 F ( x ) := = ? xnσ k ?σ k ? ?1 + ?1 ? ? n? ? ?n则（１０）等价于( k +1) k?k + 1 ? k + 1 ? k +1 ? k ?? xnσ k + ?1 ? ?σ k +1 ? ， （１１） n ? ? ? n ?15 不等式研究通讯 2003.3F ( x ) ≥ 0,(x ∈ ?n ++ , k= 1,2,L, n ? 1 ． （１２） )（Ａ）当 n = 2 时（１０）显然成立． （Ｂ）假定以 n ? 1 代替（１０）中的 n 时（１０）成立，则有 σ k ?1 ≥ σ k ≥ σ k +1 ,(1 ≤ k ≤ n ? 1) ． （１３）首先，据（１３）结合（１１） ，然后用指数为 α = (k + 1) k & 1 时的 Bernoulli 不等式[3][4]， 得到?k ? k? k? k ?1 F ( x ) ≥ ? x nσ k + ?1 ? ?σ k ? ? n? ? ?n(k +1)k?k + 1 ? k + 1 ? k +1 ? k ?? xnσ k + ?1 ? ?σ k ? n ? ? ? n ?k= (σ k )k +1 ??( k +1) ? ?? k ? xn ? 1? ??1 + ? ?? n? σk ? ? ?? ? ? ? ?? k + 1 ? xn ??? ? ??? ? ?1 + ? 1 ?σ ? ? n ? ? n ?? ? ?? ?≥0 ． 故（１２）成立，从而（１０）成立．证毕． 注解１ ．使用上述方法，我们已成功地将 Maclaurin 不等式推广为两个向量的情形，其 漂亮的形式不仅类似于 Maclaurin 不等式，亦类似于［２］的结果．要者，尚有各种应用．§３ ． n 元降为１元设 F ( x ) 是区域 E 上的 n 元可微对称函数；而 E = x G ( x ) = 0, x ∈ ? n + + , 这儿 G ( x) 也 是 x 的对称函数．如果能借助于某优化原理如 Lagrange 乘数法证明 F ( x ) 在区域 E 上的駐点{}(x 1 ,L , x n ) 的分量中有 n －１个相等， 而当 x 为 E 的边界点时容易证明 （１） 成立， 那么 （１）等价于 F (u , v, L, v ) ≥ 0 ， （１４） 这儿 u , v 受约束于条件 G (u , v ,L , v ) = 0 ,(u & 0, v & 0) ． （１５）倘若由（１５）可以解得 u = u (v ) ，则（１４）等价于一个涉及一元的不等式，即 F (u (v ), v ,L, v ) ≥ 0 ， （１６） 其中 v 属于某区间 I ． 注解２ ．有关用这种方法处理不等式的问题还可参考文献［５－１２］ ．值得一提的是， 文［１１］中建立了如下有用的结果： 定理３ ．设 Fn (X n ), G n ( X n ) 分别为 ? n + + 上的 r 次， s 次可微的齐次对称函数，这儿的n ≥ 2 , s ≠ 0 , X n = ( x1 , x 2 , L , x n ) ，记区域n D n = X n G n (X n ) = G n (I n ), X n ∈ ? n + + , I n = (1,1, L ,1)∈ ? + + ．{}假设下面的： （Ⅰ）若 X n 为 Fn (X n ) 在 D n 上的駐点，则在 x1 , x 2 ,L , x n 中必有 n ? 1 个相等；16 不等式研究通讯 2003.3（Ⅱ）若 X n = (u , u ,L, u , v ) ∈ D n ，则 Fn (X n ) ≥ (≤)Fn (I n ) ， （１７） 等号当且仅当 X n = I n 时取； （Ⅲ）若 n ≥ 3 ， X n 为 D n 的边界点，则必存在某 x j = 0 （或 + ∞ ） ； （Ⅳ）若 n ≥ 3 ， x n = 0 （或 + ∞ ） ，则0 & cn =Fn (I n ?1 , xn ) & +∞ ， Fn ?1 (I n?1 )1 s? G (I ) ? 0 & ωn = ? n n ? ? Gn?1 (I n?1 ) ?& +∞ ，Fn ( X n ) ≥ (≤ )c n ? Fn?1 ( X n?1 ) ，G n ( X n ) = G n?1 (X n?1 ) ．那么对于一切的 X n ∈ D n 不等式（１７）成立，且等号当且仅当 X n = I n 时取． 利用定理３，文献［１１］处理了一个不等式的优化问题： 定理４ ．设 X n ∈ ? n + + ， r ∈ N , 2 ≤ r ≤ n ，则使不等式? n ? r ? ? ? xi ? ≤ n ? λ ? i=1 ?∑r(( ))[Mn r2( X n )] r + λE r ( X n ) （１８）成立的实数 λ 的最大值是λ (n, r ) =其中 M 2 ( X n ) = n ?1 ?n r 1 ? n ?1n r( )(1 ? n )n r()r 2? (n ? 1)r ??1 r 2( )n ?1 r，(∑nx2 i =1 i)1 2，而 Er ( X n ) 和( ) 分别是由定理 2 定义的 r 阶初等对称函数与组合数．此外，文献［１１］还给出了不等式（１８）的几何意义． 下面我们利用这种方法来证明文献［１2］中的猜想２，以便从多种角度来展示建立不 等式的有效方法与有趣技巧． 定义 ．设 x , p ∈ ? n + + (n ≥ 2 ) ，实数 r ≥ 2 ，我们称17 不等式研究通讯 2003.3? 2 A x r , p ? A r (x , p ) ? , 2 & r & +∞ , 诸x k 不全等, ? 2 2 ? r(r ? 1) A x , p ? A (x, p ) ? ? A x 2 ln x , p ? A 2 (x , p )ln A(x , p ) 3 ? Dr ( x , p) := ?exp ? ? ?, r = 2, 诸x k 不全等, 2? A x 2 , p ? A 2 (x , p ) ? ? ? max{x1 , x 2 , L, x n }, r = +∞, 诸x k 不全等, ? 诸x k 全等 ? x1 ,(( (()) ))为对于 n 个正实数 x1 , L , x n 权系数为 p 的 r 阶方差平均，在无混淆时简称方差平均．当r r r p = (1,1,L ,1) 时记为 D r (x ):= Dr (x , p ) ，这儿 x r = x 1 ,L, x n , x r ln x = x1r ln x1 ,L , x n ln x n ，()()A( x, p ) =(∑np x k =1 k k) (∑n k =1pk ．)定理 5．设 x , p ∈ ? n + + , n ≥ 2 , 实数 r & 2 ，则有不等式 Dr ( x, p ) ≥ (2 r )1 (r ? 2) A(x , p ) ， （１９） 这儿的系数 (2 r )1 ( r? 2) 是最佳的． 下面将用到记号：? n = x x ∈ ?n + + , x1 + x2 + L + x n = n , Γn ( x ) = n ?1 ?{∑nxr k =1 k? 1 ? (r ? 1) n ?1 ?(}∑nx2 k =1 k?1 .) 引理１ ．设实数 r & 2 ．若 x 是 Γn ( x) 在区域 ? n 上的駐点，则 x 的 n 个分量中必有n ? 1 个相等．证 ．作 Lagrange 函数： L = Γn ( x ) + λ ( x1 + x 2 + L + xn ? n ) ，令其诸偏导数为零，有r r?1 2 x j ? (r ? 1) x j + λ = 0 , n n记 f (t ) =j = 1,2,L , n ．r r?1 2 t ? ( r ? 1)t + λ , (t & 0 ) ，则对于 Γn ( x) 在 ? n 内的駐点 x = (x1 , x 2 ,L , x n ) 有 n n f ( x1 ) = f (x 2 ) = L = f (x n ) = 0 ． （２０） 因为 r & 2 ， f & (t ) = n ?1 r(r ? 1)(r ? 2)t r ?3 & 0 , (?t & 0 ), 故 f (t ) 在 (0 , + ∞ ) 上为严格凸，从而 由（２０）与 x k ∈ (0 , + ∞ ) , ( k = 1, 2,L , n ) 知道， x 的 n 个分量中必有 n ? 1 个相等．证毕． 引理 2．设正实数 r & 2 ， x = (u , v, L , v )∈ ? n (n ≥ 2 ) ，则有 Γn ( x) ≥ 0 ， （２１） 等号当且仅当 x1 = x 2 = L = x n = 1 ，即 u = v = 1 时取．18 不等式研究通讯 2003.3证 ．由 x ∈ ? n 即 u + ( n ? 1)v = n 知 v =n?u , n ?1(0 & u & n ) ． （２２）从 x = (u , v ,L, v )∈ ? n 与（２２） ，代入 Γn ( x) 化简后，得到 Γn ( x) =1? r ?n?u ? ?u + (n ? 1)? ? n? ? n ?1 ? ?r? r ?1 (u ? 1)2 ． （２３） ? ?1 ? n ?1 ? ?记（２３）右边的表达式为 h(u ) ，即 h(u ) : =r 1? r r ?1 ?n?u ? ? (u ? 1)2 ． （２４） ?u + (n ? 1)? ? ? ?1 ? n? n ? 1 n ? 1 ? ? ? ? ?则（２１）等价于：对于 ?u ∈ (0, n ) 有 h(u ) ≥ h (1) = 0 ． （２５） 情形一：当 0 & u & 1 ． 记 1 (n ? 1) = a ，则 n = 1 + a ?1 , 0 & a ≤ 1 ．于是 （２５） ?a ? r 1 r? u + (1 + a (1 ? u )) ? ? 1 ? ( r ? 1) a(u ? 1) 2 ≥ 0 ? ? a +1? a ? g (a ) ≥ 0 ． （２６） 这里的 g (a ) := au r + [1 + a (1 ? u )]r ? ( a + 1) ? (r ? 1)(a 2 + a )(u ? 1) 2 ．不难求得其导数为 g ' (a ) = u r + r(1 ? u )[1 + a (1 ? u )]r?1 ? 1 ? ( r ? 1)(2 a + 1)(u ? 1) 2 ， （２７）g & (a ) = r( r ? 1)(1 ? u ) 2 [1 + a (1 ? u )]r ?2 ? 2 (r ? 1)(u ? 1) 2 = (r ? 1)(1 ? u ) 2 r [1 + a (1 ? u )]r ? 2 ? 2{}≥ ( r ? 1)(1 ? u ) 2 (r ? 2 ) & 0 ． （２８）由（２８）知，导数 g ' (a ) 在 (0 , 1] 上为递增，且从（２７）与 0 & a ≤ 1 得 g ' (a ) & g ' (0) = u r ? 1 + r (1 ? u ) ? (r ? 1)(u ? 1) 2 ． （２９） 记（２９）的右边为 g 1 (u ) ，即 g 1 (u ) = u r ? 1 + r (1 ? u ) ? (r ? 1)(u ? 1) 2 ． （３０） 由此，得到它的导数为 g1' (u ) = ru r ?1 ? r ? 2(r ? 1)(u ? 1) ， （３１） 19 不等式研究通讯 2003.3& g1 (u ) = r (r ? 1)u r ? 2 ? 2(r ? 1) r ?2 = r(r ? 1) u r? 2 ? u 0 ， （３２）()其中 u 0 = (2 r )1 增．注意到( r ?2 )．由（３２）及 r ? 2 & 0 知 g1' (u ) 在 (0 , u 0 ] 上严格减；在 [u 0 ,1) 上严格' g 1' (u 0 ) & g 1 (1) = 0 , g 1' (0 ) = r ? 2 & 0 , g 1' (1) = 0 ，则由 g1' (u ) 在 (0, 1) 的连续性可知， 存在唯一的 u1 ∈ (0, u 0 ) 使得 g 1' (u1 ) = 0 ． 于是， 当 0 & u & u1 时，g1' (u ) ＞０； 当 u1 ≤ u & 1 时，g1' (u ) ≤ 0 ． 从此，g1 (u ) 在 (0, u1 ] 严格增； 在 [u1 ,1) 严格减． 因 此 ， g1 (u ) 在 (0, 1) 上 的 下 确 界 必 在 u = 0 或 u = 1 处达到 ． 今 g1 (0 ) = g1 (1) = 0 ， 故 对 于?u ∈ (0, 1) 有 g1 (u ) & 0 ．由此从（２９）得到 g ' (a ) & g ' (0) = g 1 (u ) & 0 ． （３３） 据（３3）知， g (a ) 在 (0,1] 严格增．由 0 & a ≤ 1 ，得到 g (a ) & g (0 ) = 0 ． （３４） 由（３４）推出（２６）成立，从而（２５）成立． 情形二：当 1 ≤ u & n ． 由（２４）知道 h ' (u ) =r ? r?1 ? n ? u ? ?u ? ? ? n? ? n ?1 ? ?r ?1? 2 (r ? 1) (u ? 1) ， （３５） ?? n ? 1 ? ?r ?2h ' ' (u ) =r (r ? 1) ? r ?2 1 ? n ?u ? ?u + ? ? n ? n ?1 ? n ?1 ? ?? 2( r ? 1) ， （３６） ?? n ?1 ? ?r? 3h ' ' ' (u ) =r( r ? 1)(r ? 2) ? r ?3 1 ?n?u? ?u ? ? ? n (n ? 1) 2 ? n ? 1 ? ? ?? ? ． （３７） ? ?当 r ≥ 3 时，从（３７）知 h' ' ' (u ) 关于 u 递增，且 h' ' ' (u ) ≥ h' ' ' (1) =r (r ? 1)(r ? 2) ? 1 ? ≥ 0 ． （３８） ?1 ? 2 ? n ? (n ? 1) ?由（３８）知， h ' '(u ) 关于 u 在 [ 1, n ) 递增，且h ' ' (u ) ≥ h ' ' (1) =r (r ? 1) ? 1 ? 2 (r ? 1) ?1 + ?? n ? n ?1? n ?120 不等式研究通讯 2003.3 =r ?1 (r ? 2 ) & 0 ． （３９） n ?1由（３９）知 h' (u ) 关于 u 在 [ 1, n ) 递增，且 h ' (u ) ≥ h' (1) = 0 ． （４０） 由（４０）知 h(u ) 关于 u 在 [ 1, n ) 递增，且 h (u ) ≥ h (1) = 0 ． （４１） 由（４１）可知（２５）成立． 当 2 & r & 3 时，由（３７）知道 h' ' ' (u ) 关于 u 递减，且h ' ' ' (1) =r (r ? 1)(r ? 2 ) ? 1 ? ≥ 0 , lim h' ' ' (u ) = ?∞ ， ?1 ? 2 ? u →n n ? ( n ? 1) ?故存在唯一的 u 2 ∈ [ 1, n ) 使得 h' ' ' (u 2 ) = 0 ．当 1 ≤ u ≤ u 2 时， h' ' ' (u ) ≥ 0 ；当 u 2 & u & n 时，h' ' ' (u ) & 0 ． 据此，h ' '(u ) 在 [1, u 2 ] 递增； 在 [u 2 , n ) 严格减． 故 h ' '(u ) 的下确界必在 u = 1 或 n 处达到．注意到 h ' ' (1) =r ?1 (r ? 2 ) & 0 ． （４２） n ?1因之，如果 h' '( n) ≥ 0 ，那么对于 ?u ∈ [ 1, n ) 有 h' '(u ) & 0 ．此时可用类似于 r ≥ 3 情形的论证 证明（４１）成立，亦即（２５）成立． 下设 h' '( n) & 0 ：由于 h ' ' (u 2 ) ≥ h' ' (1) & 0 ， h' '( n) & 0 ， h ' '(u ) 在 [u 2 , n ) 严格减，则存在唯 一的 u 3 ∈ [u 2 , n ) 使得 h ' ' (u 3 ) = 0 ． 当 1 ≤ u ≤ u 3 时 h ' ' (u ) ≥ 0 ； 当 u 3 & u & n 时 h ' ' (u ) & 0 ． 据此， 知道 h' (u ) 在 [ 1, u 3 ]递增；在 (u 3 , n ) 严格减．故 h' (u ) 的下确界必在 u = 1 或 n 处达到．今h ' (1) = 0, h' (n ) = r n r ?2 ? 2(r ? 1) ≥ r ? 2 r ? 2 ? 2(r ? 1) ．为了证明 h ' (u ) ≥ 0 , ?u ∈ [1, n ) ， （４３） 只要证明 r ? 2 r ? 2 ? 2(r ? 1) & 0 ，即只要证明函数 φ (r ) := 2 r ?2 ? 2 + 2 r & 0 ． （４４）由于 φ '(r ) = 2 r ?2 ln 2 ? 2 r 2 关于 r 递增，且 r & 2 时有φ ' (r ) & φ ' (2 ) = ln 2 ?1 1 4 = ln & 0 ， 2 2 e21 不等式研究通讯 2003.3可见 φ (r ) 关于 r 递增，所以 φ (r ) & φ (2 ) = 0 ．换言之， （４４）成立，从而（４３）成立． 由（４３）知道，h (u ) 在 [ 1, n ) 上为严格增，且（４１）即 h (u ) ≥ h (1) = 0 成立，从而（２ ５）也成立．综上所述，不仅已证（２５）成立，且取等号的条件是 u = 1 ．引理 2 证毕． 定理 5 的证明 ：从文［１２］定理１的论证过程及 A(x , p ) ≡ A(x , Np )(?N & 0 ) 知道，可 以假定 p = (1,1,L,1) ∈ ? n + + ．于是（１９）等价于 Dr ( x ) ≥ (2 r )1(r ? 2 )A( x ) ． （４５）当诸 x k 全相等时， （４５）显然成立．下设诸 x k 不全相等．由于 r & 2 ， （４５）的两端 均为 x 的一次齐次对称函数，所以不妨设 x ∈ ? n ．于是（４５）等价于（２１） ． 下面我们对于 n 施行归纳证明，当 x ∈ ? n 时（２１）成立如下： （Ａ）当 n = 2 时由引理２知（２１）成立． （Ｂ）假设以 n ? 1 (n ≥ 3) 代替 n 时（２１）成立，往证（２１）成立． 由于 Γn ( x ) 在 ? n 上连续可微， 所以由最优值定理知道： 只需证明当 x 为 Γn ( x ) 的駐点及x 为 ? n 的边界点时（21）成立．先设 x 为 Γn ( x ) 在 ? n 上的駐点．由引理１知 x 的 n 个分量中必有 n ? 1 个相等．因为Γn ( x ) 是对称凸集 ? n 上的对称函数，所以无妨设 x = (u , v, L , v )∈ ? n ．由引理 2 知， （２１）成立． 次设 x 为 ? n 的边界点．从 ? n 的定义知，在 x1 , x 2 ,L , x n 中必有一个为０．由对称性， 无妨设 x n = 0 ．那么 x1 + x 2 + L + x n?1 = n ． （４６） 记 y = ( y1 , y 2 ,L , y n?1 ), y k = (n ? 1) x k n , k = 1, 2, L , n ? 1 ． 则 y ∈ ? n?1 或 y 为 ? n?1 的 边 界 点．当 y ∈ ? n?1 时，由归纳假设有Γn?1( y ) = A y r ?1 ? (r ?1) A( y 2 ) ? 1 ≥ 0 ，即 A y r ≥ 1 + (r ? 1) A( y 2 ) ? 1 ． （４７）( )()( )()22 不等式研究通讯 2003.3由于（４７）的两端是对称凸集 ? n?1 上的连续函数，所以当 y 为 ? n?1 的边界点时（４７） 仍成立．于是，从（４７）得到Γn ( x ) =1 n 1 n∑?1 r xk ? 1 ? (r ? 1)? ?n k =1 ?n ?1∑xk =1n ?12 k? ? 1? ? ?=∑r ?1 ? n ? y ? k ? ? 1 ? (r ? 1)? ? ? k =1 ? n ? 1 ?n n ?1r ?1∑2 ? ? n ? y ? k ? ? 1? ? ? k =1 ? n ? 1 ? n ?1? n ? =? ? ? n ?1 ? ? n ? ≥? ? ? n ?1?? n ? A y r ? 1 ? (r ? 1)? A y 2 ? 1? ?n ?1 ?( )( )r ?1[1 + (r ? 1)(A( y21 ? ? n ) ? 1 ? 1 ? (r ? 1)? A( y 2 ) ? 1 + （用到（47） ） n ? 1? ?n ? 1 ?)]()? n ? =? ? ? n ?1 ?r ?1?? n ? r ?1 ? n ?? r ?1 ?1 ? + (r ? 1)?? ? ?? ?? A( y 2 ) ? 1 ． （４８） n ?1 ? n ? 1 ?? ? ?? n ? 1 ? ?()［４］ 由 r ? 1 & 1 及 Bernoulli 不等式［ ３］ 知? n ? ? ? ? n ?1?r ?1r ?1 ? 1 ? ?1? = ?1 + ? n ?1 ? n ?1?r ?1?1?r ?1 &0． （４９） n ?1由 r ? 1 & 1 及 n (n ? 1) & 1 ，得?? n ? r?1 ? n ?? (r ? 1)?? ? ?? ?? & 0 ． ? n ? 1 ?? ? ?? n ? 1 ? ?由 y ∈ ? n?1 或 y 为 ? n?1 的边界点及幂平均不等式，得（５０） A y 2 ? 1 = A y 2 ? A 2 ( y ) ≥ 0 ． （５１） 从（４８）－（５１）看出 Γn ( x ) & 0 ，即（２１）成立．由数学归纳原理已证（２１）成 立，从而（１９）也成立． 最后，证明系数 (2 r )1( r ? 2)( )( )的最佳性如下：若有正常数 C r 使得 D r (x , p ) ≥ C r A(x , p ) （５２） 成立，今在（５２）中令 p = (1,1,L ,1), x1 = 0 , x 2 = L = x n = 1 时也成立．然而，此时（５２） 化为? 2 1 ? ((n ? 1) n )r ?1 ? ? ? ? ? ? r (r ? 1) 1 ? (( n ? 1) n ) ? ?1 ( r? 2)≥ Cr ?n ?1 ． （５３） n23 不等式研究通讯 2003.3在（５３）中令 n → +∞ 得 C r ≤ (2 r )1( r? 2)．这就证明了系数 (2 r )1( r ?2 )的最佳性．§４．李广兴方法 陈计先生在［１３］中利用李广兴方法证明了下述的 定理６ ．设 x ∈ ? n + ( n ≥ 2 ), r & 0 ，则当且仅当 r ≥ n (n ? 1) 时有不等式? n ? ? xk ? k =1∑? ? ≥ ? ?r∑k =1nr xk? n + n ?n? xk ? ? k =1(r)∏? ? ? ?r n． （５４）等号当且仅当 x1 = x 2 = L = x n 时取． 李广兴方法的要点：设 F ( x ) 是对称函数，且当 x1 = x 2 = L = x n 是有 F ( x ) = 0 ，而该函 数的定义集为 E = ?n + + ．此外，不失一般可设 x1 ≥ x 2 ≥ L ≥ xn & 0 ，且记Fk ( x ) := F ( x k , x k , L , x k , x k +1 , x k + 2 ,L , x n ) ．若能证明 Fk ( x ) ≥ Fk +1 ( x ) (k = 1, 2,L , n ? 1) ，则有F ( x ) = F1 ( x ) ≥ F2 ( x ) ≥ L ≥ Fn ( x) = 0 ．从而F ( x) ≥ 0 ,(?x ∈ ? )．n ++ 下面改用李广兴方法，研究遇到过的命题（即定理１与１＊） ： 定理１ ＊＊ ．设 x ∈ ? n ++ (n ≥ 2 ), 证明不等式（３）成立． 证 ．选取 F ( x) :=∑nxn k =1 k?n∏nx k =1 k．于是Fk ( x ) = F (x k , x k ,L , x k , x k +1 , xk +2 ,L, x n )n n n k = k xk + xk +1 + L + x n ? n x k x k +1 x k + 2 L x n ．无妨设 x1 ≥ x 2 ≥ L ≥ xn & 0 ．因为?Fk n ?1 k ?1 = k n xk ? xk xk +1 L xn ?x k())k ?1 n? k = k n x k xk ? x k +1 x k + 2 L x n(k ?1 n ?k ≥ k n xk x k ? xk xk L xk()= 0,所以， Fk ( x ) = F (x k , x k ,L , x k , x k +1 , xk +2 ,L, x n ) 关于 x k 递增．于是，从 x k ≥ x k +1 得24 不等式研究通讯 2003.3Fk ( x ) = F (x k , x k ,L , x k , x k +1 , xk +2 ,L, x n ) ≥ F (xk +1,L , x k +1, x k +1 , xk +2 ,L, x n ) = Fk +1 (x ),(k = 1, 2 ,L, n ? 1) ．换言之F ( x ) = F1 ( x ) ≥ F2 ( x ) ≥ L ≥ Fn ( x ) = F ( x n , x n ,L , x n ) = 0 ，即 F ( x ) ≥ 0 ，也即（3）成立．证毕． 总结 ．至此，我们只介绍了证明不等式（１）的五种降维手段的第一部分．今后将介绍 其第二部分．由于不等式（１）的内涵十分广泛，所以在证明（１）时要根据具体问题选择 哪种手段较为可行或方便．应当指出，和其它数学问题一样，证明不等式的任何方法都不是 万能的．基于这点，当仅仅使用我们介绍的递推降维手段有困难时，应当放弃降维方法或结 合其他方法使用． 跋语 由于本文的原稿写好后是由焦作工学院祁锋教授和我校同事张日新、 王挽澜、 罗 钊、 张勇等修改与编辑， 故前后可能会产生一些提法不一或错误处， 敬请同行更正与建议． 此 外，本文有些结果迄今尚未正式发表，所以亦有望于读者不要轻意引用． 参考资料 ［１］ 杨路．不等式机器证明的降维算法与通用程序．高技术通讯，１９９８， （７） ：２ ０－２５． ［２］ 王挽澜，王鹏飞．对称函数的一类不等式．数学学报，１９８４，２７（４） ：４８ ５－４９７． ［３］ 徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲（修订版） ．北京：高等教育出版社， １９８４：１７１． ［４］ 文家金，张日新．关于 Hardy 不等式的加强改进．数学的认识与实践．２００２， ３２（３） ：４７６－４８２． ［５］ 石焕南，文家金，周步骏．关于幂平均值的一个不等式．数学的认识与实践．２０ ０１，３１（２） ：２２７－２３０． ［６］ 罗钊，文家金，石焕南．含 k– Brocard 点的一类几何不等式．四川大学学报（自然 科学版） ，２００２，３９（６） ：９７１－９７６． ［７］ 文家金，赖立，罗钊．对称平均对幂平均的分隔及其应用．西南民族学院（自然科 学版） ，２０００，２６（３） ：２４４－２５０． ［８］ 张日新，陈宴祥，文家金．含Ｔ平均的不等式及其应用．成都大学学报（自然科学 版） ，２００２，２１（４） ：１－７． ［９］ 文家金，石焕南．Maclaurin 不等式的最优化加强．成都大学学报（自然科学版） ， ２０００，１９（３） ：１－８． ［１０］ 文家金， 杨荣先． Ramler– Stotican 不等式的单形推广． 内江师专学报 （自然科学版） ， １９９９，１４（２） ：４－８． ［１１］罗钊，赖立，文家金．对称函数的全局优化的降维算法．成都大学学报（自然科学 报） ，２００２，２１（１） ：５－１１． ［１２］文家金，张日新，张勇．涉及方差平均的不等式及其应用．四川大学学报（自然科 学版） ，２００３， （待发表）25 不等式研究通讯 2003.3［１３］陈计，王振．一个分析不等式的证明．宁波大学学报（理工版） ，１９９２， （２） ： １２－１４． ［１４］匡继昌．常用不等式（第二版） ．长沙：湖南教育出版社，１９９３． ［１５］文家金，萧昌建，张日新．一类齐次对称多项式上的 Ceby? ev 不等式．数学杂志， （待发表） ［１６］谢应泰，文家金．可微凸函数的又一特征．数学通报，１９９３， （８） ： ［１７］Chung-Lie Wang. Inequalities of the Rado-Popovicica type for functions and their applications. J.Math.Anal.Appl.: 436-446. ［１８］罗钊，文家金，杨荣先． Rado-Popovicica 不等式的双函数推广及其应用．内江师 专学报（自然科学版） ，１９９９，１４（４） ：９－１４． ［１９］Ｗen Jiajin, Wang Wan-lan. On some refinements of the Jensen inequality. J. of Chengdu Univ. (Nat.Sci.), );1-4. ［２０］唐兴莉，文家金．加细 Jensen 不等式的一些进展．西南民族学院（自然科学版） ， ２００３，２９（１） ：２０－２６． ［２１］王挽澜，吴昌久．Ky Fan 不等式之推广．成都科技大学学报，１９８０， （１） ： ５－１２． ［２２］Alzer H. The inequality of Ky Fan and related results. Acta Appl. Math., ): 305-354. ［２３］ Ku H.-t., Ku M.-c. & Zhang X.-m., Generalized power means and interpolating inequalities, Proc. of Amer. Math. 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(b ? a) f (a+ b b a +b ) = ? ∫ 2 ( x ? a ) f ' ( x) dx ? ∫a +b ( x ? b ) f ' ( x ) dx （3） a 2 21 2 乘（2）式再与 乘（3）式相加有 3 3 b b?a a+b ∫a f ( x) dx ? 6 [ f ( a) + 4 f ( 2 ) + f (b)]=?∫a+ b 2 a(x ?b 5a + b a + 5b ) f ' ( x) dx ? ∫a +b ( x ? ) f ' ( x )dx. 6 6 2于是 —∫baf ( x) dx ?b?a a+b [ f ( a) + 4 f ( ) + f (b)] — 6 2b 5a + b a + 5b — dx + ∫a+ b — x ? — dx ) 6 6 2a +b a+ 5b=M(∫∫a+ b 2 a—x ?=M(5 a+ b 6a5a + b 5a + b a + 5b ( ? x ) dx + ∫5a2+ b ( x ? ) dx + ∫a+6 ? x) dx + b ( 6 6 6 6 21∫=ba +5 b 6(x ?a + 5b )dx ) 65 M (b-a) 2 . 36b现在设存在常数 K&0 使得 — 令∫af ( x) dx ?b?a a+b [ f ( a) + 4 f ( ) + f (b)] —=KM (b-a) 2 . 6 2(4)27 不等式研究通讯 2003.3? 5a + b ? 6 ? ?x ? ? f (x) = ? a + 5b ? ? 6 ? x? ? ?则?x 5a + b 6 ?x a + 5b 6, a , , , 5a + b 6 a+b 2 a + 5b 6≤ x& ≤ x& ≤ x&5a + b 6 a+b 2 a + 5b 6, , , .≤ x≤ b5a + b ?? 1 , x ∈ ( a , ? 6 f ' (x ) = ? 5a + b a+b ?1 , x ∈( , ? 6 2显然可以取 M = 1. 这个函数完全符号定理中的条件，且a +b a + 5b , ), 2 6 a + 5b )∪( , b ). 6 )∪(∫baf ( x) dx ?b?a a+b 5 [ f ( a) + 4 f ( ) + f ( b)] = ? (b ? a ) 2 . 6 2 36由（4）式即得5 ( b ? a) 2 ≤ K (b ? a ) 2 . 36 5 5 故 K≥ , 即证明了（1）式中的常数 是最佳的. 36 36证毕.定理 2 （复合 Simpson 求积公式） 设函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续， 在开区间(a, b) 内至多有限个点除外处处具有连续的导数，且存在正数 M 使得— f ' ( x ) — ≤ M. 用一组 分点 a = x 0 &x 1 & … &x n = b 把[a, b]分成 n 个相等的子区间[x i ?1 , x i ], i = 1, … , n. 则 —∫ban ?1 n b?a x + xi f ( x) dx ? [ f ( a) + f ( b) + 2∑ f ( xi ) + 4∑ f ( i?1 )— 6n 2 i =1 i =15M ( b ? a) 2 ≤ , 36n2 其中常数 证 —(5)5 是最佳的. 36由定理 1 可见，对 i = 1, 2,…, n 有∫xixi ?1f ( x ) dx ?x i ? xi?1 x + xi 5 [ f ( x i?1 ) + 4 f ( i ?1 ) + f ( x i )] — ≤ M ( x i ? xi?1 ) 2 . 6 2 36b?a , i = 1, 2 , … , n, 即不难推得（5）式成立. n将此 n 个式子相加，并注意 x i ? xi ?1 = 现在设存在常数 L&0 使得28 不等式研究通讯 2003.3—∫baf ( x) dx ?n ?1 n b?a x + xi [ f ( a) + f ( b) + 2∑ f ( xi ) + 4∑ f ( i?1 )] — 6n 2 i =1 i =1≤令LM (b ? a ) 2 . n 5 xi ?1 + x i 6 x i?1 + xi 2 x i?1 + 5x i 6 xi（6）? 5 xi ?1 + xi ? 6 ? ?x ? ? f (x)= ? ? xi?1 + 5 xi ? 6 ? x? ? ?则?x 5 x i?1 + xi 6 ?x xi?1 + 5 xi 6, , , ,xi ?1 5 xi ?1 + x i 6 x i?1 + xi 2 x i?1 + 5x i 6≤ x& ≤ x& ≤ x& ≤ x≤, ,i = 1, 2,…, n, ,n ? ? 1 , x ∈ ( x i?1 U ? ? i =1 f ' (x ) = ? n ? 1 , x ∈ U ( 5 xi ?1 + xi ? 6 i =1 ?5 xi?1 + x i 6 xi ?1 + xi , 2 ,xi ?1 + x i 2 x i?1 + 5 x i )∪( 6 )∪(, ,xi ?1 + 5 xi 6 xi), ).显然可以取 M == 1. 这个函数完全符号定理中的条件，且∫baf ( x) dx ?n ?1 n b?a x + xi 5(b ? a) 2 [ f ( a ) + f (b) + 2∑ f ( xi ) + 4 ∑ f ( i ?1 )] = ? . 6n 2 36 n i =1 i =1由（6）式即得5 L (b ? a ) 2 ≤ ( b ? a) 2 . 36 n n 5 5 故 L≥ , 即证明了（5）式中的常数 是最佳的. 36 36注 由定理 2 可见，如果应用复合 Simpson 求积公式去近似计算定积分 3 要求其误差不超过预定的正数 ε ，则至少应取 n = [ 整数部分）, 把区间[a, b]分成 n 个相等的子区间.证毕.∫baf ( x ) dx 的值5M (b ? a ) 2 ] + 1（其中[x]代表实数 x 的 36ε[1] [2]参考文献 胡祖炽，计算方法，高等教育出版社，北京，1959. 林成森，数值计算方法（上册） ，科学出版社，北京，2001.29 不等式研究通讯 2003.3On Estimation of Error in the Simpson’ Quadrature Formula Liu Zheng (Institute of Applied Mathematics, Anshan University of Science and Technology, Anshan 114044) Abstract Best estimations of errors in the Simpson’ s quadrature formula as well as in the Simpson’ s composite quadrature formula are given under certain weaker conditions of the integrands. ［作者简介］ 刘证，１９３４ 年 ２ 月生，上海市人。１９５３ 年毕业于东北师范大学数学系，分配到鞍山钢 铁学院从事教育工作，曾任鞍山钢铁学院副院长、教授。作为一名数学教师，刘证教过数学 专业和工科各专业的数学课程 １０ 多门，指导过青年教师和外校研究生进行科学研究，教学 效果显著，被学院授予终身教学质量优秀教师的称号。并先后在《高等教育学报》等刊物发 表论文 １０ 篇，有的被省评为教育科学优秀论文。还积极从事数学基础理论和应用的科学研 究工作，在国内外学术刊物及国际学术会议上发表论文 ４０ 余篇，其中有的被 ＳＣＩ 检索，近 半数已被收入美国的《数学评论》和德国的《数学文摘》 。刘证于 １９８１ 年、１９８２ 年和 １９８９ 年被鞍山市人民政府先后评为精神文明先进个人、劳动模范和优秀科技工作者。１９９２ 年获 国务院颁发的政府特殊津贴。 １９９０ 年、 １９９４ 年和 １９９８ 年连续 ３ 次被收入美国数学会编辑出 版的《世界数学家名录》 。 两个不等式的加强李康海（浙江省永康市第一中学 321300）问题 １ 设 a i , b i ≥ 0（i ＝1，2，…，n ）, n ≥ 3, 且 a 1 ＋b 1 ＝a 2 ＋ b 2 ＝…＝an ＋b n ＝1，S＝b 1 a 2 ＋b 2a 3 ＋ … ＋b n －1 a n ＋b n a 1 。 文[1]、文[2]用构造图形法分别得出[1]n 1 S≤ 4 (sin π ) 2 n? ? 2π ? ? cos n 1 n ?1 ? ? S≤ 4 (sin π ) 2 ? ? cos π n ? n ? ? ? ? ? ? ?2 [2]（1）? ? ? ( n ≥ 4) ? ? ?（2）本文将用简捷的方法证明如下结论：30 不等式研究通讯 2003.3?n ?2 ? S≤ ? ? n ?1 ? ? 2( n为偶数)（3）(n为奇数 )当 n 为偶数时， 取等号条件是 b 2 i －1 ＝１， b 2 i = 0 或 b 2 i －1＝0， b2i = 1 （i =1， 2， …，n ） 。 当 n 为奇数时，取等号条件是 b i = m ( o ≤ m ≤ 1 )，b i + 1 = b i + 3 = … = b i + n 2= 1 , b i +2 = b i + 4 = … = b i + n－1－2= 0（i = 1 , 2 , … ，n, 且 r＞n 时，b r = b r －n ）引理 证明设 x、y、z∈[ 0 ，1]，则 f (y) = x（1－y）+ y（1－z）≤1 f (y) =（1－x－z）y + x 当 x+z＜1 时，f (y)≤f (1) = 1－z ≤1 当 x＋z = 1 时，f (y) = x≤1 当 x + z＞1 时，f (y)≤ f (0) = x≤1 于是 f (y)≤1.不妨设 b1 为诸 a i ，b i （i = 1,2,…，n）中的最大者。S = b 1 （1－ b2 ）+ b2 （1－b3 ）+ … + b n （1－b1 ）, 当 n 为偶数时，由引理知 S = f (b2) + f (b4 ) + … + f (bn ) ≤1 + 1 + … + 1 =（３）式的证明n , 2当 n 为奇数时， b n （1－b1 ）+ b 1 （1－b2 ）+b 2 a 3 ≤1－b1 + b 1 （1－b2 ）+ b2 b1 ＝１， 于是由引理知 S≤1 + b3 ( 1－b4 ) + … + b n -1 (1－ b n ) = 1+ f ( b4 ) + … + f ( bn －1 ) ≤1 + 1 + … +1 =n ?1 , 2 π 1从而（3）式成立. 取等号的条件不难得出，此处从略.n = 4 时， （2）式与（3）式相同。当 n≥5 时，由 Cos 2 n & 易知，(3)式强于(2)式。 2问题 ２ 设 a i , b i, c i , d i , e i , f i , g i , h i ≥0 ( i =1, 2 , 3 ) , 且a1 ＋d1 = b1 + f1 = c1 + g1 = e1 + h1 = 1, a2 + b2 = c2 + d2 = e2 + f 2 = g2 + h2 = 1, a3 + e3 = b3 +c3 = d3 + h3 = g3 + f 3 = 1, 则 t = a 1 a 2 a 3 + b 1 b 2 b3 + c 1 c2 c3 + d 1 d2 d 3 + e 1 e2 e 3 + f 1 f2 f 3 + g 1 g 2 g 3 + h 1 h2 h3 ≤4. （4）证明 由引理知t = [ a1 a2 a 3 +e 1 e 2（1－a 3 ） ] + [ b 1 b 2 b3 +c 1 c2（1－b3 ） ] +[ d 1 d 2 d 3 +h 1 h2（1－d 3 ） ] +[ f 1 f 2 f 3 +g 1 g 2 (1－f 3 ）] ≤1 + 1 +1 +1 = 4, 取等号的条件是 a1 = a 2 = a 3 = c 1 = c 2 = c 3 = h 1 = h 2 = h 3 = f 1 = f 2 = f 3 = 1 或 0. 文[1]、文[2]分别得出 t≤6 和 t≤5, 本文加强它们的结果.参 考 文 献 [1] 曾庆柏，创造性思维教学一例，数学通报，1999，7. [2] 吴跃生，培养创造性思维的一道好题，数学通报，2001，5.31 不等式研究通讯 2003.3平均值不等式的一种加强形式及逆向陈胜利 （福建省南安市五星中学 ３６２３４１） 在文[1]中，笔者给出了平均值不等式的如下一种加强形式及其逆向：命题 设 xi ∈［a，ｂ］，0&a&b，i=1,2,…, n, 并记An ( xi ) =n 1 1 n ∑ xi , G n ( xi ) = (∏ x i ) n , n i =1 i =1则1 1 [ An ( x i 2 ) ? G n ( x i 2 )] ≤ An ( xi ) ? G n ( xi ) ≤ [ An ( x i 2 ) ? G n ( x i 2 )] 4b 4a(1)当且仅当 x1 =x2 =…=xn 时取等号。 本文进而探讨平均值不等式 A n– Gn ≥0 的另一种加强形式及其逆向。对于 n=3，我们有 下面的定理 设 xi &0，i =1,2,3，则2 2 A3 ( xi 2 ) ? G3 ( xi 2 ) ① ② A3 ( xi ) ? G3 ( xi ) A ( x )– G ( x ) 3 i ≤ ≤ 3 i 3 2 A3 ( xi ) 3( 3 ? 3 )G3 ( xi )(2)(2.1)，(2.2)取等号的条件分别是 x1′ : x2 ′ : x3 ′ =1:1:1，或 1:1: 6 2 x1′ : x2 ′ : x3 ′ =1:1:1 ，或 1:1: 3 3 ? 1 （x1 ′ ，x2 ′ ，x3′ 是 x1 ，x2 ，x3 的一个排列） 。 证：令(x1 ，x2 ，x3 ) = (x3 ，y3 ，z3 )，σ1 = x+y+z，σ 2 = xy+yz+zx，σ 3 = xyz，则 A3 ( xi ) = ∑ x 3 = (σ 1 3 ? 3σ 1σ 2 + 3σ 3 ) ， A3 ( xi 2 ) = ∑ x 6 = [( ∑ x 2 ) 3 ? 3∑ x 2 ∑ y 2 z 2 + 3Π x 2 ] = [σ 1 2 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) 2 ? 2σ 2 3 + 6σ 1σ 3 (σ 1 2 ? 2σ 2 ) + 3σ 3 2 ] ， G3( xi 2 )= σ 3 2 ,1 3 1 3 1 3 1 3 1 3(3.1) (3.2)G3 ( xi )= σ 3 , 于是(2.1)，(2.2)可分别化为3 2σ 1σ 3 [σ 1 2 + ( 2 ? 1)σ 2 ] ≤ σ 1 2 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) 2 + 2( 2 + 1)σ 2 3 3σ 1σ 3 [( 3 ? 1)σ 1 2 ? ( 3 3 ? 5)σ 2 ] ≥ 2σ 2 3 ? σ 12 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) 2(4.1) (4.2)据笔者在文[2]中给出的“三元基本不等式” ：27 σ 3 ≤ σ 1 (9σ 2 ? 2σ 1 2 ) + 2 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) 27 σ 3 ≥ σ 1 (9σ 2 ? 2σ 1 2 ) ? 2(σ 1 2 ? 3σ 2 )323 2≡ H 1 (σ 1 , σ 2 ) ≡ H 2 (σ 1 , σ 2 )(5.1) (5.2)32 不等式研究通讯 2003.3（当且仅当 x′ = y′ ≤ z′和 x′ = y′ ≥ z′ 时(5.1)，(5.2) 分别取等号，x′ , y′, z′是 x，y，z 的一个排列） ， 为证(4.1)，只要证：2σ 1 [σ 1 2 + ( 2 ? 1)σ 2 ] ? H1 (σ 1 , σ 2 ) ≤ 9σ 12 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) 2 + 18( 2 + 1)σ 2 3? 2 2σ 1 [σ 1 2 + ( 2 ? 1)σ 2 ](σ 1 2 ? 3σ 2 )3 2≤ [( 9 + 2 2 )σ 1 4 ? ( 23 + 5 2 )σ 1 2 σ 2 ? ( 6 + 6 2 )σ 2 2 ](σ 1 2 ? 3σ 2 ),由 σ 1 2 ? 3σ 2 ≥ 0 可令 σ 1 2 ? 3σ 2 =8( 3 +λ σ 2 (λ ≥ 0)，则上式化为 7λ λ λ λ λ λ )( 3 + + 2 ? 1) 2 ( ) 3 ≤ [( 9 + 2 2 )( 3 + ) 2 ? ( 23 + 5 2 )( 3 + ) ? ( 6 + 6 2 )] 2 ( ) 2 7 7 7 7 7 7? λ2 [(81 + 36 2 ) λ4 + 14( 279 + 117 2 )λ3 + 49 (999 + 324 2 ) λ2 + 6174 (8 ? 11 2 )λ + 21609 ( 2 ? 2 ) 2 ] ≥ 0? λ 2 ( λ + 11 ? 8 2 ) 2 [( 81 + 36 2 ) λ 2 + 126 ( 26 + 17 2 ) λ + 441( 2 ? 2 ) 2 (11 + 8 2 ) 2 ] ≥ 0(6.1)上式成立，故(2.1) 得证，且由(5.1)，(6.1) 取等号的条件 x′ = y′ ≤ z′ 及λ=0 或 λ = 8 2 ? 11 知(2.1) 取等号的条件是(3.1)； 为证(4.2)，只要证（据(5.2)） ：σ 1 [( 3 ? 1)σ 1 2 ? (3 3 ? 5)σ 2 ] ? H 2 (σ 1 , σ 2 ) ≥ 18σ 2 3 ? 9σ 1 2 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) 2 ,令σ 1 2 – 3σ2 = k σ2 (k ≥ 0)，则上式化为3 + k [( 3 ? 1) k + 2][ 3 + k ( 3 ? 2k ) ? 2 k 3 ] ≥ 9[ 2 ? ( 3 + k ) k 2 ]? k[(11 ? 2 3 ) k 2 + ( 26 ? 3 3 )k ? (15 ? 9 3 )] ≥ 2 k[( 3 ? 1) k + 2 ] k ( k + 3)? 9k 2 [(13 ? 4 3 ) k 4 + ( 64 ? 18 3) k 3 + (33 + 6 3 ) k 2 ? (110 ? 62 3 ) k + 52 ? 30 3 ] ≥ 0 ? 9k 2 [(17 + 10 3 ) k ? 1] 2 [(97 ? 56 3) k 2 ? (142 ? 82 3 )k + ( 52 ? 30 3)] ≥ 0(6.2)上式成立，故(2.2)得证，且由(5.2)，(6.2)取等号的条件 x′ = y′ ≥ z′ 及 k=0 或 (17 + 10 3) k = 1 知 (2.2)取等号的条件是(3.2)。 （证毕） 最后我们指出， (2.1)， (2.2)中的系数 3 2 和 3( 3 ? 3) 是最佳的。 事实上， 将(2)中的 3 2 ，3( 3 ? 3) 分别换为λ3 ， ? 3 ，则其等价式为 λ 3σ 1 (σ 1 2 ? 3σ 2 )[σ 1 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) + 3σ 3 ] ≥ 18σ 1σ 3 (σ 1 2 ? 2σ 2 ) + 3σ 12 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) 2 ? 6σ 2 3 (7.1) ?3 σ 1σ 3 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) ≤ 6σ 1σ 3 (σ 1 2 ? 2σ 2 ) + σ 1 2 (σ 1 2 ? 3σ 2 ) 2 ? 2σ 2 3(7.2)在(7.1)中令 x=y=1， z = 2 ，即 σ 1 = 2 + 2 ， σ 2 = 1 + 2 2 ， σ 3 = 2 ，可得33 不等式研究通讯 2003.3λ 3 ≥ 3 2 ，即 ( λ 3 ) min = 3 2 ；在(7.2)中令 x=y=1， z = 3 ? 1 ，即 σ 1 = 3 + 1 ， σ 2 = 2 3 ? 1 ， σ 3 = 3 ? 1 ，可得?3 ≤ 3(3 ? 3 ) ，即 ( ? 3 ) max = 3(3 ? 3) 。另外，对于 n=2，不难证得：A2 ( xi 2 ) ? G 2 ( xi 2 ) A ( x 2 ) ? G 2 ( xi 2 ) ≤A2 (xi )– G2 (xi ) ≤ 2 i 4 A2 ( x i ) 4 G 2 ( xi )(8)（当且仅当 x1 =x2 时取等号，其中系数 4 是最佳的） 。那么对于 n≥４，使不等式An ( xi 2 ) ? Gn ( xi 2 ) A ( x 2 ) ? G n ( xi 2 ) ≤An (xi )– Gn (xi ) ≤ n i λ n An ( xi ) ? n G n ( xi )(9)成立的最小λ n 和最大 ? n 各是多少呢？这是一个很有意义的问题。参考文献［１］ 陈胜利． 均值不等式的加强及逆向． 数学通讯， ２０００（１７）． ［２］ 陈胜利． 一类三元对称不等式的新证法． 福建中学数学， １９９６（６）． 对一道不等式问题的解答与探究——谈“做数学”的初浅体会 杨学枝(福州二十四中 350015 )2003 年中国数学奥林匹克(第十八届全国中学生数学冬令营)于 2003 年元月 14 日至 18 日在湖南长沙市第一中学举行，元月 15 日，在冬令营第一天选拔测试中，最后一道是一个 很漂亮的不等式问题, 引起了笔者浓厚的兴趣，在对该题“做数学”的过程中，又次经历了 “感兴趣”(问题很吸引人)――“很苦恼”(遇到重重困难和挫折)――“不满意” (问题虽解 决了，总觉不尽人意)——“ 真兴奋 ” (获得了好解法, 提出了新问题)的亲身体验，笔者想写出 来，留下一个“ 做数学”的痕迹． 原题与转化 冬令营原题：给定正整数 n, 求最小的正整数 λ ，使得对任何 θ i ∈ (0, … , n ), 只要34π ), （ｉ＝１, ２ 2 不等式研究通讯 2003.3tan θ1 ? tan θ 2 L tan θn = 2 2就有ncos θ 1 + cos θ 2 + ... + cosθ n不大于 λ ． 看到试题后的第一个感觉是，为使问题明朗化，可将它转化为代数不等式，得到以下 愿命题 给定正整数 n, 求最小的正数 λ ，使得对于任意正数 x i ( i = 1 , 2 ,… n ) ，只要x 1 x 2 ... x n = 1 , 就有∑n1 2 xii=1+ 1≤ λ(1)要解答(1)式，首先很自然想到的是数学归纳法，由于还不知道 λ 的最小值是什么，因 此要从特殊入手，考虑 λ 的值． 当 n = 1 时， λ 最小正值为 易证有1 2 ；当 n = 2 时，也不难求得 λ 的最小正值为 , 因为 3 3 1 ≤ 2x2 + 1 2 31 + 2 x1 + 1这里 x1 、 x 2 ∈ R+，且 x 1 x 2 = 1 （证明从略）．由此，使我们想到 n = 3 时，是否有 猜想 １ 1 + 2 x1 + 11 + 2x2 + 11 ≤ 2 x3 + 13，其中 x1 ， x 2 ， x 3 ∈ R + ，且 x 1 x 2 x 3 = 1 ． 对于一个猜想提出后，别忙于去盲目证明，可用一些具体数字代入算一算，这时不难验 证猜想 1 不成立，如 x 1 =9 8 ，x 2 = ， x 3 = 4 ． 这说明取 x1 = x2 = x3 = 1 时不 32 9是 λ 的最小正数值，于是，我们考虑由 x1 x 2 x3 = 1，有1 + 2 x1 + 11 + 2 x2 + 11 = 2 x3 + 11 + 2 x1 + 11 + 2x 2 + 1x1 x 2 2 + x1 x 2取 x1 ， x 2 边界值，即 x1 = x 2 = 0 时，其值为 2，于是又提出 猜想 235 不等式研究通讯 2003.31 + 2 x1 + 11 + 2 x2 + 11 &2 2x3 + 1（2）其中 x1 、 x 2 、 x 3 ∈ R + ，且 x 1 x 2 x 3 = 1 ． 由于 x 1 x 2 x 3 = 1 ，因此，在 x2x 3 , x 1 x 3 , x 1 x 2 中必有一个不大于 1，不妨设?x1 x 2 ≤ 1 于是，要证（2）式成立，只需证当 x1 、 x 2 ∈ R1 + 2 x1 + 1（这里将 x1 、 x 2 ∈ R+，且 x1 x 2 ≤ 1 时，有 （3）1 + 2 x2 + 12x1 x 2 ≤ 2 2 + x1 x 2?放宽为 x1 、 x∈ R是便于说明当 n = 3 时， λ=2是最小正数）． 猜想 2 很难找出反例，因此，估计它是成立的，应用柯西不等式将（3）式左边式子缩 小：1 + 2x1 + 11 ≤ 2 x2 + 12(1 2 x1 + 1+1 2 x2 + 1) =4 ( x 1 + x 2 + 1) ， ( 2 x 1 + 1)( 2 x 2 + 1)因此，要证（3）式成立，只需证4 ( x1 + x 2 + x 3 ) ≤ 2? ( 2 x 1 + 1)( 2 x 2 + 1 )即上式平方并经整理后所得到的式子x1 x 2 ， 2 + x1 x 24x1 x 2 x1 x 2 4 ( 4 x1 x 2 + x 1 + x 2 ) ≤ + 2 + x1 x 2 2 + x1 x 2 ( 2 x 1 + 1)( 2 x 2 + 1)①成立． 经探索知，可分两种情况来证明①式成立． ⅰ）当 x1x2≤1 时， 44( 4 x1 x 2 + x1 + x 2 ) 2 (1 ? 4 x 1 x 2 ) = 2? ( 2 x 1 + 1)( 2 x 2 + 1) 4 x1 x 2 + 2( x1 + x 2 ) + 1≥ 2? 2 (1 ? 4 x1 x 2 ) 4 x1 x2 + 4 x1 x 2 + 1 8 1+ 2同时注意到=2?2 (1 ? 2 x 1 x 2 ) 1 + 2 x1 x 2 x1 x 2 2 + x1x 2=8 x1 x 2 1 + 2 x1 x 2． 又易证 (从略)x1x 2 x1x 2≥ 4，x1 x 2 ≥ 0 ， 即知①式成立． 2 + x1x 236 不等式研究通讯 2003.3ⅱ）当 1 ≤ x 1 x 2 ≤ 1 时， 4 易证 即 4 x1x 2 + x1 + x 2 x1 x 2 x1 x 2 1 ≥ ．故只需证 4 ≤ + 2 ， ( 2 x 1 + 1 )( 2 x 2 + 1 ) 2 2 + x1 x 2 2 + x1 x 2x1 x 2 ) 2 ≥ 2 ，也就是 2 + x1x 2 x1 x 2 ≤ 2? 2 + x1 x 2(2 ?2 ． 但由 x 1 x 2 ≤ 1 知x1 x 2 1 ≤ ． 因此，又只需证 2 + x1 x 2 3 1 ≤ 2? 32 ， 此式显然成立，故①式成立． 综上 ｉ）、ｉｉ） 可知（３）式成立，这就告诉我们，当 n = 3 时，入的最小正数为 ２， 由（２）式到（３）式的变换知，（２）式为严格不等式． 从上面对（２）式的推证，使我们很自然的想到，当 n 为正整数，且 n ≥ 3 时，有 猜想 ３ 设 x i ∈ R + , i = 1, 2 , … , n 且 x 1 x2… x n = 1, n ∈ Ｎ 且 n ≥ 3, 有 （4）∑ni =11 & n ?1 2 xi + 1要证（4）式，想到应用数学归纳法证明，其中遇到由 n = k 成立，推出 n = k + 1 成 立，为使运算能顺利通过，因此又想到有以下 猜想 ４ 1 + 2 x1 + 1其中 x1 、 x 2 ∈ R?1 ≤1+ 2 x2 + 11 2 x1 x 2 + 1（5），且 x 1 x 2 ≤ 1 ．比较（3）式，又有 猜想 ５ 设 x1 、 x 2 ∈ R?， x1 x 2 ≤ 1 ， 有2?x1 x 2 ≤ 1+ 2 + x1x 21 2 x1x 2 + 1（6）证明 （6） ? (1 ?x1 x 2 1 )2 ≤ 2 x1 x 2 + 1 2 + x1 x 2?3 x1 x 2 ≤ 2? ( 2 + x 1 x 2 )( 2 x 1 x 2 + 1 )37x1 x 2 ， 2 + x1x 2 不等式研究通讯 2003.3此式易证成立（下略） ，故（6）式成立， （5）式也成立． 现在，应用数学归纳法来证明（４）式，已是水到渠成的了． （４）式的证明 当 n = 3 时，即（２）式，上面已证其成立． 假设 n = k 时成立，即 x1 、 x 2 、…． x K ∈ R + , 且 x 1 x 2 … x k = 1 时，有 ∑Ki =11 & k ? 1 ， 2 xi + 1当 n = k + 1 时，设 x1 、x 2 、 … x K 、 x K + 1 ∈ R + , 且 x 1 x 2 … x k x k +1 = 1 ，这时，在 x1 、x 2 、…、 x k 、 x k +1 的每两个之积中，必有一个不大于 １（否则有 x1 x2 L xk +1 & 1 ），不妨设x k x k +1 ≤ 1 , 由上(5)式，得到 1 + 2 xk + 1 1 2 x k +1 + 1 ≤1+ 1 ． 2 x k x k +1 + 1于是，根据此式及 n = k 时的假设，有 ∑i =1k +11 2 xi + 1=∑i =1k ?11 2 xi + 1+(1 2xk + 1+1 2 xk +1 + 1)≤1+ (1 1 1 + +L+ + 2 x1 + 1 2x2 + 1 2 x k ?1 + 11 ) 2 xk x k +1 + 1& 1 + ( k ? 1)= k ． 说明 n = k + 1 时， （4）式也成立．综上（４）式获证． 若在（４）式中用 x n = 有 ? 1 代入，且将条件改为 x1 、 x 2 、…、 x n?1 ∈ R ， x1 x 2 L x n?11 + 2 x1 + 11 +L+ 2x2 + 11 2 xn ?1 + 1+x1 x 2 L x n?1 ≤ n ?1 ， 2 + x1 x 2 L x n当且仅当 x1 = x2 = L xn ?1 = 0 时取等号，由此可知，当 n ∈ N 且 n ≥ 3 时， λ 的最小正数 为 n ? 1 ． 以上整个“做数学”过程，正是体现了波利亚拟定的《解题表》 ，体现了数学中的化归、 变换思想，体现了实验、观摩、归纳、类比、转化、限定、推广、猜测等数学方法的应用． 反思与创新 38 不等式研究通讯 2003.3解答一个个数学问题不是“做数学”的最后目的， “做数学”的真正目的正如大数学家 希尔伯特所说： “正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点 达到更为广阔自由的境界”． 完成了一个数学问题的解答后，更重要的是要对“做数学“的过程进行反思，想一想这 个问题是否与其它问题有联系？是否可转化为其他形式的问题？问题还可不可以推广、引 伸？问题的条件或者结论能否进一步优化或进行某写改造？有没有更简捷的解法或更有利 于使问题拓广的解法？这个问题有哪些应用价值？等等．通过反思，达到问题创新，思维创 新和解法创新． 我们回过头看一看，在对冬令营问题的解答过程中， （３）式起到了关键作用．如果前面 令 2 x1 = x ， 2 x2 = y ， x 、 y ∈ R ，那么， （３）式可变为 ?1 + x +11 xy + ≤2 8 + xy y +1（7）（7）式似乎不太令人满意，左边根号中的“8”能不能换更小的正数？这个问题曾经使 笔者一度感到“很苦脑” ！ 我们设想有 1 + x +11 xy + ≤2 t + xy y +1②在②式中如果令 x = y ，且上式左边三项相等，这时求得 t = 我们有理由提出 猜想 6 设 x, y ∈ R ? , 有1 x +1 + 1 y+1 + xy ≤2 125 + xy 64125 5 , x = y = ，因此， 64 4（8） 当且仅当 x = y = 0 或 x = y =5 时， （８）式取等号． 4 125 是最佳的．可是在证 64很显然，若（8）式成立，则强于（7）式，且知在②式中 t =（8）式时, 笔者又经历过一番痛苦的磨练，甚至走到了“山穷水尽疑无路”的地步．难道（８） 式不成立？但又找不出反例，于是再次巡视以上证法． 我们发现前面对(3) 的式的证法中, 首先用到柯西不等式，得到1 x +1 + 1 y +1 ≤ 2 x+ y +2 = ( x + 1)( y + 1) 2[1 ? xy ? 1 ]． ( x + 1)( y + 1)要想将(7) 式加强成为(8)式, 显然上式不够强，由( x + 1)( y + 1) ≥ ( xy + 1) 2 ，使我们想到, 是否有更强式1 x+1 + 1 y +139≤2 xy + 1③ 不等式研究通讯 2003.3(8) 式成立的关键在于证明③式成立, 但在证明③式过程中发现, ③式在 xy ≤ 4 时才成 立(证明见后文),但在(8)式中并无这个条件, 然而我们毕竟在向解决问题的方向靠近, 于是, 又 想, 前面(3)式不是也只要证 xy ≤ 1 时成立吗!类比之，产生以下想法： 在(8)式中作置换： x →5 5 5 1 x, y → y, z = ? ，得到 4 4 4 xy 1 5 x +1 4+1 5 y+1 4+1 5 z +1 4≤ 2 （９） 这里 x , y , z ∈ R?，且 xyz = 1 ． 由此可知， yz , zx , xy 中必有一个不大于 1， 不妨设 xy ≤ 1 ， 它表现在 （8） 式为 xy ≤ 这说明，要证（8）式成立，只需证（8）式在 x , y ∈ R ? , 且 xy ≤25 & 4， 1625 时成立即可，这时， 16同时满足③式成立条件： x , y ∈ R ? , 且 xy ≤ 4 ，若③式获证，那么，要证（8）式成立， 则，只需证
