拉开孩子们差距的原来是“提前怎么学”_新浪教育_新浪网
拉开孩子们差距的原来是“提前怎么学”
　　“提前学”在当下已非个案。究其原因，无非是家长们为了让孩子在上学阶段迅速理解老师的授课内容，获得老师更多的关注和鼓励。老师也知道大部分孩子“提前学”的情况，所以在课堂上，很多知识都是一带而过。
　　然而，大多数的“提前学”，并没有造就爱学习的孩子。厌学的孩子比比皆是，爱学的孩子少之又少；即便没有厌学，也有很多孩子对学习并没有形成整体化的概念，缺乏学习方法和内在动力，等到高年级时，随着知识的进一步深入，出现成绩一落千丈的现象，直到大学毕业还感觉大学跟没上一样，缺少对专业知识的领会和创新。
　　如此看来，拉开孩子之间差距的并不是“提前学”，而是“提前怎么学”。
　　本文首发于公众号“菁kids北京”，作者为Shine，近首发平台授权后发布。
　　斯科特·杨在《Learn More Study Less如何高效学习》一书中提到“整体性学习策略”，结合学龄前儿童的认知特点和发展心理总结出以下几个方面：
　　斯科特·杨
　　一位因为快速学习而成名的神奇小子，他使用自己发明的学习方法，做到10天搞定线性代数，1年学习4年的麻省理工学院计算机科学的33门课程的“不可能任务”。
　　一 、梳理熟悉的思维结构
　　学龄前儿童主要是通过观察、感知和不断尝试获取知识，所以家长应当帮助孩子梳理由生活经验总结来的思维结构。成熟的思维机构包括：感知结构，关系结构和基础数学结构。建立成熟的思维结构是儿童构建模型、联想和学习新知识的高贵资源。
　　（一）感知结构
　　这是人类成长过程中发展的最为全面的思维结构。人类自出生开始，就逐步通过视觉、听觉、触觉、味觉以及嗅觉作为获取信息通道。日积月累了大量的图像、声音和情感等感知数据，而这些感知数据又被互相交织加工，综合起来就构成了儿童的生活经验。家长需要做的就是协助儿童梳理这些思维感知数据，并明确他们之间的关联。这一模型是其他结构的基础。
　　（二）关系结构
　　通过故事、人物以及人物之间的相互作用可以清楚地呈现我们的实际生活。利用我们所熟知的关系去理解新事物之间产生的关联，就会对理解新事物更加容易，而这些熟悉的关系就来源于儿童的生活经验。
　　如，儿童通过知晓和妈妈之间的关系（人际关系）就容易理解爸爸和奶奶的关系；知道远与近互为反义词（概念关系）就能推理出大与小互为反义词；知道认真刷牙就会长蛀牙（因果关系）就能理解不洗澡身上就会痒的道理。
　　（三）基础数学结构
　　基础数学使儿童将平时所观察、感知事物，经过抽象提取后形成的一种模型。基础数学模型已经融入到儿童生活经验之中了，并成为生活经验的一部分。这赋予了“提前学”一种新的理念，它不再是为了跟得上学校的教学进度和取得高分，更大意义是我们在学龄前给儿童建立起的数学概念，把生活经验经过数学抽象化的总结转变成儿童的思维模型，它可以帮助儿童将生活规律串联起来。是对生活的感性认识质变到了理性认识的过程。
　　通过基础数学结构可以作为建立更深层次的数学结构的基础，也可以用它来简化其他学科里的各种关系。
　　以上三种结构关系起来简单，容易理解和掌握，其实学习各类科目都源于这些思维结构作为学习的基础，大多数儿童能通过自己认知、修正理解掌握，如果家长加以引导和强化这些固定结构根植内心就容易迅速掌握新知识。
　　遇到复杂问题时，引导孩子将其分解为简单的思维结构，儿童学习起来就不会感觉那么吃力。这些成熟的结构是模拟其他知识的最丰富、最好的来源，因为这些东西是儿童在未来探索的道路上遇到新问题后立即就能想到的模型。
　　二、培养学习思维方法
　　根据斯科特·杨在《Learn More Study Less如何高效学习》一书中提到的整体性学习的顺序理论，我将学习思维方法理解为：将已知知识点及知识结构与新知识类比、联想，知识的由来（问为什么？）以及如何与其他知识之间建立合理联系的范式。
　　所以学习知识内容不再是重点，弄清楚通过联想方式学习知识的本事，才是孩子在学龄前应当熟练掌握的技巧。这一技巧一旦掌握，孩子会迅速拉大思维维度，知识也显得灵活多面，孩子就会主动按照自己的理解将掌握的知识编辑为独特的思维导图，形成学科内的串联和学科与学科之间的串联，从而内化于心、举一反三，形成“自学、自觉”的机制。
　　建立知识之间的联系，有表面形式的联系（如识字，形-邢-刑）也有思维逻辑方式的联系（如数学的等量代换与编程的函数思维之间的关联）。往往孩子在理解获取的知识的含义后，就产生了进一步了解知识来龙去脉的好奇之心，这是孩子学习、创造的源泉。
　　（一）引导孩子将生活中接触到的知识背景联系起来，展开深度拓展。
　　水烧开后沸腾出蒸汽，问问孩子为什么看见蒸汽了尼？水加热到什么程度能够开始看见蒸汽尼？蒸汽为什么遇到冰冰凉的墙就变成小水珠了尼？深度拓展需要与知识内部创造联系。从理解水沸腾会看见蒸汽，到引导孩子进一步了解谁发现了水的沸腾现象，科学家如何发现水沸腾之后温度的恒定，为什么水沸腾是100℃，是哪个科学家发现的，是怎么被发现的。这一系列亲子互动中，孩子就对水会沸腾的现象建立在与其他知识联系的基础之上了。
　　如果这种对知识的探索方式和思考方式，经常发生在与孩子的交谈中，孩子在学习新的知识时也会自然而然的从该角度想问题，形成深度拓展的思维习惯。
　　（二） 在知识周围建立联系，展开横向拓展。
　　还得找水先生帮忙，水先生能通过加热变成蒸汽跑走，那我们把橄榄油加热，同样都是液态形式存在的物质也采用加热的方式，油先生加热到多少度会跑走，也就是与此类似的物质遇到同样的情况会怎么样，类似的结论还有哪些？在哪些地方类似？不同之处又在哪里？
　　其他横向方式，如，围绕同一时期，还有那些发现？再围绕同一领域，还有那些发现？也可以围绕结论，有哪些其他的事实？
　　如果只用一种方式了解水先生，比如颜色、气味以及沸点就不会真正了解它。我们要想将所学知识多面性立体化，就要了解事物真正的含义，秘密在于如何将其与我们所了解的其他事物相联系。通过联系，可将想法内化于心，从各种角度看问题，直至孩子找到适合自己的方法。教会孩子这种思考方式尤为重要。
　　（三）将两个看起来风马牛不相及的事物联系起来，展开纵向拓展。
　　教会孩子大胆畅想，这点儿童比成人做的好很多，那就鼓励他们去尝试吧！提供实验场所，保持好奇心和不断的追问。不相干的事物之间，产生的奇思妙想正是宝贵的思维资源，这是培养孩子创造性思维最佳方式，更深层次帮助理解知识。
　　知识都遵循一定的逻辑方式，同样的逻辑在其他知识中也会见到。比如水先生的流动和驾驶汽车？首先罗列一排水先生的特质和属性，再罗列一排驾驶汽车的感受、技巧亦或交通规则，将两排不相关的特性任意连线，孩子会发现什么？再比如，在自然现象和机械设备之间；历史与艺术之间；人体奥秘和芳香剂之间，如此种种。孩子掌握了这种思考方式，就是在知识之间建立多条高速通道。
　　我们不可能告诉孩子所有的知识，但是可以在孩子学前帮助他们养成良好的学习习惯、熟练学习知识的思维方式和认识世界的思考方法，就好比是要一千块一万块黄金还是要一个能让石头变成黄金的“手指头”一样，孩子有了这根点石成金的“手指头”就相当于上了快车道。
　　应试教育和素质教育相辅相成，忽略了应试教育，素质教育就缺乏知识框架支持，忽略了素质教育应试教育也只能培养书呆子，没法培养创新思维。
　　现在就很好解释为什么到了高中阶段“提前学”就不见优势了，不联系实际的机械式记忆学习并没有内化于心，如果想将机械记忆变成深刻的永久性记忆，通过内心搭建的结构、比喻和联想拓展的学习方法得以应用，就会学以致用，活学活用。
　　（声明：本文仅代表作者观点，不代表新浪网立场。）
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无敌点击狗手机版;想往更深层次的学习
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我们都不是娇美的富人现在愉乐成太多了我玩过信用最好的还是这儿
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。学习党章中的“更深层次”
日 08:46:20
来源：求是网　　作者：冉维廷
作为政策研究部门，工作中经常要探究一些政策、文件，是不是合理，够不够准确。部门里有一位领导同志，每当对政策制定的方向和要求把握不准的时候，总是会不停地翻看党章。曾经不解的问到，“业务性的政策文件要看党章？”他回答，“党章是根本，很多问题的答案就在这本小红册里。”
简短的一句话，却引人深思。不由于心自问，我们对党章的认识，对党章的解读，到底有多深入？不得不承认，有时候，我们看党章、学党章、用党章，更多看到党章上的“规定”，对党章的认识理解，更多的是作为规矩，当成行为规范，停留在了约束的层面。一叶障目,不见泰山。正是由于缺少更深层次的挖掘，我们党章中一些根本性、思想性、时代性的内容，认识还不够全面。
在党的十八大通过新修订的党章之后，习近平总书记向全体党员指出，“党章是党的总章程，集中体现了党的性质和宗旨、党的理论和路线方针政策、党的重要主张。”今年，中央决定要在全党开展以“深入学习党章党规，深入学习习近平总书记系列重要讲话，做合格的共产党员”学习教育。对党章的学习理解，或许我们不应该仅仅满足于作为党员的行为边界，或许我们应该站在更高层次，在真学、深学中寻找更深层次，领悟真谛，指导实践。
在学习党章中改造思想。党章中的基本理论和政治主张就是我们党要走的道路，是全体党员的旗帜和方向。加入共产党成为一名共产党员，就要将党章真真切切铭记于心，在思想上要认识到，党员的身份意味着什么，自己的使命是什么，努力的方向在哪里，在反复学习党章中，坚定人生追求，升华境界认识，涤荡内心世界，净化政治灵魂，把对马克思主义的信仰，把对社会主义和共产主义的信念，筑牢夯实。
在学习党章中锤炼党性。党章提供了党员干部加强党性修养的标准和尺度，学习党章、遵守党章、贯彻党章、维护党章的过程，也正是锻造坚强党性的过程。我们学习党章，就是要将最鲜活的马克思主义，入脑入心、入骨入髓，彻彻底底的改造主观世界，练就金刚不坏之身。在学习党章中，坚定政治方向，增强政治定力，珍惜党员身份，在党言党、在党忧党、在党为党，自觉在思想上、政治上、行动上与党中央保持高度一致。
在学习党章中掌握方法。党章作为我们党的总章程，其中蕴含着丰富的思想方法和工作方法，是党员的戒律，更是一部行为指南。我们应该善于汲取党章中的智慧，学会按照党章中的指引，看问题、想事情，找到更科学的工作路径。尤其是作为领导干部，更要在学习党章中，深刻的理解如何正确的认识自己的角色，如何运用权力，如何面对基层群众，从中寻找更科学更有效的解决问题的思路和手段。
党章是正本清源的根本，是广大党员自我教育的最好教材。我们学习党章，一定要有一双慧眼，看的更多一些，更透一些，学到深层次的内容，并内化于心，外化于行。
（作者单位：山东肥城市委组织部研究室）
【声明：本文仅代表作者个人观点，其原创性以及文中陈述内容的真实性、完整性未经本站证实，仅供读者参考，请自行核实有关内容。】
（ 网站编辑：程卫军 ）已经基本理解PS的基本功能，想往更深层次的学习怎么学？_百度知道
已经基本理解PS的基本功能，想往更深层次的学习怎么学？
我有更好的答案
个人经验：多看人家的PS步骤。多学多练。然后自己在创作：创作的意思就是自己慢慢学会把自己要的效果PS出来
看人家的ps步骤看完了自己再做别的时候效果不理想啊
因为这个东西 涉及到具体数值，数值不一样 肯定不一样。你学别人的，你也要看他的数值是设置的多少。不同的数值有不同的效果l个人觉得 只要效果自己满意，不需要老是追求和人家的效果一样。你只要在步骤中学会，这些方法会出现什么效果，方法搭配之后又会出现什么效果
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来自团队：
找些实例来做一下，比如做个手机海报或者给自己做个个性名片。制作的过程中会让你熟悉各种基本功能，还会知道你需要什么，再学什么
关键问题你学PS准备干什么？多看作品、多想、多练
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　　监督机器学习问题无非就是&minimizeyour error while regularizing your parameters&，也就是在规则化参数的同时最小化误差。最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据，而规则化参数是防止我们的模型过分拟合我们的训练数据。多么简约的哲学啊！因为参数太多，会导致我们的模型复杂度上升，容易过拟合，也就是我们的训练误差会很小。但训练误差小并不是我们的最终目标，我们的目标是希望模型的测试误差小，也就是能准确的预测新的样本。所以，我们需要保证模型&简单&的基础上最小化训练误差，这样得到的参数才具有好的泛化性能（也就是测试误差也小），而模型&简单&就是通过规则函数来实现的。另外，规则项的使用还可以约束我们的模型的特性。这样就可以将人对这个模型的先验知识融入到模型的学习当中，强行地让学习到的模型具有人想要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等等。要知道，有时候人的先验是非常重要的。前人的经验会让你少走很多弯路，这就是为什么我们平时学习最好找个大牛带带的原因。一句点拨可以为我们拨开眼前乌云，还我们一片晴空万里，醍醐灌顶。对机器学习也是一样，如果被我们人稍微点拨一下，它肯定能更快的学习相应的任务。只是由于人和机器的交流目前还没有那么直接的方法，目前这个媒介只能由规则项来担当了。
1.1 规则化
　　还有几种角度来看待规则化的。规则化符合奥卡姆剃刀(Occam's razor)原理。这名字好霸气，razor！不过它的思想很平易近人：在所有可能选择的模型中，我们应该选择能够很好地解释已知数据并且十分简单的模型。从贝叶斯估计的角度来看，规则化项对应于模型的先验概率。民间还有个说法就是，规则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项(regularizer)或惩罚项(penalty term)。
1.2 监督学习的一般形式
& & & &一般来说，监督学习可以看做最小化下面的目标函数：
　　其中，第一项L(yi,f(xi;w)) 衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样本的预测值f(xi;w)和真实的标签yi之前的误差。因为我们的模型是要拟合我们的训练样本的嘛，所以我们要求这一项最小，也就是要求我们的模型尽量的拟合我们的训练数据。但正如上面说言，我们不仅要保证训练误差最小，我们更希望我们的模型测试误差小，所以我们需要加上第二项，也就是对参数w的规则化函数&O(w)去约束我们的模型尽量的简单。
1.3 正则化函数的选择
　　规则化函数&O(w)也有很多种选择，一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，规则化值就越大。比如，规则化项可以是模型参数向量的范数。然而，不同的选择对参数w的约束不同，取得的效果也不同，但我们在论文中常见的都聚集在：零范数、一范数、二范数、迹范数、Frobenius范数和核范数等等。这么多范数，到底它们表达啥意思？具有啥能力？什么时候才能用？什么时候需要用呢？不急不急，下面我们挑几个常见的娓娓道来。
二、L0和L1范数
2.1 L0范数
　　L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是希望W的大部分元素都是0。这太直观了，太露骨了吧，换句话说，让参数W是稀疏的。OK，看到了&稀疏&二字，大家都应该从当下风风火火的&压缩感知&和&稀疏编码&中醒悟过来，原来用的漫山遍野的&稀疏&就是通过这玩意来实现的。但你又开始怀疑了，是这样吗？看到的papers世界中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗？脑海里是不是到处都是||W||1影子呀！几乎是抬头不见低头见。没错，这就是这节的题目把L0和L1放在一起的原因，因为他们有着某种不寻常的关系。那我们再来看看L1范数是什么？它为什么可以实现稀疏？为什么大家都用L1范数去实现稀疏，而不是L0范数呢？
2.2 L1范数
　　L1范数是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫&稀疏规则算子&（Lasso regularization）。现在我们来分析下这个价值一个亿的问题：为什么L1范数会使权值稀疏？有人可能会这样给你回答&它是L0范数的最优凸近似&。实际上，还存在一个更美的回答：任何的规则化算子，如果他在Wi=0的地方不可微，并且可以分解为一个&求和&的形式，那么这个规则化算子就可以实现稀疏。这说是这么说，W的L1范数是绝对值，|w|在w=0处是不可微，但这还是不够直观。这里因为我们需要和L2范数进行对比分析。所以关于L1范数的直观理解，请待会看看第二节。
　　对了，上面还有一个问题：既然L0可以实现稀疏，为什么不用L0，而要用L1呢？个人理解一是因为L0范数很难优化求解（NP难问题），二是L1范数是L0范数的最优凸近似，而且它比L0范数要容易优化求解。所以大家才把目光和万千宠爱转于L1范数。
　　OK，来个一句话总结：L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有比L0更好的优化求解特性而被广泛应用。
　　好，到这里，我们大概知道了L1可以实现稀疏，但我们会想呀，为什么要稀疏？让我们的参数稀疏有什么好处呢？这里扯两点：
2.3 稀疏的好处
　　1）特征选择(Feature Selection)：
　　大家对稀疏规则化趋之若鹜的一个关键原因在于它能实现特征的自动选择。一般来说，xi的大部分元素（也就是特征）都是和最终的输出yi没有关系或者不提供任何信息的，在最小化目标函数的时候考虑xi这些额外的特征，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会被考虑，从而干扰了对正确yi的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。
　　2）可解释性(Interpretability)：
　　另一个青睐于稀疏的理由是，模型更容易解释。例如患某种病的概率是y，然后我们收集到的数据x是1000维的，也就是我们需要寻找这1000种因素到底是怎么影响患上这种病的概率的。假设我们这个是个回归模型：y=w1*x1+w2*x2+&+w1000*x1000+b（当然了，为了让y限定在[0,1]的范围，一般还得加个Logistic函数）。通过学习，如果最后学习到的w*就只有很少的非零元素，例如只有5个非零的wi，那么我们就有理由相信，这些对应的特征在患病分析上面提供的信息是巨大的，决策性的。也就是说，患不患这种病只和这5个因素有关，那医生就好分析多了。但如果1000个wi都非0，医生面对这1000种因素，累觉不爱。
三、L2范数
　　除了L1范数，还有一种更受宠幸的规则化范数是L2范数: ||W||2。它也不逊于L1范数，它有两个美称，在回归里面，有人把有它的回归叫&岭回归&（Ridge Regression），有人也叫它&权值衰减weight decay&。这用的很多吧，因为它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要的问题：过拟合。至于过拟合是什么，上面也解释了，就是模型训练时候的误差很小，但在测试的时候误差很大，也就是我们的模型复杂到可以拟合到我们的所有训练样本了，但在实际预测新的样本的时候，糟糕的一塌糊涂。通俗的讲就是应试能力很强，实际应用能力很差。擅长背诵知识，却不懂得灵活利用知识。例如下图所示（来自Ng的course）：
　　1）学习理论的角度：
　　从学习理论的角度来说，L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。
　　2）优化计算的角度：
　　从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理 condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。哎，等等，这condition number是啥？我先google一下哈。
　　这里我们也故作高雅的来聊聊优化问题。优化有两大难题，一是：局部最小值，二是：ill-condition病态问题。前者俺就不说了，大家都懂吧，我们要找的是全局最小值，如果局部最小值太多，那我们的优化算法就很容易陷入局部最小而不能自拔，这很明显不是观众愿意看到的剧情。那下面我们来聊聊ill-condition。ill-condition对应的是well-condition。那他们分别代表什么？假设我们有个方程组AX=b，我们需要求解X。如果A或者b稍微的改变，会使得X的解发生很大的改变，那么这个方程组系统就是ill-condition的，反之就是well-condition的。我们具体举个例子吧：
　　咱们先看左边的那个。第一行假设是我们的AX=b，第二行我们稍微改变下b，得到的x和没改变前的差别很大，看到吧。第三行我们稍微改变下系数矩阵A，可以看到结果的变化也很大。换句话来说，这个系统的解对系数矩阵A或者b太敏感了。又因为一般我们的系数矩阵A和b是从实验数据里面估计得到的，所以它是存在误差的，如果我们的系统对这个误差是可以容忍的就还好，但系统对这个误差太敏感了，以至于我们的解的误差更大，那这个解就太不靠谱了。所以这个方程组系统就是ill-conditioned病态的，不正常的，不稳定的，有问题的，哈哈。这清楚了吧。右边那个就叫well-condition的系统了。
　　还是再啰嗦一下吧，对于一个ill-condition的系统，我的输入稍微改变下，输出就发生很大的改变，这不好啊，这表明我们的系统不能实用啊。你想想看，例如对于一个回归问题y=f(x)，我们是用训练样本x去训练模型f，使得y尽量输出我们期待的值，例如0。那假如我们遇到一个样本x&，这个样本和训练样本x差别很小，面对他，系统本应该输出和上面的y差不多的值的，例如0.00001，最后却给我输出了一个0.9999，这很明显不对呀。就好像，你很熟悉的一个人脸上长了个青春痘，你就不认识他了，那你大脑就太差劲了，哈哈。所以如果一个系统是ill-conditioned病态的，我们就会对它的结果产生怀疑。那到底要相信它多少呢？我们得找个标准来衡量吧，因为有些系统的病没那么重，它的结果还是可以相信的，不能一刀切吧。终于回来了，上面的condition number就是拿来衡量ill-condition系统的可信度的。condition number衡量的是输入发生微小变化的时候，输出会发生多大的变化。也就是系统对微小变化的敏感度。condition number值小的就是well-conditioned的，大的就是ill-conditioned的。
　　如果方阵A是非奇异的，那么A的conditionnumber定义为：
　　也就是矩阵A的norm乘以它的逆的norm。所以具体的值是多少，就要看你选择的norm是什么了。如果方阵A是奇异的，那么A的condition number就是正无穷大了。实际上，每一个可逆方阵都存在一个condition number。但如果要计算它，我们需要先知道这个方阵的norm（范数）和Machine Epsilon（机器的精度）。为什么要范数？范数就相当于衡量一个矩阵的大小，我们知道矩阵是没有大小的，当上面不是要衡量一个矩阵A或者向量b变化的时候，我们的解x变化的大小吗？所以肯定得要有一个东西来度量矩阵和向量的大小吧？对了，他就是范数，表示矩阵大小或者向量长度。OK，经过比较简单的证明，对于AX=b，我们可以得到以下的结论：
　　也就是我们的解x的相对变化和A或者b的相对变化是有像上面那样的关系的，其中k(A)的值就相当于倍率，看到了吗？相当于x变化的界。
　　对condition number来个一句话总结：conditionnumber是一个矩阵（或者它所描述的线性系统）的稳定性或者敏感度的度量，如果一个矩阵的condition number在1附近，那么它就是well-conditioned的，如果远大于1，那么它就是ill-conditioned的，如果一个系统是ill-conditioned的，它的输出结果就不要太相信了。
　　好了，对这么一个东西，已经说了好多了。对了，我们为什么聊到这个的了？回到第一句话：从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理 condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。因为目标函数如果是二次的，对于线性回归来说，那实际上是有解析解的，求导并令导数等于零即可得到最优解为：
&　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（个人理解这是解析解，xw=y，不过用到了广义逆）
　　然而，如果当我们的样本X的数目比每个样本的维度还要小的时候，矩阵XTX将会不是满秩的，也就是XTX会变得不可逆，所以w*就没办法直接计算出来了。或者更确切地说，将会有无穷多个解（因为我们方程组的个数小于未知数的个数）。也就是说，我们的数据不足以确定一个解，如果我们从所有可行解里随机选一个的话，很可能并不是真正好的解，总而言之，我们过拟合了。
　　但如果加上L2规则项，就变成了下面这种情况，就可以直接求逆了：
　　&这里面，专业点的描述是：要得到这个解，我们通常并不直接求矩阵的逆，而是通过解线性方程组的方式（例如高斯消元法）来计算。考虑没有规则项的时候，也就是&=0的情况，如果矩阵XTX的 condition number 很大的话，解线性方程组就会在数值上相当不稳定，而这个规则项的引入则可以改善condition number。
&&　　另外，如果使用迭代优化的算法，condition number 太大仍然会导致问题：它会拖慢迭代的收敛速度，而规则项从优化的角度来看，实际上是将目标函数变成&-strongly convex（&强凸）的了。哎哟哟，这里又出现个&强凸，啥叫&强凸呢？
　　当f满足：
　　时，我们称f为&-stronglyconvex函数，其中参数&&0。当&=0时退回到普通convex 函数的定义。
　　在直观的说明强凸之前，我们先看看普通的凸是怎样的。假设我们让f在x的地方做一阶泰勒近似（一阶泰勒展开忘了吗？f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(||x-a||).）：
　　直观来讲，convex 性质是指函数曲线位于该点处的切线，也就是线性近似之上，而 strongly convex 则进一步要求位于该处的一个二次函数上方，也就是说要求函数不要太&平坦&而是可以保证有一定的&向上弯曲&的趋势。专业点说，就是convex 可以保证函数在任意一点都处于它的一阶泰勒函数之上，而strongly convex可以保证函数在任意一点都存在一个非常漂亮的二次下界quadratic lower bound。当然这是一个很强的假设，但是同时也是非常重要的假设。可能还不好理解，那我们画个图来形象的理解下。
　　大家一看到上面这个图就全明白了吧。不用我啰嗦了吧。还是啰嗦一下吧。我们取我们的最优解w*的地方。如果我们的函数f(w)，见左图，也就是红色那个函数，都会位于蓝色虚线的那根二次函数之上，这样就算wt和w*离的比较近的时候，f(wt)和f(w*)的值差别还是挺大的，也就是会保证在我们的最优解w*附近的时候，还存在较大的梯度值，这样我们才可以在比较少的迭代次数内达到w*。但对于右图，红色的函数f(w)只约束在一个线性的蓝色虚线之上，假设是如右图的很不幸的情况（非常平坦），那在wt还离我们的最优点w*很远的时候，我们的近似梯度(f(wt)-f(w*))/(wt-w*)就已经非常小了，在wt处的近似梯度&f/&w就更小了，这样通过梯度下降wt+1=wt-&*(&f/&w)，我们得到的结果就是w的变化非常缓慢，像蜗牛一样，非常缓慢的向我们的最优点w*爬动，那在有限的迭代时间内，它离我们的最优点还是很远。
&　　&所以仅仅靠convex 性质并不能保证在梯度下降和有限的迭代次数的情况下得到的点w会是一个比较好的全局最小点w*的近似点（插个话，有地方说，实际上让迭代在接近最优的地方停止，也是一种规则化或者提高泛化性能的方法）。正如上面分析的那样，如果f(w)在全局最小点w*周围是非常平坦的情况的话，我们有可能会找到一个很远的点。但如果我们有&强凸&的话，就能对情况做一些控制，我们就可以得到一个更好的近似解。至于有多好嘛，这里面有一个bound，这个 bound 的好坏也要取决于strongly convex性质中的常数&的大小。看到这里，不知道大家学聪明了没有。如果要获得strongly convex怎么做？最简单的就是往里面加入一项(&/2)*||w||2。
& & & &呃，讲个strongly convex花了那么多的篇幅。实际上，在梯度下降中，目标函数收敛速率的上界实际上是和矩阵XTX的 condition number有关，XTX的 condition number 越小，上界就越小，也就是收敛速度会越快。
　　这一个优化说了那么多的东西。还是来个一句话总结吧：L2范数不但可以防止过拟合，还可以让我们的优化求解变得稳定和快速。
& & & &好了，这里兑现上面的承诺，来直观的聊聊L1和L2的差别，为什么一个让绝对值最小，一个让平方最小，会有那么大的差别呢？我看到的有两种几何上直观的解析：
　　1）下降速度：
& & & &我们知道，L1和L2都是规则化的方式，我们将权值参数以L1或者L2的方式放到代价函数里面去。然后模型就会尝试去最小化这些权值参数。而这个最小化就像一个下坡的过程，L1和L2的差别就在于这个&坡&不同，如下图：L1就是按绝对值函数的&坡&下降的，而L2是按二次函数的&坡&下降。所以实际上在0附近，L1的下降速度比L2的下降速度要快。所以会非常快得降到0。不过我觉得这里解释的不太中肯，当然了也不知道是不是自己理解的问题。
　　2）模型空间的限制：
& & & &实际上，对于L1和L2规则化的代价函数来说，我们可以写成以下形式：
& & & &也就是说，我们将模型空间限制在w的一个L1-ball 中。为了便于可视化，我们考虑两维的情况，在(w1, w2)平面上可以画出目标函数的等高线，而约束条件则成为平面上半径为C的一个 norm ball 。等高线与 norm ball 首次相交的地方就是最优解：
& & & &可以看到，L1-ball 与L2-ball 的不同就在于L1在和每个坐标轴相交的地方都有&角&出现，而目标函数的测地线除非位置摆得非常好，大部分时候都会在角的地方相交。注意到在角的位置就会产生稀疏性，例如图中的相交点就有w1=0，而更高维的时候（想象一下三维的L1-ball 是什么样的？）除了角点以外，还有很多边的轮廓也是既有很大的概率成为第一次相交的地方，又会产生稀疏性。
& & & &相比之下，L2-ball 就没有这样的性质，因为没有角，所以第一次相交的地方出现在具有稀疏性的位置的概率就变得非常小了。这就从直观上来解释了为什么L1-regularization 能产生稀疏性，而L2-regularization 不行的原因了。
& & & &因此，一句话总结就是：L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。Lasso在特征选择时候非常有用，而Ridge就只是一种规则化而已。
四、核范数
　　核范数||W||*是指矩阵奇异值的和，英文称呼叫Nuclear Norm。这个相对于上面火热的L1和L2来说，可能大家就会陌生点。那它是干嘛用的呢？霸气登场：约束Low-Rank（低秩）。OK，OK，那我们得知道Low-Rank是啥？用来干啥的？
　　对上面的线性方程组，第一个方程和第二个方程有不同的解，而第2个方程和第3个方程的解完全相同。从这个意义上说，第3个方程是&多余&的，因为它没有带来任何的信息量，把它去掉，所得的方程组与原来的方程组同解。为了从方程组中去掉多余的方程，自然就导出了&矩阵的秩&这一概念。
&　　还记得我们怎么手工求矩阵的秩吗？为了求矩阵A的秩，我们是通过矩阵初等变换把A化为阶梯型矩阵，若该阶梯型矩阵有r个非零行，那A的秩rank(A)就等于r。从物理意义上讲，矩阵的秩度量的就是矩阵的行列之间的相关性。如果矩阵的各行或列是线性无关的，矩阵就是满秩的，也就是秩等于行数。回到上面线性方程组来说吧，因为线性方程组可以用矩阵描述嘛。秩就表示了有多少个有用的方程了。上面的方程组有3个方程，实际上只有2个是有用的，一个是多余的，所以对应的矩阵的秩就是2了。
&　　OK。既然秩可以度量相关性，而矩阵的相关性实际上有带有了矩阵的结构信息。如果矩阵之间各行的相关性很强，那么就表示这个矩阵实际可以投影到更低维的线性子空间，也就是用几个向量就可以完全表达了，它就是低秩的。所以我们总结的一点就是：如果矩阵表达的是结构性信息，例如图像、用户-推荐表等等，那么这个矩阵各行之间存在这一定的相关性，那这个矩阵一般就是低秩的。
　　如果X是一个m行n列的数值矩阵，rank(X)是X的秩，假如rank (X)远小于m和n，则我们称X是低秩矩阵。低秩矩阵每行或每列都可以用其他的行或列线性表出，可见它包含大量的冗余信息。利用这种冗余信息，可以对缺失数据进行恢复，也可以对数据进行特征提取。
好了，低秩有了，那约束低秩只是约束rank(w)呀，和我们这节的核范数有什么关系呢？他们的关系和L0与L1的关系一样。因为rank()是非凸的，在优化问题里面很难求解，那么就需要寻找它的凸近似来近似它了。对，你没猜错，rank(w)的凸近似就是核范数||W||*。
& & & &好了，到这里，我也没什么好说的了，因为我也是稍微翻看了下这个东西，所以也还没有深入去看它。但我发现了这玩意还有很多很有意思的应用，下面我们举几个典型的吧。
　　1）矩阵填充(Matrix Completion)：
& & & &我们首先说说矩阵填充用在哪。一个主流的应用是在推荐系统里面。我们知道，推荐系统有一种方法是通过分析用户的历史记录来给用户推荐的。例如我们在看一部电影的时候，如果喜欢看，就会给它打个分，例如3颗星。然后系统，例如Netflix等知名网站就会分析这些数据，看看到底每部影片的题材到底是怎样的？针对每个人，喜欢怎样的电影，然后会给对应的用户推荐相似题材的电影。但有一个问题是：我们的网站上面有非常多的用户，也有非常多的影片，不是所有的用户都看过说有的电影，不是所有看过某电影的用户都会给它评分。假设我们用一个&用户-影片&的矩阵来描述这些记录，例如下图，可以看到，会有很多空白的地方。如果这些空白的地方存在，我们是很难对这个矩阵进行分析的，所以在分析之前，一般需要先对其进行补全。也叫矩阵填充。
& & & &那到底怎么填呢？如何才能无中生有呢？每个空白的地方的信息是否蕴含在其他已有的信息之上了呢？如果有，怎么提取出来呢？Yeah，这就是低秩生效的地方了。这叫低秩矩阵重构问题，它可以用如下的模型表述：已知数据是一个给定的m*n矩阵A，如果其中一些元素因为某种原因丢失了，我们能否根据其他行和列的元素，将这些元素恢复？当然，如果没有其他的参考条件，想要确定这些数据很困难。但如果我们已知A的秩rank(A)&&m且rank(A)&&n，那么我们可以通过矩阵各行(列)之间的线性相关将丢失的元素求出。你会问，这种假定我们要恢复的矩阵是低秩的，合理吗？实际上是十分合理的，比如一个用户对某电影评分是其他用户对这部电影评分的线性组合。所以，通过低秩重构就可以预测用户对其未评价过的视频的喜好程度。从而对矩阵进行填充。
　　2）鲁棒PCA：
& & & &主成分分析，这种方法可以有效的找出数据中最&主要"的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。我们知道，最简单的主成分分析方法就是PCA了。从线性代数的角度看，PCA的目标就是使用另一组基去重新描述得到的数据空间。希望在这组新的基下，能尽量揭示原有的数据间的关系。这个维度即最重要的&主元"。PCA的目标就是找到这样的&主元&，最大程度的去除冗余和噪音的干扰。
& & & &鲁棒主成分分析（Robust PCA）考虑的是这样一个问题：一般我们的数据矩阵X会包含结构信息，也包含噪声。那么我们可以将这个矩阵分解为两个矩阵相加，一个是低秩的（由于内部有一定的结构信息，造成各行或列间是线性相关的），另一个是稀疏的（由于含有噪声，而噪声是稀疏的），则鲁棒主成分分析可以写成以下的优化问题：
& & & &与经典PCA问题一样，鲁棒PCA本质上也是寻找数据在低维空间上的最佳投影问题。对于低秩数据观测矩阵X，假如X受到随机（稀疏）噪声的影响，则X的低秩性就会破坏，使X变成满秩的。所以我们就需要将X分解成包含其真实结构的低秩矩阵和稀疏噪声矩阵之和。找到了低秩矩阵，实际上就找到了数据的本质低维空间。那有了PCA，为什么还有这个Robust PCA呢？Robust在哪？因为PCA假设我们的数据的噪声是高斯的，对于大的噪声或者严重的离群点，PCA会被它影响，导致无法正常工作。而Robust PCA则不存在这个假设。它只是假设它的噪声是稀疏的，而不管噪声的强弱如何。
　　由于rank和L0范数在优化上存在非凸和非光滑特性，所以我们一般将它转换成求解以下一个松弛的凸优化问题：
& & & &说个应用吧。考虑同一副人脸的多幅图像，如果将每一副人脸图像看成是一个行向量，并将这些向量组成一个矩阵的话，那么可以肯定，理论上，这个矩阵应当是低秩的。但是，由于在实际操作中，每幅图像会受到一定程度的影响，例如遮挡，噪声，光照变化，平移等。这些干扰因素的作用可以看做是一个噪声矩阵的作用。所以我们可以把我们的同一个人脸的多个不同情况下的图片各自拉长一列，然后摆成一个矩阵，对这个矩阵进行低秩和稀疏的分解，就可以得到干净的人脸图像（低秩矩阵）和噪声的矩阵了（稀疏矩阵），例如光照，遮挡等等。至于这个的用途，你懂得。
　　3）背景建模：
& & & &背景建模的最简单情形是从固定摄相机拍摄的视频中分离背景和前景。我们将视频图像序列的每一帧图像像素值拉成一个列向量，那么多个帧也就是多个列向量就组成了一个观测矩阵。由于背景比较稳定，图像序列帧与帧之间具有极大的相似性，所以仅由背景像素组成的矩阵具有低秩特性；同时由于前景是移动的物体，占据像素比例较低，故前景像素组成的矩阵具有稀疏特性。视频观测矩阵就是这两种特性矩阵的叠加，因此，可以说视频背景建模实现的过程就是低秩矩阵恢复的过程。
　　4）变换不变低秩纹理（TILT）：
& & & &以上章节所介绍的针对图像的低秩逼近算法，仅仅考虑图像样本之间像素的相似性，却没有考虑到图像作为二维的像素集合，其本身所具有的规律性。事实上，对于未加旋转的图像，由于图像的对称性与自相似性，我们可以将其看做是一个带噪声的低秩矩阵。当图像由端正发生旋转时，图像的对称性和规律性就会被破坏，也就是说各行像素间的线性相关性被破坏，因此矩阵的秩就会增加。
& & & &低秩纹理映射算法(TransformInvariant Low-rank Textures，TILT)是一种用低秩性与噪声的稀疏性进行低秩纹理恢复的算法。它的思想是通过几何变换&把D所代表的图像区域校正成正则的区域，如具有横平竖直、对称等特性，这些特性可以通过低秩性来进行刻画。
& & & &低秩的应用非常多，大家有兴趣的可以去找些资料深入了解下。
五、规则化参数的选择
& & & &现在我们回过头来看看我们的目标函数：
& & & &里面除了loss和规则项两块外，还有一个参数&。它也有个霸气的名字，叫hyper-parameters（超参）。你不要看它势单力薄的，它非常重要。它的取值很大时候会决定我们的模型的性能，事关模型生死。它主要是平衡loss和规则项这两项的，&越大，就表示规则项要比模型训练误差更重要，也就是相比于要模型拟合我们的数据，我们更希望我们的模型能满足我们约束的&O(w)的特性。反之亦然。举个极端情况，例如&=0时，就没有后面那一项，代价函数的最小化全部取决于第一项，也就是集全力使得输出和期待输出差别最小，那什么时候差别最小啊，当然是我们的函数或者曲线可以经过所有的点了，这时候误差就接近0，也就是过拟合了。它可以复杂的代表或者记忆所有这些样本，但对于一个新来的样本泛化能力就不行了。毕竟新的样本会和训练样本有差别的嘛。
& & & &那我们真正需要什么呢？我们希望我们的模型既可以拟合我们的数据，又具有我们约束它的特性。只有它们两者的完美结合，才能让我们的模型在我们的任务上发挥强大的性能。所以如何讨好它，是非常重要。在这点上，大家可能深有体会。还记得你复现了很多论文，然后复现出来的代码跑出来的准确率没有论文说的那么高，甚至还差之万里。这时候，你就会怀疑，到底是论文的问题，还是你实现的问题？实际上，除了这两个问题，我们还需要深入思考另一个问题：论文提出的模型是否具有hyper-parameters？论文给出了它们的实验取值了吗？经验取值还是经过交叉验证的取值？这个问题是逃不掉的，因为几乎任何一个问题或者模型都会具有hyper-parameters，只是有时候它是隐藏着的，你看不到而已，但一旦你发现了，证明你俩有缘，那请试着去修改下它吧，有可能有&奇迹&发生哦。
& & & &OK，回到问题本身。我们选择参数&的目标是什么？我们希望模型的训练误差和泛化能力都很强。这时候，你有可能还反映过来，这不是说我们的泛化性能是我们的参数&的函数吗？那我们为什么按优化那一套，选择能最大化泛化性能的&呢？Oh，sorry to tell you that，因为泛化性能并不是&的简单的函数！它具有很多的局部最大值！而且它的搜索空间很大。所以大家确定参数的时候，一是尝试很多的经验值，这和那些在这个领域摸爬打滚的大师是没得比的。当然了，对于某些模型，大师们也整理了些调参经验给我们。例如Hinton大哥的那篇A Practical Guide to Training RestrictedBoltzmann Machines等等。还有一种方法是通过分析我们的模型来选择。怎么做呢？就是在训练之前，我们大概计算下这时候的loss项的值是多少？&O(w)的值是多少？然后针对他们的比例来确定我们的&，这种启发式的方法会缩小我们的搜索空间。另外一种最常见的方法就是交叉验证Cross validation了。先把我们的训练数据库分成几份，然后取一部分做训练集，一部分做测试集，然后选择不同的&用这个训练集来训练N个模型，然后用这个测试集来测试我们的模型，取N模型里面的测试误差最小对应的&来作为我们最终的&。如果我们的模型一次训练时间就很长了，那么很明显在有限的时间内，我们只能测试非常少的&。例如假设我们的模型需要训练1天，这在深度学习里面是家常便饭了，然后我们有一个星期，那我们只能测试7个不同的&。这就让你遇到最好的&那是上辈子积下来的福气了。那有什么方法呢？两种：一是尽量测试7个比较靠谱的&，或者说&的搜索空间我们尽量广点，所以一般对&的搜索空间的选择一般就是2的多少次方了，从-10到10啊什么的。但这种方法还是不大靠谱，最好的方法还是尽量让我们的模型训练的时间减少。例如假设我们优化了我们的模型训练，使得我们的训练时间减少到2个小时。那么一个星期我们就可以对模型训练7*24/2=84次，也就是说，我们可以在84个&里面寻找最好的&。这让你遇见最好的&的概率就大多了吧。这就是为什么我们要选择优化也就是收敛速度快的算法，为什么要用GPU、多核、集群等来进行模型训练、为什么具有强大计算机资源的工业界能做很多学术界也做不了的事情（当然了，大数据也是一个原因）的原因了。
& & & &努力做个&调参&高手吧！祝愿大家都能&调得一手好参&！
六、补充知识
　　矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖&‖A^(-1)‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。 　　函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf) 是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。比如线性方程组
　　的解是(x,y)=(0.0,0.1),
的解是(x,y)=(-0.17,0.22)，可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。
　　一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。
七、参考文献
　　http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3708996.html?utm_source=tuicool&utm_medium=referral
　　http://fastml.com/large-scale-l1-feature-selection-with-vowpal-wabbit/
　　http://www.stat.purdue.edu/~vishy/introml/notes/Optimization.pdf
　　http://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf
　　http://nm.mathforcollege.com/mws/gen/04sle/mws_gen_sle_spe_adequacy.pdf
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