Book&review&of&Stochastic&Processes&written&by&Richard&F
Book review of
Stochastic Processes written by Richard F.Bass
书评／摘《stochastic processes》written
by Richard F. Bass
读完一本书总是折麽人到心碎，还好不聪明的我怎么可能傻傻的会读完呢？
爱笑的晴天木木
September 5, 2016
Independence
事件独立的条件。
性质：若独立且可积分那么变量乘积的期望等于期望的乘积。性质的证明可用指示函数。
Metric space
度量空间的可分性、紧性。
Limit of a sequence of sets
集合的极限。极限无限逼近却不可到达，取极限就是定义到达了，是个运算操作。
Almost surely
也就是除掉零测集,概率为1。
Cylindrical subset
Lebesgue’s dominated convergence theorem
It gives a sufficient condition for the convergence of expected
values of random variables. Pointwise convergence and dominated by
some integrable function are two conditions for the convergence of
a sequence in the L-1 norm.
控制收敛定理在证明doob停时定理中用到。函数列积分的极限等于极限的积分。
Cauchy-Schwartz inequality
离散情况下就是两向量内积的范数不大于范数的乘积。也就是一个向量的范数不大于它在任何向量上投影的范数。高纬下长度度量换成了范数，可以叫斜边长度大于直角边么。
Jensen inequality
证明的方法就是任意点存在一条直线总在函数下面，那么在EX处也成立。
Holder inequality
两函数乘积的l1范数不大于函数p，q范数的乘积，如果不小于1的p，q倒数和等1.
证明用到Young不等式。概率测度下函数就换乘了两列随机变量，复数域上。积分就是期望，n阶矩。
不等式的证明用到了Young不等式（右边取对数，严格凸）。两非负数的乘积不大于分别x次连乘积／x的和。x1
x2倒数和为1.
用到一个技巧就是把两函数分别归一化到范数为1，先证明这样的形式。
一个推论就是Lr范数[或r-moment]有限推出Ls范数[或s-moment]有限，如果
r大于s。证明的方式就是另1/p=s/r即可。上次考试还考过这么个问题。
Monotone convergence theorem
这个框架下极限比较好描述吧。集合上的最小sigma代数。
Lebesgue’s integration
Convergence
Convergence almost surely, in probability, in L-p.
收敛间的包涵关系。
由切比雪夫不等式，依L-p
收敛意味着依概率收敛。这在后面的很多证明中用到。
Uniform integrability
Conditional expectation
Law of total expectation
The expected value of the conditional expected value of X given
Y is the same as the expected value of X.
条件期望的期望与期望相等。证明用到全概率公式的思想。
Distribution, expectation and variance
二项分布，正态分布，泊松分布，指数分布，gamma分布等。
Stopping times
a random variable tau: mapping from w to I is called a stopping
time if {w belongs to omega: tau(omega) &=t }&
belongs to Ft for all t in I.
停时是一个满足某条件的随机变量，而不是决定性的时间变量。
Martingales
停止过程的鞅性质是很重要的。
Optional stopping theorem
Doob’s optional stopping theorem (or Doob's optional sampling
theorem) says the expected value of a martingale at an almost
surely bounded stopping time is equal to the expected value of its
initial value. Doob’s optional stopping theorem lies at the basis
of all other results. &
这个定理说明了如果赌博／投资过程是个鞅过程，那么没有好的赌博／投资停止策略。停时几乎必然有界是选择停时定理的前提。停时定理wiki上给出了更一般的叙述。顺便提及一下wikipedia是个很强大的知识库。离散时间条件下的证明用到了全期望公式
law of total expectation.
Doob’s inequalities
两个不等式。
离散情况下，
1。至n处鞅序列绝对值的极大值大于a的概率不大于n处鞅序列绝对值期望／a。证明时定义一个停时，一个事件集合。
2。鞅序列绝对值极大值的p阶矩不大于关于p常数c(c=(p/(p-1))^p)乘n处p阶矩。证明时用到p阶矩的分层积分表示和Holder不等式,概率形式与期望形式表示。
后面各种缩放会用到啊，求轨道连续性，求收敛。
Martingale convergence theorem
上蹿不等式用来证明鞅收敛定理。
上蹿不等式，下鞅从下蹿过区间[a,b]的期望不大于一个新的下鞅Y的期望除区间长度。新下鞅定义为原下鞅减a后取非负。构建Y的过程序列。
鞅收敛定理。下鞅取非负的期望的上确界小于无穷，那么下鞅几乎必然a.s.收敛。
Strong law of large number
收敛到EX如果X
证明好长。
Weak convergence
Characteristic functions
Uniqueness and characteristic functions.
是说如果随机变量x，y的特征函数相同，那么x，y的分布相同。证明用到傅立叶逆变换。证明分布是同一分布时用得到。
特征函数的性质。线性变换下随机变量的特征函数。
正态分布，伽马分布随机变量的特征函数。
The central limit theorem
特征函数导数以及导数的连续性。
Sn/sqrt(n)
弱收敛到正态分布，如果X i.i.d, normal distribution.
证明也就是特征函数关于t/sqrt(n)在0处的泰勒展开的极限。
Gaussian random variable
一个不等式，独立性。
Continuous semimrtingale
连续半鞅。
二次变差过程quadratic variation。书上的是“隐式”定义：连续平方可积鞅有二次变差过程[M]t当且仅当sqare(Mt)-[M]t是鞅。有定义可以如果Nt=Ms+t-Ms,[N]t=[M]s+t-[M]s，由伊藤公式证明其“显式”时用到。
二次变差过程，平方和过程的极限。平方可积鞅停时的期望性质。
如果一个连续局部鞅是有界变差过程，那么它等于常数。连续局部鞅具有有界二次变差。二次变差过程记作t或在其它书上记[X]t.
这个证明在后面章节。由cauchy-swartz
不等式可以验证连续半鞅有有界二次变差。
Doob-Meyer decomposition
连续半鞅就是可以写成连续局部鞅＋连续有界变差过程。
Stochastic integral
定义随机积分，借助于阶梯函数。
积分过程下的二次变差。这个还是有点绕，因为这本书并没有先讲二次变差过程的极限形式的定义。半鞅的协变差定义。
variances for stochastic processes
Ito isometry
Compete metric space, i.e, every Cauchy sequence in M converges
in M. a sequence whose elements become arbitrarily close to each
other as the sequence progresses.
Doob’s inequality, L2 norm, L2 convergence, normed vector
从阶梯函数到一般函数。
Ito’s formula
The requirements are X be a semimartingale with path continuous
and f belongs to C2.
The Ito’s formula is a version of Tylor expansion truncated at
随机下的taylor公式。多了一项有二次变差过程的积分项。
这本书上的证明是用到了tylor展开，然后各项收敛。另一种证明方法课后习题有提及，其它书上有用来证明伊藤公式。
随机积分的分部积分公式, i.e, product formula。相对于非随机公式多了一项协变差项。证明的话用到了平方函数的伊藤公式。xy用x+y，x，y，表示即得到。此公式说明连续半鞅的乘积仍是连续半鞅。
另外当X,或y为连续有界变差过程时，[X,Y]t=0.
Cauchy-Swartz，Tylor展开即可。
Some applications of Ito formula
Levy’s theorem
二次变差过程是平方差过程的极限的证明。
当然也可以直接证明，比较麻烦，方法就是取更细致的划分，证明相对于原划分极限下的二次变差增量为零.
Stratonovich integrals。两种从不同角度考虑的等价定义，性质。
The Girsanov theorem
The Girsanov theorem describes how the dynamics of stochastic
processes change when the original measure is changed to an
equivalent probability measure.
在概率测度变换下半鞅的变化。局部密度这个概念书上是没有的。
Exponential of the martingales. Q(A)= E(Mt; A).
在Q下构建一个新的布朗运动。
Local times
The general theory of process
Processes with jumps
Poisson point process
Framework for Markov process
越来越繁琐了啊。什么鬼？
Borel&可测，马科夫过程的定义。转移概率需满足的条件。P(x,dy).
Chapman&Kolmogorov equations. semigroup property.
位势算子／预解resolvents／Green算子/
λ-potential of a semigroup Pt。一个位势算子的等式。One
property of the Gaussian density，半群性质的一个应用。shift
operators。
Markov properties
右连续性&强马科夫性。右马科夫过程。强马科夫性，引入停时来定义。quasi-left
continuous，比如泊松过程。
Application of the Markov property
Transformation of Markov properties
Stochastic differential equations
也就是微分项＝ Drift项＋diffusion项。
Pathwise solutions of SDEs
存在唯一性的证明和常微分一样也是用迭代法。距离度量换成了L2
啥叫轨迹的唯一性，说的是有唯一个随机过程满足随机微分方程。一般说的唯一性指分布唯一性。
Weak solutions of SDE,
强解和弱解。When the diffusion coefficient and drift coefficient
are not sufficiently smooth.
例子Ornstein-Uhlenbeck
过程，求解的话用分部积分，d(e^t*Xt).
&几何布朗运动,求解的话Ito
formula, d(InXt).
Gaussian process
A stochastic process where each of the dimensional distributions
is jointly normal.
The space C[0,1]
The tightness of a measure
Application of weak convergence
Donsker invariance principle
Brownian bridge
Semigroups
Constructing the process
半群。转移半群Pt.
Ptf( x) = Ex f( Xt). P(x,dy)也就是转移密度了。
还是先学泛函分析吧。
Infinitesimal generators
转移半群的生成算子／无穷小算子
Markov processes and SDEs
Markov properties
提到马科夫过程，这本书的记法还是比较繁琐的。
SDEs and PDEs
随机微分方程和偏微分方程的关系是用伊藤公式计算得到的。具体就是把f(X)用伊藤公式展开。f(X)分解成一个局部鞅（随机积分）＋有椭圆形算子项。
乘以密度求期望，再消去f，sde可以转换成pde.
&L operator
的定义， i.e.,
椭圆形算子。
Martingale problems
&鞅问题，弱解的存在等价于鞅问题解的存在。
Solving partial differential equations
把pde方程的求解转化为求解期望，pde解的概率表示。算是随机较精彩的部分吧。
Poisson’s
equation&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
解的形式是 e^(-kt)f的积分的期望。证明用到随机分部积分公式，然后取期望。让t到无穷大，略去首相。有界区域上求解类似。
Dirichlet problem
边界值为一函数。L-harmonic in D.
Cauchy problem
给定初值。用多元形式下的伊藤公式。
Schrodinger operators
薛定谔算子定义为Lu(x)+q(x)u(x).求解Lu+qu=0.
Bass, R. F. 1997. Diffusions and Elliptic Operators. New
York: Springer-Verlag.
这本书里会有更多哦。
One-dimensional diffusions
Regularity
正则性－every point can be hit from every other
Scale functions
speed measure
Levy processes
测度的延拓
Well posed
problem/适定问题
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。当前位置： >>
金融中的鞅测度以及布朗运动假设
金融经济学， 最核心的东西是资产定价， 什么是资产呢， 说白了就是 能够在未来产生未定权益（contingent claim）的东西，不准确的说， 就是在未来生成 outcome 的东西，这样资产定价就是 通过未来的 收益 来决定资产现在的市场价格。再直白一些，就是寻找到这样的 一个函数，它的定义域是 未来 未定权益空间的一个子空间，值域是 实数集。 如果找到这个函数的显示形式， 那么我们就做到资产定价了。 可是，我们发现，我们的信息太少了，根本无法建立出这样的函 数出来，所以，我们期待加进最少的假设，然后找到这样的函数，注 意，这里加入假设很关键，一方面 尽量最少，一方面尽量符合现实， 很庆幸，我们找到了这样的假设，这个假设 就是 布朗运动 （Bro wnian motion）。 其实，我们真正加入的假设，是独立增量的假设，就是任何两个 不同时间断下，资产价格的差是相互独立的，白话一些就是说 ，昨 天股票价格的涨跌和今天股价的涨跌是独立的，我想，任何一个玩过 股票的人都会有这样的感觉吧，有这个假设，和 中心极限定理，就 得出，独立增量符合正态分布，再加入技术性的限制，初值为零，就 得到了标准布朗运动的假设，为了不出现负的价格，我们常常使用几 何布朗运动，也就是说把这个随机过程弄到 e 的指数上去。 讲完了假设， 继续我们的工作， 加入这个假设为什么可以解决问题 呢， 因为， 标准布朗运动有一个极好的性质， 就是鞅性 （Martingale） ， 什么是鞅性的， 简单的说就是在任何一个时期对未来资产价格做一个期望， 就是条件期望， （ 条件是所处的哪个时间点处所知的全部信息） ， 这个期望恰好等于所处时点的资产价格。 说白了， 就是期望等于自身， 好了，这下回忆我们要做的工作。 我们需要寻找一个函数，把未来的收益映射为现在的价格，现在 鞅性给我们提供了一个思路， 鞅不就是把未来的期望收益映射成为一 个现在的价格了吗， （这里，我们完全可以用期望收益代表未来的收 益，因为，期望收益可以退化为收益），到这里，我们很欣喜了，只 要一个资产价格符合标准布朗运动，我们就找到了这个函数，这个函 数就是这个鞅。 是不是问题解决了呢，很不幸，不是，因为我们证明了，只有标 准布朗运动才有鞅性，更不幸的是，我们还可以证明，一个带着漂移 的布朗运动是没有鞅性的，什么是漂移呢，就是，我们用实际的数据 分析， 发现， 资产价格的真实运动， 是有趋势的， 不是期望为零的 （标 准布朗期望为零），这个趋势就是漂移，所以，我们现在知道了，我 们的真实股价，是有漂移项的，那样，它就没有鞅性，我们的工作又 遇到瓶颈了。 怎样处理呢，这时候的想法，真的比较天才了，鞅性的本质，是 条件期望，条件期望里有两个因素，状态概率和状态值，状态值是不 能改变的，这时候，天才们说，既然，带了漂移，条件期望不能等于 条件时点的价格，那么，我可不可以通过调整期望的计算中的不同因 素的值的大小，然后让其相等呢，而，状态值不可以改变，所以只能改变状态概率了，答案是，这样的做法，在某些情况下是可行的，有 些则不能，这个相应的 改变后的概率 就称为等价鞅测度，也就是 说，在这个测度下，把原来不是鞅，所以找不到定价函数的资产转化 成为了鞅。 这就是天才的测度转化定理！！！当然，不是所有的情况，都可 以找到这样的等价测度的，对于这类，不能找到等价测度的资产，我 们就不能对它们定价了。 这时，有出现两个问题了，第一，什么时候存在这样的测度转换， 什么时候不存在，第二，对于转化测度后的期望，怎样计算。 先来说第二个问题，数学家们证明了，转化测度后，有些分布的 期望是不会改变的，其中就有，布朗运动符合的正态分布，这个问题 解决了。第一个问题很有趣，显然，不存在这样的测度转换，是由于 资产市场特定的支付结构，，就是那个支付矩阵，这个矩阵反应了 不同状态下的不同支付情况。 如果这个矩阵给出， 我们是可以判断的。 这里，有两个定义，一个叫做完全市场，一个叫做无套利市场， 它们的定义大家都知道的，我们证明了，无套利和存在这样的测度转 化是等价的，也就是说，如果市场可以套利，就不存在测度转化，就 不是鞅，就不可以对它定价，反之，则可以。而完全市场，是说，在 这样的市场中，任何一个未定权益都是可以到达，获得的，所以说， 如果，一个市场如果完全且无套利，则，其中的任何资产我们都可以 给出等价鞅测度，从而写出定价函数。
更多搜索：
赞助商链接
All rights reserved Powered by
文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。豆丁微信公众号
君，已阅读到文档的结尾了呢~~
广告剩余8秒
文档加载中
鞅空间的一种分解及其应用鞅的,分解,鞅,鞅空间,空间的,鞅空间的,空间的一种,鞅空间及其,及其应用,鞅分解
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
鞅空间的一种分解及其应用
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='http://www.docin.com/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口我们知道鞅“martingale”随机过程的中文翻译，请问这个词最初是哪位数学家翻译过来的？初衷又是什么呢？
问到“鞅”的概念。说实话，我也不懂，可能较近代的相关信息术语，幸好现在可以网上搜索，找了一段，供参考：
鞅的英文是matingale。大家查百度词典，有两个解释：1. 马颔缰；2. 加倍赌注。
解释貌似跟数学不搭边。但实际上，当年Levy用“matingale”作为名字是非常妙的。希望今天通过这里交流，大家能理解“马颔缰”和数学“鞅”的精妙关系。
鞅更应该叫鞅过程，因为它是一大类随机过程的总称。所以，鞅并不神秘，它就是一类过程，只不过这类过程具有一种非常好的性质。这种“好”性质，很多马氏过程都有，包括布朗运动、简单随机游动；甚至很多看似不具备“鞅性质”的过程，稍加修正，也能轻松加入“鞅过程”的大家庭。
那这个“好性质”到底是什么。我就从马颔缰说起。马颔缰是法国农夫套马的一种装置，让马低头不向后甩动。在这个装置的控制下，马的头可以随意活动，但马头下一个最有可能的位置是它现在所在的位置。换句话说，马颔缰的加入，使得“马头运动”这样一个随机过程具备了“当前是未来最佳估计”的性质。如果大家仍不太理解，我们再利用“加倍赌注”来稍加解释。我们假设赌局是公平的，也就是输赢概率各半。此时，下一步损...
问到“鞅”的概念。说实话，我也不懂，可能较近代的相关信息术语，幸好现在可以网上搜索，找了一段，供参考：
鞅的英文是matingale。大家查百度词典，有两个解释：1. 马颔缰；2. 加倍赌注。
解释貌似跟数学不搭边。但实际上，当年Levy用“matingale”作为名字是非常妙的。希望今天通过这里交流，大家能理解“马颔缰”和数学“鞅”的精妙关系。
鞅更应该叫鞅过程，因为它是一大类随机过程的总称。所以，鞅并不神秘，它就是一类过程，只不过这类过程具有一种非常好的性质。这种“好”性质，很多马氏过程都有，包括布朗运动、简单随机游动；甚至很多看似不具备“鞅性质”的过程，稍加修正，也能轻松加入“鞅过程”的大家庭。
那这个“好性质”到底是什么。我就从马颔缰说起。马颔缰是法国农夫套马的一种装置，让马低头不向后甩动。在这个装置的控制下，马的头可以随意活动，但马头下一个最有可能的位置是它现在所在的位置。换句话说，马颔缰的加入，使得“马头运动”这样一个随机过程具备了“当前是未来最佳估计”的性质。如果大家仍不太理解，我们再利用“加倍赌注”来稍加解释。我们假设赌局是公平的，也就是输赢概率各半。此时，下一步损失的期望值就等于赌徒当前的损失。所以，有人干脆用“公平赌博”来直观诠释“鞅”。
总的说来，用比较时髦的金融术语讲：鞅就是“根据目前所得的信息对未来某个资产价格的最好预期就是资产的当前价格”。“鞅性”就代表了金融市场的有效性。换句话说，在有效市场假设下，股票不可能被人操纵，在市场上信息畅通，机会平等。几乎整个金融数学的前提都是“有效市场假设”，也就是说，股票价格是个鞅过程。
最后，回归鞅的数学部分。如果Xn是个鞅过程，也就是E( X( n+1) | Fn )=X( n )。意思是说，已知n时刻之前的所有信息的条件下，X( n +1)的期望就是X( n )。
鞅论可以说已经成为了概率论中发展最成熟的一个分支。概率学家关注鞅，当然不仅是因为鞅的实用价值，更因为鞅具备非常好的数学性质。很多时候，我们希望把要处理的问题转变成一个鞅的问题，再利用鞅美妙的数学性质处理问题。所以，鞅既能反映广泛的物理事实，又有美妙的数学结构，这种好东西，必定是学界的宠儿。
本文来自: 人大经济论坛 保险精算与风险管理 版，详细出处参考：
答: 要看是什么类型的补课，一般一对一的是有点贵的，星火教育有小班教学的，先去校区看看吧
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 科学总体上分为两大类－－－自然科学与人文科学。
人文科学研究的是人与人之间的关系，人的思维与认识，其包括哲学、政治、经济、社会、文学、艺术等。这类学科既有自身的...
答: 对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评
大家还关注
Copyright &
Corporation, All Rights Reserved
确定举报此问题
举报原因(必选)：
广告或垃圾信息
激进时政或意识形态话题
不雅词句或人身攻击
侵犯他人隐私
其它违法和不良信息
报告，这不是个问题
报告原因(必选)：
这不是个问题
这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区
相关问答：123456789101112131415