更了个新闻在最后面&br&更新&br&———————&br&就我所在的行业，我知道两种大规模的洗钱办法……&br&（三更：最近又做了场演唱会，发现行情又变，现在还没演完，演完单独再更吧）&br&&figure&&img data-rawwidth=&720& data-rawheight=&960& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0010ad26ccb548759fee221f26a3cc7e_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0010ad26ccb548759fee221f26a3cc7e_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&br&（二更：很多人问这种钱的来历，实际上这玩意说多了一容易被删，二警察叔叔找你喝茶，我就举一例子吧，比如啊，比如，你们注意下你们附近，有什么新开业的水世界、大型景点、影视城，尤其是完全新造的这一类项目么，你看看他们赚钱吗。实际上就是政府在郊区闲着地，然后邀请人来开发，开发商入场投资百分之10、20，然后给政府说我们没钱啦，你看协调地方银行贷款吧，贷出来我们在开发，然后就等于拿了个建设了百分之十的地方+一大片荒草湖畔，让地方拿贷款开始补窟窿，地方不能让这个项目倒啊，而且还是政绩，于是大家都要想办法把这个事儿继续下去。有的就直接夭折了，有的就股份交易出去了，再有的就是卷钱跑了，什么情况都有，你说谁傻，谁都不傻，这就是套路。然后在这种地方，弄个什么音乐节，或者投资个主题电视剧，这不就来了）&br&&br&其实这个事儿说起来，就如同三国里面，曹、孙、刘或暗流涌动或剑拔弩张，而各类社会公司，则如同一员员猛将，而猛将，则需要趁手的兵器，冷艳锯、长蛇矛、方天画戟，以及...枪，而我，就是一杆顺手的枪。&br&&br&第一就是投资电影，电影行业制作经费及其不透明，比如剧本撰写，你找A公司写剧本，价格可以是十万，也有可能二十万、五十万，这剧本到底什么水平、会不会火，都无法评判…其他的比如演员、设备等都是同样道理，然后号称投资一个亿的电影，可能实际拍摄经费只有几百万，然后剩下的钱都被洗白、回笼了，至于票房，那都无所谓了…&br&&br&我前几年时候被人家这么当枪使了一次，后来才知道是洗钱，当时一朋友找我拍一小片，预计规模让我按三十万拍，本着给朋友省钱的原则我花了25给人家拍完，连拍带制作花了俩月，中间这朋友就来探班一次，嘻嘻哈哈的，我还想着心真宽，拍个东西看都不看，然后后来走账的时候制片就私底下找我，说甲方让把账都交了，不用结算，我就觉得味儿不对，一般情况甲方都要再核的，连核算都不核算吗，就去找朋友，结果那会儿才给我说，是某公司过桥资金，根本不在乎拍什么，只要有出处，能看见东西，有交代了就行了，后面都和我无关。把我气的啊，我可是当个事儿干的，耗心耗力的，一群人风吹日晒到头来不过是资本游戏的小卒，连真boss什么样都没看见就完了。最后我问朋友，我说我也不想知道具体什么事儿，我就想听个明白话，我这项目能洗多少钱，我朋友说千把万吧，当时我整个人都不好了……三十万洗一千万……要拿这个预算出去宣传，内行看见不被笑死，那简直是最黑暗的几个月……&br&&br&&br&&b&（更新内容）&/b&&br&所谓洗钱，必然是和非法收入挂钩的，那么这玩意怎么产生的呢，今天有时间坐下来更新下这块内容，影视行业为什么容易洗钱，其实主要是混乱，不只是我上面提到的这么简单。我举个具体的分例子：&br&前几年高铁宣传片，号称张艺谋导演，投资1850万，结果后来追查起来，张艺谋这边态度很明确：根本不是他导演的，只是看到片子提了提意见。从此事，便可以见一斑。&br&具体怎么操作呢，可以这样：比如拍这个片子需要的设备总共50万吧，我偏不买，我租，审计上是摸不到这个漏洞的，因为如果采购设备，那是财政专款要开政府采购通道的，而这种宣传部门的立项是不可能再去采购什么的，所以最终还是走租赁（核算到制作费里），然后设备大大小小几十数百件，我挨个标价，然后核算出来比如一天租赁费用3万，好了，租给你100天（项目多长租期多长就可以，很多电影都是200天、300天的），获利300万，其实这没什么成本的，这300也是左右手倒而已。然后什么艺术指导、特别顾问、挂名编剧、外联制片等各类名目多不胜数。一个常见的电影剧组，从70到250人不等，都没有明码标价，你去造吧，导演1万一天，先来100天的，灯光、摄像等等等等（我用过两万一天的灯光师），说个托大的话，给我一下午，我给你整个1800万的影视预算单就能让你看的一愣一愣的。&br&为什么会产生这种问题，其实究其原因，主要是目前圈内制作经费极其不透明，具体情况就是甲方先委托乙方制作某片，国内基本上没什么影视公司能随时养着一个完整的组，那么就会在社会上招募组成一个团队，乙方为甲方做两件事儿：一，走税，这个有点财务常识的可以给大家普及一下，我就不展开了，第二就是找这个拍摄团队来执行这个项目，一般组成无外乎制片团队、编剧团队、导演团队、拍摄及设备、演员，这个团队就是个临时组织，你今天用的这批场工和群演，明天就不一定是这一批，去过横店的应该有感觉，人山人海。什么几十万一集的剧本，百万的布景，林林总总，不一而足，什么价格都有。&br&后来高铁这个被看出来了，然后追责了，果然是有问题，但问题是每年有无数这种片子，只是这个被抓了，其他的呢，反正每年百万级的制作多如牛毛，这就没法估算了。&br&&br&&br&第二，演唱会，很多时候你会发现某些演唱会票特别好找，甚至都是送票，如果这种演唱会不是冠名或者包场，而是盈利的演唱会的话，那九成九是洗钱……一个公司投资演唱会，设立购票点，另一公司大量买票分销，两个公司相互倒票，投资个一二百万，然后洗个几千万票房，最后大家看演唱会都不用花钱…&br&&br&演唱会这得四五年前了，我们给一个巡演做落地执行，也是被人当枪。&br&所谓落地执行，是演唱会要在某地开，需要一个本地团队协调本地所有事宜，如宣发、设备、演员食宿、班底、技术、报备、场地等所有的一切，除了宣发，总体执行费给了我们一百上下，需要全都安排好。&br&这个演唱会是某著名主持人加上几个歌星的全国巡演。我们这边我找了一帮经常做演唱会的老手组了个团，帮他们做地推、宣发、售票，反正一切都是按照正常来，打广告计划，准备铺整个城市的宣传，然后计划出来我去找甲方批预算，那会儿离开票还有一个月，我预计五十先烧一个月宣传然后开票后再烧五十，这样整体操作下来不过200，可以说很合适，结果去了甲方就把宣发费用驳回来了，说只有十万预算你看着花吧，我都懵了，再问就是没钱，没办法啊，那就用票置换吧，这一个月我就拿票置换，什么电视广播门店地推能用票置换的全用票，但是我知道负面效果就是没售票前市面上就会流出关系票，对票房其实很不好，那会儿和甲方是一天一会，我就在会上提，结果甲方都表示无所谓，那好吧就这样弄吧，反正我们只是执行和售票收入不挂钩的。然后开票以后，又给了十万，偌大的演唱会俩月宣传周期就给了二十万，这会儿我就琢磨着不对味了，照这样准赔，演唱会除了冠名就是票房了，我们当时预期不高但是这么弄肯定也有问题，我就给甲方多次反映，宣发力度和售票力度不够问题，甲方表示呵呵，管好你自己就行，我那会儿就心虚，这个圈子就这么小，还是那句话我干砸了人家圈子里得说我本事不行，但是碰见这样的甲方，也无奈。我后来都不敢问票务出了多少票，我怕太惨烈。最终开场前一周，要去看音响线阵的高度和功率（需要结合人数），音响技术就问我，坐多少人啊，要算声音吸收什么的，我咬咬牙，说按八成布吧，管他呢。&br&然后我回去忍不住问票务组，我说你给我说实话卖了多少，那会儿甲方票务是个小姑娘我天天逗她，她就悄悄给我说：哥你别给别人说，就卖了不到1000张。&br&我当时就震惊了！！三四万人的体育场，就卖了一千张！！！这太扯淡了吧，显然不对啊！！然后我就有点方，给当时一老大哥打电话，说这个情况，老大哥沉吟了半天，说你来我这儿一趟吧。我直接就去了，然后老大哥就说，这个情况，就是洗钱，最后几天你注意注意票机（打演唱会防伪票专用的机器）在哪，看看怎么出的票。多留心眼。不过别担心有什么问题，因为是执行方，无所谓的，只不过是让人当枪使了。&br&然后果不其然，最后几天票务他们关起门来把所有票都打出来了……好几万张堆在办公室…&br&然后就是一片混乱，打出来的票无论标价多少，送人的送人，低价售出的售出，甚至卖10块钱一张，然后要么就是给黄牛，总之就是迅速的把这几万票撒向了市场，当时所有工作人员都可以随便拿票送票，我手里天天一二百张往外送，简直是狂欢。一结合老大哥说的，我就明白这个路子了。&br&就是首先立项，宣布作演唱会，然后拿出一百万资金来运作，这时候，成立组委会售票，比如有4万座椅，那么就是（40000X座椅价格）的钱会以合法途径收入进来（售票都是小额，一张票无外乎380、480这种价格），而且无记名、不用身份证，来源完全不可查。当时最好的票是定价2980第一排，然后VIP，这种大概5000张（就是演唱会时中心那个区域靠近舞台的），后面的680、580等等，总体票房三千万上下。也就是说，最终花了150万，洗了大概（能推算的）3000万……&br&最后，演唱会当天座无虚席。&br&&b&（更新内容：）&/b&&br&关于明星费用，第一个，明星没想象的那么贵，尤其是歌星，可以说和影视明星现在差距很大，国内演唱会出场费过200这个坎儿的，国内不足5人，100这个坎儿的，也就30人上下，大部分的，尤其是一些拼盘（大明星带小明星一堆人），明星都是十万二十万而已，具体的价格这个我也没法说，怕人家明星来骂我，但是真心没那么贵，尤其是一些没有票房号召的，更是如此，再加上几大厂牌都爱做推新人、拼盘、全国巡演，这种一场下来艺人的钱并不多，尤其是和厂牌直接签巡演的那种，定价都是厂牌说了算的。&br&关于演唱会赚不赚钱，我给各位大老板说，如果某人怂恿你投资演唱会，除了几个特定的票房号召力之外，一听不靠谱的人，直接大嘴巴抽他，迄今为止，演唱会性质也是赌博，赚和赔完全赌明星魅力，你们看着现场人山人海，那都是虚假繁荣，演唱会赔钱的比比皆是，保守估计5成赔钱，再深了就得开新帖子说了，没必要。反正演唱会远远不是你们想的那样，这个演唱会，为什么说洗钱，其实是资本游戏，我说个复杂点的原理，看个乐就行了，别深究：&br&&p&我们选一个明星，比如我吧，清五郎大爷，国内一线二胡演奏家，有点眼缘有点人缘，有些疯狂女性老粉丝，然后，一些会玩资本的演出商就参股全国总包的20%，然后再把这些股份分批卖出去，总还是个明星，所以总会有人买单。等演出结束，因为上座率不理想，结算下来赔了钱，参股两成的演出商反倒是高枕无忧，因为股份已经卖出去，赔钱与己无关，赚钱才要重新分账。&/p&&p&演唱会本身就是市场行为，有市场就会有资本，也有些歌手比如一些港台的（尤其是港台，韩国，因为他们娱乐市场起的早，这些亏早就吃过了，市场成熟）全程自己把控，不卖冠名，不要赞助，就是不想被利益集团和资本玩家绑架。但是没有商务合作就很难担负成本，所以在人气虚火的背后，还有资本虚火。一些玩家不生产演唱会，只是演唱会的搬运工罢了。&/p&&p&林林总总，这里面都是经济模型，和洗钱有关又无关，我就不展开了。总之很复杂啦。&/p&&br&&br&&br&再更新一个就是《雷锋的故事》，那个其实不是洗钱。那是套钱。用的是套当地文化产业“动漫扶持基金”，一些地方为了扶持文化发展会有专项金，比如你做动画片，在政府立项，然后只要项目合适，地方就会扶持你，2008到10年是扶持高峰期，具体操作就是你做一分钟动画，当地政府在扶持金里面就拿出比如200块扶持你，最终按照你动画的长度（总分钟数）给你一个钱，雷锋那个就是相互套钱，他以极低价格（比如30块/分）先去套政府扶持（200/分），然后当地政府为了政绩会帮他联系播出渠道，播出渠道打通后，在播出的时候，电视台会买他的版权（央视给他一部分补偿，价格很.低，有几年我记得20~130/分），他两头赚钱，地方赚政绩，央视赚播出时长，三赢，至于内容，谁在乎。那几年催生了大量这种项目，只不过这些年轻的动画人不懂，这只是场政治游戏，而不是真要你画出什么来。很多年轻人开了动画公司，看到政府鼓励动画，并且补贴，大脑里热血翻涌，爱国心与动漫梦一起爆发，原本200/分的成本自己精益求精搞到1000/分的水平，然后赌上一切做，以为能成就一番事业，可惜，都没看明白，政府扶持了一段，觉得没意思，或者又有了新扶持领域了，政策瞬间改变，动漫不再吃香，可惜了那些动漫人，被政策坑的倾家荡产。抱着精致的手稿摇头叹息。大家可以看看这几年火的一些动画，往前推推前几年都有个这种断崖式的波浪，就是这个原因。我一个大学同学就是这样，一腔热血之下组织了30个人的团队，画了两年，然后政府一刀切，扶持不再拨，每月光工资亏空就十几万，结果一年之内破产，负债二百万，十年过去没缓过来。&br&&br&&br&&br&——&br&这是和洗钱失败的案例，但是其中可见一斑：&br&&br&来源：法制日报-法制日报&br&记者：马超 通讯员：张滨滨&br&原标题：电影《一夜成名》制片人非法吸储3000万被判刑&br&&br&他是一名红酒经销商，原本生意做得有声有色，然而一直梦想暴富的他，选择了进军房地产市场。为了广泛的筹集资金，他以开发房地产、经营红酒需要资金为由，以高息为诱饵，与社会公众签订委托理财合同，累计200余人存款共计3000余万元。&br&&br&楼盘还没盖起来，他又想着能够出名，于是又贸然进军影视业，投资拍电影，担任制片人。由于拍摄电影需要巨额资金，于是他将非法吸收来的原本用于房产开发的资金挪用过来，邀请著名导演、聘请演员。最终，由于投资拍摄的电影《一夜成名》票房惨淡，他赔的血本无归。而此时，面对储户们的讨债，他选择了逃避，并被公安机关网上追逃。&br&&br&&br&《一夜成名》剧照&br&&br&记者从江苏省邳州市人民法院获悉，该院近日审结了这起特大非法吸收公众存款案，被告人王某犯非法吸收公众存款罪，判处有期徒刑五年八个月，并处罚金人民币二十万元。据悉，王某标榜自己为清华大学硕士、影视集团总裁、法国某红酒庄园庄主、著名电影制片人。&br&&br&红酒商人进军房地产，非法吸储2600余万&br&&br&王某本是邳州的一个红酒经销商，因脑子灵活、思路开阔，他的红酒生意做得有声有色，代理的法国某品牌红酒远销江苏、山东等多省，一年下来经销额过百万不成问题。&br&&br&2010年，正是邳州经济社会快速发展的时期，居民手里有了钱，各种贷款咨询公司、抵押担保公司如雨后春笋般涌现，市区里的小区楼盘也卖得红红火火，一心想发财的王某不甘寂寞，准备涉足房地产和信贷业务。&br&&br&2010年4月，王某在邳州市工商局注册成立徐州银泽抵押贷款有限公司（以下简称银泽公司），为了投机取巧，他找来亲戚陈秋枫作为法定代表人，自己则是实际经营管理者。公司注册的经营范围是抵押贷款信息咨询服务，房屋租赁居间、代理，房屋买卖居间、代理。&br&&br&“做红酒生意时，偶尔也会资金周转不过来，我从朋友手里借来钱，等资金回笼后，连本带息还给他们，对于信贷业务，我自认为很有经验。”谈到开办抵押贷款公司，王某信誓旦旦。&br&&br&通过前期考察，王某看中了位于邳州市解放东路的一块地皮，这里临近公园、交通便捷又是学区，附近的几处楼盘都卖得很火。项目有了，差的就是钱，为了广泛的集来资金，王某在邳州老城区和新城区各物色了一处门面。&br&&br&搞电影得有点套路！&br&&br&“人靠衣装马靠鞍，门市是公司的脸面，必须敞亮，别人才能信咱们的家底。”王某先是对门市做了精致豪华的装修，又找来宣传公司制作了精美绚丽的广告牌。就这样，银泽公司一部和二部应运而生。为了让外人相信自己的实力，王某还购买了最新款的宝马轿车，平日里吃穿用的都是高档名牌，见过他的人都说王总底子厚，投资给他肯定赔不了。&br&&br&随后的2010年到2012年间，王某以银泽抵押贷款公司为依托，以开发房地产、经营红酒需要资金为由，通过广告牌、条幅、工作人员宣传等方式，超出注册登记时的经营范围，以高息为诱饵，与社会公众签订委托理财合同，累计吸收梁某、李某、任某等200余人的存款共计人民币3000余万元。&br&&br&有了雄厚的资金作为后盾，王某竞标拿下了先前看中的地块，对房产项目进行开发。眼瞅着小区的楼盘越来越高，王某盘算着自己的盈利，除去工程成本、偿还借款以及自己挥霍的部分，真正能盈利的其实并不多。&br&&br&梦想成名投资拍电影，赔光资产成网上逃犯&br&&br&自己忙活一番，却挣不了多少钱，王某觉得在小县城打打闹闹实在没什么劲。“要干就干点大的，我的梦想就是发财成名。”王某不甘于在小县城里普普通通，一个念头在他脑海里闪过，他要拍电影、他要搞出更大的名堂。&br&&br&此后，王某多次前往北京，不惜重金结识了演艺圈的几位导演和演员，因为出手阔绰、挥金如土，谁都不知道王某背后的水有多深，他甚至对外宣称自己是某位老红军的后人，在政界、军界颇有关系。&br&&br&为了完成拍电影成名的美梦，王某通过朋友，花费重金购买了一部讲述“从农村走出来的原生态民歌手通过选秀节目一夜成名”的剧本，“听到这个剧本时，我心里莫名泛起一阵共鸣，我觉得故事里的主人翁和我很像，我要拍这部电影”。&br&&br&为了让自己的电影出彩，他将电影定位为一部载歌载舞的音乐喜剧，甚至请来了诸多大牌明星加盟参演。巨额的投入、大牌的明星、高额的票房回报……王某陷入了自己的美梦里不能自拔。&br&&br&拍电影可不是一件简单的事，前期铺垫、电影拍摄、团队维持、演员聘请等等都需要钱，为了支撑起《一夜成名》的黄粱美梦，王某将房产项目的资金抽用到电影里，《一夜成名》仿佛就像一个望不见头的无底洞，让王某筋疲力尽，可他却乐此不疲，全身投入到电影的拍摄过程中，真把自己当做一个电影导演。为了过出名瘾，他甚至在电影中客串了一把，电影中混杂着方言和普通话的他，可笑又可怜。&br&&br&2012年4月，电影《一夜成名》上线公映，为了宣传造势，王某通过媒体杂志和电影首映式等方式向社会公开宣传。这期间，为了维持自己的美梦，王某继续向他的“储户”吸收着存款。电影《一夜成名》下影后，因为观众评价一般，票房收入仅达到可怜的数百万元。&br&&br&因拍电影亏损严重，原来还有声有色的房产项目也变成了无法维持的烂尾楼。慢慢的，承诺的高额利息支付不了，面对储户们的催讨，他选择了躲避和搪塞。王某没有选择投案自首，积极主动偿还债务，而是跑到北京躲起债来。&br&&br&看到血汗钱要不回来，被王某坑害的储户们纷纷到公安机关报案。日，王某因涉嫌犯非法吸收公众存款罪被邳州市公安局网上追逃。日，王某在北京三里屯某酒吧内被北京市公安局朝阳分局抓获，同年1月28日被邳州市公安局民警带回审查。&br&&br&面对事态败露，王某如实供述了自己的主要犯罪事实，公安机关也将银泽公司的房产予以查封，并扣押了王某所有的红酒、宝马轿车等财物。&br&&br&法院审理认为，被告人王某违反金融管理法规，未经有关部门批准，向社会公众吸收资金，扰乱金融秩序，数额巨大，其行为构成非法吸收公众存款罪。其吸收的巨额资金无法归还，引发社会矛盾，危害性较大，酌定从重处罚，鉴于王某归案后如实供述自己主要罪行，依法可从轻处罚。遂作出上述判决。&br&&br&&br&最后惯例，安利下我风格迥异的一篇文章，让大家对我的出身产生了怀疑的文章：&br&街头斗殴中如何保护自己（一共三篇哈哈，要说和这个有什么关系，只能说和“枪”有关啊）&br&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&街头斗殴中何保护自己（上） - 清五郎的文章 - 知乎专栏&/a&
更了个新闻在最后面 更新 ——————— 就我所在的行业，我知道两种大规模的洗钱办法…… （三更：最近又做了场演唱会，发现行情又变，现在还没演完，演完单独再更吧） （二更：很多人问这种钱的来历，实际上这玩意说多了一容易被删，二警察叔…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&p&基本是的，至少在学过经济学的人眼里就是这样的，&b&马克思主义经济理论确实被边际价值理论打得毫无还手之力&/b&。因为马克思的理论流行于19世纪晚期的无产阶级装逼犯圈子里，所以其支持者对现代主流经济学基本无知，大底99.5%都以为凯恩斯归属于主流经济学，同时认为主流经济学没有解决经济危机问题，这些教徒嘛，充其量这辈子也就写写段子了。&/p&&p&事实上，和他们想象的不同，凯恩斯、以及支持凯恩斯系统方法论的新剑桥学派，琼.罗宾逊等经济学家，其学说并未被当代主流经济学所收纳。主流经济学所吸纳的是经希克斯等人改造后的宏观经济学模型，即著名的IS-LM模型。许多只读了一两页凯恩斯大战哈耶克的马教神棍都以为凯恩斯是经济学界主流而哈耶克是异端，并非如此，哈耶克的理论虽然没有涉及均衡模型，但和主流经济学是兼容的。凯恩斯的模型则完全不同，他的《通论》一直致力于推翻瓦尔拉斯一般均衡，和所有非主流的经济学家一样企图通过新的系统性的方法论让自己成为新世界的神様，然而他失败了。不过和其他神様不同的地方在于，通过给予货币理论更重要的优先级，他确实给经济学界指引了一个新方向，虽然这个方向上的主要贡献者并不是他自己。&/p&&p&至于经济危机问题，在主流经济学这块并不是很重要，每次GDP下行都会有人跳出来说这是资本主义的失败云云，然而是不是资本主义的失败重点在于因果识别，而非看几本古旧的书就跳出来嘴炮。“资本主义永远在失败，只是暂时得势，而社会主义永远会成功，只是一时挫折”这样的事是显然不可能的，资本主义&b&并不是&/b&一种被人类所精心设计然后予以实施的社会工程，主体鲜明、边界清晰，可以轻松地把锅推到上边——它是缓慢演进的人类惯习的汇总。公司制、合同法、有限责任、商业银行、中央银行，都是在不同时间为了解决不同问题而缓慢堆积出来的，马克思也无法定义一个资本主义，他只能疯狂的攻击生产资料私有制，并和其他早期社会主义者搭伙辱骂富裕的资产阶级。在20世纪的报纸革命家的嘴中所诞生的“资本主义”的概念，主要是生造出来和“社会主义”相对应的。社会主义支持公有制，那么资本主义就必须反对公有制，社会主义支持经济计划，那么资本主义就必须反对经济计划，社会主义认定货币必将消失，那么资本主义就必须坚决拥护货币。只要一段时间的GDP下行或者CPI飙高不是发生在一个各方面都符合社会主义标准的国家，报纸革命家们就可以很轻松的说这是资本主义的失败，虽然符合他们标准的国家都先把自己玩完了。&/p&&p&马克思也并不是唯一一个对经济危机提出自己的理论的人，其他很多人，非经济学家或者经济学家，抱大腿的或者大腿，不懂数学的或者懂数学的，同性恋或者异性恋，都对经济危机提出过自己的一套理论。毕竟，经济危机摆在这，世界经济也足够复杂，只要查查前几年发生过什么就能找到几百上千个因子，有定量的也有定性的，有带数据的也有纯描述的，有确实存在的也有纯凭感觉得，只要某些因子在几次经济危机前都存在，你就可以给出条作用到危机的因果线。在马克思这，是资本家发给工人的工资不足以购买所有劳动产品，在米塞斯这，是央行影响了投资者的风险决策，在熊彼特这，是创新不停的毁灭旧的生产关系，在主流经济学，因果线更是毫无节操的肆意繁衍，只要有新的数据，就会有新的因果。然而式姐是复杂的，每个因子都可以有自己的反方向作用因子，你说我发工资不够多，然而只要银行开贷款够快，这不是问题。你说我央行瞎操作，然而只要周转够快，这也不是问题。你说创新才是经济危机的罪魁祸首，然而只要鸡蛋在各个篮子里放的均匀一点，不仅不会被创新影响，还能搭上便车。闭着眼睛说哎呀我真聪明预见了经济危机谁都可以做到，但是这个原因是不是真是这次危机的原因，还是多种原因之一，还是被反向因子堵门里了根本就没发挥作用，这个就是主流经济学家要做的事情了。&/p&&p&（当然，还有一点就是，你发现一条因果线，不代表你就非得提出一种解决方案，在复杂系统中对单因子进行操作，很多时候可能会发现你的解决方案比你发现的问题更儍βi）&/p&&p&&边际价值理论&，在那些对旁门左道的经济学兴奋异常，却对现代主流一无所知的教徒眼里，大概只是个边际效用递减简单的六个字，然而发展到今天也是有过许多讨论的。比如，给效用一个数字，这个数字本身是否有意义？我说一个橘子对我的效用是6，一个苹果对我的效用是2，橘子就是苹果的三倍吗？那么1又由谁定义？一个橘子于我的效用是6，于另一人的效用是2，然而就是我更需要这个橘子吗？其深度的讨论往往就会涉及到伦理学，一列火车开过去压死1个人好还是压死5个人好那样的问题。因为伦理学并没有给出公认的答案，所以主流经济学对边际效用理论的具体作用形式实际上是持一种悬置的态度的，他们承认其是经济学的基础，并用无差异曲线（几乎最无争议的效用表现形式，重视边际替代率，轻视效用）来表达效用在微观上的处理，也会在需要的时候假设一些好看的带有基数效用味道的函数，但容易引起没意义的深度讨论的那些争议动作他们不会去做了，&b&因为不可能有答案&/b&。幸运的是他们发现其实也不需要去做，这个问题目前的讨论足够当成已解决了，也不影响对经济学高级课题的研究，那么继续搞它没啥价值，没必要像马教专门有一帮人天天揪着时间价值一样也派那么多人天天揪数值效用，&b&这样不经济&/b&。这其实和主流哲学的实用主义风潮也是相吻合的，能够实证的，我们就去做实证，无法实证的，我们报以最大的谨慎和勇敢，也试错，也复盘，一切以实践为准绳。不能阐释真理不一定是坏事，大部分时候，承认自己和真理的距离，本身就是真理。&/p&&p&如果说马教代表的是知识的谮妄的话，那么主流经济学代表的，则是知识的谦卑。&/p&
基本是的，至少在学过经济学的人眼里就是这样的，马克思主义经济理论确实被边际价值理论打得毫无还手之力。因为马克思的理论流行于19世纪晚期的无产阶级装逼犯圈子里，所以其支持者对现代主流经济学基本无知，大底99.5%都以为凯恩斯归属于主流经济学，同时…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a7d1c5b6ce88_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&325& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a7d1c5b6ce88_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&i&作者&/i& &a class=&member_mention& href=&https://www.zhihu.com/people/961e8cc4f7512fda1eae8e& data-hash=&961e8cc4f7512fda1eae8e& data-hovercard=&p$b$961e8cc4f7512fda1eae8e&&@留德华叫兽&/a&&i&系美国克莱姆森大学运筹学硕士，Ph.D. Candidate，后跳槽至欧盟玛丽居里博士项目，期间前往意大利IBM Cplex实习半年，现任德国海德堡大学交叉学科计算中心、组合优化实验室助理研究员，主攻图像处理。&/i& &i&欢迎原链接转发，付费转载请前往&/i& &a class=&member_mention& href=&https://www.zhihu.com/people/961e8cc4f7512fda1eae8e& data-hash=&961e8cc4f7512fda1eae8e& data-hovercard=&p$b$961e8cc4f7512fda1eae8e&&@留德华叫兽&/a& &i&的主页获取信息，盗版必究。&/i&&br&敬请关注和扩散本专栏及同名公众号，定期邀请&b&全球知名学者&/b&发布运筹学、人工智能中优化理论等相关干货、&a href=&https://www.zhihu.com/lives/users/961e8cc4f7512fda1eae8e& class=&internal&&知乎Live&/a&及行业动态：&br&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/operations-research& class=&internal&&『运筹OR帷幄』大数据人工智能时代的运筹学--知乎专栏&/a&&/blockquote&&h2&前言：&/h2&&p&&b&运筹学&/b&在国内，远没有新兴的人工智能以及传统学科统计来的普及。人工智能、统计最后几乎都能化简成求解一个&b&能量/损失函数的优化问题&/b&。但相信很多人不知道，&b&运筹学正是研究优化理论的学科&/b&。而因此，我把&b&运筹学&/b&称为人工智能、大数据的“&b&引擎&/b&”，&b&正本清源&/b&其在人工智能中重要性。&/p&&p&本文提纲：&/p&&p&1，运筹学、线性规划回顾
2，整数规划问题 3，什么是组合优化&/p&&p&4，非凸优化
5，整数规划与非凸优化的关系
&/p&&p&6，整数规划、非凸优化为何重要 7，整数规划在工业界的应用&/p&&p&8，整数规划在AI的应用和展望&/p&&p&注：以下文中黑体字代表其在学术界的术语&/p&&p&&br&&/p&&p&首先，对运筹学（&b&O.R.&/b&）还比较陌生的童鞋，请戳本专栏的开篇之作：&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=operations-research& class=&internal&&运筹学--一门建模、优化、决策的科学 - 知乎专栏&/a&&/p&&p&&br&&/p&&h2&1. 运筹学、线性规划（&b&Linear Programming&/b&）回顾 &/h2&&p&运筹学的初学者，欢迎查看我在下面的回答：&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&运筹学如何入门？ - 知乎&/a&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-dfbce8f748ac_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&315& data-rawheight=&160& class=&content_image& width=&315&&&/figure&&p&运筹学、数学规划（&b&Math Programming&/b&）问题的数学表达式，由自变量（&b&Variables&/b&）、目标函数（&b&Objective Function&/b&）和约束条件（&b&Constraints&/b&）组成，所有优化问题本质上都可以化简为由它们组成的数学表达式，然后求解满足约束条件下使得目标函数最大/小的变量的值。&/p&&p&&br&&/p&&p&如上图，当自变量是连续的，目标函数和不等式是线性的时候，该问题被称为线性规划问题。线性规划因其具有的良好性质（例如，最优解必定出现在极点），可以用单纯型法（&b&Simplex Method&/b&）或内点算法（&b&Interior Method&/b&）高效地求解，熟悉算法复杂度的童鞋，知道它是多项式时间可解的（&b&Polynomial Time Solvable--O（n^k）&/b&）。这里n表示自变量个数。&/p&&p&可行域（&b&Feasible Set&/b&）：可行解的集合。如下图，阴影区域（多面体、&b&Polyhedron&/b&）即为三个线性不等式（半平面）组成的可行域。是不是很眼熟？其实高中代数课大家就已接触过线性规划了。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8c30a2febb646_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&179& class=&content_image& width=&240&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&h2&2. 整数规划（&b&Integer Programming&/b&）问题&/h2&&p&整数规划，或者离散优化（&b&Discrete Optimization&/b&），是指数学规划问题中自变量存在整数。与线性规划连续的可行域不同，整数规划的可行域是离散的。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-b0526bbe74b18ab47e2fa8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&259& data-rawheight=&257& class=&content_image& width=&259&&&/figure&&p&如上图，蓝线依旧代表线性不等式，但是这里x,y被约束成整数变量，因此可行域变成了红线区域内的9个离散的点。&/p&&p&凸包（&b&Convex Hull&/b&）:整数规划所有可行点的凸包围，即图中红线组成的多面体（想象多维的情况）。凸包是未知的，已知的是蓝线的不等式，并且凸包是非常难求解的，或者形成凸包需要指数数量级的线性不等式（图中红线）。如果知道了凸包的所有线性表示，那么整数规划问题就可以等价为求解一个凸包表示的线性规划问题。&/p&&p&另外，除了整数规划，还有混合整数规划（&b&Mixed Integer Programming, MIP&/b&），即自变量既包含整数也有连续变量。如下图：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c065a494db4d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&255& data-rawheight=&197& class=&content_image& width=&255&&&/figure&&p&x是连续的，y被约束成整数变量，这时候可行域变成了4条离散的橘黄色线段+4处的红色整数点（0,4）。课后作业，求图中的凸包。&/p&&p&整数规划的精确算法通常需要用到分支定界法（&b&Branch and Bound Method&/b&）,以及增加分支定界效率的各种技巧，例如割平面方法（&b&Cutting Planes Method&/b&）。总的来说，求解整数规划的精确解是NP难的，也就是指数级算法复杂度（&b&Exponential Time Solvable&/b&）。&/p&&p&怎么来理解指数级复杂度呢？假设这里的整数是0,1变量，那么我们可以简单地理解为算法复杂度是2^n（需要解2^n个线性规划问题）。也就是说，每增加一个0，1变量，求解的速度就有可能要增加一倍！例如求解n=100的整数规划问题需要1小时，那么求解n=101的规模可能会需要2小时，n=102需要4小时，n=105需要32小时。。这就是&b&指数爆炸&/b&！&/p&&p&因此，整数规划问题被看作数学规划里、甚至是&b&世界上最难的问题&/b&之一，被很多其他领域（例如机器学习）认为是不可追踪（&b&Intractable&/b&）的问题，也就是他们直接放弃治疗了。&/p&&p&作为研究世界上最难问题的学者，想出了解决整数规划问题的各种其他途径，例如近似算法（&b&Approximation Algorithms&/b&），启发式算法（&b&Heuristic Algorithms&/b&），遗传算法（&b&Evolution Algorithms, Meta-Heuristic&/b&）等等。它们虽然不能求得整数规划的最优解，但是却能在短时间（通常多项式时间）内给出一个较好的可行解。&/p&&blockquote&篇幅限制，我将在下一篇专栏着重探讨整数规划精确解的算法、整数规划求解器、近似算法以及启发式算法，敬请期待。&/blockquote&&p&&br&&/p&&h2&3. 什么是组合优化(&b&Combinatorial Optimization&/b&)&/h2&&p&通俗的讲，我把组合优化理解为，在组合优化种可能性里找出最优的方案。假设自变量为n，用强力搜索法（B&b&rute&/b&-&b&force Algorithm&/b&）来解组合优化的算法复杂度最坏需要&b&n的阶乘&/b&！什么概念？这比指数爆炸还要可怕！&/p&&p&从这个意义上讲，组合优化是整数规划的子集。的确，绝大多数组合优化问题都可以被建模成（混合）整数规划模型来求解。但是似乎学术圈更多地把组合优化与图（&b&Graph&/b&）优化以及网络流（&b&Network Flow&/b&）优化联系在一起，并且最终目标不在精确解，而是近似解。（这点可以从整数规划的国际会议上看出）&/p&&p&Anyway，这里开始，我将混淆整数规划、离散优化、组合优化。&/p&&p&下面给出一个经典的组合优化例子-最大流问题（&b&Max Flow Problem&/b&）：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d3e155a097be3e91af0b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&394& data-rawheight=&183& class=&content_image& width=&394&&&/figure&&p&给定一张图G（V，E），V是点（&b&Node&/b&）的集合，E是边（&b&Edge&/b&）的集合。该问题试图从点0到5导流最大的流量，边上的数字代表该条边的最大流量，因此形成了约束条件--每条边的流量不得超过该条边的限额。自然而然地，该问题可以被建模成一个整数规划问题。&/p&&p&我们跳过模型和算法，直观的判断该问题的算法复杂度大概为多少。设想从0出发，有俩种可能线路，0到1以及0到2；从1和2出发，有分别有俩种可能的线路。因此，可以初步判断，改问题如果用强力算法（穷举法），算法复杂度将为指数级！&/p&&p&但是聪明的组合优化学家，把这个看似指数级算法复杂度的问题，用巧妙的算法多项式时间便可求解出最优解。This is the beauty of Mathematics!&/p&&blockquote&时间关系，该问题的具体模型和近似算法，会放在下一篇专栏展开，有兴趣的可以搜索“Max Flow/Min Cut”。&/blockquote&&p&&br&&/p&&h2&4. 非凸优化 （&b&Non-Convex Optimization&/b&）&/h2&&p&凸（&b&Convex&/b&） VS 非凸的概念，数学定义就不写了，介绍个直观判断一个集合是否为Convex的方法，如下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-1c05d08d7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&328& data-rawheight=&153& class=&content_image& width=&328&&&/figure&&p&简单的测试一个集合是不是凸的，只要任意取集合中的俩个点并连线，如果说连线段完全被包含在此集合中，那么这个集合就是凸集，例如左图所示。&/p&&p&凸优化有个非常重要的定理，即任何局部最优解即为全局最优解。由于这个性质，只要设计一个较为简单的局部算法，例如贪婪算法（&b&Greedy Algorithm&/b&）或梯度下降法（&b&Gradient Decent&/b&），收敛求得的局部最优解即为全局最优。因此求解凸优化问题相对来说是比较高效的。这也是为什么机器学习中凸优化的模型非常多，毕竟机器学习处理大数据，需要高效的算法。&/p&&p&而非凸优化问题被认为是非常难求解的，因为可行域集合可能存在无数个局部最优点，通常求解全局最优的算法复杂度是指数级的（NP难）。如下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-15fbe3739bda767c0ffe2efecb5877ab_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&638& data-rawheight=&479& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&638& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-15fbe3739bda767c0ffe2efecb5877ab_r.jpg&&&/figure&&p&最经典的算法要算蒙特卡罗投点法(M&b&onte Carlo Algorithm&/b&)了，大概思想便是随便投个点，然后在附近区域（可以假设convex）用2中方法的进行搜索，得到局部最优值。然后随机再投个点，再找到局部最优点。如此反复，直到满足终止条件。&/p&&p&假设有1w个局部最优点，你至少要投点1w次吧？并且你还要假设每次投点都投到了不同的区域，不然你只会搜索到以前搜索过的局部最优点。&/p&&p&&br&&/p&&h2&5. 整数规划与非凸优化的关系
&/h2&&p&大家或许不知道，（混合）整数规划被称为极度非凸问题（&b&highly nonconvex problem&/b&），如下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-b0526bbe74b18ab47e2fa8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&259& data-rawheight=&257& class=&content_image& width=&259&&&/figure&&p&实心黑点组成的集合，是一个离散集，按照4中判断一个集合是否为凸集的技巧，我们很容易验证这个离散集是非凸的，并且相比4中的非凸集更甚。因此整数规划问题也是一个非凸优化问题。&/p&&p&&br&&/p&&h2&6. 整数规划、非凸优化为何重要&/h2&&p&虽然时间是连续的，但是社会时间却是离散的。例如时刻表，通常都是几时几分，即使精确到几秒，它还是离散的（整数）。没见过小数计数的时刻表吧？&/p&&p&同样，对现实社会各行各业问题数学建模的时候，整数变量有时是不可避免的。例如：x辆车，y个人。x，y这里便是整数变量，小数是没有意义的。&/p&&p&决策变量(&b&Decision Varible&/b&): x={0,1}.&br&&/p&&p&0/1变量被广泛地应用在商业和决策领域。我们假设变量x={0,1}，当x=1的时候，我们便可以建模执行x这个决策；x=0，则表示不执行。这样引入决策变量x的建模技巧，在工业界案例中屡见不鲜。&/p&&p&从这些案例，&b&社会是由一个个离散变量组成的&/b&。&/p&&p&关于非凸优化，现实生活中，万物的本质是非凸的，就像万物是趋于混乱（&b&Chaos&/b&）的，规则化需要代价。如果把4中的图看作山川盆地，你在现实中有见过左图那么“光滑”的地形么？右图才是Reality！&/p&&p&说到这里，当然不能否定了凸优化和连续优化的作用，科学的本质便是由简到难，先把简单问题研究透彻，然后把复杂问题简化为求解一个个的简单问题。求解整数规划便是利用分支定界法求解一个个线性规划问题，非凸优化同样如此。&/p&&p&&br&&/p&&h2&7. 整数规划在工业界的应用&/h2&&p&路径优化问题（&b&Routing Problem&/b&）--交通领域（GPS导航）；&/p&&p&仓储、运输等物流（&b&Logistics&/b&）以及供应链(&b&Supply chain&/b&)领域；&/p&&p&制造业里的生产流程优化（&b&Process Optimization&/b&）；&/p&&p&电力领域的电网的布局以及分配(&b&Power Grid&/b&)；&/p&&p&电子工程里的设施部件分配问题(&b&Facility Layout Problem&/b&)；&/p&&p&能源领域的优化，如：如何铺设输油管道；&/p&&p&火车、课程、飞机时刻表安排问题等调度问题 (&b&Scheduling Problem&/b&);&/p&&p&资产配置 （&b&Asset Allocation&/b&）、风险控制 (&b&risk managemen&/b&t)等经济金融领域的应用；&/p&&p&以上工业界的应用，频繁使用着决策变量，以及整数变量，建模成（混合）整数规划模型，而机器学习（ML），特别是深度学习（DL），至今没有怎么渗透进来。也希望有志青年探索ML、DL在这些领域的应用。&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&国内(全球)TOP互联网公司、学术界超高薪的揽才计划有哪些？&/a&&/p&&p&&br&&/p&&h2&8. 整数规划在AI的应用和展望&/h2&&p&如果你是AI初学者，请戳：&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&大话“人工智能、数据科学、机器学习”--综述 - 知乎专栏&/a&&/p&&p&这里我举一个统计和机器学习的例子，这个模型也可以和统计里经典的&b&Lasso&/b&问题联系起来，以及可以给出&b&L0范数问题&/b&的精确解。&/p&&p&如下图，是一个分段常数回归问题。统计中大家都知道线性回归和常数回归，其中常数回归即求一组数的平均值。但是这里，我们想对数据分段，并且不知道分段的节点在哪里。如下例所示，假设n个点，要分成三段作常数回归，节点有2个。那么节点的选择有n选2种可能性，从这个意义上理解，这个问题是一个组合优化的问题。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cb3b7ec15da2dea59a3524e7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&910& data-rawheight=&677& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&910& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-cb3b7ec15da2dea59a3524e7_r.jpg&&&/figure&&p&自变量有实数变量w和整数变量x，y_i是常数，即点i的值，w_i是回归值，上半部分的表达式可以看作是伪表达式（pseudo formulation），L0函数即向量中非零的个数（可能需要一些高等的数学知识）。我们直接看下半部分的混合整数非线性规划模型。&/p&&p&我们引进了一个0/1决策变量，X_{ei},这个变量是作用在边上的。我们希望当它是处于节点位置，即俩段常数回归的临界处，就等于1；但它处于某一段常数回归中间时，就等于0.&/p&&p&因此目标函数前半部分是回归方程，希望回归的误差越小越好，后半部分即为规则化项（&b&regularization term&/b&），用来约束分段的个数，来惩罚过多的分段以防止过拟合（&b&over-fitting&/b&）。大家经常可以在信号处理、图像处理中看到这样的目标函数。&/p&&p&约束条件第一个不等式保证了同一个分段回归中，w_i和w_{i+1}的值相等，因为x_{ei}=0；而在节点处，他们可以不相等，M是一个很大的常数，以保证节点处x_{ei}=1时，不等式总是成立。&/p&&p&写出了这个整数规划模型，我们就可以编程并调用整数规划的&b&优化求解器&/b&来求解这个问题的最优解。例如IBM Cplex。虽然整数规划通常的算法复杂度是指数级的，但是比起强力搜索，还是会高效很多很多。这样我们就可以得到每个点的回归值w以及分段的节点，即哪些点x_e=1。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&展望：&/b&&/h2&&p&深度学习的优化问题在运筹学看来是“小儿科”，这句话可能会打脸大部分观众。虽然目标函数非常复杂，但是它没有约束条件阿！&/p&&p&深度学习里的损失函数，是一个高度复合的函数。例如h(x)=f(g(x))就是一个f和g复合函数。深度学习里用到的函数，Logistic, ReLU等等，都是非线性 ，并且非常多。把他们复合起来形成的函数h,便是非凸的。但是深度学习训练参数的优化问题，本质是一个无约束的非凸优化问题。求解这个非凸函数的最优解，类似于求凸优化中某点的gradient，然后按照梯度最陡的方向搜索。不同的是，复合函数无法求gradient，于是这里用方向传播法（&b&Back Propagation&/b&）求解一个类似梯度的东西，反馈能量，然后更新。&/p&&p&机器学习、数据科学因为处理数据量庞大，因此研究问题主要的方法还是凸优化模型（包括线性规划、锥优化），原因正是求解高效，问题可以scale。&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/?group_id=992896& class=&internal&&想学数据分析（人工智能）需要学哪些课程？ - 知乎&/a&&/p&&p&虽然目前还很小众，但是随着计算机硬件能力的提高，以及GPU并行计算的流行，以及非凸优化算法、模型的进化，想必非凸优化，（混合）整数规划会是未来的研究热点。&/p&&p&敬请关注我老板，Gerhard Reinelt 教授，以及我们的合作教授之一，法国Rouen的Stephane Canu教授，最近便投身于整数规划在机器学习的应用。（当然还有我：）以及蒙特利尔的Andrea Lodi教授，目前与Yoshua探索着MIP与DL的交叉。当然还有运筹学界泰斗之一，MIT ORC的Dimitris Bertsimas，近十年都在统计、数据学界推崇整数规划。&/p&&hr&&p&如果你是运筹学/人工智能硕博或在读，请添加微信号：zf（备注请务必按照：姓名/昵称-加群类型-单位/学校-最高/在读学位-研究方向，&b