刚体静力学_大学生考试网
刚体静力学
第一篇 刚体静力学静力学研究物体在力系作用下平衡的普遍规律， 即研究物体平衡时作用在物体上的力应 该满足的条件。在本篇的静力学分析中，我们将物体视为刚体。刚体静力学主要研究三方面 的问题:（1）刚体的受力分析； （2）力系的等效与简化； （3）力系的平衡条件及应用。 刚体静力学的理论和方法在工程中有着广泛的应用， 许多机器零件和结构件， 如机器的 机架、传动轴、起重机的起重臂、车间天车的横梁等，正常工作时处于平衡状态或可以近似 地看作平衡状态。为了合理地设计这些零件或构件的形状、尺寸，选用合理的材料，往往需 要首先进行静力学分析计算，然后对它们进行强度、刚度和稳定性计算。所以静力学的理论 和计算方法是机器零件和结构件静力设计的基础。1第一章 刚体的受力分析基本概念 第一节 基本概念一、力的概念 人用手拉悬挂着的静止弹簧，人手和弹簧之间有了相互作用，这种作用引起弹簧运动 和变形。运动员踢球，脚对足球的力使足球的运动状态和形状都发生变化。太阳对地球的引 力使地球不断改变运动方向而绕着太阳运转。 锻锤对工件的冲击力使工件改变形状等。 人们 在长期的生产实践中，通过观察分析，逐步形成和建立了力的科学概念：力是物体之间的相 力 互机械作用， 这种作用使物体的运动状态发生变化或使物体形状发生改变。 物体运动状态的 改变是力的外效应，物体形状的改变是力的内效应。 实践证明，力对物体的内外效应决定于三个要素： （1）力的大小； （2）力的方向； （3） 力的作用点。 力的作用点表示力对物体作用的位置。力的作用位置，实际中一般不是一个点，而往 往是物体的某一部分面积或体积。例如人脚踩地，脚与地之间的相互压力分布在接触面上； 物体的重力则分布在整个物体的体积上。 这种分布作用的力称为分布力 但有时力的作用面 分布力。 分布力 积不大，例如钢索吊起机器设备，当忽略钢索的粗细时，可以认为二者连接处是一个点，这 时钢索拉力可以简化为集中作用在这个点上的一个力。这样的力称为集中力 集中力。由此可见，力 集中力 的作用点是力的作用位置的抽象化。 为了度量力的大小必须首先确定力的单位，本书采用国际单位制，力的大小以牛顿为 单位。牛顿简称牛（N） ，1000 牛顿简称千牛（kN） 。 在力学中要区分两类量：标量和矢量。在确定某种量时，只需一个数就可以确定的量 称为标量 标量。例如长度p时间p质量等都是标量。在确定某种量时，不但要考虑它的大小，还 标量 要考虑它的方向，这类量称为矢量 矢量，也称向量 向量。力p速度和加速度等都是矢量。矢量可用一 矢量 向量 具有方向的线段来表示。如图 1-1 所示，线段的起点 A（或终点 B）表示力的作用点，沿力 矢顺图 1-1 着箭头的指向表示力的方向；线段的长度（按一定的比例尺）表示力的大小。本书中用黑体 字母表示矢量，而以普通字母表示这矢量的模（即大小） 。图 1-1 中 F 表示力矢量，F 表示 该力的大小（F=600N） 。 力系是指作用在物体上的一组力。作用在物体上的一个力系如果可以用另一个力系来 力系 代替而效应相同，那么这两个力系互为等效力系 等效力系。若一个力与一个力系等效，则这个力称为 等效力系 该力系的合力 合力。 合力 二、质点和刚体的概念 如果我们仔细地考虑物体的机械运动，则运动情况总是比较复杂的。例如物体的落体 运动，一方面物体受到重力作用，另一方面它还受到空气的阻力，而空气阻力又与落体的几 何形状、大小及下降速度有关。但是在许多情况下，阻力所起的作用很小，运动的情况主要2取决于重力，因而可以忽略空气阻力，这样物体的运动就可看作与几何形状、大小等无关。 类似的例子很多，概括这些事实，我们可以看到，在某些问题中，物体的形状和大小与研究 的问题无关或者起的作用很小， 是次要因素。 为了首先抓住主要的因素和掌握它的基本运动 规律，我们有必要忽略物体的形状和大小。这样在研究问题中，不计物体形状p大小，只考 虑质量并将物体视为一个点，即质点 质点。质点在空间占有确定的位置，常用直角坐标系中 xp 质点 ypz 值表示。 力对物体的外效应是使物体的运动状态发生变化，力对物体的内效应是使物体发生变 形。在通常情况下，机械零件、工程中的结构件在工作时，受力产生的变形是很微小的，往 往只有专门的仪器才能测量出来。 在很多工程问题中， 这种微小的变形对于研究物体的平衡 问题影响极小，可以忽略不计。这样忽略了物体微小的变形后便可把物体看作刚体。我们把 刚体定义为由无穷多个点组成的不变形的几何形体，它在力的作用下保持其形状和大小不 刚体 变。刚体是对物体加以抽象后得到的一种理想模型，在研究平衡问题时，将物体看成刚体会 大大简化问题的研究。 同一个物体在不同的问题中，有时可看作质点，有时要看作刚体，有时则必须看作变 形体。 例如当研究月球运行轨道时， 月球可看作质点； 当研究月球自转时， 月球要看作刚体。 同样， 当研究车辆离出发点距离时， 车辆可看作质点； 当研究车辆转弯时， 车辆可看作刚体； 当研究车辆振动时，车辆则要看作变形体。 三、平衡的概念 物体相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态称为物体的平衡状态。例如桥梁p机 床的床身p高速公路上匀速直线行驶的汽车等， 都处于平衡状态。 物体的平衡是物体机械运 动的特殊形式。平衡规律远比一般的运动规律简单。 如果刚体在某一个力系作用下处于平衡，则此力系称为平衡力系 平衡力系。力系平衡时所满足 平衡力系 的条件称为力系的平衡条件 力系的平衡条件。力系的平衡条件，在工程中有着十分重要的意义。在设计工程 力系的平衡条件 结构的构件或作匀速运动的机械零件时， 需要先分析物体的受力情况， 再运用平衡条件计算 所受的未知力， 最后按照材料的力学性能确定几何尺寸或选择适当的材料品种。 有时对低速 转动或直线运动加速度较小的机械零件， 也可近似地应用平衡条件进行计算。 人们在设计各 种机械零件或结构物时，常常需要静力分析和计算，平衡规律在工程中有着广泛的应用。3第二节 静力学公理人们在长期的生活和生产活动中，经过实践p认识p再实践p再认识的过程，不仅建 立了力的概念，而且总结出力所遵循的许多规律，其中最基本的规律可归纳为以下五条： 1. 二力平衡原理 受两力作用的刚体，其平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等， 这两个力大小相等， 这两个力大小相等 方向相反，并且作用在同一直线上（图 1-2） 。简称此两力等值p反向p共线。即： 方向相反，并且作用在同一直线上F1=－F 2图 1-2 上述条件对于刚体来说，既是必要又是充分的；但是对于变形体来说，仅仅是必要条件。例 如， 绳索受两个等值反向的拉力作用时可以平衡， 而两端受一对等值反向的压力作用时就不 能平衡。 在两个力作用下处于平衡的刚体称为二力体 二力体。如果物体是某种杆件或构件，有时也称 二力体 为二力杆 二力构件 二力杆或二力构件 二力杆 二力构件。 2. 加减平衡力系原理 在作用于刚体上的任何一个力系上，加上或减去任意的平衡力系， 在作用于刚体上的任何一个力系上，加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对 刚体的作用效果。 刚体的作用效果 由二力平衡原理和加减平衡力系原理这两条力的基本规律， 可以得到下面的推论： 作用 在刚体上的一个力， 可沿其作用线任意移动作用点而不改变此力对刚体的效应。 这个性质称 为力的可传性 力的可传性，说明力是滑移矢量。在图 1-3 中，作用在物体 A 点的力 F，将它的作用点移 力的可传性 到其作用线上的任意一点 B，而力对刚体的作用效果不变。特别需要强调的是，当必须考虑 物体的变形时，这个性质不再适用。例如图 1-4 所示拉伸弹簧，力 F 作用于 A 处与作用于 B 处效果完全不同。图 1-3图 1-4根据力的可传性，作用在刚体上的力其三要素成为大小p方向和作用线的位置。这样力 作用在刚体上的力其三要素成为大小p方向和作用线的位置。 作用在刚体上的力其三要素成为大小 矢就可以从它作用线上的任一点画出。 本篇研究刚体静力学，故在本篇以后的叙述中， “物体”也代表“刚体” 。43．力的平行四边形法则 ． 作用在物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也作用于该点，其大小和方 向由两分力为邻边所构成的平行四边形的对角线表示。图 1-5 中 R 表示合力，F1pF2 表示 分力。这种求合力的方法，称为矢量加法，用公式表示为 R= F1+F2图 1-5 上述求合力的方法，称为力的平行四边形法则 力的平行四边形法则。 力的平行四边形法则 为了方便起见，在用矢量加法求合力时，可不必画出整个平行四边形，而是从 A 点作 一个与力 F1 大小相等p方向相同的矢量 AB，如图 1-6 所示，过 B 点作一个与力 F2 大小相 等p方向相同的矢量 BC，则 AC 就是力 F1 和 F2 的合力 R。这种求合力的方法，称为力三 力三 角形法则。 角形法则图 1-6 推论（三力平衡汇交定理） 当刚体受三个力作用（其中二个力的作用线相交于一点） 推论（三力平衡汇交定理） 当刚体受三个力作用（其中二个力的作用线相交于一点） 而处于平衡时，则此三力必在同一平面内，并且它们的作用线汇交于一点。 而处于平衡时，则此三力必在同一平面内，并且它们的作用线汇交于一点 证明 图 1-7 中，刚体上 ApBpC 三点，分别作用着互成平衡的三个力 F1pF2 pF3，图 1-7 它们的作用线都在平面 ABC 内但不平行。F1 与 F2 的作用线交于 O 点，根据力的可传性原 理，将此两个力分别移至 O 点，则此两个力的合力 R 必定在此平面内且通过 O 点。而 R 必 须和 F3 平衡。由力的平衡条件可知 F3 与 R 必共线，所以 F3 的作用线亦必通过力 F1pF2 的 交点 O，即三个力的作用线汇交于一点。 4．作用和反作用定律 ． 两个物体间相互作用的一对力，总是同时存在并且大小相等p方向相反p 两个物体间相互作用的一对力，总是同时存在并且大小相等p方向相反p作用线相 分别作用在这两个物体上。这就是作用和反作用定律。 同，分别作用在这两个物体上 例如车刀在加工工件时（图 1-8） ，车刀作用于工件上切削力为 P，同时工件必有反作用 力 P’加到车刀上。P 和 P’总是等值、反向、共线。5图 1-8 机械中力的传递， 都是通过机器零件之间的作用与反作用的关系来实现的。 借助这 个定律，我们能够从机器一个零件的受力分析过渡到另一个零件的受力分析。特别要注意的是必须把作用和反作用定律与二力平衡原理严格地区分开来。 作用和 反作用定律是表明两个物体相互作用的力学性质， 而二力平衡原理则说明一个刚体在两 个力作用下处于平衡时两个力应满足的条件。 5. 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡， 如将此变形体刚化为刚体， 其平衡状态保持不变。 变形体在某一力系作用下处于平衡， 如将此变形体刚化为刚体， 其平衡状态保持不变。 此公理提供了把变形体视为刚体模型的条件。如图 1-9 所示，绳索在等值、反向、共 线图 1-9 的两个力作用下处于平衡， 如果将绳索刚化为刚体， 其平衡状态保持不变。 反之不一定成立。 例如刚体在两个等值、反向的压力作用下平衡，如果将它用绳索代替就不能保持平衡了。 由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。在刚体静力学的 基础上，考虑变形体的特性，可以进一步研究变形体的平衡问题。 以上最基本的五条规律也称为静力学公理 静力学公理，这些公理不可能用更简单的原理去代替， 静力学公理 也无须证明而被大家所公认。静力学公理概括了力的基本性质，是建立静力学理论的基础。6第三节 力在直角坐标轴上的投影设空间直角坐标系 Oxyz 的三个坐标轴如图 1-10 所示， 已知力 F 与三根轴的夹角分别 为αpβpγ。此力在 xpypz 轴上的投影 XpYpZ 分别为：图 1-10? X = F cos α ? ? Y = F cos β ? Z = F cos γ ?投影是代数量。例如当 90 & α ≤ 1800 时，X 为负值。0（1-1）在一些机械问题中， 人们往往习惯于采用二次投影法。 设力 F 与 z 轴夹角为 γ p在 Oxy 平面分量 Fxy 与 x 轴夹角为 ? 。如图 1-11 所示，首先将力 F 投影到 z 轴和 Oxy 平面上，分 别图 1-11 得到 Fz = F cos γ 、Fxy = F sin γ ，然后将 Fxy 再投影到 xpy 轴上。结果为：? X = F sin γ cos ? ? ? Y = F sin γ sin ? ? Z = F cos γ ?（1-2）设 ipjpk 为 xpypz 轴的单位矢量，若以 FxpFypFz 分别表示 F 沿直角坐标轴 x pypz 的三个正交分量（图 1-12） ，则：F= Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk(1-3)7图 1-12F=X 2 +Y2 + Z2 X α = arccos , F? ? Y Z? β = arccos , γ = arccos ? F F?（1－4）如果已知投影 XpYpZ 的值，力 F 的大小与方向可由式（1-4）确定。 应当注意力的投影和分量的区别，首先力的投影是标量，而力的分量是矢量；其次对 于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。例如图 1-13 所示斜交坐标系 Oxy,力 F 沿 Oxp图 1-13 Oy 轴的分量大小为 OB 和 OC(图 a)，而对应投影的大小是 OD 和 OE（图 b） ，显然它们不 相同。 齿轮压力角α=200， 螺旋角β=250, 例1-1 已知圆柱斜齿轮所受的总啮合力 P=2828N， 如图 1-14 所示。试计算齿轮所受的圆周力 Ptp轴向力 Pa 和径向力 Pr。图 1-14解： 取坐标系如图 1-14 所示，使 xpypz 三个轴分别沿齿轮的轴向p圆周的切线方 向和径向，先把总啮合力 P 向 z 轴和 Oxy 坐标平面投影，分别为Z=－Psin α =－2828sin20 N=－967N，0Pn=Pcos α =2828cos20 N=2657N08再把力二次投影到 x 和 y 轴上，得到 0 0 X=－Pnsinβ=-Pcos α sinβ=-2828cos20 sin25 N=- Y=－Pncosβ=-Pcos α cosβ=-2828cos20 cos25 N=-2408N 各分力的大小分别等于对应投影的绝对值，即 轴向力 Pa 大小：Pa=|X|=1123N， 径向力 Pr 大小：Pr=|Z|=967N 周向力 Pt 大小：Pt=|Y|=2408N例1-2 在数控车床上加工外圆时，已知被加工件 S 对车刀 D 的作用力（即切削抗力）的三个分力为：Fx=300N，Fy=600N，Fz=－1500N，如图 1-15 所示，试求合力的大小和方向。图 1-15解： 取直角坐标系 Oxyz 如图 1-15b 所示。合力 R 在 xpypz 坐标轴上的分力为 Fx pFypFz。由于力在直角坐标轴上的投影和力沿相应直角坐标轴的分力在数值上相等，所以 合力 R 的大小和方向可由公式（1-4）求得，即 合力的大小为R= X 2 + Y 2 + Z 2 = Fx2 + Fy2 + Fz2= 300 2 + 600 2 + 1500 2 N = 1643N合力与 xpypz 轴的夹角分别为α = arccosβ = arccosFx 300 = arccos = 79 0 29 ' R 1643Fy = arccos 600 = 68035' R 1643 F γ = arccos z = arccos ? 1500 = arccos(?0.9130) = ; R 16439第四节 力对点的矩一、力矩的定义 用扳手转动螺母时，螺母的轴线固定不动，轴线在图面上的投影为点 O，如图 1-16 所 示。力 F 可以使扳手绕点 O（即绕通过点 O 垂直于图面的轴）转动。由经验可知，力 F 越 大，螺钉就拧的越紧；力 F 的作用线与螺钉中心 O 的距离越远，就越省力。显然，力 F 使 扳手绕图 1-16 点 O 的转动效应，取决于力 F 的大小和力作用线到点 O 的垂直距离 h。这种转动效应可用 力对点的矩来度量。力对点的矩实际上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩。 力对点的矩 设平面上作用一力 F，在该平面内任取一点 O 称为力矩中心 力矩中心，简称矩心 矩心，如图 1-17 力矩中心 矩心 所图 1-17 示。点 O 到力作用线的垂直距离 h 称为力臂。力 F 对点 O 的矩用 mo（F）表示或 mo 表示， 计算公式为： mo（F）=±Fh (1-5) 即在平面问题中力对点的矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积， 力矩的 正负号通常规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正，顺时针方向转动时为负。 力矩在下列两种情况下等于零： （1）力的大小等于零； （2）力的作用线通过矩心，即 力臂等于零。 力矩的量纲是[力]?[长度]，在国际单位制中以牛顿?米(N?m)为单位。 二、平面问题中力对点的矩的解析表达式 在力对点的矩的计算中，还常用解析表达式。由图 1-18 可见，力对坐标原点的矩图 1-18 mo（F）=Fh=Frsin(α-θ)=Frsinαcosθ-Frcosαsinθ=rcosθqFsinα-rsinθqFcosα10由于力 F 作用点 A 坐标 x=rcosθ,y=rsinθ；力 F 在 x 轴投影 X=Fcosα,在轴 y 投影为 Y=Fsinα。所以 (1-6) mo（F）=xY-yX 一旦知道力作用点的坐标 xpy 和力在坐标轴上的投影 XpY，利用式（1-6）便可计算出力 对坐标原点之矩，式（1-6）称为力矩的解析表达式。 例 1-3 力 F 作用在托架上，如图 1-19 所示。已知 F=480N，a=0.2m，b=0.4m。试求力 F 对 B 点之矩。图 1-19 解 直接计算矩心 B 到力 F 作用线的垂直距离 h 比较麻烦。现建立直角坐标系 Bxy， 将力 F 沿水平方向 x 和垂直方向 y 分解Fx = F cos 30 0 ,由公式 (1-6)得到力 F 对 B 点之矩Fy = F sin 30 0m0 (F) = x A Fy ? y A Fx = b ? F sin 30 0 ? a ? F cos 30 0 = F (b sin 30 0 ? a cos 30 0 ) = 480 × (0.4 × 0.5 ? 0.2 × 0.866) N ? m = 12.9 N ? m刹车踏板如图 1-20 所示。已知 F=300N，a=0.25m，b=c=0.05m，推杆顶力 S 为水平方向，F 与水平线夹角α=300。试求踏板平衡时，推杆顶力 S 的大小。例 1-4图 1-20 解 踏板 AOB 为绕定轴 O 转动的杠杆，力 F 对 O 点矩与力 S 对 O 点矩相互平衡。力 F 作用点 A 坐标为： x=b=0.05m, y=a=0.25m 力 F 在 xpy 轴投影为： X=－Fcos300=－260N Y=－Fsin300=－150N 由公式（1-6）得到力 F 对 O 点的矩 mo（F）=xY-yX=0.05×(－150)－0.25×(－260)N=57.5N 力 S 对 O 点的矩等于 S×c，由杠杆平衡条件Σmo（F）=0，得到11S=mo (F ) 57.5 N = 1149 N = c 0.05三、空间问题中力对点的矩 力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。对空间三维问题，我们需要建立力对点的 矩的矢量表达式。 设 O 点为空间的任意定点， O 点至力 F 的作用点 A 引矢径 r， 自 如图 1-21 所示。 和 r F 的矢积（叉积）称为力 F 对 O 点的矩，记作 mo(F)，它是一个矢量，O 点称为矩心。即 mo(F)=r×F （1-7）图 1-21 注意式（1-5）中 mo（F）为代数量（标量） ，而式（1-7）中 mo(F)为矢量。 设力作用点 A 的坐标（x，y，z） ，ipjpk 为 xpypz 轴上单位矢量，力 F 用坐标轴上 的投影 XpYpZ 表示为： F=Xi+Yj+Zk (a) 矢量叉积运算中 i×i = j×j = k×k =0，i×j =－j×i = k，j×k =－k×j = i，k×i =－i×k = j。 以 moxpmoypmoz 分别表示力矩 mo(F)在 xpypz 轴上的投影，由于 r=xi+yj+zk (b) 将(a)、 (b)式代入（1-7）式，根据矢量叉积的运算规则，得到 mo(F)= moxi+moyj+mozk=r×F=( xi+yj+zk)×(Xi+Yj+Zk)=(yZ-zY)i+(yX-xZ)j+(xY-yX)k （1-8） 于是得到? mox = yZ ? zY ? ? moy = zX ? xZ ?m = xY ? yX ? oz将矢量叉积 r×F 用三阶行列式表示：（1－9）i m o (F ) = x Xj y Yk z Z（1－10）在计算机上进行数值计算常运用公式（1-9）编制程序，公式（1-10）简捷明了便于记 忆。本节公式涉及高等数学中的矢量叉积p行列式等内容，希望同学们多练习p多计算，做 到熟能生巧。12大小为 200N 的力 F 平行于 Oxz 平面,作用于曲柄的右端 A 点， 例 1-5 如图 1-22 所示， 曲柄在 Oxy 平面内。试求力 F 对坐标原点 O 的力矩 mo(F)。图 1-22 解 曲柄上的右端 A 点坐标为： x=－0.1m，y=0.2m，z=0.0 力 F 在 xpypz 轴上的投影为 X=Fsin300=200×0.N Y=0.0 Z=－Fcos300=－200×0.8660N=－173.2N 力 F 对 O 点矩为i m o (F ) = x X = 0 .2j y Ykijkz = ? 0 .1 0 .2 0 .0 Z 100.0 0.0 ? 173.2 0 .0 i? ? 0 .1 0 .0 100.0 ? 173.2 j+ ? 0 .1 0 . 2 100.0 0.0 k0.0 ? 173.2= 0.2 × (?173.2) i ? (?0.1) × (?173.2) j ? 0.2 × 100.0k = ?34.64 i ? 17.32 j ? 20.0k即 Mox=－34.64N?m，Moy=－17.32N?m，Moz =－20.0N?m。 ，单位为米；对 O 点力矩 例 1-6 如图 1-23 所示，已知力 F 作用点 A 坐标（3，4，5） mo(F)=－6i+7j－2k，单位为牛顿q米。试求力 F 的大小和方向。 －图 1-23 解 力作用点 A 坐标为： x=3m， y=4m， z=5m 力 F 对 O 点矩在坐标轴上投影为 mox=－6N?m，moy=7N?m，moz =－2N?m 力矢量表达为：F=Xi+Yj+Zk 将坐标值p力和力矩投影代入式（1-9）得到：13? 4Z ? 5Y = ?6 ? ? 5 X ? 3Z = 7 ?3Y ? 4 X = ?2 ?求解上述三元一次方程组，得到 X=Y=2N，Z=1N。将 XpYpZ 代入公式（1-4）求得力 F 的大小:F=X 2 + Y 2 + Z 2 = 2 2 + 2 2 + 12 N = 3 NX 2 = arccos = 48011' F 3 Y 2 β = arccos = arccos = 48011' F 3 Z 1 γ = arccos = arccos = 70031' F 3力 F 与 xpypz 轴夹角分别为α = arccos14第五节 力对轴的矩在机电系统中， 存在着大量绕固定轴转动的构件， 例如电机转子p齿轮p飞轮p机床主轴等。 力对轴的矩是度量作用力对绕轴转动物体作用效果的物理量。 我们讨论图 1－24 所示手推门 的情况。设门绕固定轴 z 转动，其上 A 点受力 F 的作用。将力 F 沿 z 轴和垂直于 z 轴的 H 平面分解为 Fz 和 F xy 两个分量。实践表明，分力 Fz 不能使刚体绕 z 轴转动，只有分力 F xy 才能使刚体产生绕 z 轴的转动。所以力 F 对 z 轴的转动效应取决于分力 F xy 对 O 点的矩， 称为力 F 对 z 轴的矩，以符号 mz(F)表示。图 1－24 扩展到一般情形，如图 1-25 所示，定义：力 F 对任意轴 z 的矩，等于力 F 在垂直于 z 的矩， 力 轴与平面 的矩。 轴的 H 平面上的分力 F xy 对 z 轴与平面 H 交点 O 的矩图 1-25 力对轴的矩其正负号按照右手螺旋规则确定。即从矩轴的正端向另一端看去，力使刚 体绕矩轴逆时针转动取正号，顺时针转动取负号。 根据上面的定义可知，力对轴的矩为零的条件是： （1）若力 F 的作用线与轴平行，则 F xy 等于零，故力对轴的矩为零; （2）若力 F 的作用线与轴相交，则力臂为零，故力对轴的矩也为零。 概括上述两种情况，得到：当力的作用线与轴共面时，力对轴的矩为零。 当力不为零并且它的作用线与轴是异面直线时，力对轴的矩不等于零。力对轴的矩的 单位是牛顿?米(N?m)。 讨论图 1-26 所示的一般情形， 设力 F 的作用点 A 的坐标为 xpypz， F 沿着坐标轴 力 的分力分别为 F xpF ypF z，在坐标轴上的投影为 XpYpZ。按力对轴的矩的定义得到力 对 xpypz 坐标轴的矩的解析表达式15图 1-26? m x (F) = yZ ? zY ? ? m y (F) = zX ? xZ ?m (F) = xY ? yX ? z对照式（1-9）p（1-11） ，得到（1－11）? M ox = M x ( F ) ? ?M oy = M y ( F ) ?M = M (F ) z ? oz（1-12）注意力 F 对任意轴 z 的矩 mx(F)pmy(F)pmz(F)为代数量，是标量；而力对点的矩 mo(F)是 矢量，mo(F)= moxi+moyj+mozk，moxpmoy 和 moz 是 mo(F)在 xpypz 轴的投影。由式（1-12） 得到力矩关系定理 力 F 对点 O 的力矩矢 mo(F)在 Oxyz 坐标轴上的投影等于力 F 对 xpy 力矩关系定理：力 力矩关系定理 在 p 轴的力矩。 pz 轴的力矩。 例 1-7 构件 OA 在 A 点受到作用力 F=1000N，方向如图 1-27a 所示。图中 A 点在 Oxy 平面内，尺寸如图。试求力 F 对 xpypz 坐标轴的矩 mx(F)pmy (F)pmz(F)。图 1-27 解 力 F 作用点 A 的坐标为 x=－0.05m， y=0.06m， z=0.0 力 F 在 xpypz 轴上的投影为 X=－Fcos450?sin600=－×0.866N=－612N Y=F cos450?cos600=×0.500N=354N Z=Fsin450=.707N=707N 将各个量代入式（1-11） ，得力 F 对三个坐标轴的矩分别为M x (F) = yZ ? zY = 0.06 × 707.1N ? m = 42.4N ? mm y (F ) = zX ? xZ = ?( ?0.05) × 707.1N ? m = 35.4N ? m16m z (F) = xY ? yX = (?0.050) × 353.6 ? 0.060 × (?612.4) N ? m = 19.1N ? m例 1-8 半径为 r 的斜齿轮，其上作用一力 F，如图 1-28a 所示，求力 F 对 y 轴的矩。图 1-28 解 将力 F 沿 x、y、z 轴分解，其大小为Fx = F cos α sin β ,Fy = ? F cos α cos β ,Fz = ? F sin α(a)方法一：由于 Fy 与 y 轴平行，Fz 的作用线与 y 轴相交，故它们对 y 轴的矩等于零。由 图 b 可以看出 Fx 对 y 轴的矩为m y (Fx ) = Fx r = Fr cos α sin β方法二：力 F 作用点的坐标为 x=0， y=a， z=r 将(a)、(b)式代入式（1-11） ，得 (b)m y (F ) = zX ? xZ = r ? F cos α sin β ? 0 = Fr cos α sin β17第六节 约束和约束反力在空间自由运动，其位移不受限制的物体称为自由体 自由体。例如飞行中的飞机p热气球p 自由体 火箭等。而某些物体的位移受到事先给定的限制，不可能在空间自由运动，这种物体称为非 非 自由体。 数控机床工作台受到床身 自由体 例如高速铁路上列车受铁轨的限制只能沿轨道方向运动； 导轨的限制只能沿导轨移动； 电机转子受到轴承的限制只能绕轴线转动。 事先给定的限制物 体运动的条件称为约束 对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体也可称为约束。 约束。 例如 约束 铁轨对列车，导轨对工作台，轴承对转子等都是约束。 既然约束能够限制物体沿某些方向的位移，因而当物体沿着约束所限制的方向有运动 趋势时， 约束就与物体之间互相存在着作用力。 约束作用于物体以限制物体沿某些方向发生 位移的力称为约束反力 约束力 约束反力或约束力 反力。约束反力以外的其它力统称为主动力 主动力，例如电 约束反力 约束力，简称反力 反力 主动力 磁力p切削力p流体的压力p万有引力等， 它们往往是给定的或可测定的。 约束反力的方向 必与该约束所能阻碍的运动方向相反。 应用这个准则， 可以确定约束反力的方向或作用线的 位置。例如地面对人的约束是阻碍人向地下运动，其约束反力只能向上。约束反力的大小往 往是未知的，在静力学问题中，约束反力与主动力组成平衡力系，因此可用平衡条件求出约 束反力。 机械中大量平衡问题是非自由体的平衡问题。任何非自由体都受到约束力的作用，因 此研究约束及其反力的特征对于解决静力平衡问题具有十分重要的意义。 下面介绍在工程实 际中常遇到的几种基本约束类型和确定约束反力的方法。 一、柔索约束 工程中钢丝绳p皮带p链条p尼龙绳等都可以简化为柔软的绳索，简称柔索 柔索。讨论非 柔索 常简单的绳索吊挂物体情况，如图 1-29a 所示。由于柔软的绳索本身只能承受拉力（图 1-29b） ，所以它给物体的约束反力也只能是拉力（图 1-29c） 。因此，柔索对物体的约束反 力，作用在接触点，方向沿着柔索背离物体（即柔索承受拉力） 。通常约束反力用 T 或 S 表 示。(a)(b) 图 1-29(c)再讨论铁链吊起减速箱盖（图 1-30a） 。箱盖重力 G，将铁链视为柔索，只能承受拉力， 根据约束反力的性质，铁链作用于箱盖的力为 SBpSC，铁链作用于圆环 A 的力为 TpTBpTC， 其方向如图 1-30b 所示。皮带同样只能承受拉力。当绕过皮带轮时，约束反力沿轮缘的切线 方向，如图 1-31 所示。18图 1-30图 1-31 二、具有光滑接触表面的约束 在所研究的问题中，如果两个物体接触面之间的摩擦力很小，可以忽略不计时，则认 为接触面是光滑的。例如支撑物体的固定平面（图 1-32a）p啮合齿轮的齿面（图 1-32b） p直杆搁置在凹槽中（图 1-33）p重为 G 的光滑圆轴搁在 V 形铁上（图 1-34） 。讨论图 1-32 所示情况， 支承面不能限制物体沿约束表面切线的位移， 只能阻碍物体沿接触表面法线方向 的位移。因此，光滑接触面对物体的约束反力，(a) 图 1-32(b)图 1-33 图 1-34 作用在接触点处，作用线方向沿接触表面的公法线，并指向物体（即物体受压力） 。这种约 束反力称为法向反力 法向反力，用 N 表示。如图 1-32a 中的 NA 和图 1-32b 中 NB。图 1-33 中直杆在 法向反力 ApBpC 三点受到约束，按照光滑接触面的性质，约束力 NApNB 和 NC 分别为方向沿相应 接触面公法线。图 1-34 中，圆轴受到 V 型铁的约束力为 NApNB，它们的方向垂直于相应 的接触面。19三、 光滑圆柱铰链约束 光滑圆柱铰链约束是由两个带有圆孔的构件并由圆柱销钉连接构成。它在机械工程中 有许多具体应用形式。 1.光滑圆柱销钉连接 这类铰链用圆柱形销钉 C 将两个物体 ApB 连接在一起，如图 1-35apb 所示，并且假 定销钉和钉孔是光滑的。 这样被约束的两个构件只能绕销钉的轴线作相对转动， 这种约束常 采用图 1-35c 所示简图表示。图 1-35图 1-36 在图 1-36 中，如果忽略不计微小的摩擦，销钉与物体实际上是以两个光滑圆柱面相 接触的。当物体受主动力作用时，柱面间形成线接触，若把 K 点视为接触点，按照光滑面约 束反力的特点，可知销钉给物体的约束反力应沿接触点 K 的公法线，必通过销钉中心（即铰 链中心） ，但因主动力的方向不能预先确定，所以约束反力方向也不能预先确定。由此可得 如下结论：圆柱形销钉连接的约束反力必通过铰链中心，方向不定。约束反力用两个正交分 力 XpY 来表示。 机械工程中采用圆柱销钉连接的实例很多，图 1-37 所示为曲柄滑块机构的简图。曲柄 OA 与连杆 AB、连杆 AB 与滑块 B 分别用光滑圆柱销钉 ApB 连接起来的。图 1-37 需要指出，对光滑圆柱销钉连接的两个构件进行受力分析时，通常把光滑圆柱销钉看 作固定在其中一个构件上， 一般不画销钉受力图， 只有在需要分析圆柱销钉的受力时才把销 钉分离出来单独研究。 2.向心轴承 轴承是机器中常见的一种约束，它的性质与铰链约束性质相同，只是在这里轴本身是 被约束的物体，向心轴承包括向心滑动轴承 向心滑动轴承（图 1-38）和向心滚动轴承 向心滚动轴承（图 1-39） 。 向心滑动轴承 向心滚动轴承20图 1-38图 1-39 向心轴承在受力分析上与光滑圆柱销钉连接相同。对于向心滑动轴承，转轴的轴颈受到 约束反力 R 的作用，反力 R 的作用线在垂直于轴线的对称平面内，其方向不能预先确定， 故采用两个正交分力 XpY 表示。同样，对于向心滚动轴承，在垂直于轴线的平面内，轴承 只限制轴的移动而不限制轴的转动， 所受约束性质与光滑圆柱销钉连接相同， 约束反力可用 两个正交分力 XpY 表示。 3.固定铰链支座 工程中常用铰链将机器人相邻构件连接起来，桥梁p起重机的起重臂等构件同支座或 机架之间也采用铰链连接。当转轴轴线在空间固定不动时，构成固定铰链支座 固定铰链支座。图 1－40a 固定铰链支座 表示桥梁 A 端用固定铰链支座支承，其构造如图 1－40b 所示。固定铰链支座的约束反力往 往不能预先确定，因此采用两个正交分力 XpY 表示(图 1－40c） 。图 1-40 4.可动铰链支座 图 1-40a 桥梁的 B 端为辊轴支座支承。如果在支座和支承面之间有辊轴，就称为可动 可动 铰链支座或辊轴支座 辊轴支座，其构造如图 1-40d 所示。因为有了辊轴，且支承面视为光滑，支座对 铰链支座 辊轴支座 结构沿支承面的运动没有限制，所以可动铰链支座的约束反力 R 垂直于支承面。图 1-40e 为可动铰链支座的简化图。 当桥梁因热胀冷缩而长度发生变化时， 可动铰链支座相应地沿支 承面移动，从而避免了桥梁产生温度应力。21光滑球铰链约束 四、 光滑球铰链约束 球铰链结构如图 1-41a 所示，杆端为球形，它被约束在一个固定的球窝中，球和球窝 半径近似相等，球转动时球心是固定不动的，杆可以绕球心在空间任意转动。球铰链应用于 空间问题，例如电视机室内天线与基座的连接，机床上照明灯具的固定，汽车上变速操纵杆 的固定以及照相机与三脚架之间的接头等。对于光滑球铰链约束，由于不计摩擦，并且球只 能绕球心相对转动，所以约束反力必通过球心并且垂直于球面，即沿半径方向。因为预先不 能确定球与球窝接触点的位置，所以约束反力在空间的方位不能确定。图 1-41b 为球铰链简 图的表示方法。约束反力以三个正交分量 X0pY0pZ0 表示。图 1-41 五、 链杆约束 两端用光滑铰链与其它物体相连且不计自重的刚性直杆称为链杆 链杆。只受两个力作用并 链杆 且平衡的构件称为二力杆 因链杆只是在两端各受到铰链作用于它的一个力而处于平衡， 二力杆。 故 二力杆 属于二力杆， 这两个力必定沿转轴中心的连线。 故链杆对物体的约束反力也必沿着链杆轴线， 指向不能预先确定。图 1-42a 中画出了链杆的简化图，链杆所产生的约束反力 SA 如图 1-42b 所示。图 1-42 以上介绍的几种约束是比较常见的类型， 在实际机械工程中应用的约束有时不完全是上 述各种典型的约束形式， 这时我们应该对实际约束的构造及其性质进行全面考虑， 抓住主要 矛盾，忽略次要因素，将其近似地简化为相应的典型约束形式，以便计算分析。22第七节 物体的受力分析和受力图在工程实际中，为了求出未知的约束反力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此 先要确定构件受到几个力， 各个力的作用点和力的作用方向， 这个分析过程称为物体的受力 物体的受力 分析。 分析 作用在物体上的力可分为主动力 被动力 主动力和被动力 主动力 被动力两类。对于物体的约束反力是未知的被动力。 约束反力以外的其它力称为主动力。 静力学中要研究力系的简化和力系的平衡条件， 就必须分析物体的受力情况。 为此我们 把所研究的非自由体解除全部约束， 将它所受的全部主动力和约束反力画在其上， 这种表示 物体受力的简明图形，称为受力图 受力图。为了正确地画出受力图，应当注意下列问题： 受力图 1.明确研究对象 所谓研究对象就是所要研究的受力体，它往往是非自由体。求解静力学平衡问题，首先 要明确研究对象是哪一个物体。明确后要分析它所受的力。在研究对象不明，受力情况不清 的情况下，不要忙于画受力图。 2.取分离体，画受力图 明确研究对象后， 我们把研究对象从它周围物体的联系中分离出来， 把其它物体对它的 作用以相应的力表示，这就是取分离体p画受力图的过程。分离体是解除了约束的自由体， 它受到主动力和约束反力的作用。 画出主动力相对容易一些， 分析受力的关键在于确定约束 反力的方向， 因此要特别注意判断约束反力的作用点p作用线方向和力的指向。 建议根据以 下三条原则来判断约束反力： （1）将约束按照性质归入某类典型约束，例如光滑接触面p光滑圆柱铰链p链杆等， 根据典型约束的约束反力特征， 可以确定反力的作用点p作用线方向和力的指向。 这是分析 约束反力的基本出发点。 （2）运用二力平衡条件或三力平衡汇交定理确定某些约束反力。例如构件受三个不 平行的力作用而处于平衡，已知两力作用线相交于一点，第三个力为未知的约束反力，则此 约束反力的作用线必通过此交点。 （3）按照作用力和反作用力规律，分析两个物体之间的相互作用力。讨论作用力和 反作用力时，要特别注意明确每一个力的受力体和施力体。研究对象是受力体，要把其它物 体对它的作用力画在它的受力图上。当研究对象改变时，受力体也随着改变。 下面举例说明受力图的画法。 例 1-9 质量为 m 的球，用绳挂在光滑的铅直墙上，如图 1-43a 所示。试画出此球的受 力图。图 1-43 解 （1）以球为研究对象，画出图 1-43b 所示分离体。解除绳和墙的约束； （2）画出主动力 G； （3）画出绳的约束反力 T 和光滑面约束反力 NA。23例 1-10 两个圆柱放在图 1-44a 所示的槽中，圆柱的重量分别为 G1pG2，已知接触处均 光滑。试分析每个圆柱的受力情况。图 1-44 解 （1）分析圆柱Ⅰ的受力情况。取圆柱Ⅰ为研究对象，画出分离体；圆柱Ⅰ的主动力 为 G1；圆柱Ⅰ在 A 和 B 两处都受到光滑面约束，其反力 NApNB 都通过圆柱Ⅰ的中心 O1。 圆柱Ⅰ的受力图如图 1-44b 所示。 （2）分析圆柱Ⅱ的受力情况。取圆柱Ⅱ为研究对象，画出分离体；圆柱Ⅱ的主动力 除了自重 G2 外，还有上面圆柱Ⅰ传来的压力 N B ，注意到 N B 与 NB 为作用力和反作用力， BpCpD 三处都受到光滑面约束， 其反力 N B pNcpND 都通过圆柱Ⅱ的中心 O2。 并且 N B = － NB。圆柱Ⅱ的受力图如图 1-44c 所示。 例 1-11 如图 1-45a 所示，梁 AB 的 B 端受到载荷 P 的作用，A 端以光滑圆柱铰链固定 于墙上，C 处受直杆支撑，CpD 均为光滑圆柱铰链，不计梁 AB 和直杆 CD 的自身重量， 试画出杆 CD 和梁 AB 的受力图。' ' ' '图 1-45 由于杆上只受到两端铰链 CpD 的约束反 解 先分析杆 CD，已知杆 CD 处于平衡状态， 力作用，且杆的重量不计，即直杆 CD 在 RC 和 RD 作用下处于平衡，是二力构件中的链杆。24所以 RC 和 RD 作用线沿 CD 连线，并假设它们的指向如图 1-45b 所示。 再分析杆 AB 受力情况，力 P 垂直向下，杆 CD 通过铰链 C 对 AB 杆的作用力 R c ，R c 为 RC 的反作用力，方向为从 D 指向 C， R c 与力 P 的作用线相交于 K 点，由三力平衡汇交 定理得到 RA 必沿 AK 方向，如图 1-45c 所示。至于约束反力的大小和指向，需要下一章介 绍的平衡条件求得。 例 1-12 如图 1-46a 所示的三铰拱桥，由左p右两拱铰接而成。设各拱自重不计，在拱 AC 上作用有载荷 P。试分别画出拱 AC 和 CB 的受力图。' ' '图 1-46 解 （1）先分析受力比较简单的拱 BC。因为不考虑拱 BC 的自重，并且只有 BpC 两 处受到铰链约束，因此拱 BC 为二力构件。在铰链中心 BpC 处分别受 RBpRC 两力的作用， 方向如图 1-46b 所示，且 RB=－RC。 （2）取拱 AC 为研究对象。由于不考虑自重，因此主动力只有载荷 P。拱在铰链 C 处受有拱 BC 给它的约束反力 R c 的作用，根据作用和反作用定律， R c =－RC。拱在 A 处 受到固定铰链支座给它的约束反力 RA 的作用，由于拱 AC 在 Pp R c 和 RA 三个力作用下保 持平衡，根据三力平衡汇交定理，确定铰链 A 处约束反力 RA 的方向。点 D 为力 P 和 R c 作 用线的交点，当拱 AC 平衡时，反力 RA 的作用线必通过点 D，至于 RA 的指向，需要用下 一章的平衡条件确定。拱 AC 的受力图如 1-46c 所示。 例 1-13 液压夹具如图 1-47a 所示。已知油缸中油压合力为 P，沿活塞杆轴线作用于活 塞，缸壁对活塞的作用力忽略不计。四杆 ABpBCpADpDE 均为光滑铰链连接，BpD 两 个滚轮压紧工件。杆和轮的重量均略去不计，接触均为光滑。试画出销钉 Ap杆 ABp滚轮 B 的受力图。' ' ' '25图 1-47 解 作用在活塞上的压力通过复合铰链 A 推动连杆 AB 和 AD，使滚轮 B 和 D 压紧压板 和工件。由于杆 AB 和杆 AD 两端均为圆柱铰链并且不计杆自重，所以 AB 和 AD 都是二力 杆。选择销钉 A 为研究对象，二力杆 AB 对其作用力 S1 沿 BA 方向，二力杆 AD 对 A 作用 力 S2 沿 DA 方向，其受力图如图 1-47b 所示。' ' 由作用与反作用定律得到，二力杆 AB 受到销钉 A 的作用力 S1 ，S1 与 S1 等值p反向p共线（作用在不同物体上） ；滚轮 B 对 AB 作用力 S 3 ， S 3 应与 S1 等值p反向p共线（作用 在同一物体上） 。二力杆 AB 受力图如图 1-47c 所示。 最后选择滚轮 B 为研究对象，设滚轮 B 与压板之间为光滑接触，故压板对滚轮的约束 反力 N 沿接触面的公法线。由于 AB 和 BC 均为二力杆，它们对滚轮 B 的约束反力 S3pS4 分别沿 BApBC 方向。滚轮 B 的受力图如图 1-47d 所示。 例 1-14 如图 1－48a 所示，梯子的两部分 ABpAC 由绳 DE 连接，A 处为光滑铰链。 梯子放在光滑的水平面上，自重不计。质量为 m 的人站在 AB 的中点 H 处。试画出整个系 统受力图以及绳子 DE 和梯子的 ABpAC 部分的受力图。'''图 1-48解 (1)讨论整个系统受力情况，主动力为 G=mg，按照光滑接触面性质，BpC 处受到沿法线方向的约束反力 NBpNC，受力图如图 1-48b 所示。 (2)绳子 DE 的受力分析。绳子两端 DpE 分别受到梯子对它的拉力 TDpTE 的作用，如 图 1-48c 所示。 （3）梯子 AB 部分在 H 处受到人对它的作用力 G，在铰链 A 处受到梯子 AC 部分给 它的约束反力 XA 和 YA 的作用。在点 D 处受到绳子对它的拉力 TD 的作用。在点 B 处受到'26光滑地面对它的法向反力 NB 的作用。梯子 AB 部分的受力图如图 1－48d 所示。 （4）梯子 AC 部分在铰链 A 处受到梯子 AB 部分给它的约束反力 X A 和 YA 的作用。 在点 E 处受到绳子对它的拉力 TE 的作用。在点 C 处受到光滑地面对它的法向反力 NC 的作 用。梯子 AC 部分的受力图如图 1-48e 所示。 上题中存在着这样一些成对出现的作用力与反作用力： X A =－XAp YA =－YAp TD = －TDp TE =－TE，在讨论整个系统受力情况时，这些系统内部物体之间的相互作用力称为 内力。内力总是成对出现且等值p反向p共线，对整个系统的作用效果相互抵消。系统以外 内力 的物体对系统的作用力称为外力 外力。选择不同的研究对象，内力与外力之间可以相互转化，例 外力 如在整个系统受力分析时，X A p YA 和 TD 是内力；在梯子 AC 部分受力分析时，X A p YA 和 TD 便是外力。可见，内力与外力的区分，只有相对于某一确定的研究对象才有意义。 正确地画出物体的受力图， 是分析解决力学问题的基础。 在本节开头已经介绍了画受力 图时应注意的几个问题，通过上面几个例题，同学们对画受力图已有了一些认识，下面我们 总结一下正确进行受力分析p画好受力图的关键点： 1.选好研究对象。根据解题的需要，可以取单个物体或整个系统为研究对象，也可以取 由几个物体组成的子系统为研究对象。 2.正确确定研究对象受力的数目。既不能少画一个力，也不能多画一个力。力是物体之 间相互的机械作用， 因此受力图上每个力都要明确它是哪一个施力物体作用的， 不能凭空想 象。物体之间的相互作用力可分为两类：第一类为场力，例如万有引力p电磁力等；第二类 为物体之间相互的接触作用力，例如压力p摩擦力等。因此分析第二种力时，必须注意研究 对象与周围物体在何处接触。 3.一定要按照约束的性质画约束反力。当一个物体同时受到几个约束的作用时，应分别 根据每个约束单独作用情况， 由该约束本身的性质来确定约束反力的方向， 绝不能按照自己 的想象画约束反力。 4.当几个物体相互接触时，它们之间的相互作用关系要按照作用与反作用定律来分析。 5.分析系统受力情况时，只画外力，不画内力。' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '27习1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7题解释下列名词：力的内效应p力的外效应p等效力系p质点p刚体。 合力一定比分力大，对吗？ 平衡状态一定静止吗？什么是平衡力系？ 什么是二力杆？二力杆一定是直杆吗？ 凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆，对吗？ 什么是作用在刚体上的力的三要素？什么是三力平衡汇交定理？ 作用在刚体上的三个力互成平衡时，这三个力的作用线是否在同一个平面？1-8 如图 1-49 所示，已知力 F1=60N, α 1 =300；力 F2=80N,α 2 =450。试用力的平行四边形法则、力的三角形法则分别求合力 R 的大小以及与 F1 的夹角β。图 1-49 1-9 已知 F1pF2pF3 三个力同时作用在一个刚体上，它们的作用线位于同一平面，作用点 分别为 ApBpC，如图 1-50 所示。已知力 F1pF2 的作用线方向，试求力 F3 的作用线 方向。图 1-50 1-10 图 1-51 所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 Pn 的作用, 大小为 2kN。已知斜齿轮的螺旋角β = 15 0 ，压力角 α = 20 0 。试求力 Pn 沿 xpy 和 z 轴的分力。图 1-51281-11 如图 1-52 所示，试计算下列力 F 对点 O 的矩。图 1-520 1-12 力 F 作用在曲轴的曲柄中点 A 处，如图 1-53 所示。已知 α = 30 ，F=400N，c=1.0m，r=0.125m。试计算力 F 对 O 点的矩以及对坐标轴 y 的矩。1-13图 1-53 已知接触面为光滑表面，试画出图 1-54 所示圆球的受力图。29图 1-54 1-14 不计绳子、杆的质量，试画出图 1-55 中指定物体的受力图。 (a) 左半拱 AC、右半拱 BC (b) 被钢缆吊起的钢管 (c) 梁 AB (d) 钢架 AB (e) 动滑轮、定滑轮 (f) 梁 AB(a)(e) 图 1-55 1-15 下列各物体的受力图是否有错误？如何改正？(f)30图 1-56 1-16 画出下列 AB 杆的受力图。图 1-5731第二章 力系的简化和平衡方程为了研究方便，我们将力系按其作用线的分布情况进行分类。各力的作用线处在同一 平面内的一群力称为平面力系 平面力系，力系中各力的作用线不处在同一平面的一群力称为空间力 平面力系 空间力 系。本章研究平面力系的简化合成问题，以及处于平衡时力系应满足的条件；此外还介绍空 间一般力系，研究讨论物体的重心问题以及在机械工程中的应用。第一节 平面汇交力系在平面力系中，各力作用线相交于一点的称为平面汇交力系 平面汇交力系，作用线相互平行的称为平 平面汇交力系 平 面平行力系， 平面任意力系。 面平行力系 作用线即不平行又不相交于一点的称为平面任意力系 图 2-1 中钢架的角撑板 平面任意力系 承受 F1pF2pF3pF4 四个力的作用，这些力的作用线位于同一平面内并且汇交于点 O，构成 F F F 一个平面汇交力系。图 2-1 按照由简单到复杂，由特殊到一般的认识、学习规律，我们首先讨论平面汇交力系。讨 论力系的合成和平衡条件可以用几何方法或解析方法。几何法直观明了，物理意义明确；解 析法计算规范p程式化，适合于计算机编程。一p几何法设作用于刚体上的四个力 F1pF2pF3pF4 构成平面汇交力系，如图 2-2a 所示。根据力的 F F F 可传性原理，首先将各力沿其作用线移到 O 点（图 2-2b） ，然后从任意点 a 出发连续应用力 三角形法则，将各力依次合成，如图 2-2c 所示, 即先将力 F1 与 F2 合成，求出合力 R2，然后 将力 R2 与 F3 合成得到合力 R3，最后将力 R3 和 F4 合成，求出力系的合力 R，即 R= F1+ F2+ F3+ F432图 2-2 由于我们需要求出的是整个力系的合力 R，所以对作图过程中表示的矢量线 R2pR3 可以 R 省去不画，只要把力系中各力矢首尾相接，连接最先画的力矢 F1 的始端 a 与最后画的力矢 ae，就是合力矢量 R，如图 2-2d 所示。各力矢 F1pF2pF3pF4 和合力矢 R F4 的末端 e 的矢量 ae F F F 构成的多边形 abcde 称为力多边形 代表合力矢 ae 的边称为力多边形的封闭边。 力多边形。 这种用力 力多边形 多边形求合力矢的作图规则称为力多边形法则 力多边形法则。 力多边形法则 用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为汇交力系合成的几何法。 合成中需要注意以 下两点： 1. 合力 R 的作用线必通过汇交点。 2. 改变力系合成的顺序，只改变力多边形的形状，并不影响最后的结果。即不论如何 合成，合力 R 是唯一确定的。 如果平面汇交力系中有 n 个力组成，可以采用与上述同样的力多边形法则，将各力 Fi （i =1，2，…，n）相加，得到合力 R。于是得到如下结论：平面汇交力系合成的结果是一 个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边代表，作用线通过力系中各力作用线的汇交点。 合力 R 的表达式为：R = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fii =1n或简写为R = ∑F（2-1）由上述分析可以知道，平面汇交力系可以用一个合力来代替，所以该力系平衡的充分 力系平衡的充分 必要条件是力系的合力等于零。即 必要条件是力系的合力等于零∑F = 0（2－2）上式表明，当平面汇交力系平衡时，我们画出的力多边形其封闭边长度必为零。由此可 得， 平面汇交力系平衡的几何条件为： ……p 所构成的力多边形自行封闭。 各分力 F1pF2p……pFn 所构成的力多边形自行封闭。 应用平面汇交力系平衡的几何条件，可以求解平衡力系中力的未知元素。力是矢量，包 括大小和方向二个元素。作力多边形求解平面汇交力系平衡问题时，由于合力为零，这个平33面矢量方程本质上可以化为二个标量方程， 所以用封闭力多边形可以求出二个未知元素。 即 可以有一个力大小和方向都未知，或者有二个力各有一个未知元素（大小或方向） 。 例 2-1 在物体圆环上作用有三个力 F1=300N，F2=600N，F3=1500N，其作用线相交于 O 点，如图 2-3 所示。试用几何作图法求力系的合力。图 2-3 （1）选比例尺，如图所示。 解： （2）将 F1、F2、F3 首尾相接得到力多边形 abcd,其封闭边矢量 ad 就是合力矢 R。量得 ad 0 的长度，得到合力 R=1650N，R 与 x 轴夹角 α =16 21′。 R 例 2-2 在曲柄压机的铰链 A 上作用一水平力 F=300N，如图 2-4 所示。已知杆 OA=0.20m， 0 AB=0.40m。试求当杆 OA 与铅垂线 OB 的夹角α=30 时，锤头作用于物体 M 的压力。图 2-4 （1）以销钉 A 为研究对象进行受力分析。 解： OA 和 AB 杆均为链杆，按照约束的性质，OA 杆及 AB 杆对销钉 A 的作用力 N1pN2 必沿各 N 杆两端销钉中心的连线,但方向不能肯定。P、N1、N2 构成平面汇交力系，受力图如图 2-4b P 所示。由正弦定理得到β = arcsin(OA sin α ) = arcsin 0.25 = 14.48 0 AB34按照平面汇交力系平衡的几何条件，取比例尺作出封闭的力三角形，如图 2-4c 所示。 量得 N1=370N。 （2）其次取锤头 B 为研究对象。 锤头 B 受到连杆 AB 对锤头的作用力 NB 作用， 如图 2-4d 所示。 由链杆 AB 的性质得到 NB=N1 N =370N, NB 与 N1 方向相反。壁的反力 N 以及压榨物 M 对锤头的反作用力 Q。 按照平面汇交力系平衡的几何条件，取比例尺作出封闭的力三角形，如图 2-4e 所示。 量得 Q=360N。二p解析法我们在上一章第三节讨论了力在直角坐标轴上的投影，对于平面汇交力系 Fk(k=1,2,…,n),各力在平面直角坐标系情形下，可写成 (2-3) Fk=Xki+Ykj 按照定义，平面汇交力系的合力 R 等于各分力 Fk 的矢量和,即R = F1 + F2 + F3 + ... + Fn = ∑ Fkk =1n将合力写成解析式 R=RXi+RYj,得到：?Rx = X 1 + X 2 + L + X n = ∑ X ? ? ? R y = Y1 + Y2 + L + Yn = ∑ Y ?（2－4）上式表明：平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影 平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影， 平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影 的代数和。这个结论称为合力投影定理 合力投影定理。这个结论还可以推广到其它矢量的合成上，可以统 的代数和 合力投影定理 称为合矢量投影定理。 合力的模和方向可用下列公式表示：? 2 2 ?R = Rx + R y = ? ? cos( R, i ) = R x R ? cos( R, j) = R R y ? ?(∑X )2 + (∑ Y )2（2－5）我们知道，平面汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力等于零。从式（2-4）可知， 要满足合力 R=0，其充分必要条件是：?∑ X = 0 ? ? ∑Y = 0（2－6）即平面汇交力系平衡的充分必要（解析）条件是：力系中各力在 X、Y 坐标轴上的投影的代 力系中各力在 数和都等于零。式（2-6）称为平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系的平衡方程，可以用来求解两个未知量。用解 数和都等于零 平面汇交力系的平衡方程 析法求未知力时，约束力的指向要事先假定。在平衡方程中解出未知力若为正值，说明预先 假定的指向是正确的；若为负值，说明实际指向与假定的方向相反。 图 2-5a 所示三铰拱，不计拱重。已知结构尺寸 a 和作用在 D 点的水平作用力 F=141.4N，求支座 ApC 约束反力。例 2-335图 2-5（1）取左半拱 AB（包括销钉 B）为研究对象。AB 只受到右半拱 BC 的作用力 R B 和 解： 铰链支座 A 的约束反力 R A 的作用，属于二力构件（图 2-5b 所示） 。所以 R B 和 R A 两个力 的作用线必沿 AB 连线，并且有 R A =- R B 。 （2）取右半拱 BC 为研究对象。作用在 BC 上有三个力，分别为：水平力 F、铰链支座 C 的 约束反力' ''R C 和 AB 拱对 BC 拱的约束反力 R B 。 R B 和 R 'B 为一对作用力与反作用力，即R B =- R 'B 。应用三力平衡汇交定理可确定 R C 作用线的方位，即沿 B、C 点的连线，假定从B 指向 C，如图 2-5c 所示。 根据右半拱 BC 的受力图并取坐标系 Bxy,列出平面汇交力系的平衡方程：∑ X = 0, ∑ Y = 0,由式(b)得? F ? RB cos 45 0 + RC cos 45 0 = 0（a）? R B sin 45 0 ? RC sin 450 = 0(b)RC = ? RB将式(c)代入式(a)得(c)RB = ?2 F = ?100 N 2(d)RB 求得为负值表示力矢量 RB 的指向与受力图中假定的指向相反，把式(d)代入式(c)，注意 要把负号一起代入，得到RC = ? ( ?2 F ) = 100 N 2RC 求得为正值表示所假定的指向符合实际。36因为 RA=-R’B=RB ，所以RA = ?2 F = ?100 N 2 。RA 求得为负值表示 RA 的指向与受力图中假定的指向相反。 为简便起见，在求解本题时，可以取投影轴 x’py’分别垂直于未知力 RB、Rc，则：∑X ∑Y''= 0,RC ? F cos 450 = 0，RC =2 F = 100 N 2 2 F = ?100 N 2= 0,? RB ? F sin 45 0 = 0，RB = ?这样可以使所列的每一个平衡方程中只包含一个未知数，避免求解联立方程的麻烦。例 2-4 图 2-6a 所示的均质细长杆 AB 重 G=10N，长 L=1m。杆一端 A 靠在光滑的铅垂墙上，另一端 B 用长 a=1.5m 的绳 BD 拉住。求平衡时 ApD 两点之间的距离 xp墙对杆的 反力 N 和绳的拉力 T。图 2-6解：以杆 AB 为研究对象。作用在杆上的力有三个，分别是作用在杆中点上的重力 G，绳索对杆的拉力 T，墙的反作用力 NA。按照约束的性质，拉力 T 沿绳索轴线方向 BD，NA 垂直于墙即水平向右。 杆在这三个力作用下处于平衡状态， 根据三力平衡汇交定理可知这三 个力必汇交于一点。由于 G 与 T 相交于 BD 的中心点 E，故只有当通过 A 点的水平力也通 过 E 点时杆 AB 才能平衡，即 NA 必须沿 AE。杆 AB 的受力图如图 2-6b 所示。 过 B 点作水平线交墙于 F 点，因为 NA 垂直于墙，所以 AE 线水平，与 BF 平行。由于 DE=EB，所以 DA=AF=x,对于直角三角形 BFD，有 BF2=BD2-DF2=a2-(2x) 2；对于直角三角 形 BFA，有 BF2=BA2-AF2=L2-x 2。于是可得： a2-4x 2=L2-x 2 解得x=a 2 ? L2 = 0.646m 3由此得到绳索与 BF 夹角θ = arcsinDF 2x = arcsin = arcsin 0.8607 = 59.4 0 DB a 。下面应用平面汇交力系的平衡方程， 求解绳索拉力 T 和墙约束反力 NA。 取直角坐标系如 图 2-6b 所示。列写方程：37∑ X = 0, ∑ Y = 0,由(b)式得到N A ? T cosθ = 0(a)T sin θ ? W = 0(b)T=代入(a)式得到W 10 = N = 11.62 N sin θ 0.8607N A = T cos θ = 11.62 × cos 59.4 0 N = 5.92 N 。38第二节 力偶和力偶系一p力偶的概念及等效 当物体受到大小相等、方向相反的二个共线力作用时，物体保持平衡状态。但是，当物 体受到大小相等、方向相反、平行而不共线的二个力作用时，物体将发生转动或出现转动的 趋势。司机开汽车用双手转动方向盘，我们用手指旋转钥匙或自来水龙头、拧螺丝，都是上 述受力情况的实例。在力学上，把大小相等、方向相反并且不共线的两个平行力称为力偶 把大小相等、 把大小相等 方向相反并且不共线的两个平行力称为力偶， 记作（F，F’。力偶中两个力所在的平面叫力偶作用面，两个力作用线之间的垂直距离叫力 ） F 偶臂，常以 d 表示，如图 2-7 所示。力偶是个特殊的力系，这个力系具有它自己的特性。它 是研究复杂力系的基础。图 2-7 由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，所以这两个力在任何坐标轴上 投影均为零，参见图 2-8。可见，力偶对物体不产生移动效应，即力偶的合力矢为零。这说 明力偶不能等效为一个力，同时也不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效，也只能用力 偶来平衡，因而它成为一个基本的力学量。图 2-8 力偶对物体的运动效应和一个力对物体的运动效应不同。 一个力能使静止的物体产生移 动，也能使它既产生移动又产生转动。但是一个力偶只能使静止的物体产生转动。为度量力 偶对物体的转动效应我们引入力偶矩概念， 即在平面问题中， 力偶中一个力的大小和力偶臂 的乘积称为力偶矩。因此在同一个平面内，力偶的力偶矩是一个代数量，用 m(F,F F,F’)表示， 的乘积称为力偶矩 F,F 也可以简写成 m，即 m=±Fd （2-7） 式中正负号的表示方法一般以逆时针转向为正， 顺时针转向为负。 力偶矩的单位在国际单位 制中用牛顿?米（N?m）表示。 力偶只能使刚体产生转动， 其转动效应应该用力和力偶臂之积力偶矩来度量。 由于一个 力偶对物体的作用效应完全取决于其力偶矩，所以由力学证明得到下面结论： 1. 两个在同一平面内的力偶，如果力偶矩相等，则两个力偶彼此等效。 2. 力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的作用。 3. 在保持力偶矩大小和转向不变的条件下， 可以同时改变力和力偶臂的大小， 而不会 改变力偶对物体的作用。 按照上述结论， 我们可以把力偶直接用力偶矩 m 来表示， 如图 2-9 所示。 就其本质而言，39力偶是自由矢量。图 2-9 二p平面力偶系的合成与平衡 作用在同一个物体上的 n 个力偶组成一个力偶系。 作用在同一平面内的力偶系叫平面力 偶系。 设（F1，F’1）和（F2，F’2）为作用在某物体同一平面内的两个力偶，如图 2-10 所示。其力偶臂分别为 d1pd2,于是有：m1 = F1 ? d1 ,m2 = F2 ? d 2图 2-10 在力偶作用平面内任取线段 AB=d,于是可将原来的两个力偶分别等效为力偶 （P1， 1） P’ 和（P2，P’2） 。其中 P1 和 P2 的大小分别为P1 =将 P1pP2 和 P’1pP’2 分别合成，有m1 dP2 =m2 dR = P1 + P2R ' = P1' + P2'其中 R 与 R’为等值p反向的一对平行力，组成一新的力偶，此力偶（R，R’）即为原来两个 力偶（P1，P’1）和（P2，P’2）的合力偶。其力偶矩为M = R ? d = ( P1 + P2 )d = (m1 m2 + )d = m1 + m2 d d上面讨论的是两个力偶的合成情形， 推广到一般情况， 设作用在同一平面内有 n 个力偶， 则该平面力偶系的合力偶矩为M = m1 + m2 + L mn40或M = ∑m（2-8）即平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和 平面力偶系的合成结果为一合力偶 欲使平面力偶系平衡， 充分必要条件是合力偶矩等于零， 即力偶系中各力偶矩的代数和 等于零：∑m = 0（2-9）如图 现估计各孔的切削力偶矩 m1= m2=m3=m4= 例 2-5 在箱盖上要钻五个孔， 2-11 所示。 -20N?m，m5= - 100N?m。当用多轴钻床同时加工这五个孔时，问工件受到的总切削力偶矩 是多少？图 2-11解：多轴钻床作用在箱盖上的力偶系由五个力偶组成，切削力偶矩的值为负号，表示力矩顺时针转向， 由于这五个力偶处于同一个平面， 所以它们的合力矩等于各力偶矩的代数 和，即：M = ∑ m =m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = ?20 ? 20 ? 20 ? 20 ? 100N ? m = ?180N ? m负号表示合力偶矩为顺时针转向。 另外，如果机械加工工艺允许，我们将钻第五个孔的轴改为逆时针方向转动，钻其它四 个孔的轴转向不变，这时总切削力偶矩为：M = ∑ m =m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = ?20 ? 20 ? 20 ? 20 + 100N ? m = 20 N ? m经过上述变动，固定箱盖的夹具在加工时受力状态大为改善。第三节 平面一般力系上两节我们讨论了平面汇交力系和平面力偶系这两种特殊力系， 现在研究比较复杂一些 的平面一般力系。所谓平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内任意分布的力系 平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内任意分布的力系 平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内任意分布的力系。工 程实际中很多构件所受的力都可以看成平面一般力系。例如图 2-12 所示，作用在悬臂吊车 横梁 AB 上的力有自重 Gp载荷 Pp拉力 T 和铰链 A 的约束反力 XApYA， Y 这些力的作用线任意 分布41图 2-12 在同一平面内，所以是平面一般力系。有些机械构件或结构物，虽然形式上不是受到平面力 系的作用， 但是其结构p支承和所受载荷具有一个共同的对称面， 因此作用在这些机械构件 或结构物上的力系，可以简化为对称平面内的平面一般力系。例如图 2-13 所示桥式起重机图 2-13 具有对称平面， 虽然作用在横梁上的重力 G1p电动葫芦的重力 G2、 被吊起重物的重力 G3p导 轨对轮子的反力 N1pN2pN3pN4 不在同一平面内，但是由于作用在对称平面两侧的力是对称 N N N 的，所以可以简化成为在对称平面内的平面力系来分析，即系统受到 G1pG2pG3pR1pR2 五 G G R R 个力的作用。其中 R1 为导轨对轮子的反力 N1 和 N2 的合力，R2 为导轨对轮子的反力 N3 和 N4 的 R 合力。 各力的作用线位于同一平面内并且互相平行的力系称为平面平行力系。平面平行力系 各力的作用线位于同一平面内并且互相平行的力系称为平面平行力系 是平面一般力系的一种特殊情况。 2-13 中 G1pG2pG3pR1pR2 五个力便构成平面平行力系。 图 G G R R 一p力的平移定理 在第一章第二节中我们曾经指出， 作用在刚体上的力沿其作用线可以传到任意点， 而不 改变力对刚体的作用效果。显然，如果力离开其作用线，平行移动到任意一点上，就会改变 它对刚体的作用效应。 设力 F 作用在刚体的 A 点，如图 2-14 所示，现在要把它平行移动到刚体上的另一点 B。图 2-1442为此在 B 点加两个互相平衡的力 F’和 F’’，令 F=F’=-F’’。显然增加一对平衡力系（F’，F’’） 并不改变原力系对刚体的作用效应， 即三个力 FpF’和 F’’对刚体的作用与原力 F 的作用等效。 由于 F 和 F’’大小相等p方向相反且不共线，故可以将 F 和 F’’视为一个力偶。因此，可以认 为作用于 A 点的力 F，平行移动到 B 点后成为力 F’和一个附加力偶（F，F’’） ，此力偶矩为m = mB (F) = Fd（2-10）式中 d 是力 F 对 B 点的力臂，也是力偶（F，F’’）的力偶臂。 推广到一般情况，得到力的平移定理：作用在刚体上的力可以向任意点平移，平移后 力的平移定理： 力的平移定理 作用在刚体上的力可以向任意点平移， 附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩。也就是说，平移前的一个力 附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩 与平移后的一个力和一个附加力偶等效。 力的平移定理可以用在分析实际机械加工问题。 例如用扳手和攻螺纹， 要求两个手同时 在扳手的两端均匀用力， 一推一拉， 形成力偶作用。 如果只用一个手在扳手的一端 B 加力 P， 如图 2-15 所示，由力的平移定理可知，对丝锥来说，其效应相当于在 O 点加上一个力 P’和 一个附加力偶（P，P’’） ，此附加力偶矩大小为 Pd，顺时针转向。力偶（P，P’’）可以使丝锥 转动起到攻丝的作用，但是作用在 O 点的力 P’将引起丝锥弯曲，影响加工精度甚至折断丝 锥。图 2-15 二p平面一般力系向一点简化 主矢和主矩 设在刚体上作用一平面一般力系 F1, F2,…, Fn,如图 2-16a 所示。各力的作用点分别为 简化中心。运用力的平移定理，将力系中各力分 A1,A2,…,An。在平面内任意选一点 O，称为简化中心 简化中心 别向 O 点平移,这样原平面一般力系(F1, F2,…, Fn)转化为一个平面汇交力系(F’1, F’2,…, F’n) 和一个附加力偶系（m1,m2,…,mn）,如图 2-16b 所示。图 2-16 所得平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F1' = F1 ,F2' = F2 ,L,' Fn = Fn而所得附加力偶系中各附加力偶的力偶矩，分别等于原力系中各力对 O 点的矩，即m 1 = m 0 (F1 ),m 2 = m 0 (F2 ),L , m n = m 0 (Fn )43平面汇交力系 (F’1, F’2,…, F’n)可以合成为一个合力 R，作用点为 O。合力 R’等于 F’1, F’2,…, F’n 的矢量和，即R ′ = F1' + F2' + L + Fn' = F1 + F2 + L + Fn =∑F上式中 R’的大小和方向可根据力多边形法则用几何法求出，也可以根据解析法求得。在用 解析法时，选取如图 2-16 所示坐标系 Oxy, R 在 xpy 轴上的投影分别为?R 'x = X 1 + X 2 + L + X n = ? ? ' ? R Y = Y1 + Y2 + L + Yn = ?∑X ∑Y（2-11）式中 X1pX2p…pXn; Y1pY2p…pYn,分别表示 F1, F2,…, Fn 在 xpy 轴上的投影。于是可 求得 R’的大小和方向余弦为? ' 2 ' 2 2 2 ? R ′ = ( R x ) + ( RY ) = (∑ X ) + (∑ Y ) ? ? ∑X ? cos(R ′, i ) = R′ ? ? cos(R ′, j) = ∑ X ? R′ ?（2-12）附 加 力 偶 系 可 以 合 成 为 一 个 力 偶 ， 合 力 偶 矩 MO 等 于 各 附 加 力 偶 的 力 偶 矩m 1 , m 2 , L , m n 的代数和，因而有M 'o = m1 + m 2 + L + m n = m 0 (F1 ) + m 0 (F2 ) + L + m 0 (Fn ) =∑m0 (F )从上面的分析可知，平面一般力系向其作用面内任意一点 O 简化，可得一个作用在 O 点的力和一个作用在力系平面内的力偶。这个力的矢量 R’称为力系的主矢 主矢，等于力系中各 主矢 主矩，等于力系中各力对简化 力的矢量和；这个力偶的力偶矩 M’O 称为力系对简化中心 O 的主矩 主矩 中心之矩的代数和。 值得注意的是，选取不同的简化中心，主矢不会改变，因为主矢总是等于平面一般力系 中各力的矢量和， 也就是说主矢与简化中心的位置无关 但是主矩一般来说与简化中心的位 主矢与简化中心的位置无关。 主矢与简化中心的位置无关 置有关， 因为一般情况下力系中的各力对不同的简化中心的力矩是不同的， 所以力系中各力 对不同的简化中心之矩的代数和一般也是不相同的， 在提到主矩时一定要指明是对哪一点的 主矩。 下面将应用平面一般力系向一定简化的结论，分析工程中常见的固定端约束和约束反 力。 我们把既能限制物体移动， 又能限制物体转动的约束， 称为固定端约束 固定端约束或称插入端约束 插入端约束。 固定端约束 插入端约束 固定端或插入端是常见的一种约束形式，例如图 2-17apb 中的支柱对悬臂梁，c 中的刀架 对车刀，d 中的卡盘对工件等都构成固定端约束。这类约束的特点是连接处有很大的刚性， 不允许构件与约束之间发生任何相对运动。 虽然这类约束的具体形式各式各样， 但是其约束 力具有共同的特点。44图 2-17 现在讨论图 2-18a 所示的一端插入墙内的约束， 在主动力 P 的作用下， 梁的插入部分受到墙 的约束，与墙接触的点均受到约束反力的作用，但是各点受到的力大小和方向都未知，即这 些约束反力所组成的平面一般力系的分布情况是不清楚的， 如图 2-18b 所示。 我们将约束反 力所组成的平面一般力系向梁上的指定点 A 简化， 得到一个主矢和一个主矩， 主矢即约束反 力R'，主矩即约束反力偶 M A 。进一步将约束反力R'分解为水平分力 X A 和铅垂分力 YA 。这样在讨论平面力系的情况下，固定端约束共有三个未知量：约束反力 X A p YA 和约束反 力偶 M A ，如图 2-18c 所示。图 2-18 三p平面一般力系的平衡方程 由上一节的讨论可知， 平面一般力系向任意一点简化时， 得到两个基本力系――平面汇 交力系和平面力偶系。这两个力系是不能相互平衡的，故要使平面一般力系平衡，就要两个 基本力系分别平衡。 平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零， 相当于平面一般力系的 主矢 R’为零；平面力偶系平衡的充分必要条件是合力偶矩 M’O 为零，相当于平面一般力系对 任一点 O 的主矩为零。 因此平面一般力系平衡的充分必要条件是： 力系的主矢和力系对任一45的主矩分别等于零。即： 点 O 的主矩分别等于零?R' = 0 ? ' ?M o = 0(2 ? 13)将上述平衡条件用解析式表达， （2-4） 由式 、 （2-8） 可得到下列平面一般力系的平衡方程 基 （基 本式） 本式 ：? ? ? ? ?∑X =0 ∑Y =0 ∑ m (F ) = 00(2 ? 14)于是平面一般力系平衡的充分必要条件可以叙述为力系中各力在两个任意选择的直角坐标 力系中各力在两个任意选择的直角坐标 轴上的投影的代数和分别为零，并且各力对任一点的矩的代数和也等于零。 轴上的投影的代数和分别为零，并且各力对任一点的矩的代数和也等于零 （2-14）式包含 三个独立方程，可以求解三个未知量。 我们把公式（2-14）称为平面一般力系平衡方程的基本形式，它有两个投影式和一个力 矩式。另外平衡方程还可以表示为： （1） 一个投影式和两个力矩式即二力矩式。方程式为： 二力矩式。 二力矩式? ? ? ? ?∑X = 0 ∑ m (F ) = 0 ∑ m (F ) = 0A B(2 ? 15)其中 A、B 两点的联线 AB 不能与 x 轴垂直。 （2） 三个都是力矩式即三力矩式 三力矩式。方程式为： 三力矩式? ? ? ? ?∑m ∑m ∑mA (F ) B (F ) C (F )=0 =0 =0 (2 ? 16)其中 A、BpC 三点不能共线。 这样， 平面一般力系共有基本式p二力矩式p三力矩式三种不同形式的平衡方程， 但是 必须注意不论何种形式， 独立的平衡方程只有三个。 在三个独立的方程之外列出的任何方程 都是这三个独立方程的组合而不是独立的。平面一般力系平衡方程只能求解三个未知量。 在实际应用时，选用基本式p二力矩式还是三力矩式，完全决定于计算是否方便。为简 化计算，在建立投影方程时，坐标轴的选取应该与尽可能多的未知力垂直，以便这些未知力 在此坐标轴上的投影为零， 避免一个方程中含有多个未知量而需要解联立方程。 在建立力矩 方程时， 尽量选取两个未知力的交点作为矩心， 这样通过矩心的未知力就不会在此力矩方程 中出现，达到减少方程中未知量数的目的。 平面平行力系的平衡方程 各力作用线在同一平面内并且相互平行的力系称为平面平行力系 平面平行力系是平面 平面平行力系。 平面平行力系 一般力系的一种特殊情况。设物体受平面平行力系 F1, F2,…, Fn 的作用，如图 2-19 所示。 过任一点 O 取直角坐标系 Oxy,并且使 Oy 轴与已知各力平行， 则力系中各力在 x 轴上的投影 分别为零，46图 2-19 公式（2-14）中的第一个方程 立平衡方程只有两个：∑ X = 0 就成为恒等式而自然满足，于是平面平行力系的独? ? ? ? ?∑F= 0 ∑ m (F ) = 00(2 ? 17)其中各力在 y 轴上的投影的和即各力的代数和，所以平面平行力系平衡的充分必要条件是 平面平行力系平衡的充分必要条件是 力系中各力的代数和等于零，以及各力对任一点的矩的代数和等于零。 力系中各力的代数和等于零，以及各力对任一点的矩的代数和等于零。 平面平行力系的平衡方程也可以表示为两力矩形式，即? ? ? ? ?∑m ∑mA (F ) B (F )=0 =0(2 ? 18)需要注意的是 AB 联线不能与力系各力的作用线平行。 水平安装在向心轴承 A 和向心推力轴承 例 2-6 数控车床一齿轮转动轴自重 G=900N， （止推轴承）B 之间，如图 2-20a 所示。齿轮受一水平推力 F 作用。已知 a=0.4m，b=0.6m， c=0.25m，F=160N。当不计轴承的宽度和摩擦时，试求轴上 A、B 处所受的约束反力。图 2-20解 以齿轮转动轴为研究对象进行受力分析。轴受到主动力 G、F 作用以及 A、B 两处 、约束反力的作用。向心轴承只阻止 A 处的铅垂移动，向心推力轴承既阻止 B 处铅垂移动， 又阻止 B 处水平移动。按照向心轴承和向心推力轴承（止推轴承）约束的性质，A 处受到 铅垂反力 RA 作用，B 处反力为 XB、YB，受力图及坐标系如图 2-20b 所示，其中各约束反力 的指向是假定的。 列平衡方程：∑ X = 0, ∑ Y = 0, ∑mAF ? XB = 0R A + YB ? G = 0 (a + b)YB ? aG ? cF = 047(F ) = 0,可以解出各个约束反力：X B = F = 160 NYB =aG + cF 0.4 × 900 + 0.25 × 160 = N = 400 N a+b 0 .4 + 0 .6R A = G ? YB = 900 ? 400N = 500N所得正值说明各约束反力的实际指向与假定的一致。例 2-7 如图 2-21a 所示水平梁 AB，受到一个均布载荷和一个力偶的作用。已知均布载荷的集度 q=0.2N/m，力偶矩的大小 M=1KN?m ，长度 l = 5m 。不计梁本身的质量，求支座 A、B 的约束反力。图 2-21解 以梁 AB 为研究对象进行受力分析。将均布载荷等效为集中力 F ，其大小为F = ql = 0.2 × 5kN = 1kN ，方向铅垂向下，作用点在 AB 梁的中点 C。按照 A、B 两处约束的性质， 得到 A 处支座反力为 XA、 A,B 处反力 RB 垂直于支承面,梁的受力图如图 2-21b 所示。 Y 作用在梁上的力组成一平面一般力系，其中有三个未知数，即 XA、YA、RB。应用平面一 般力系的平衡方程，可以求出这三个未知数。取? ∑ X = 0, ? ? ∑Y = 0 , ? m (F ) = 0, ?∑ A由（c）式得到X A ? R B cos 60 0 = 0 Y A ? F + R B sin 60 0 = 0 ? F × AC ? m + R B × AB sin 60 0 = 0(a) (b) (c )RB =F × AC + m 1 × 2.5 + 1 = kN = 0.81kN AB sin 60 0 5 × sin 60 0将 RB 之值代入式(a)p(b)，得到X A = RB cos 60 0 = 0.40kN Y A = F ? RB sin 60 0 = 1 ? 0.81 × sin 60 0 kN = 0.30kNXA、YA、RB 均为正值表明它们的实际指向与假设的方向一致。 需要强调的是，在求解本类问题时应注意下列三点： 1.在列写平衡方程时， 因为组成力偶的两个力在任一轴上的投影的代数和等于零， 所以 力偶 m 在 X、Y 轴上力的投影方程中不出现。 2.力偶 m 对平面上任意一点的矩为常量。 3.应尽量选择各未知力作用线的交点为力矩方程的矩心， 使力矩方程中未知量的个数尽48量少。例 2-8 如图 2-22 所示一可沿轨道移动的塔式起重机，机身重 G=200kN，作用线通过塔架中心。最大起重量 P=80KN。为了防止起重机在满载时向右倾倒，在离中心线 x 处附加一 平衡重 Q，但又必须防止起重机在空载时向左边倾倒。试确定平衡重 Q 以及离左边轨道的距 离 x 的值。图 2-22解 以整个起重机为研究对象进行受力分析，对满载和空载情况分别考虑。（1） 满载时作用在起重机上的力有五个，即最大起重量 P、起重机机身自重 G、平 衡重 Q 和轨道支承力 NA、NB。这些力构成平面平行力系，由平衡方程可得： N∑m ∑m解得A B(F ) = 0, (F ) = 0,Q × ( x ? 2) ? G × 2 ? P × (10 + 2) + N B × 4 = 0 Q × ( x + 2) + G × 2 ? P × (10 ? 2) ? N A × 4 = 0NA =Q × ( 2 + x ) + 400 ? 8 P Q × ( 2 + x ) ? 240 kN = kN 4 4（a）NB =? Q × ( x ? 2) + 400 + 12 P ? Q × ( x ? 2) + 1360 kN = kN 4 4(b)由式(a)p(b)可见，当 P 增大或 Q 减小时，NB 增大而 NA 减小，但是 NA 不能无限制减小， N 也就是说轨道不能对起重机轮子产生拉力，所以当 NA=0 时，说明左轮即将与轨道脱离，也 即起重机处于将翻未翻的临界状态， 可见欲使起重机满载时不致向右倾倒的条件为 N A ≥ 0 ， 由式(a)得Q × (2 + x ) ≥ 240（c）（2） 再考虑空载时的情况。这时作用在起重机上的力有四个，即起重机机身自重 G、 平衡重 Q 和轨道支承力 NA、NB。这些力构成平面平行力系，由平衡方程可得： N∑m ∑mA B(F ) = 0, (F ) = 0,Q × ( x ? 2) ? G × 2 + N B × 4 = 0 Q × ( x + 2) + G × 2 ? N A × 4 = 049解得NA =Q × (2 + x ) + 400 4 ? Q × ( x ? 2) + 400 4（d）NB =(e)起重机空载时不致向左倾倒的条件为 N B ≥ 0 ，由式(e)得Q × ( x ? 2) ≤ 400由式(c)、(f)可得(f)240 400 ≤Q≤ x+2 x?2240 400 ?2≤x≤ +2 Q Q（g）(h)即Q min =240 400 240 400 x min = ?2 x max = +2 Q max = Q Q x+2 ， x?2 ； ， 。 例 如 当 x=3 时 ，48kN ≤ Q ≤ 400 kN ;当 x=4 时， 40 kN ≤ Q ≤ 200 kN 。平衡重 Q 与离中心线的距离 x 应满足的关系如图 2-23 所示。图 2-23第四节 空间一般力系简介各力的作用线在空间任意分布的力系称为空间一般力系，简称空间力系 各力的作用线在空间任意分布的力系称为空间一般力系，简称空间力系。空间一般力 系是物体最一般的受力情况，平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系都是它的特殊情 况。 ，图 2-24 所示的刚体、图 2-25 所示的数控车床的主轴分别受到空间一般力系作用。空 间力在直角坐标轴上的投影、力对点的矩和力对轴的矩已经在第一章的第三、四、五节予以 讨论。50图 2-24 空间一般力系可以通过向一点的简化， 得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系， 进而得到 平衡条件。本书用比较直观的方法介绍空间一般力系的平衡方程。 设一物体上作用着一个空间一般力系 F1pF2p…pFn， F F 则力系既能产生使物体沿空间直 角坐标 xpypz 轴方向移动的效应， 又能产生使物体绕 xpypz 轴转动的效应。 若物体在空 间一般力系作用下保持平衡，则必须同时满足以下两点： 1. 对于平行移动，物体在 xpypz 轴保持平衡（静止或匀速直线运动） ，空间一般力 系各力在 xpypz 轴投影的代数和为零； 2. 对于转动， 物体对 xpypz 轴保持平衡， 空间一般力系各力对 xpypz 轴之矩的代 数和为零。 由此得到空间一般力系的平衡方程为：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∑X = 0 ∑Y = 0 ∑Z=0 ∑ m (F ) = 0 ∑ m (F ) = 0 ∑ m (F ) = 0x y z(2 ? 19)上式表示了空间一般力系平衡的充分必要条件，即各力在直角坐标系的三个坐标轴上的投 各力在直角坐标系的三个坐标轴上的投 影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和分别等于零。 影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和分别等于零 公式（2-19）有六个独立的平衡方程，可以求解六个未知量，它是解决空间一般力系平 衡问题的基本方程。例 2-9 数控车床主轴安装在向心推力轴承 A 和向心轴承 B 上，如图 2-25 所示。圆柱直齿轮 C 的节圆半径 rC=120mm,其下与另一齿轮啮合， 压力角 α = 20 。 在轴的右端固定一半0径为 rD=60mm 的圆柱体工件。已知 a=60mm,b=400mm,c=250mm。车刀刀尖对工件的力作用在 H 处，HD 水平。测量得到切削力在 xpypz 轴上的分量为：FX=465N, FY=325N, FZ=1455N.试求 齿轮所受的啮合力 Q 和两轴承的约束反力。51图 2-25解 取主轴、齿轮、工件三者组成的系统为研究对象，以 A 为坐标原点，取 y 轴与主轴轴线重合，x 轴沿水平面，z 轴沿铅垂线。 系统受到的主动力分别为齿轮 C 所受的啮合力 Q 和工件受到的切削力 FX、FY、FZ。向心 F F 推力轴承不允许主轴 A 处沿任何方向移动，故约束反力有三个，分别为 XA、YA、ZA；向心轴 Y Z 承不允许主轴 B 处沿 xpz 轴方向移动，故约束反力有二个，分别为 XB、ZB。上述 9 个力构 Z 成空间一般力系，由（2-19）式可写出平衡方程如下：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由（2）式得? F + X + X ? Q cos α = 0 ∑ X = 0, ?F +Y =0 ∑ Y = 0, F + Z + Z + Q sin α = 0 ∑ Z = 0, ∑ m (F) = 0, (b + c)F + bZ ? aQ sin α = 0 ∑ m (F) = 0, ? r F + r Q cos α = 0 ∑ m (F) = 0, (b + c)F ? r F ? bX ? aQ cos α = 0x A B y A z A B x z B y D z c z x D y B(1) ( 2) (3) ( 4) (5) ( 6)YA = Fy = 325N由（5）式得Q=由（6）式得rD 60 × 1455 Fz = N = 774.2 N rc cos α 120 × cos 20 0XB =(b + c )Fx ? rD Fy ? aQ cos αb (400 + 250) × 465 ? 60 × 325 ? 60 × 774.2 × cos 20 0 N = 597.8 N = 400 X A = Fx + Q cos α ? X B = 465 + 774.2 × cos 20 0 ? 597.8 N = 594.7 N由（1）式得由（4）式得ZB =aQ sin α ? (b + c) Fz b 60 × 774.2 × sin 20 0 ? (400 + 250) × 1455 = N = ?2324.7 N 400最后由（3）式得Z A = ? Fz ? Z B ? Q sin α = ?1455 ? (?2324) ? 774.2 × sin 20 0 N = 604.2 N 例 2-10 均质等厚度板 ABCD 质量为 10kg，用光滑球铰 A 和蝶铰 B 与墙壁连接，并用绳索 CE 拉住。在水平位置保持静止，如图 2-26 所示，AB=a，AD=b。已知 A、E 两点在同一52铅垂线上，且 ∠ECA = ∠BAC = 30 ，试求绳索的拉力和铰 A、B 的约束反力。0图 2-26 解 取矩形板 ABCD 为研究对象，板所受的主动力为重力 P，大小为 10×9.8N，作用于板 的质心 G 点；根据铰的性质，A 处球铰的约束反力为 XA、YA、ZA，B 处蝶铰的约束反力为 XB、 Y Z Z B。 将绳索拉力 T 分解，得到平行于 z 轴的分力 T1 和位于平面 Axy 内的分力 T2，有T1 = T sin 30 0 ,进而得到T2 = T cos 30 0?Tx = ?T2 sin 30 0 = ?T cos 30 0 sin 30 0 ? 2 0 ? T y = T1 = ?T cos 30 ? T = T = T sin 30 0 1 ? z列写平衡方程，求解未知力，由公式（2-19）得X A + X B + Tx = 0 YA + T y = 0 Z A + Z B ? P + Tz = 0 a Z B a + Tz a ? P = 0 x 2 b P ? Tz b = 0 ∑ m y (F ) = 0 2 m z (F ) = 0 ? X Ba = 0 ∑由(e)式得到：∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z = 0 ∑ m (F ) = 0X A + X B ? T cos 30 0 sin 30 0 = 0 (a) Y A ? T cos 2 30 0 = 0 (b) 0 Z A + Z B ? P + T sin 30 = 0 (c ) a Z B a + T sin 30 0 a ? P = 0 (d ) 2 P ? T sin 30 0 = 0 ( e) 2 XB = 0 (f)T = P = 98 N代(g)式入(d)式得到：(g)ZB = 0代(g)式入(b)式得到：(h)YA = 73.5 N53代(g)、(h)式入(c)式得到：Z A = 49 N代(f)、(g)式入(a)式得到：X A = T cos 30 0 sin 30 0 = 42.4 N第五节 物体的重心重心是力学中的一个重要概念。对物体重心的研究，在工程实际中有很重要的意义。例 如起重机重心的位置若超出某一范围， 受载后就不能保证起重机的平衡； 高速旋转的物体像 涡轮机的叶片、洗衣机甩干桶等，如果其重心偏离转轴的中心线，转动起来就会引起轴的振 动和轴承的动压力； 汽车或飞机重心的位置对它们运动的稳定性和操作性有很大影响； 高速 转动的计算机硬盘对重心位置也有严格的限制。 一、物体的重心 物体的重力就是地球对它的吸引力。 如果把物体视为由许多质点组成， 由于地球比所研 究的物体大得多， 作用在这些质点上的重力形成的力系可以认为是一个铅垂的平行力系。 这 个空间平行力系的中心称为物体的重心。如图 2-27 所示。54图 2-27 将物体分割成许多微单元， 每一微单元的重力方向均指向地心， 近似地看成一平行力系， 。 大小分别为 G1pG2p…pGn,其作用点为 C1（x1,y1,z1）pC2（x2,y2,z2）p…pCn（xn,yn,zn） 物体重心 C 的坐标的近似公式为xC =式中∑G x ∑Gi ii; yC =∑G y ∑Gi ii; zC =∑G z ∑Gii i(2 ? 20)为整个物体的重量 G。微单元分得越多，每个单元体体积越小，所求得的重心 C 的位置就越准确。在极限情况下， n → ∞, G i → 0 ，得到重心的一般公式为in ? lim ∑ Gi xi ? n →∞ i =1 ∫ ρgxdv ? xC = = V Gi ? ∫V ρgdv ? n ? lim ∑ Gi y i ? n →∞ i =1 ∫ ρgydv = V ? yC = Gi ? ∫V ρgdv n ? ? lim ∑ Gi z i ∫ ρgzdv ? z = n→∞ i =1 = V ? C Gi ∫V ρgdv ? ? （2－21） 其中 ρ 为物体的密度， g 为重力加速度， ρg 为单位体积所受的重力，dv 是微单元的体积。 对于匀质的物体来说，物体单位体积所受的重力 ρg 为常数，代入式（2-21）得到：∑GxC =∫ xdv = ∫ ∫ dv VV V VyC =∫ ydv = ∫ V ∫ dvV V VzC =∫ zdv = ∫ zdv ∫ dv VV V V(2 ? 22)V 这里 是整个物体的体积。 由式（2-22）可见，匀质物体的重心，只决定于物体的几何形状，而与物体的重度无关， 因此又称为形心 形心。 形心 需要强调的是，一个形体的形心，不一定在该形体上。例如图 2-28 所示的输水管道， 其形心在 C 点。一个物体的重心，同样也不一定在该物体上。例如我们日常用的碗，其重 心也不在碗体上。V = dv∫图 2-28 工程实际中常采用匀质、等厚度的薄板、簿壳结构，形成一种面形形体。例如厂房的双 曲顶壳、 薄壁容器、 飞机机翼等。 若厚度为 t， 面积元为 dA， 则体积元 dV=tdA， 代入式 （2-22） 得到面体体形的重心坐标公式xC =∫ xdA ;AAyC =∫AydA A ;55zC =∫ zdAAA(2 ? 23)A 式中 是整个面形体的面积。 对于匀质线段如等截面匀质细长曲杆、细金属丝，可以视为一匀质空间曲线，如图 2-29 所示，其重心坐标公式为：A = dA∫xC =式中∫ xdL ;LLyC =∫ ydL ;LLzC =∫ zdLLL( 2 ? 24)L = dLL∫是整个线段的长度。图 2-29 二、确定物体重心的几种方法 下面介绍几种常用的确定物体重心的方法。 1. 对称法 对于具有对称轴、对称面或对称中心的匀质物体，可以利用其对称性确定重心位置。可 以证明这种物体的重心必在对称轴、对称面或对称中心上。如圆球体或球面的重心在球心， 圆柱体的重心在轴线中点，圆周的重心在圆心，等腰三角形的重心在垂直于底边的中线上。 2. 积分法 对于具有某种规律的规则形体，可以根据式（2-22）（2-23）或（2-24）利用积分方法 、 求出形体的重心从而得到简单图形的形心表 2-1。图形表 2-1 简单图形的形心位置 形心坐标yc =h 3yc =h(a + 2b) 3(a + b)56xc =r sin α对于半圆弧α =α π2，则x c =2rπxc =2r sin α (α用弧度表示，以