503 Service Temporarily Unavailable
503 Service Temporarily Unavailable当前位置： >>
小学六年级数学培优专题训练
前言21 世纪，数字化时代已经来临，数学在人类社会中发挥着日益重要的作用。作 为基础教育的核心课程，数学学习与孩子的思维发展密切相关。 为了激发孩子的学习兴趣，培养良好学习习惯，提高孩子的逻辑思维能力和创 新能力，帮助孩子考上一所名牌中学，我们特此编写了本教材。 具体来说本教材有以下几个方面的亮点： 1．内容丰富：本书根据新课标对小学阶段数学知识的划分，安排了数的认识、 数的运算、空间与图形、解决问题、实战模拟五个板块的内容。分类系统学习，各 个击破，提高效率，针对性和指导性更强。 2．循序渐进：本书的例题讲解由浅入深，解答过程剖析详尽。拓展演练与例题 讲解的要点密切配合，引导学生拾级而上，循序渐进地进行学习。 3．专题辅导：精心摘录了各校试卷中相关内容的不同题型，方便教师和家长有 针对性地辅导，也可使学生从题海中解脱出来，精练典型题，从而实现举一反三的 学习目的。 4．选题新颖：所选例题和练习题内容丰富，贴近学生的现实生活，开阔学生的 数学视野，激发学生的学习兴趣，培养孩子创新思维能力。 今天，我们为孩子提供一套点拨方法、启迪思维的数学学习礼物。希望通过我 们的引导，让孩子拥有学习数学的智慧和快乐，在学习中找到成功的喜悦，培养孩 子的创新思维能力，帮助他们塑造一个真正富有竞争力的未来。1目录一、数的认识第 1 讲 数的认识 .............................................................................................................. 1 第 2 讲 数的整除 .............................................................................................................. 5二、数的运算第 3 讲 简便运算（1） .................................................................................................... 8 第 4 讲 简便运算（2） .................................................................................................. 10 第 5 讲 简便运算（3） .................................................................................................. 14 第 6 讲 简易方程 ............................................................................................................ 10 第 7 讲 定义新运算 ........................................................................................................ 19三、空间与图形第 8 讲 巧求面积（1） .................................................................................................. 22 第 9 讲 巧求面积（2） .................................................................................................. 25 第 10 讲 长方体的表面积和体积 .................................................................................. 28 第 11 讲 圆柱体的表面积 .............................................................................................. 31 第 12 讲 圆柱和圆锥的体积 .......................................................................................... 34四、解决问题第 13 讲 画图法解应用题 .............................................................................................. 37 第 14 讲 假设法解应用题 .............................................................................................. 40 第 15 讲 列方程解应用题（1） .................................................................................... 43 第 16 讲 列方程解应用题（2） .................................................................................... 46 第 17 讲 行程问题之多次相遇 ...................................................................................... 49 第 18 讲 行程问题之环形赛道 ...................................................................................... 52 第 19 讲 行程问题之巧用比例 ...................................................................................... 542第 20 讲 图示法解分数应用题 ...................................................................................... 57 第 21 讲 还原法解分数应用题 ...................................................................................... 61 第 22 讲 转化法解分数应用题 ...................................................................................... 64 第 23 讲 抓住不变量解分数应用题 .............................................................................. 67 第 24 讲 巧用比解分数应用题 ...................................................................................... 70 第 25 讲 对应法解分数应用题 ...................................................................................... 73 第 26 讲 假设法解分数应用题 ...................................................................................... 76 第 27 讲 百分数应用题―溶剂问题 .............................................................................. 79 第 28 讲 工程问题（1） ................................................................................................ 82 第 29 讲 工程问题（2） ................................................................................................ 85 第 30 讲 按比例分配 ...................................................................................................... 87 第 31 讲 比例的应用（1） ............................................................................................ 90 第 32 讲 比例的应用（2） ............................................................................................ 93 第 33 讲 牛吃草问题 ...................................................................................................... 96 第 34 讲 时钟问题 .......................................................................................................... 99 第 35 讲 容斥原理 .........................................................................................................102 第 36 讲 抽屉原理 .........................................................................................................105五、实战模拟小升初选校模拟试卷（一） .........................................................................................107 小升初选校模拟试卷（二） ......................................................................................... 110 小升初选校模拟试卷（三） ......................................................................................... 113 小升初选校模拟试卷（四） .........................................................错误！未定义书签。83第 1 讲 数的认识一、夯实基础1．数的意义 （1）自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像 1、2、3??叫做自然数。 （2）小数 把整数“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份??这样的一份或几份是十分之 几、百分之几、千分之几??可以用小数表示。 （3）分数 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 （4）百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数， 叫做百分数。 百分数也叫百分率或百 分比。百分数不能表示一个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。 2．数的大小比较 （1）整数的大小比较 比较两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起， 相同数位上的数大的那个数就大。 （2）小数的大小比较 比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的小数比较大；如果整数部 分相同，就看十分位，十分位大的小数比较大；如果十分位相同，再看百分位，百 分位大的小数比较大?? （3）分数的大小比较1 3 5 1 ， 2 ＞2 。 4 4 6 6 2 2 4 4 整数部分相同的同分子分数， 分母小的分数比较大。 例如： ＞ ， 3 ＞3 。 3 5 5 7整数部分相同的同分母分数， 分子大的分数比较大。 例如： ＜ 分子、分母不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数化成小数再 进行比较。 3．小数、分数、百分数的互化 （1）小数化成分数。原来是几位小数，就在 1 后面写几个零做分母，把原来的小数 去掉小数点做分子，能约分的约分。 （2）分数化成小数。分母是 10、100、1000 的分数，可以直接去掉分母，看分母中 1 后面有几个零，就在分子从最后一位起向左数出几位，点上小数点。分母是任意1自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。一个最简分数，如果分母中有 除了 2 和 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 （3）小数化成百分数。只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 （4）百分数化成小数。只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 （5）分数化成百分数。通常把分数化成小数后（遇到除不尽时常要保留三位小数） ， 再化成百分数。 （6）百分数化成分数。先把百分数改成分母是 100 的分数，再约分成最简分数。二、典型例题例 1．比较下列各组分数的大小 （1）3 2 和 82 71（2）3 4 和 5 9分析：进行分数的大小比较时，首先要仔细观察每组分数的特点，然后再灵活选 择比较方法，比较的方法越简单越好。 （1）3 2 和 这两个分数的分母比较大，分子比较小，可变为同分子比较。 82 71 3 4 1 1 1 （2） 和 这两个分数一个大于 ，一个小于 ，可用 为标准进行比较。 5 9 2 2 2 3 3? 2 6 2 2?3 6 解（1） ： = = ， = = ， 82 82 ? 2 164 71 71 ? 3 213 6 6 3 2 ＞ ，得出 ＞ 。 164 213 82 71 3 1 4 1 3 4 解（2） ： ＞ ， ＜ ，得出 ＞ 。 5 2 9 2 5 9）。例 2．某数增加它的 20%后，再减少 20%，结果比原数减少了（ A. 4% B. 5% C. 10% D. 20% 分析：宜用设数验证法。可以通过设数计算来加以判断。 解：设某数为 100 则 100× （1+20%）=120， 120× （1－20%）=96， （100－96）÷ 100=4%。 故应选 A。2数的认识课堂过关卷一、细心填空1． 用 3 个 0 和 3 个 6 组成一个六位数， 只读一个零的最大六位数是 （ 读两个零的六位数是 （ ） ； 一个零也不读的最小六位数是 （ 2． 一个三位小数， 四舍五入后得 4.80， 这个三位小数最大是 （ ） ， 最小是 （ 3．若被减数、减数与差这三个数的和为 36，那么被减数为（ ） 。 4．把 0.35， ， ，34%， 5．某班男生人数是女生的 ） ； ） 。 ） 。3 81 34 从大到小排序（ 11）％） 。2 ，女生人数占全班人数的（ 3）%。6．甲数比乙数多 25%，则乙数比甲数少（ 7．一个分数的分子比分母少 20，约分后是 8．写出三个比3 ，这个分数是（ 7） 、 （） 。 ） 、 （ ） 。2 1 小，而比 大的最简分数是（ 3 3 1 5 9． m ? 中有（ ）个 。 9 911．A+B=60，A÷ B= 12．( 的整数)。 13．一个最简分数，若分子加上 1，可以约简为 )＋(10．有一个最简真分数，分子和分母的积是 36，这个分数最大是（） 。2 ，A=（ 3） ，B=（） 。11 1 1 1 )= (填两个分母小于 12 的分数) ＋ = (填两个不同 12 ( ) ( ) 52 1 ，若分子减去一，可化简成 ， 3 2这个分数是（ ） 。 14．修一段 600 米长的路，甲队单独修 8 天完成，乙队单独修 10 天完成。两队合修 （ ）天完成它的9 。 1015．一种商品，先提价 20%，又降价 20%后售价为 96 元，原价为（ ）元。 16． 甲、 乙两个数的差是 35.4， 甲、 乙两个数的比是 5： 2， 这两个数的和是 （ ） 。 17．有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为 4%，乙种盐水含盐量为 5%，丙种盐水 含盐量为 6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为 2%的盐水 60 千克。如果这项工作由你来做，你打算用（ ）种盐水，取（ ）千克， 加水（ ）千克。 18．[x]表示取数 x 的整数部分，比如 [13.58]=13。若 x=8.34，则[x]＋[2x]＋[3x]= （ ） 。3二、选择1． 最大的小数单位与最小的质数相差（ ）。 A． 1.1 B． 1.9 C． 0.9 D． 0.1 2．3.999 保留两位小数是（ ）。 A． 3.99 B． 4.0 C．4.00 D．3.90 3．下列四个数中，最大的是（ ） 。 A．101% B．0. 9?C．D．14.平均每小时有 36 至 45 人乘坐游览车，那么 3 小时中有 人乘坐游览车。 A．少于 100 B．100 与 150 之间 C．150 与 200 之间 D．200 与 250 之间 5.小明所在班级的数学平均成绩是 98 分，小强所在班级的数学平均成绩是 96 分， 小明考试得分比小强的得分（ ） 。 A．高 B．低 C．一样高 D．无法确定 6．一次数学考试，5 名同学的分数从小到大排列是 74 分、82 分、a 分、88 分、92 分，他们的平均分可能是（ A．75 7． B．84 ） 。 C．86 D．93 ）3 的分子加上 6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（ 10B．加上 6 C．扩大 2 倍A．加上 20D．增加 3 倍 )8．书店以 50 元卖出两套不同的书，一套赚 10%，一套亏本 10%，书店是( A．亏本 B．赚钱 C．不亏也不赚 ） 。 D．100：1019．把 1 克盐放入 100 克水中，盐与盐水的比是（ A．1：99 B．1：100 C．1：10110．甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓 的煤的数量比乙仓少（ ） 。 A.50% B.40%1 ，这时甲仓中 4C.25%三、星级挑战?1．财会室会计结账时，发现财面多出 32.13 元钱，后来发现是把一笔钱的小数点 点错了一位，原来这笔钱是多少元？ ??2．暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7 月 13 日他们都去了敬老院， 并约好明明每两天去一次，亮亮每 3 天去一次。 （1）7 月份，他们最后一次同去敬老院的日子是（ ） 。 ）次。4（2）从 7 月 13 日到 8 月 31 日，他们一起去敬老院的情况有（第 2 讲 数的整除一、夯实基础整数 a 除以整数 b（b≠0） ，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，也可以说 b 能整除 a。如果数 a 能被数 b 整除，那么 a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数。 能被 2 整除的数叫偶数。也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数是偶数。不能被 2 整除的数叫奇数。也就是个位上是 1，3，5，7，9 的数是奇数。 一个数如果只有 1 和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了 1 和它本 身，还有别的因数，这个数叫做合数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因 数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有 1 的 两个数或几个数，叫做互质数。 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因 数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最 小公倍数。二、典型例题例 1．从 0、7、5、3 四个数字中选三个数字组成一个三位数，使组成的数能同时被 2、3 和 5 整除．这样的三位数有几个？ 分析：根据能被 2、3、5 整除的数的特征，确定出所组成的三位数要能同时被 2、 3、5 整除，这个三位数的个位数字必须是 0。现在一共有四个数字，这个三位数的 十位和百位上的数字只能从 7、5、3 三个数字中选取，且每位上数字的和要能被 3 整除。 解：一共有两个：570 或 750。 例 2．有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大 1 岁，又知它们年龄的乘积是 360。问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？ 分析：360 是年龄的乘积，故可将 360 分解质因数，再将这些质因数依据题意， 组合成 4 个连续自然数的乘积。再经过比较、分析，便可找到年龄最大的小朋友的 年龄数。 解：360=2× 2× 2× 3× 3× 5=3× （2× 2）× 5× （2× 3）=3× 4× 5× 6 答：年龄最大的小朋友是 6 岁。 例 3．同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成 10 行、15 行、18 行、24 行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？5分析：题目要求的是D最少‖为多少人，可知操场上的同学数量正好是 10、15、 18、和 24 的最小公倍数。 解：10、15、18 和 24 的最小公倍数是:2× 3× 5× 1× 1× 3× 4=360 答：操场上的同学最少是 360 人。数的整除课堂过关卷一、填空1．在 l 至 20 的自然数中， （ ）既是偶数又是质数； （ ）既是奇数又是合数。 ） ，用一个 ） 。 2．一个数，如果用 2、3、5 去除，正好都能整除，这个数最小是（ 数去除 30、40、60 正好都能整除，这个数最大是（ ） 。 3．8（ ）5（ ）同时是 2， 3 ，5 的倍数，则这个四位数为（4．一个五位数 7□35△ ，如果这个数能同时被 2、3、5 整除，那么□代表的数字是 （ ） ，△ 代表的数字是( )。 5．从 0、5、8、7 中选择三个数字组成一个同时能被 2、3、5 整除的最大三位数， 这个三位数是（ ） ，把它分解质因数是： （ ） 。 6．把 84 分解质因数：84=（ 7．12 的约数有（ 例是（ 8．公因数只有（ ） 。 ）的两个数，叫做互质数，自然数 a 和（ ）一定是互质数。 ）的因 ） ， ） ， ） 。 ） 。 ） 和 （ ） 。6） 。72 和 54 的最大公约数是（） 。） ，从中选出 4 个数组成一个比9．a、b 都是非零自然数，且 a÷ b=c，c 是自然数， （ 数，a、b 的最大公因数是（ ） ，最小公倍数是（ 最小公倍数是（ ） 。）是（ ） 。10．A、B 分解质因数后分别是：A=2× 3× 7，B=2× 5× 7。A、B 最大公因数是（ 11． A=2× 2× 3， B=2× C× 5， 已知 A、 B 两数的最大公约数是 6， 那么 C 是 （ A、B 的最小公倍数是（ ） 。 12．在括号里填上合适的质数： （ ）＋（ ）=21=（ ） 。 ）× （ 13．两个质数的和是 2001，这两个质数和积是（14．45 与某数的最大公因数是 15，最小公倍数是 180，某数是（ 15． 已知两个互质数的最小公倍数是 153， 这两个互质数是 （二、解决问题1．有两根绳子，第一根长 18 米，第二根长 24 米，要把它们剪成同样长短的跳绳， 而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？2．一块长方形木板长 20 分米，宽 16 分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形 木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的 面积是多少平方分米？3．汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔 15 分钟开出一辆；到 乙地的汽车每隔 27 分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔 36 分钟开出一辆。三路汽车 在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？三、星级挑战?1．有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55??，从第三个数开始，每个 数都是前两个数的和，在前 100 个数中，偶数有多少个？??2．有一堆苹果，如果 3 个 3 个的数，最后余 2 个，如果 5 个 5 个的数，最后余 4 个，如果 7 个 7 个的数，最后余 6 个，这堆苹果最少有多少个？7第 3 讲 简便运算（1）一、夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一 些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。 简便运算中常用的技巧有D拆‖与D凑‖，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一 个整十、 整百、 整千或者有利于简算的数， 凑是指把几个数凑成整十、 整百、 整千?? 的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。 让我们先回忆一下基本的运算法则和性质： 乘法结合律：a× b× c=a× （b× c）=（a× c）× b 乘法分配律：a× （b＋c）=a× b＋a× c a× （b－c）=a× b－a× c二、典型例题例 1. （1）9999× × 6666 （2）765× 64× 0.5× 2.5× 0.125 分析 （一） ： 通过观察发现这道题中 9999 是 3333 的 3 倍， 因此我们可以把 3333 和 6666 分解后重组， 即 3333× 3× × 2222 这样再利用乘法分配律进行简算。 解（一）: 原式=9999× × 3× × × 2222 =（）× 00 分析（二）：我们知道 0.5× 2，2.5× 4，0.125× 8 均可得到整数或整十数，从而使 问题得以简化，故可将 64 分解成 2× 4× 8，再运用乘法交换律、结合律等进行计算。 解（二）： 原式=765× （2× 4× 8）× 0.5× 2.5× 0.125 =765× （2× 0.5）× （4× 2.5）× （8× 0.125） =765× 1× 10× 1 =7650 例 2．399.6× 9－1998× 0.8 分析：这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系，可以发现减数的因数 1998 是被减数因数 399.6 的 5 倍，因此我们根据积不变的规律将 399.6× 9 改写成 （399.6× 5）× （9÷ 5），即 1998× 1.8，这样再根据乘法分配律进行简算。 解: 原式=（399.6× 5）× （9÷ 5）－1998× 0.8 =1998× 1.8－1998× 0.8 =1998× （1.8－0.8） =1998× 1 =19988例 3．654321× 4322× 123455 分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减 数中的两个因数少 1 和多 1，即 654321 比 654322 少 1，123456 比 123455 多 1，我 们可以将被减数改写成（654321）× （），把减数改写成（） × 123455，再利用乘法分配律进行简算。 解： 原式=654321× （）－（）× 4321× × －0866三、熟能生巧1．（1） 888× 667＋444× 666 （2）9999× × 6662．（1） 400.6× 7－2003× 0.4（2）239× 7.2＋956× 8.23．（1） 1989× × 2000（2）8642× × 2466四、拓展演练1．1234× × 2837 2． 275× 12＋1650× 23－3300× 7.53． 7654321× 54322× 12345669五、星级挑战?1．31÷ 5＋32÷ 5＋33÷ 5＋34÷ 5???2．3333× 4＋5555× 5＋7777× 7???3．99＋99× 99＋99× 99× 99???4. 48.67× 67＋3.2× 486.7＋973.4× 0.05第 4 讲 简便运算（2）一、夯实基础在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩 小若干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列 计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。 让我们先回忆一下基本的运算法则和性质： 乘法结合律：a× b× c=a× （b× c）=（a× c）× b 乘法分配律：a× （b＋c）=a× b＋a× c 拆分： a× （b－c）=a× b－a× c1 1 1 = － (n ? 1)n n ? 1 na 1 1 a = （ － ） n?k n (n ? k )n k二、典型例题10例 1． （1）2006÷ 2006 （2）9.1× 4.8× 4 ÷ 1.6÷ ÷ 1.3 2 6 分析（一） ：把 2006 化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示， 2007解（一）: 原式=2006÷则便于约分和计算。2006 ? 2007 ? 06 ? ÷ 07 =2006× = 2006 ?
1 分析（二） ：根据除法的性质可知 9.1× 4.8× 4 ÷ 1.6÷ ÷ 1.3 可以写成 2 20 3 1 9.1× 4.8× 4 ÷ （1.6× × 1.3） ，又根据分数与除法的关系，可以将其写成分数形式， 2 20 3 1 其中 9.1 与 1.3，4.8 与 1.6，4 与 存在倍数关系，可以进行约分后再计算。 2 20 9.1? 4.8 ? 4.5 解（二） ： 原式= 1.6 ? 0.15 ? 1.3=7× 3× 30 =630 例 2． （1）2005 ? 2006 ? 1 2005 ? 2004 ? 2006（2） （92 2 5 5 ＋7 ）÷ （ ＋ ） 7 9 7 9分析（一） ：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中 2005× 2006 可变形为（2004＋1）× × －1，同时发现 5，这样 就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。 解（一） ： 原式=(2004 ? 1) ? 2006 ? 1 2005 ? 2004 ?
? 2006 ? 2006 ? 1 = =1 2005 ? 2004 ? 2006 1 和 7分析（二）：在本题中，被除数提取公因数 65，除数提取公因数 5，再把1 的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多。 9 65 65 5 5 解（二） ： 原式=（ ＋ ）÷ （ ＋ ） 7 9 7 911=[65× （1 1 1 1 ＋ ）]÷ [5× （ ＋ ）] 7 9 7 9=65÷ 5=13 例 3．1 1 1 1 ＋ ＋ ……＋ 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100 1 1 =1－ ， 1? 2 2分析：因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如1 1 1 1 1 1 = － ， = － ??其余的部分分数可以互相抵消，这样计算就简 2? 3 2 3 3? 4 3 4便许多。1 1 1 1 1 1 1 ）＋（ － ）＋（ － ）＋??＋（ － ） 2 2 3 3 4 99 100 1 1 1 1 1 1 1 =1－ ＋ － ＋ － ＋??＋ － 2 2 3 3 4 99 100 1 99 =1－ = 100 100 三、熟能生巧 238 3 1． （1）238÷ 238 （2）3.41× 9.9× 0.38÷ 0.19÷ 3 ÷ 1.1 10 239解: 原式=（1－2．（1）362 ? 548 ? 361 362 ? 548 ? 186（2） （8 3 6 3 5 4 ＋1 ＋ ）÷ （ ＋ ＋ ） 9 7 11 11 7 93．1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 6 ? 712四、拓展演练 1 1 1．（1）123 ÷ 41 13 39（ 2）3 3 1 4 × 2.84÷ 3 ÷ （1 × 1.42）× 1 5 4 5 22． （1）204 ? 584 ? 1991 1 ? 1992 ? 584 ? 380 143（2） （9663 24 21 8 ? 36 ? 12 ）÷ （32 ） 73 25 73 253．1 2 2 2 2 ＋ ＋ ＋??＋ ＋ 97 ? 99 99 ? 101 1? 3 3 ? 5 5 ? 7五、星级挑战 1 1 1 1 1 1 1 ?1． ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 4 6 8 16 32 64??2.1 2 3 34 ＋ ＋ ＋??＋ 35 35 35 3513???3．1 2 2 2 ＋ ＋ ＋??＋ 48 ? 50 2? 4 4?6 6?8???4． 11 7 9 11 13 15 － ＋ － ＋ － 3 12 20 30 42 56第 5 讲 简便运算（3）一、夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一 些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。 简便运算中常用的技巧有D拆‖与D凑‖，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一 个整十、 整百、 整千或者有利于简算的数， 凑是指把几个数凑成整十、 整百、 整千?? 的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。 让我们先回忆一下基本的运算法则和性质： 等差数列的一些公式： 项数=（末项－首项）÷ 公差＋1 某项=首项＋公差× （项数－1） 等差数列的求和公式：（首项＋末项）× 项数÷ 2二、典型例题例 1． 2＋4＋6＋8??＋198＋200 分析：这是一个公差为 2 的等差数列，数列的首项是 2，末项是 200。这个数列 的项数=（末项－首项）÷ 公差＋1=（200－2）÷ 2＋1=100 项，如何求和呢？我们先 用求平均数的方法：首、末两项的平均数=（2＋200）÷ 2=101；第二项和倒数第二 项的平均数也是（4＋98）÷ 2=101??依次求平均数，共算了 100 次，把这 100 个 平均数加起来就是数列的和。即和=（首项＋末项）÷ 2× 项数。 解: 原式=（2＋200）÷ 2× 100=1010014例 2． 0.9＋9.9＋99.9＋999.9＋999.9 分析：通过观察我们可以发现题目中的 6 个加数都分别接近 1、10、100、1000、 1 这 6 个整数，都分别少 0.1，因此我们可以把这 6 个加数分别看成 1、 10、100、、100000 的整数，再从总和中减去 6 个 0.1，使计算简便。 解: 原式=1＋10＋100＋＋.1× 6 =.6= 例 3．2008× 09×
分析：这道题数值较大，计算起来比较繁琐，但观察这些数，可以发现具有规 律性， 即被减数和减数中因数具有相同的排列规律， 因此我们可以把
写成 2009× 10001，把
写成 2008× 10001，这样题目中被减数和减数的因数就完 全相同，我们也就可以直接算出结果为 0。 解: 原式=2008× 2009× 1× 2008× 10001=0三、熟能生巧1． 1＋3＋5＋7＋??＋65＋67 2． 9＋99＋999＋3．1120× －1221× 四、拓展演练1．（1）0.11＋0.13＋0.15＋??＋0.97＋0.99 （2）8.9× 0.2＋8.8× 0.2＋8.7× 0.2＋??＋8.1× 0.22．（1）98＋998＋＋999998 （2）3.9＋0.39＋0.039＋0.39153．（1）1234× －4321×
（2）2002× 03× 五、星级挑战?1． （1）438.9× 5 （2）47.26÷ 5 （3）574.62× 25 （4）14.758÷ 0.25??2. （4）÷ （8） ??3． 1.8＋2.8＋3.8＋??＋50.8???4． ＋＋＋??＋16－13＋10－7＋4第 6 讲 简易方程一、夯实基础含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程 解应用题的基础，解方程通常采用以下策略： ①对方程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。 ②把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化 简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。16③将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个 适当的数，使方程简化，从而求方程的解。 ④重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典型例题例 1．解方程 4（x－2）＋15=7x－20 分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。 4（x－2）＋15=7x－20 解： 4x－8＋15=7x－20 3x=27 x=9 经检验 x=9 是原方程的解。 例 2．解方程 x÷ 2=（3x－10）÷ 5 分析：根据等式的基本性质，将方程两边同乘 2 和 5 的最小公倍数，使方程转 化为 x× 5=（3x－10）× 2 再求解。 x÷ 2=（3x－10）÷ 5 解： x÷ 2× 10=（3x－10）÷ 5× 10 x× 5=（3x－10）× 2 5x=6x－20 x－20=0 x=20 经检验 x=20 是原方程的解。 例 3．解方程 360÷ x－360÷ 1.5x=6 分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘 3x 使方程转化后再求解。 360÷ x－360÷ 1.5x=6 解： x 18x=360 x=20 经检验 x=20 是原方程的解。三、熟能生巧1．①12－2（x－1）=4 ②5x＋19=3（x＋4）＋15172．①（2x＋4）÷ 18=28②（5.3x－5）÷ 7=x－83．①7（x－3）=3（x＋5）＋4②x＋x÷ 3＋2x－30=180四、拓展演练 2 1．① （x+10）＝6 5②8－4.5x＝31 22．①x＋1 5 4 ― x＝ 2 6 5②3 3 x＋7.4= x＋9.2 5 23．①3 6 .5 ：18%＝ 20 x②x 15 ＝ 2.4 0.8五、星级挑战?1．解方程： 13x－4（2x＋5）=17（x－2）－4（2x－1）?2．解方程： 17（2－3x）－5（12－x）=8（1－7x）18?3．解方程：x ?1 x ? 3 － =2 3 5??4. 解方程：2 1 （x－5）=3－ （x－5） 3 3第 7 讲 定义新运算一、夯实基础同学们，我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也 无外乎“＋” 、 “－” 、 “×” 、 “÷ ” 。而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目， 这种题目中又出现了新的运算符号，如：⊙、※、◎??并赋予它们一种新的运算 方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种 运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来 学习定义新运算。二、典型例题例 1． （1）a◎b=a＋b，求 95 的值。（2）定义新运算“⊙ ”，m⊙n=m÷ n× 2.5。 求： ① 60.4⊙0.4 的值是多少？ ② 351⊙0.3 的值是多少？ 分析（1）：本题中的新运算符号“◎”表示的是求“◎”前后两个数的和， 也就是求 9 与 5 的和是多少。 解（1） ： 9◎5=9＋5=14 分析（2）：本题中新运算“⊙”的含义是求“⊙”前后两个数的商的 2.5 倍 是多少。 解（2）：① 60.4⊙0.4=60.4÷ 0.4× 2.5=151× 2.5=377.5 ② 351⊙0.3=351÷ 0.3× 2.5=1170× 2.5=2925 例 2． 对于任意两个自然数， 定义一种新运算 “*” ， a*b= （a－b） ÷ 2， 求 34* （52*48） 值。 分析：新运算“*”的含义表示：求“*”前后两数差的一半。本题在计算时， 要注意运算顺序，先计算括号内的“52*48”，再用 34 与“52*48”的结果在进行一 次这样的运算。 解：52*48=（52－48）÷ 2=4÷ 2=2 因此 34*（52*48）=34*2=（34－2）÷ 2=32÷ 2=16。19例 3．定义两种新运算“◇”和“*”，对于任意两个 数 x、y，规定 x◇y=x＋5y， x*y=（x－y）× 2 ，求 5◇6＋3.5*2.5 的值。 分析：本题包含两种新运算，第一种新运算“◇”表示求“◇”前面的数与后 面数的 5 倍的和是多少；第二种运算“*”表示“*”前面的数减去“*”后面数的差 的 2 倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。 解：5◇6=5＋5× 6=35 3.5*2.5=（3.5－2.5）× 2=2 5◇6＋3.5*2.5=35＋2=37三、熟能生巧1．（1） a?b=a－b，求 45.2?38.9 的值。 （2）x、y 是两个自然数，规定 x⊙y=（x+y）× 10，求 3⊙8 的值。2．定义一种新运算“◎”，规定 A◎B=2× （A＋B），求 0.6◎（5.4◎5）的值。3． 定义两种新运算D?‖和 D●‖， 已知 a?b=a÷ 2＋4.1× b， a●b=8＋3 （a－b） ， 求 6?1 ＋4●2 的值。四、拓展演练1． （1）定义一种新运算“※”，规定 A※B=4A＋3B－5，求（1）6※9 （2）9※6。 （2）定义一种新运算“◆” ，规定 a◆b=（3x＋y）＋2＋x， 求：①10◆15 ②15◆10202．（1）定义新运算“♂”，规定 m♂n=（m－n）÷ 2，那么 8 ♂（12♂2）与 12♂ （8♂2）是否相等？如果不相等，哪个大？ （2）定义一种新运算“ ? ”，已知 a ? b=5a＋10b，求 3 ? 7＋5 ? 8 的值。3．定义两种运算“ ? ”和“⊙”，对于任意两个整数 a，b，a ? b=a＋b－1， a⊙b=a× b－1。计算 4⊙[（6 ? 8） ? （3 ? 5）]。五、星级挑战?1．定义新运算“※”，若 2※3=2＋3＋4，5※4=5＋6＋7＋8。 求 2※（3※2）的值。??2. 设 a、b 表示两个数如果 a≥b，规定：a◎b=3× a－2× b；如果 a＜b，规定： a◎b=（a＋b）× 3。求： ①9◎6 ② 8◎8 ③2◎7??3．设 a、b 表示两个数，a⊙b=a× b－a+b，已知 a⊙7=37，求 a 的值。???4．设 a、b 表示两个整数，规定：a ◎b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3） ＋?＋（a＋b－1） ，求 1◎100 的值。21第 8 讲 巧求面积（1）一、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基 本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：正方形 长方形 平行四边形 三角形 梯形边长× 边长 长× 宽 底× 高 底× 高÷ 2 （上底+下底）× 高÷ 2S=a2 S=ab S=ah S=ah÷ 2 S=(a+b)h÷ 2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思 想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。二、典型例题例 1．两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的 面积。 分析：阴影部分是一个高为 3 厘米的直角梯形，然而 它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因 为三角形 ABC 与三角形 DEF 完全相同， 都减去三角形 DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯 形 OEFC 的面积。 解：直角梯形 OEFC 的上底为：10－3=7（厘米）， 直角梯形 OEFC 的面积为（7+10）× 2÷ 2=17（平方厘米）。 答：阴影部分的面积是 17 平方厘米。 例 2．如图，平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米，直角三角形 ECB 的直角边 EC 长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米，求平行四 边形 ABCD 的面积。 分析：因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘 米，都加上梯形 FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新 图形的面积差不变，即平行四边行 ABCD 比直角三角形 ECB 的面积大 10 平方厘米。 解：三角形 EFG 的面积为：10× 8÷ 2=40（平方厘米）。 平行四边形 ABCD 的面积为： 40+10=50 （平方厘米） 。 答：平行四边形的面积为 50 平方厘米。 例 3．如图,在三角形 ABC 中， BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为 AB 和 AC 的中点.那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？22分析:由“ E、F 分别为 AB 和 AC 的中点”可知，AF=CF，AE=BE，所以三 角形 ABF 和三角形 CBF 是同底等高的三角形，面积相等；三角形 AEF 和三角形 BEF 面积也相等，故有 S 三角形 EBF=1 1 S 三角形 ABF ，S 三角形 ABF= S 三角形 ABC 2 2解：S 三角形 ABC=8× 6÷ 2=24（平方厘米）1 1 S 三角形 ABC= × 24=12 （平方厘米） 2 2 1 1 S 三角形 EBF= S 三角形 ABF= × 12=6（平方厘米） 2 2S 三角形 ABF= 答：三角形 EBF 的面积是 6 平方厘米。三、熟能生巧1．如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）2．如图，正方形 ABCD 边长是 10 厘米，长方形 EFGH 的长为 8 厘米，宽为 5 厘米。 阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？3．如图，在三角形 ABC 中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是 20 平方厘米， 求三角形 ABC 的面积。四、拓展演练1．如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是 13，35，49，那么图 中阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米）232． 如图，梯形的下底为 8 厘米，高为 4 厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？3．如图，长方形 ABCD 中， AB=24cm，BC=26cm，E 是 BC 的中点，F、G 分别是 AB、CD 的四等分点，H 为 AD 上任意一点，求阴影部分面积。五、星级挑战?1．如图，梯形 ABCD 中，AD=7 厘米，BC=12 厘米，梯形高 8 厘米，求三角形 BOC 的面积比三角形 AOD 的面积大多少平方厘米？??2． 有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。 已知等腰直角三角形的 面积是 36 平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？24第 9 讲 组合图形面积（2）一、夯实基础不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而 成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之 转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。 计算圆的周长与面积的主要公式有： （1）圆的周长=π × 直径=2π × 半径，即：C=π d=2π r (2)中心角为 n 的弧的长度=n× π× (半径)÷ 180，即：l= （3）圆的面积=π × (半径) 2，即：S=π r2 (4)中心角为 n 的扇形的面积==n× π× (半径) 2÷ 360，即：S=° °n?r 1801 n?r 2 = l= lr 2 360二、典型例题例 1．如下图（1） ，在一个边长为 4cm 的正方形内，以正方形的三条边为直径 向内作三个半圆，求阴影部分的面积。(1)(2)(3)(4)分析（一） ：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图 （2） 。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面 积相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 分析（二） ：将上半个D弧边三角形‖从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边 上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。 分析（三） ：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧， 如图（4）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。 解：4× 4÷ 2=16（平方厘米） 例 2．如下图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米 为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。 分析：阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。 解：S 阴影=S 扇形 ACB＋S 扇形 ACD－S 正方形 ABCD25? = × AB2× 2－AB2 4 ? 2 = × 4× 2－42 4 3.14 ? 2 ≈16× =9.12（平方厘米） 。 2ABDC例 3．如下图，两个正方形边长分别是 10 厘米和 6 厘米，求阴影部分的面积。 分析： 阴影部分的面积，等于底为 16、高为 6 的直角三角形面积与图中（Ⅰ） 的面积之差。而图中（Ⅰ）的面积等于边长为 6 的 正方形面积减去1 的以 6 为半径的圆的面积。 4G EF D解：S 阴影=S 三角形 ACD－（S 正方形 BCDE－S 扇形 EBD） =1 1 ? (10 ? 6) ? 6 ? (6 ? 6 ? ? ? ? 62 ) 2 4(I) A 10 B 6 C=40.26（平方厘米） 。三、熟能生巧1．如下图，圆的直径为 8cm，求阴影部分的面积。2． 如图， 三角形 ABC 是等腰直角三角形， AC=BC=10cm， 分别以 A、B 为圆心，以 AC、BC 为半径在三角形 ABC 内画弧，求阴影部分的面积。3． 如下图， 直角三角形 ABC 中， AB 是圆的直径， 且 AB=20 厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大 7 平方 厘米，求 BC 长。A (1)(2) B C26四、拓展演练1．如下图，三个同心圆的半径分别是 2、6、10，求图中阴影 部分面积占大圆面积的百分之几？2．如下图，大正方形的边长为 6 厘米，小正方形的边长为 4 厘米。求阴影部分的面 积。3．如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是 1：2：1，和为 24 厘米。图 中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？五、星级挑战?1．如下图，将直径 AB 为 3 厘米的半圆绕 A 逆时针旋转 60° ，此时 AB 到达 AC 的位置，求阴影部分的面积（取π =3.14） 。27??2．求图中的阴影部分的面积。 （单位：厘米）第 10 讲 长方体的表面积和体积一、夯实基础长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上 下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相 等的六个正方形。 长方体的表面积=（长× 宽+宽× 高+长× 高）× 2 正方体的表面积=棱长× 棱长× 6 物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物 体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行 计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当 厚度忽略不计时，容积就等于体积。 长方体体积=长× 宽× 高 正方体体积=棱长× 棱长× 棱长二、典型例题例 1． 一块长方形铁皮长 24 厘米， 四角剪去边长 3 厘米的正方形后， 然后通过折叠、 焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是 486 立方厘米。求原来长方形铁 皮的面积。 分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长 方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可 知做成的长方体铁盒的长是 24－3× 2=18（厘米） ，高就是剪 下的小正方形的边长，也就是 3 厘米。又知铁盒的容积是 486 厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长 方形铁皮的宽，再加上 3× 2=6（厘米）才是原铁皮的宽。 解：长方体铁盒的长：24－3× 2=18（厘米） 长方体铁盒的宽：486÷ 3÷ 18=9（厘米） 长方形铁皮的宽：9＋3× 2=15（厘米）28长方形铁皮的面积：24× 15=360（平方厘米） 答：原长方形铁皮的面积是 360 平方厘米。 例 2． 如右图， 用 3 条丝带捆扎一个礼盒， 第一条丝带长 235cm， 第二条丝带长 445cm， 第三条丝带长 515cm，每条丝带的接头处的长度均为 5cm，求礼盒的体积。 分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带 中最长的一根去掉接头的 5cm，剩余部分的长度 等于长方体长与宽和的 2 倍。 解：长＋宽＝（515－5）÷ 2＝255（cm） 长＋高＝（445－5）÷ 2＝220（cm） 宽＋高＝（235－5）÷ 2＝115（cm） 长＋宽＋高＝（255＋220＋115）÷ 2＝295（cm） 长：295－115＝180（cm） 宽：295－220＝75（cm） 高：295－255＝40（cm） 礼盒体积：180× 75× 40=540000（cm3）=540（dm3） 答：这个礼盒的体积是 540 立方分米。 例 3．如图（1），一个密封的长方体玻璃缸长 15 厘米，水深 3 厘米。如果把玻璃 缸按图（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相 应的变化了。 解：设容器侧放后水深是 x 厘米 15× 8× 3＝15× 4× x x＝6 答：如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是 6 厘米。三、熟能生巧1．在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体（下图） ，求这 个立体图形的表面积。292．一个密闭的长方体水箱，长 10 分米，宽 8 分米，高 6 分米，内装 3 分米深的水， 若将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？ 3．右图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是 多少？四、拓展演练1． 如图所示是一个棱长 12 厘米的正方体， 从前住后， 有一个“十”字型的洞。 “十” 字最短边长都是 2 厘米，求它的表面积和体积？2．如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为 10 厘米(底面利用原有的水泥地)。这个水泥池的体积是多少？ .3．图中的一些积木是由 16 块棱长为 2 厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平 方厘米？五、星级挑战?1．一个长方形水箱，从里面量长 40 厘米，宽 30 厘米，深 35 厘米。原来水深 10 厘米，放进一个棱长 20 厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面 高多少厘米？30??2．有一个棱长是 5 厘米的正方体木块，它的表面涂上红油漆。将这个大正方体 木块锯成棱长是 1 厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂 红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？第 11 讲 圆柱体的表面积一、夯实基础圆柱体是常见的立体图形。它的表面是由一个侧面（展开是长方形）和两个相 同的圆形底面组成。圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个长方形；从中间 横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，即 S 表=S 侧＋2S 底，S 表=2π rh+2π r2二、典型例题例 1． 把一段长 20 分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块， 表面积增加了 320 平方分米，原来这段圆柱形圆木的表面积是多少平方分米？ 分析：按这种方法，截面是相同的两个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是 圆柱的底面直径。 解：长方形面积是 320÷ 2=160（平方分米）； 底面直径：160÷ 20=8（分米）； 侧面积：3.14× 8× 20=502.4（平方分米）； 底面积：3.14× （8÷ 2）2=50.24（平方分米）； 表面积：502.4＋50.24=552.64（平方分米） 答：原来这段圆柱形圆木的表面积是 552.64 平方分米。 例 2．有一个圆柱体的零件，高 10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆 柱形的直孔，如下图。圆孔的直径是 4 厘米，孔深 5 厘米。如果将这个零件接触空 气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 分析：解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还 要注意到零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还 要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面 与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面。31解：3.14× （6÷ 2）2× 2＋3.14× 6× 10＋3.14× 4× 5 ＝3.14× （18＋60＋20） ＝3.14× 98 ＝307.72（平方厘米） ． 答：涂油漆面积是 307.72 平方厘米。 例 3．在一棱长为 4 厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为 2 厘米， 深为 1 厘米的圆柱形的孔，求打孔后它的表面积是多少？ 分析：因为正方体的棱长为 4 厘米，而孔深只有 1 厘米，所以正方体没有被打 透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完 全一样的圆柱的侧面积。 解：4× 4× 6＋2π × 1× 6=133.68（平方厘米） 答：打孔后它的表面积是 133.68 平方厘米。三、熟能生巧1．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个边长 6.28 分米的正方形，这个圆柱体的底 面周长是多少分米？底面积是多少平方分米？2．一个圆柱体的零件，高 20 厘米，底面直径是 14 厘米，零件的上面有一个圆柱形 的圆孔，圆孔的直径是 8 厘米，孔深 12 厘米（见右图） 。如果将这个零件接触空气 的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？3．有一个长方体木块，高 20 厘米，底面是个长方形，长 30 厘米，宽 15 厘米，上 面有一个底面直径和高都是 10 厘米的圆柱形的孔，它的表面积是多少平方厘米？32四、拓展演练1．将高都是 1 米，底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱体组成一个物 体，求它的表面积。2．右图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为 40cm 的正方体， 上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。3．右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布 做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是 a 厘米，那么哪种颜色的布用得多？五、星级挑战?1．一根圆柱形钢材，如图沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体。已知一个剖面 的面积是 960 平方厘米，求原来钢材的侧面积。??2． 有一张长方形铁皮， 如图剪下阴影部分制成圆柱体， 求这个圆柱体的表面积。33第 12 讲 圆柱和圆锥的体积一、夯实基础本节主要是对圆柱和圆锥的认识，圆柱的表面积以及圆柱、圆锥体积计算。 圆柱的特征：圆柱有一个侧面（展开是长方形）和两个底面（完全相同的圆）， 圆柱有无数条高（两个底面之间的距离）。 圆柱的侧面积=底面周长× 高，S 侧=ch=2π rh； 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积； 圆柱的体积=底面积× 高，即 V=sh=π r2h； 圆锥的特征：圆锥的底面是一个圆，侧面（展开是扇形）。 圆锥的高： 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 （一个圆锥只有一条高） ； 圆锥的体积=1 1 1 × 底面积× 高，即 V= sh= π r2h； 3 3 3圆锥的表面积=扇形面积+底圆面积。二、典型例题例 1．把高 10 厘米的圆柱体按下图切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了 60 平方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？ 分析：把圆柱体按上图切开并拼成近似长方体，表面积比原来增加了左、右两个 侧面（长方形） ，长方形的长是底面半径，宽是圆柱的高。 解：60÷ 2=30（平方厘米） 30÷ 10=3（厘米） 3.14× 32× 10=282.6（立方厘米） 答：圆柱的体积是 282.6 立方厘米。 例 2．把一块长 18.84 厘米，宽 5 厘米，高 4 厘米的长方体钢锭和一块底面直径是 8 厘米，高 25 厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为 8 厘米的圆锥形钢块，这个 圆锥形钢块的高是多少厘米？ 分析：要求圆锥的高，必须知道圆锥的体积和底面积，而题中的圆锥是两个不 同形体的几何体熔铸而成的， 所以这个圆锥的体积等于长方体体积与圆柱体积的和。 解：设圆锥的高为 厘米。1 × （3.14× 82× ）=18.84× 5× 4＋3.14× （8÷ 2）2× 25 3=24.375 答：这个圆锥形钢块高是 24.375 厘米。 例 3．下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头 处忽略不计） 。求这个油桶的容积。34分析：图中的两个圆是圆柱的底面，长方形是圆柱的侧面，因为刚好做成一个 圆柱形油桶，所以长方形的长相当于圆柱的底面周长，也就是说：以底面直径为 1 倍，长方形的长应是直径的 方形的宽是直径的 2 倍。 解：设底面直径为 厘米。 倍。从图中可以看出长3.14× （4÷ 2）2× （4× 2）=100.48（立方厘米）=100.48（毫升） 答：这个油桶的容积是 100.48 毫升。三、熟能生巧1．把一个底面直径是 10 厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增 加了 100 平方厘米。求这个圆柱体的体积。2．求空心机器零件的体积。 （单位：厘米）3．有一张长方体铁皮（下图） ，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个 圆柱体，这个圆柱体的底面半径为 10 厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？四、拓展演练1．一种儿童玩具――陀螺（如下图） ，上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测试， 只有当圆柱直径 3 厘米， 高 4 厘米， 圆锥的高是圆柱高的3 时， 才能旋转时稳又快， 435试问这个陀螺的体积是多大？（保留整立方厘米）2．一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径为原来的 2 倍，可装水 40 千克，那么原来的水桶可装水多少千克？3．如下图：用一张长 82.8 厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的 部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶， 算一算这个铁皮水桶的容积是多少？ （铁 皮厚度不计） 。五、星级挑战?1．一个胶水瓶（如图） ，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈） ，容积为 32.4 立方厘 米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为 8 厘米，瓶子倒放时，空余部分高为 2 厘米。 请你算一算，瓶内胶水的体积是多少立方厘米？??2．有一块棱长分别为 6dm、8dm、10dm 的长方体木块，把它切割成体积尽可 能大的圆锥体木块。求这个圆锥体木块的体积？36第 13 讲 画图法解应用题一、夯实基础在解答一些应用题时，用作图法可以把题目的数量关系揭示出来，使题意形象 具体，一目了然，从而有助于快速找到解题的途径。作图法解题可以画线段图，也 可以画示意图，对解答条件隐蔽，复杂疑难应用题，能起到化难为易的作用。 例如在解答和差、和倍和差倍三类问题时，都可以用画图法表示。简图如下： （1）和差问题 （2）和倍问题 （3）差倍问题二、典型例题例1．哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥 哥和弟弟原来各有邮票多少张？ 分析：由已知条件“哥哥给弟弟4 张后，还比弟弟多2 张”画图如下，可知哥哥 的邮票比弟弟多4× 2＋2＝10 （张）。解：弟弟有邮票：（70－10）÷ 2=30 张， 哥哥有邮票：30+10=40 张。 答：弟弟有邮票 30 张，哥哥有邮票 40 张。 例 2．果园里有桃树、梨树、苹果树共 146 棵。桃树比梨树少 7 棵，苹果树比桃树 多 4 棵，三种树各有多少棵？ 分析：先用线段图表示出三种树棵数之间的关系：从图上可以看出，梨树的棵数比桃树多 7 棵，苹果树的棵数比桃树多 4 棵，假 设移动多的棵数，则两种果树共减少了 7＋4=11（棵），相应的总棵数就减少 11 棵： 146－11=135（棵），而 135 棵对应的就是桃树棵数的 3 倍。 解：桃树：（146－7－4）÷ 3=45（棵），37梨树：45+7=52（棵）， 苹果树：45+4=49（棵）。 答：桃树有 45 棵，梨树有 52 棵，苹果树有 49 棵。 例 3．某公司三个厂区共有员工 1900 人，甲厂区的人数是乙厂区的 2 倍，乙厂区比 丙厂区少 300 人，三个厂区各有多少人？ 分析：先用线段图表示出三厂区人数之间的关系：从图上可以看出，假设丙厂人数减少 300 人，总人数也减少 300 人，为 1900－ 300=1600（人），此时总人数恰好是乙厂的 4 倍。 解：乙厂：（）÷ 4=400（人）， 甲厂：400× 2=800（人）， 丙厂：400+300=700（人）。 答：甲厂有 800 人，乙厂有 400 人，丙厂有 700 人。三、熟能生巧1．一个两层书架共放书 72 本，若从上层中拿出 9 本给下层，上层比下层多 4 本。 上、下层各放书多少本？2．张明用 272 元买了一件上衣，一顶帽子和一双鞋子。上衣比鞋贵 60 元，鞋比帽 子贵 70 元。求上衣、鞋子和帽子各多少钱？3．三个筑路队共筑路 1360 米，甲队筑的米数是乙队的 2 倍，乙队比丙队多 240 米， 三个队各筑了多少米？38四、拓展演练1．姐姐和妹妹共有糖果 39 块，如果姐姐给妹妹 7 块，就比妹妹少 3 块。那么姐姐 和妹妹原来各有糖果多少块？2．城东小学共有篮球、足球和排球共 95 只，其中足球比排球少 5 只，排球的只数 是篮球只数的 2 倍。篮球、足球、排球各是多少只？3．甲站有汽车 192 辆，乙站有汽车 48 辆。每天从甲站开往乙站的汽车是 21 辆，从 乙站开往甲站的汽车是 24 辆。经过几天后，甲站汽车的辆数是乙站的 7 倍？五、星级挑战?1．有货物 164 吨，分放在甲、乙、丙、丁四个仓库里，乙仓存放吨数是甲仓存放 吨数的 3 倍，甲仓比丙仓少 5 吨，比丁仓多 3 吨，甲、乙、丙、丁四个仓库各放多 少吨？??2．甲油库存油 112 吨，乙油库存油 80 吨，每天从两个油库各运走 8 吨油，多 少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的 2 倍？39第 14 讲 假设法解应用题一、夯实基础所谓D假设法‖就是依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，做适当调 整，从而找到正确答案。 我国古代趣题D鸡兔同笼‖就是运用假设法解题的一个范例，其基本关系式是： 方法 1:设鸡求兔 （总足数－2× 总头数）÷ （4－2）=兔头数 总头数－兔头数=鸡头数 方法 2:设兔求鸡 （4× 总头数－总足数）÷ （4－2）=鸡头数 总头数－鸡头数=兔头数二、典型例题例 1．学校买回 4 个篮球和 5 个排球，一共用了 185 元，一个篮球比一个排球贵 8 元，篮球、排球的单价各多少元？ 分析：假设买的是 9 个排球，可以少花 8× 4=32（元），即如果买 9 个排球会花 185－32=153（元），当然，也可以假设买的是 9 个蓝球。会多花 8× 5=40（元）， 即如果买 9 个篮球会花 185＋40=225（元） 解（一）：假设买回的是 9 个排球 排球的单价：（185－8× 4）÷ 9=17（元） 篮球的单价：17＋8=25（元） 解（二）：假设买回的是 9 个篮球 蓝球的单价：（185＋8× 5）÷ 9=25（元） 排球的单价：25－8=17（元） 答：排球的单价是 17 元，篮球的单价是 25 元。 例 2．一只松鼠采松子，睛天每天采 24 个，雨天每天采 16 个，它一连 8 天共采 168 个松子，问这 8 天当中有几天睛天？ 分析： 假设这 8 天全是睛天， 应采 24× 8=192 （个） ， 比实际采到的多 192－168=24 （个），怎么会多 24 个呢？因为这 8 天中有雨天，每个睛天比每个雨天多采 24－ 16=8（个），24 里面有 3 个 8，所以有 3 个雨天，5 个睛天。亦可以假设全是雨天， 求出睛天的天数。 解（一）：假设这 8 天全是睛天 雨天：（24× 8－168）÷ （24－16）=3（天） 睛天： 8－3=5（天）40解（二）：假设这 8 天全是雨天 睛天：（168－16× 8）÷ （24－16）=5（天） 答：这几天中有 5 天睛天。 例 3．鸡兔同笼，数头共 10 只，数脚共 24 只，鸡、兔各有多少只？ 分析：假设这 10 只全是鸡，应有脚 2× 10=20（只），比实际的脚数少 24－20=4 （只），怎么会少 4 只脚呢？因为这 10 只动物中有兔子，每只鸡的脚比每只兔子少 4－2=2（只），4 里面有 2 个 2，所以有 2 只兔子，8 只鸡。亦可以假设全是兔子， 求出鸡的数量。 解（一）：假设这 10 只全是鸡 兔：（24－2× 10）÷ （4－2）=2（只） 鸡： 10－2=8（只） 解（二）：假设这 10 只全是兔 鸡：（4× 10－24）÷ （4－2）=8（只） 兔： 10－8=2（只） 答：鸡有 8 只，兔有 2 只。三、熟能生巧1．商场运进 200 双童鞋，分别装在 3 只木箱和 4 只纸箱里，刚好全部装满。如果 2 只纸箱装的童鞋与 1 只木箱装的同样多，那么每只纸箱和木箱各装童鞋多少双？2．六年级师生参观科技展览馆，买儿童票 52 张，成人票 7 张，共花了 330 元。成 人票是儿童票的 2 倍。两种票价各是多少元？3．鸡兔同笼，共有 27 个头，72 只脚，问：笼中鸡、兔各有多少只？4．学校组织学生和教师共 460 人春游，刚好共租了 10 辆客车，已知大客车每辆坐 50 人，小客车每辆坐 30 人，大、小客车各租了几辆？41四、拓展演练1．玲玲的储蓄盒里有二分、五分硬币共 65 枚，共值 2.86 元，那么二分、五分的硬 币各有多少枚呢？2．李华参加射击比赛，共打 20 发，规定每中一发记 10 分，脱靶一发则倒扣 6 分， 结果得了 168 分，他一共打中了多少发？3．一名搬运工人从批发部搬运 500 只瓷砖到商店，货主规定：运到一只完好的瓷砖 得运费 3 角，打破一只赔 9 角，结果他领到运费 136.80 元。问在运输中，搬运工打 破了多少只瓷砖？五、星级挑战?1．有一堆黄沙，用大汽车运需运 50 次，如果用小汽车运，要运 80 次。每辆大汽 车比小汽车多运 3 吨，这堆黄沙有多少吨？??2．蜘蛛有 8 条腿，蝴蝶有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有这 三种小虫 16 只，共有 110 条腿和 14 对翅膀。问：每种小虫各几只？42第 15 讲 列方程解应用题（1）一、夯实基础列方程解应用题的一般步骤是： （1）弄清题意，找出未知数，并用 x 表示； （2）找出应用题中数量间的相等关系，列方程； （3）解方程； （4）检验，写出答案。二、典型例题例 1．父亲今年 50 岁，儿子今年 14 岁，问几年前父亲的年龄是儿子的 5 倍？ 分析：根据D几年前父亲的年龄=几年前儿子年龄的 5 倍‖，可建立等量关系。 解：设 x 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍。 50－x=5（14－x） x=5 答：5 年前父亲的年龄是儿子年龄的 5 倍。 例 2．涛涛家 4 口人的年龄之和 147 岁，妈妈比涛涛大 27 岁，爷爷的年龄是妈妈和 涛涛年龄之和的 2 倍，且比爸爸大 38 岁。问：涛涛家四口人的年龄各是多少？ 分析：由一家四口人的年龄之和为 147 岁知等量关系为：D涛涛岁数＋妈妈岁 数＋爸爸岁数＋爷爷岁数=全家年龄和‖。另外，经分析，设涛涛的年龄为 x，则此 题化难为宜。 解：设涛涛年龄为 x 岁，则妈妈是（x+27）岁，爷爷是[(x+x+27)× 2]岁，爸爸 是[(x+x+27)× 2－38]岁。 x＋（x+27）＋[(x+x+27)× 2－38]＋[(x+x+27)× 2]=14 解得：x=5 妈妈年龄：x+27=5＋27=32(岁) 爸爸年龄：x+x+27)× 2－38=（5＋5＋27）× 2－38=36（岁） 爷爷年龄：(x+x+27)× 2=（5＋5＋27）× 2=74(岁) 答：涛涛 5 岁，妈妈 32 岁，爸爸 36 岁，爷爷 74 岁。 例 3．一个三位数，个位上的数字是 5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上 的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小 108， 原数是多少？ 分析：这题是数字问题，根据D新数比原数小 108‖可以列出等量关系式：D原数 ＝新数＋108‖，设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为 x，则原三位 数可表示为（10x＋5），新三位数可表示为（5× 100＋x）43解：设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为 x。 10x＋5＝5× 100＋x＋108 10x－x＝500＋108－5 9x＝603 x＝67 10× 67＋5＝675 答：原三位数是 675。三、熟能生巧1．今年爸爸的年龄是儿子的 4 倍，20 年后，爸爸的年龄是儿子年龄的 2 倍，问： 爸爸和儿子今年各是多少岁？2． 一条大鲨鱼， 头长 3 米， 身长等于头长加尾长， 尾长等于头长加身长的一半的和。 这条大鲨鱼全长多少米？3．某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生 产螺钉，多少工人生产螺母？四、拓展演练1．学校里白色粉笔的盒数是彩粉笔的 4 倍，如果再增加白粉笔 130 盒，再增加彩粉 笔 50 盒，则白粉笔是彩粉笔的 3 倍。求白粉笔和彩粉笔原来各有多少盒？442．78 只鸡在田里捉青虫吃,共吃掉 138 条青虫，已知每只公鸡吃 4 条青虫，每只母 鸡吃 3 条青虫，两只小鸡吃一条，母鸡比公鸡多 18 只，问这群鸡中公鸡，母鸡，小 鸡各有多少只？3．一个六位数，个位数字是 2，如果把 2 移到最高位，那么原数就是新数的 3 倍。 求原来的六位数。五、星级挑战?1．甲、乙、丙、丁四人一共做了 370 个零件，如果把甲做的个数加 10 个，乙做 的个数减去 20 个，丙做的个数乘以 2，丁做的个数除以 2，四人做的零件数就正好 相等，那么乙实际做了多少个？??2．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的 3 倍多两个，每次从箱子里 取出 7 个白球， 15 个红球。 如果经过若干次后， 箱子里只剩下 3 个白球， 53 个红球， 那么，箱子里原有红球比白球多多少个？45第 16 讲 列方程解应用题（2）一、夯实基础列方程的实质是把题中的D生活语言‖化为D代数语言‖，即把文字等量关系式 用已知数与未知数代入即得方程。 列方程解应用题的两个关键点： （1）用 x 表示未知量。（2）建立等量关系二、典型例题例 1．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多 12 个，乙种零件 全部合格，甲种零件只有 了多少个？ 分析：我们可以根据D两种零件合格的一共 42 个‖建立等式，可列出方程。 解：设生产乙种零件为 x 个，则生产甲种零件为 x＋12 个。 （x+ 12）×4 合格，两种零件合格的一共是 42 个，两种零件各生产 54 +x= 42 5 9 48 x+ = 42 5 5x= 18甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了 30 个，乙种零件生产了 18 个。 例 2．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，黄球个数是红球的 的4 ，蓝球个数是红球 52 3 ，黄球个数的 比蓝球少 2 个。袋中共有多少个球？ 3 4分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球进行比较，所以设红球个数为 x 比较简单。再根据D黄球个数的3 比蓝球少 2 个‖建立等式，可列出方程。 4 4 2 x，蓝球个数为 x。 5 3解：设红球个数为 x，则黄球个数为2 3 4 x－ × x=2 3 4 5x=3046x＋4 2 x＋ x=30＋24＋20=74（个） 5 3 2 ，第二次放出 30 立方米水，第三次又放 5答：袋中共有 74 个球。 例 3．有一个水池，第一次放出全部水的 出剩下水的2 ，池里还剩水 54 立方米，全池蓄水为多少立方米？ 52 x，第二次放 5 2 2 出水是 30 立方米，第三次放出的水是剩下的水（x－ x－30）的 ，所以有这样 5 5分析：如果用 x 表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为 的等量关系：D第一次放水量+第二次放水量+第三次放水量+剩余水量=全池水量‖。 解：设全池蓄水量为 x 立方米。2 2 2 x+ 30 +（xx- 30）× + 54 =x 5 5 5 2 6 x－ x－ x= 72 5 25x=200 答：全池蓄水为 200 立方米。三、熟能生巧1．甲、乙两人共有存款 108 元，如果甲取出自己存款的 所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？2 ，乙取出 12 元后，两人 52．六年级有学生 300 人，从六年级男生中选出3 1 ，女生中选出 参加校运动会， 4 2这样全年级还剩下 91 人参加布置会场工作。六年级有男、女生各多少人？，3．长江文具店运来的毛笔比钢笔多 1000 支，其中毛笔的 文具店共运来多少支笔？3 1 和钢笔的 相等，长江 7 247四、拓展演练1．某人装修房屋，原预算 25000 元。装修时因材料费下降了 20％，工资涨了 10％， 实际用去 21500 元。求原来材料费及工资各是多少元？2．某商店因换季销售某种商品，如果按定价的 5 折出售，将赔 30 元，按定价的 9 折出售，将赚 20 元，则商品的定价为多少元？3．某书店出售一种挂历，每售出 1 本可得 18 元利润。售出一部分后每本减价 10 元出售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的 完这种挂历共获利润 2870 元。书店共售出这种挂历多少本？2 。书店售 3五、星级挑战?1．甲、乙两人各有钱若干，现有 18 元奖金，如果全部给甲，则甲的钱为乙的 2 倍，如果全部给乙，则乙的钱为甲的7 。问原来两人各有多少元钱？ 8??2．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现 剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是 9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却 又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是 7∶5。 这群羊原来有多少只？48第 17 讲 行程问题之多次相遇一、夯实基础在一些稍复杂的行程问题中，出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难 理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，画图弄清数量关系，明确运动过程以及 路程、速度、时间三个量之间的关系，解答起来也十分方便。二、典型例题例 1．甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 A 地 80 千米处相遇，相遇后两 车继续前进，甲车到达 B 地、乙车到达 A 地后均立即按原路返回，第二次在距 B 地 60 千米处相遇。求 A、B 两地间的路程。 分析：根据题意可画出下面的线段图：从图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了 3 个全程，第一 次相遇距 A 地 80 千米，说明行完一个全程时，甲行了 80 千米。两车同时出发同时 停止，共行了 3 个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了 8× 3＝240（千米），从图 中可以看出来甲车实际行了一个全程多 60 千米。 解：80× 3－60＝180（千米） 答：A、B 两地间的路程是 180 千米。 例 2．甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 A 地 80 千米处相遇，相遇后两 车继续前进，甲车到达 B 地、乙车到达 A 地后均立即按原路返回，第二次在距 A 地 60 千米处相遇。求 A、B 两地间的路程。 分析：根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了 3 个全程，第一 次相遇距 A 地 80 千米，说明行完一个全程时，甲行了 80 千米。两车同时出发同时 停止，共行了 3 个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80× 3＝240（千米）， 从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少 60 千米。49解：（80× 3＋60）÷ 2＝150（千米） 答：A、B 两地间的路程是 150 千米。 例 3．电子游戏《保卫家园》中有两个警卫兵每天在乐乐家门前一条长 20 厘米的路 上巡逻，大警卫每秒走 0.5 厘米，小警卫每秒走 0.3 厘米，每天早晨俩人同时从路的 两段相向走来，走到对方出发地点再向后转接着走。当他们第三次相遇时，大警卫 走了多少厘米？ 分析：第一次相遇，两人共同走了一个全长；从第二次相遇到第三次相遇，两 人又走了两个全长，从开始到第三次相遇，两人共走了 5 个全长，5 个全长除以速 度和求出相遇时间是：20× 5÷ （0.5＋0.3）=125 秒，再乘以大警卫的速度就是所求。 解：20× 5÷ （0.5＋0.3）× 0.5 =100÷ 0.8× 0.5 =125× 0.5 =62.5（厘米） 答：当他们第三次相遇时，大警卫走了 62.5 厘米。三、熟能生巧1．甲、乙两车同时从东城出发，开往相距 750 千米的西城，甲车每小时行 68 千米， 乙车每小时行 57 千米， 甲车到达西城后立刻返回。 两车从出发到相遇一共经过多长 时间？2．客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站 40 千米的地 方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回， 结果它们又在离乙站 20 千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。3．李明和王华步行同时从 A、B 两地出发，相向而行，第一次在距离 A 地 520 米 处相遇，相遇后继续前进，到对方出发点后立即原速返回，第二次在距离 A 地 440 米处相遇，计算 A、B 两地之间距离。50四、拓展演练1． 赵老师和王老师每天早晨都要在长 600 米的一条路上练习长跑， 赵老师每分钟跑 110 米，王老师每分钟跑 90 米，他们每天都是分别从路的两端出发，跑到另一端后 再返回继续跑。他们第二次相遇时，已经跑了几分钟？2．快、慢两辆汽车同时从 A、B 两地相向而行，快车每小时行 45 千米，慢车每小 时行 30 千米。两车不断往返于 A、B 两地运送货物。当两车第三次相遇后，快车又 行了 270 千米才与慢车相遇。求 A、B 两地间的距离。3．小华、小明、小丽三人步行，小明每分钟走 50 米，小华每分钟比小明快 10 米， 小丽每分钟比小明慢 10 米，小华从甲地，小明、小丽从乙地同时出发相向而行，小 华和小明相遇后，过了 15 分钟又和小丽相遇，求甲、乙两地间的距离？五、星级挑战?1．甲、乙两人在相距 90 米的直路上来回的跑步，甲的速度是每秒钟 3 米，乙的 速度是每秒钟 2 米， 如果他们分别在直路的两端出发， 跑了 12 分钟， 共相遇多少次？??2．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村 后就马上返回） ，他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相 遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？51第 18 讲 行程问题之环形赛道一、夯实基础在封闭的环形上，如果是同时同地背向而行，合走一个周长相遇一次。 相遇时间是：环形周长÷ 速度和=相遇时间。 如果是同时同地同向而行，速度快的追上速度慢的时候，正好比速度慢的多行 一个周长的路程，一周的长度就是追及距离，追上一次。 追及时间是：环形周长÷ 速度差=追及时间二、典型例题例 1．小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步.小王的速度是 180 米/分。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一次相遇，小张 的速度是多少米/分？ （2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追 上小王？ 解： （1）75 秒=1.25 分，两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程。小张 的速度是：500÷ 1.25－180=220（米/分） 。 （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长） ， 因此需要的时间是： 500÷ （220－180）＝12.5（分） ； 220× 12.5÷ 500＝5.5（圈） 。 答： （1）小张的速度是 220 米/分； （2）小张跑 5.5 圈后才能追上小王。 例 2．如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行 走，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 60 米.求这个圆的周长。 解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇， 两个人合起来又走了一圈。从出发开始算，两个人合起来走了 一周半。因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次 相遇时合起来所走的行程的 3 倍，那么从 A 到 D 的距离，应该 是从 A 到 C 距离的 3 倍，即 A 到 D 是 80× 3＝240（米） ；240－60=180（米） ；180× 2＝360（米） 。 答：这个圆的周长是 360 米。 例 3．甲、乙两人在周长 600 米的水池边上玩，两人从一点出发（甲速度比乙快） ，52同向而行 30 分钟后又走到一起， 背向而行 4 分钟相遇。 求两人每分钟各行多少米？ 分析： 两人从一点出发同向而行，速度有快、有慢，形成前后，从出发到再次 走到一起，看作追及问题，追及的路程是 600 米，追及的时间 30 分钟，根据D追及 的路程÷ 追及的时间＝速度差 ‖，可求出速度差是 600÷ 30＝20 (米)。又背向而行 4 分钟相遇，属相遇问题，相遇的路程是 600 米，相遇时间是 4 分钟，根据D相遇路程 ÷ 相遇时间＝速度和‖，可求出速度和是 600÷ 4＝150 (米)。然后根据D和差问题‖(和 ＋差)÷ 2＝大数，(和－差)÷ 2＝小数，可求出两人的速度。 解：速度差： 600÷ 30＝20 (米/分) ； 速度和： 600÷ 4＝150 (米/分) 甲速度：(20＋150)÷ 2＝85 (米/分) ； 乙速度： (150－20)÷ 2＝65 (米/分) 答：甲每分钟行 85 米，乙每分钟行 65 米。三、熟能生巧1．甲、乙二人骑车同时从长为 10 千米的环形公路的某点出发，背向而行，已知甲 每分钟骑 100 米，乙每分钟 150 米，经过多少分钟两人相遇？2．如右图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端Ａ与 C 同时出发，绕圆周相向 而行。它们第一次相遇在离 A 点 8 厘米处的 B 点，第二次相遇在离 c 点处 6 厘米的 Ｄ点，这个圆周的长是多少？3．在 480 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分钟 20 秒 相遇，如果背向而行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？四、拓展演练1．一个圆形跑道长 1350 米，甲、乙二人同时从同一起点绕着跑道向相反方向跑去， 甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 240 米。经过多长时间甲与乙第二次相遇？532．甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，已知甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米，经过 20 分钟两人共同相遇 6 次，问这个跑道多长？3．在周长 400 米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟 60 米和 50 米的 速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问 2 小时内，甲追上乙多少次？五、星级挑战?1．甲、乙两名同学在周长为 300 米的环形赛道上从同一地点同时背向练习跑步， 甲每秒跑 3.6 米，乙每秒跑 3.9 米。当他们第 5 次相遇时，甲还需要跑多少米才能回 到出发点？??2．一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等分，3 只爬虫 A，B，C 分 别在这 3 个点上。它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。A 的速度是 10 厘米 /秒，B 的速度是 5 厘米/秒，C 的速度是 3 厘米/秒，3 只爬虫出发后多少时间第一次 到达同一位置？第 19 讲 行程问题之巧用比例一、夯实基础行程问题常和比例结合起来，题目虽然简洁，但是综合性强，而且形式多变， 运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。 我们知道行程问题里有三个量：速度、时间、距离，知道其中两个量就可以求 出第三个量。速度× 时间=距离；距离÷ 速度=时间；距离÷ 时间=速度。如果要用比例 做行程问题，这三个量之间的关系是： （1）时间相同，速度比=距离比； （2）速度相同，时间比=距离比； （3）距离相同，速度比=时间的反比。54二、典型例题例 1．客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3 小时后，客车 到达甲城，货车离乙城还有 30 千米．已知货车的速度是客车的 3/4，甲、乙两城相 距多少千米？ 分析：客车速度：货车速度=4：3，客车路程：货车路程=4：3，客车行驶的路 程为 4 份，货车行驶的路程为 3 份，也就是说客车比货车多行了 1 份，多行了 30 千米；所以客车走了 30× 4=120 千米，所以两城相距 120× 2=240 千米。解：30× 4× 2=240(千米) 答：甲、乙两城相距 240 千米。 例 2．甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，它们相遇时距 A、B 两地中心处 8 千米，已知甲车速度是乙车的 1.2 倍，求 A、B 两地的距离。 分析：甲车速度是乙车的 1.2 倍，甲、乙两车速度比是 6：5，相遇时甲车和乙车 行驶的路程比是 6：5，甲车行驶的路程为 6 份，乙车行驶的路程为 5 份，甲车比乙 车多行驶了 1 份路程， 一份是 2× 8=16 千米， A、 B 两地的距离就是 11× 16=176 千米。 解：2× 8× （6+5）=176(千米) 答：A、B 两地相距 176 千米。 例 3．甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 48 千米， 乙车每小时行 42 千米。当乙车行至全程的 两地相距多少千米？ 分析：因为两车行驶的时间一定，所以速度与路程成正比例，根据甲、乙速度 比，可推知路程比，根据乙行了全程的 根据甲车距中点 24 千米，即与全程的 距多少千米。 解：甲车速度：乙车速度=48:42=8:7 甲车路程：乙车路程=8:7 甲行的路程：7 时，甲车距中点还有 24 千米，A、B 207 ，可以求出甲行了全程的几分之几，再 201 的差是 24 千米。最后可求出 A、B 两地相 27 8 2 × = 20 7 555全程：24÷ （1 2 － ）=240（千米） 2 5答：A、B 两地相距 240 千米。三、熟能生巧1．甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相向而行，甲行到全程的3 的地方与乙相遇。 7甲每小时行 30 千米，乙行完全程需 7 小时。求 A、B 两地之间的路程。2． 一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出， 已知客车的速度是货车的速度的2 ，两车相遇时，客车比货车少行 8 千米。求甲、乙两地间的距离。 33．甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 56 千米，乙 车每小时行 40 千米。当乙车行至全程的 地相距多少千米？2 时，甲车已超过中点 12 千米，A、B 两 5四、拓展演练1．甲、乙两人分别从 A、B 两地相向而行，甲行了全程的5 ，正好与乙相遇，已 11知甲每小时行 4.5 千米，乙行完全程要 5.5 小时，求 A、B 两地相距多少千米？2．客车和货车同时从 A、B 两地相对开出，货车的速度是客车的 中点 30 千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？2 。两车在离两地 3563．甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车速度是乙车速度的 当乙车行至全程的5 。 62 时，甲车距中点还有 30 千米，A、B 两地相距多少千米？ 5五、星级挑战?1．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，返回时每小时行 50 千米，结果 返回时比去时的时间少 48 分钟。求甲乙两地之间的路程？??2．甲、乙、丙三人进行 200 米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有 40 米，丙 离终点还有 50 米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离 终点还有多少米？第 20 讲 图示法解分数应用题一、夯实基础图示法就是用线段图（或其它图形）把题目中的已知条件和问题表示出来，这 样可以把抽象的数量关系具体化，往往可以从图中找到解题的突破口。运用图示法 教学应用题，是培养思维能力的有效方法之一。 图示法不仅可以形象地、直观地反映分数应用题中的“对应量和对应分率”间 的关系，启发学生的解题思路，帮助学生找到解题的途径，而且通过画图的训练， 可以调动学生思维的积极性，提高学生分析问题和解决问题的能力。二、典型例题例 1．一条鱼重的3 3 加上 千克就是这条鱼的重量，这条鱼重多少千克？ 5 457分析与解：从题意可以知道，这条鱼的重量是单 位“1”， 用线段图帮助我们分析数量关系从图上可以3 3 千克对应的分率是（1－ ） 。 4 5 3 3 7 鱼的重量： ÷ （1－ ） = 1 （千克） 。 4 5 8 7 答：这条鱼重 1 千克。 8 1 例 2．一桶油第一次用去 ，第二次比第一次多用去 20 千克，还剩下 22 千克。原 5看出 来这桶油有多少千克？ 分析与解：从图中可以清楚地看出：这桶油的千克数× （1－ 则这桶油的千克数为： （20+22）÷ （1－ 答：原来这桶油有 70 千克。 例 3．缝纫机厂女职工占全厂职工人数的 工多少人？1 1 － ）=20+22 5 51 1 － ）=70（千克） 。 5 57 ，比男职工少 144 人，缝纫机厂共有职 20分析与解：解题的关键是找到与具体数量 144 人的相对应的分率。587 7 13 ， 男职工占 1－ = ， 女职工比男 20 20 20 13 7 3 3 职工少占全厂职工人数的 － = ，也就是 144 人与全厂人数的 相对应。 20 20 10 10 7 7 全厂的人数为：144÷ （1－ － ）=480（人） 20 20从线段图上可以清楚地看出女职工占 答：缝纫机厂共有职工 480 人。三、熟能生巧1．张亮从甲城到乙城，第一天行了全程的 40%，第二天行了全程的 有 18 千米，甲、乙两城相距多少千米？9 ，距乙城还 202．李玲看一本书，第一天看了全书的 一半。李玲第一天看书多少页？1 ，第二天看了 18 页，这时正好看了全书的 63．某工程队修筑一条公路，第一周修了这段公路的1 2 ，第二周修了这段公路的 。 4 7第二周比第一周多修了 2 千米，这段公路全长多少千米？59四、拓展演练1．汽车从学校出发到太湖玩，6 3 小时行驶了全程的 ，这时距太湖边还有 4 千米。 7 4照这样的速度，行完全程共用多少小时？2．某书店运来一批连环画。第一天卖出 1800 本，第二天卖出的本数比第一天多 余下总数的1 ， 93 正好第三天全部卖完，这批连环画共有多少本？ 73．一辆汽车从甲地开往乙地，第 1 小时行了1 ，第 2 小时比第 1 小时少行了 16 千 7米，这时汽车距甲地 94 千米。甲、乙两地相距多少千米？五、星级挑战?1．水果店购进一批水果，第一天卖了 30%，第二天卖出余下的 50%，这两天共 卖出 195 千克。这批水果共多少千克？??2．用绳子测井深，把绳子折成三股来量，井外余 井外余4 米，把绳子折成四股来量， 31 米，井深多少米？ 360第 21 讲 还原法解分数应用题一、夯实基础有些题目，如果按照一般方法，顺着题意一步一步求解根本无从下手或计算过 程比较繁琐，那么在解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减，乘与除之 间的互逆关系，从后往前一步一步的逆推，从而推算出原数，这种思考问题的方法 叫做还原法或逆推法。 用还原法解答的关键是： ①根据题目所求的问题，找出相应的两个条件，弄清所求的单位“1”是谁，“量” 和“率”是否对应。 ②数量关系比较复杂的可借助表格、线段图或流程图等帮助分析。二、典型例题例 1．将小明奶奶今年的年龄依次减去 15 并乘 岁，小明奶奶今年多少岁？1 1 ，再加上 4 后除以 ，恰好是 100 4 51 1 ，那就是 100× 5 5 1 1 = 20（岁） ；不加上 4，就是 20 C 4 = 16（岁） ；不乘 ，就是 16÷ = 64（岁） ；最 4 4分析与解：从最后的结果出发，如果小明奶奶的年龄不除以 后再加上 15 就是奶奶今年的年龄。 （100× －4）÷ + 15 = 79（岁） 答：小明奶奶今年 79 岁。 例 2． 菜农张大伯卖一批大白菜， 第一天卖出这批大白菜的1 51 41 2 ， 第二天卖出余下的 ， 3 5这时还剩下 240 千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？ 分析