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已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x 2 ＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．
(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．
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（1）|MN|不变化，其定值为2p&见解析（2）见解析
(1)设O′(x 0 ，y 0 )，则x 0
2 ＝2py 0 (y 0 ≥0)，则⊙O′的半径|O′A|＝
，⊙O′的方程为(x－x 0 ) 2 ＋(y－y 0 ) 2 ＝x 0
2 ＋(y 0 －p) 2 ，令y＝0，并把x 0
2 ＝2py 0 ，代入得x 2 －2x 0 x＋x 0
2 －p 2 ＝0，解得x 1 ＝x 0 －p，x 2 ＝x 0 ＋p，所以|MN|＝|x 1 －x 2 |＝2p，这说明|MN|不变化，其定值为2p．(2)不妨设M(x 0 －p,0)，N(x 0 ＋p,0)．由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x 0 －p|＋|x 0 ＋p|，所以－p≤x 0 ≤p．O′到抛物线准线y＝－
的距离d＝y 0 ＋
，⊙O′的半径|O′A|＝
．因为r＞dx 0
4 ＋4p 4 ＞(x 0
2 ＋p 2 ) 2 x 0
p 2 ，又x 0
2 ≤p 2 ＜
p 2 (p＞0)，所以r＞d，即⊙O′与抛物线的准线总相交．
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◇本站云标签已知⊙O′过定点A.圆心O'在抛物线C:x2=2py上运动.MN为圆O′在x轴上所截得的弦．(1)当O′点运动时.|MN|是否有变化?并证明你的结论,(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M.N在原点O的右侧时.试判断抛物线C的准线与圆O′是相交.相切还是相离.并说明理由． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知⊙O′过定点A（0，p）（p＞0），圆心O'在抛物线C：x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．（1）当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；（2）当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M，N在原点O的右侧时，试判断抛物线C的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．
分析：（1）先设出圆的方程，求出M，N两点的坐标表示出|MN|即可发现|MN|的取值是否变化．（2）设M，N的中点为B，则|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN，由|OA|=|OM|+|ON|，得|O′A|=52p．由此能够导出⊙Q与抛物线的准线总相交．解答：解：（1）设O′（x0，y0），则x02=2py0（y0≥0），则⊙O′的半径|O′A|=x20+(y0-p)2（2分）⊙O′的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=x02+（y0-p）2令y=0，并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0，（3分）解得x1=x0-p，x2=x0+p，∴|MN|=|x1-x2|=2p，（5分），∴|MN|不变化，为定值2p．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（6分）（2）设M，N的中点为B，则|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN（8分）又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，∴|OM|+|ON|=2|OA|，（9分）可得B(p，0)，O′(p，p2)∴|O′A|=p2+(p2-p)2=52p（11分）又∵点O′到抛物线C的准线的距离为p2-(-p2)=p＜52p，∴圆O′与抛物线C的准线相交．&&&&&&&（13分）点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
科目：高中数学
已知直线过定点A(4,0)且与抛物线交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，求的值。
科目：高中数学
已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦.(Ⅰ)当O′点运动时，|MN|是否有变化?并证明你的结论；(Ⅱ)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由.
科目：高中数学
已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C:x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．(Ⅰ)当O′点运动时，|MN|是否有变化?并证明你的结论；(Ⅱ)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M、N在原点O的右侧时，试判断抛物线C的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．
科目：高中数学
来源：2007年湖北省黄冈中学、华师一附中、鄂南高中、黄石二中、孝感高中、荆州中学、襄樊四中、襄樊五中高三第二次联考数学试卷（文科）（解析版）
题型：解答题
已知⊙O′过定点A（0，p）（p＞0），圆心O'在抛物线C：x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．（1）当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；（2）当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M，N在原点O的右侧时，试判断抛物线C的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．
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如图，在ΔΑΒC中，∠Α=50°，⊙Ο截ΔΑΒC三边所得的弦都相等，求∠ΒΟC的度数
2015年如图，在ΔΑΒC中，∠Α=50°，⊙Ο截ΔΑΒC三边所得的弦都相等，求∠ΒΟC的度数
更新时间: 23:17
在△ABC中,∠A,70°,圆o截△ABC三边所得的弦长相等,则∠BOC的度数是
跟随 已跟随 取消 确定 弦长相等意味着圆心到三条弦的距离相等，也就是说这个圆心就是该三角形内切圆的圆心，连接圆心和三角形的三个角的话其实就是三条角平分线 角boc=180-（obc+ocb）=180-（角b+角c）/2=180-(180-角a)/2=125
如图在△ABC中圆o截△ABC三边所得的弦长相等 证 o是△ABC的内心
跟随 已跟随 取消 确定 可以这样证明 O到边的距离的平方=半径的平方-弦长一半的平方 ∵半径都一样 弦长都相等 ∴O到边的距离都相等 ∴O 在三条角平分线上 ∴O是△ABC的内心
在△ABC中,∠A,70°,⊙O截△ABC的三边所得弦长MN,HG,EF,求∠AB...
应该是求∠BOC吧= =从O做三边的垂线，连接OM、ON、OH、OG、OE、OF。因为MN=HG=EF（我命名的三条弦），OM=ON=OH=OG=OE=OF=半径，边边边△OMN、△OHG、△OEF全等，所以三条垂线相等。垂线相等，OB=OB，OC=OC（稍微推倒）得到OB是角ABC的平分线。同理OC是角ACB的平分线。所以∠BOC=180°-1/2*（∠ABC）-1/2*（∠ACB）=90°+1/2*（90°-∠ABC-∠ACB）=90°+1/2*∠A=90°-35°=125°
如图所示,在△ABC中,∠A,70°,圆O截△ABC的三条边所得的弦长相等,则∠B...
跟随 已跟随 取消 确定 从O做三边的垂线，连接OM、ON、OH、OG、OE、OF。 因为MN=HG=EF（我命名的三条弦），OM=ON=OH=OG=OE=OF=半径，边边边△OMN、△OHG、△OEF全等，所以三条垂线相等。 垂线相等，OB=OB，OC=OC（稍微推倒）得到OB是角ABC的平分线。同理OC是角ACB的平分线。所以∠BOC=180°-1/2*（∠ABC）-1/2*（∠ACB）=90°+1/2*（90°-∠ABC-∠ACB）=90°+1/2*∠A=90°-35°=125°
在△ABC中,圆o截△ABC三边所得的弦长相等,求证,o是三角形的内心
跟随 已跟随 取消 确定 内心：到三边的距离相等。 三条弦长相等，三条弦到圆心的距离相等，当然圆心就是内心了。
2010福州数学中考题 如图 AB是圆O的直径,弦CD⊥AB于E,点P在圆O上,∠...
连AC，∵AB为圆O的直径，所以∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴BC弧=BD弧，∴∠A=∠P，∴sinA=sinP在Rt△ABC中，sinA=BC/AB又∵sinP=3/5，∴BC/AB=3/5又∵BC=3,∴圆O的直径，及AB=5 手打的，看在我最先给你答复，给我分吧
如图,在三角形ABC中,角A,1990度,圆O截三角形ABC的三边所得的弦长MN,...
跟随 已跟随 取消 确定 从O点分别向MN HG EF 坐三条垂线,因为MN=HG=EF O 为圆心,可以证出 三条垂线分别相等,然后可以推出哦为角A,角B,角C三条角平分线的交点, 角B+角C=90度 所以角BOC=180度-1/2(角B+C角)=135度
如图,在三角形ABC中,圆O截三角形ABC所得的弦长相等,求证O是三角形ABC的内...
跟随 已跟随 取消 确定 取各弦的中点并与O连结，可知这三条线段分别垂直于相应的边， 又由弦长相等，得这三条线段的长相等，即O到三角形三边的距离相等， 所以，O是三角形ABC的内心。
体育的等级C能进闽侯三中吗
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本题难度：0.40&&题型：综合题
（2016o常州模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．（1）求此二次函数的表达式；（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；（3）当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．
来源：2016o常州模拟 | 【考点】二次函数综合题．
（2015秋o石城县校级月考）设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-2c，b=-2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=x2-2nx+1，若函数y1恰是y1+y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．
已知：二次函数y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，若a1+a2=0，则称函数y1与y2为同形异向函数；同形异向函数的顶点相同，则称为对顶函数．若函数y1=2x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+4，且y1与y2为同形异向函数，函数y2的函数图象经过（1，2）点，求a2、b2的值．
设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1-y2的“反倍顶二次函数”，求n．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o常州模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．（1）求此二次函数的表达式；（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；（3）当△ABM与△ABN相似时”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）2然后将（01）代入可求得a的值从而可求得二次函数的表达式（2）过点C作CH⊥x轴垂足为H连接BC、CN由勾股定理可知HC2=CN2-CH2=BC2-CH2依据两点间的距离公式可求得HN=2结合垂径定理可求得MN的长（3）分为点C与点A重合点C在点A的左侧点C在点A的右侧三种情况画出图形然后依据相似三角形的对应边成比例可求得AM的距离从而可求得点M的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）2．∵将（01）代入得：4a=1解得a=14∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2．（2）MN的长不发生变化．理由：如图1所示过点C作CH⊥x轴垂足为H连接BC、CN．设点C的坐标为（a14(a-2)2）．∵CH⊥MN∴MH=HN．∵HN2=CN2-CH2=CB2-CH2∴HN2=[2-14(a-2)2]2+（a-2）2-[14(a-2)2]2=4．∴HN=2．∴MN=4．∴MN不发生变化．（3）如图2所示：①当点C与点A重合时．∵MN经过点C∴MN为圆C的直径．∴MC=2．∵点C（20）∴M（00）．②如图3所示：∵△ABM∽△ANB∴ABAM=ANAB即AB2=AMoAN．设AM=a则4=a（a+4）解得：a1=-2+22a2=-2-22（舍去）又∵点A（20）∴2+（-2+22）=22．∴点M的坐标为（220）．如图4所示：∵△ABN∽△AMB∴AB2=ANoAM．设AM=a则4=a（a-4）解得：a1=2+22a2=2-22（舍去）．又∵点A（20）∴2-（2+22）=-22．∴点M的坐标为（-220）．
【考点】二次函数综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o常州模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
一般分为这几类题目：1.二次函数与实际问题2.二次函数与相似三角形3.二次函数与图形变换4.二次函数有关的面积问题5.二次函数与圆
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