机械臂运动路径设计分析
本文探讨了六自由度机械臂从一点到另一点沿任意轨迹移动路径、一点到另一点沿着给定轨迹移动路径、以及无碰撞路径规划问题，并讨论了设计参数对机械臂灵活性和使用范围的影响，同时给出了建议。
问题一：（1）首先确定初始坐标均为零时机械臂姿态，建立多级坐标系，利用空间解析几何的变换基本原理及相对坐标系的齐次坐标变换的矩阵解析方法，来建立机器人的运动系统的多级变换方程。通过逆运动学解法和构建规划，来求优化指令
（2）假定机械臂初始姿态为Φ0，曲线离散化，每个离散点作为末端
位置，通过得到的相邻两点的姿态，利用（1）中算法计算所有相邻两点间的增量指令，将满足精度要求的指令序列记录下来。
（3）通过将障碍物理想化为球体，将躲避问题就转化成保证机械手臂上的点与障碍球球心距离始终大于r的问题。进而通过迭代法和指令检验法，剔除不符合要求的指令，从而实现避障的目的
问题二：将问题二中的实例应用到问题一中的相对应的算法中，部分结果见附录
问题三：灵活性与适用范围相互制约，只能根据权重求得较优连杆长度。
关键词：多级坐标变换
逆运动学解法
一、问题重述
1.1 问题背景
某型号机器人（图示和简化图略）一共有6个自由度，分别由六个旋转轴（关节）实现，使机器人的末端可以灵活地在三维空间中运动。机器人关于六个自由度的每一个组合Θ=(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6)，表示机械臂的一个姿态，显然每个姿态确定顶端指尖的空间位置X：f(Θ)→X。假定机器人控制系统只能够接收改变各个关节的姿态的关于连杆角度的增量指令（机器指令）P=?Θ=(?θ1,?θ2,?θ3,?θ4,?θ5,?θ6)，使得指尖（指尖具有夹工具、焊接、拧螺丝等多种功能，不过在这里不要求考虑这方面的控制细节）移动到空间点X′，其中各个增量?θi只能取到-2, -1.9, -1.8, ┅，1.8,
1.9, 2这41个离散值（即精度为0.1°，绝对值不超过2°）。通过一系列的指令序列P1,P2,P3, ,Pn可以将指尖依次到达位置X0，X1，┅，Xn，则称X0，X1，┅，Xn为从指尖初始位置X0到达目标位置Xn的一条路径（运动轨迹）。根据具体的目标和约束条
件计算出合理、便捷、有效的指令序列是机器人控制中的一个重要问题。假设机器人的初始位置在y-z平面上，约定直角坐标系的原点设在图示的A点，z轴取为AB方向，x轴垂直纸面而y轴则在基座所固定的水平台面上
1.2 目标任务
问题一：设计一个通用的算法，用来计算执行下面指定动作所要求的指令序列，并要求对算法的适用范围、计算效率以及近似算法所造成的误差和增量?θi离散取值所造成的误差大小进行讨论（不考虑其他原因造成的误差）：
（1）已知初始姿态Φ0和一个可达目标点的空间位置（Ox, Oy, Oz），计算指尖到达目标点的指令序列。
（2）要求指尖沿着预先指定的一条空间曲线x = x(s), y = y(s), z = z(s), a ≦ s ≦b 移动，计算满足要求的指令序列。
（3）在第①个问题中，假设在初始位置与目标位置之间的区域中有若干个已知大小、形状、方向和位置的障碍物，要求机械臂在运动中始终不能与障碍物相碰，否则会损坏机器。这个问题称机械臂避碰问题，要求机械臂末端在误差范围内到达目标点并且整个机械臂不碰到障碍物（机械臂连杆的粗细自己设定）。
问题二：应用你的算法就下面具体的数据给出计算结果，并将计算结果以三组六维的
指令序列（每行6个数据）形式存放在Excel文件里，文件名定为answer1.xls，answer2.xls和answer3.xls。
假设在机械臂的旁边有一个待加工的中空圆台形工件，上部开口。工件高180mm，下底外半径168mm，上底外半径96mm，壁厚8mm。竖立地固定在x－y平面的操作台上，底部的中心在 (210, 0, 0)。
①．要求机械臂（指尖）从初始位置移动到工具箱所在位置的 (20,－200, 120) 处，以夹取要用的工具。
②．如果圆台形工件外表面与平面x =2z的交线是一条裂纹需要焊接，请你给出机械臂指尖绕这条曲线一周的指令序列。
③．有一项任务是在工件内壁点焊四个小零件，它们在内表面上的位置到x-y平面的投影为（320,-104）、（120,106）、（190,-125）和（255,88）。要求机械臂从圆台的上部开口处伸进去到达这些点进行加工，为简捷起见，不妨不计焊条等的长度，只考虑指尖的轨迹
问题三：制造厂家希望通过修改各条连杆的相对长度以及各关节最大旋转角度等设计参数提高机械臂的灵活性和适用范围。请根据你们的计算模型给他们提供合理的建议。
二、问题分析
机械臂运动路径设计问题主要涉及到相对坐标系坐标变换、机器人正运动学分析、逆运动学求解、优化以及机器人避碰问题。
1．运动方程的建立
从机构学观点来看，机器人属于空间机构范畴。杆件每次转动因此，采用空间解析几何的变换基本原理及坐标变换的矩阵解析方法，来建立机器人的运动系统的多级变换方程。
由于旋转轴涉及到平行连杆和垂直连杆两类，因此对于各类旋转变换，所使用的变换矩阵也不相同。
同时，此题中涉及的机器人有6个自由度，则从工件的坐标位置到固定坐标系的变换要经过多级坐标变换。采用多级坐标变换的方法。
由上述三点，便可建立机器人运动系统的坐标变换关系式。
2．尖端轨迹曲线模型的建立
对于已给定一条空间曲线x=(s),y=(y),z=(z),可将其看成一个点的集合。因此机械臂实现一个空间轨迹的过程是实现轨迹离散的过程。如果这些离散点间距很大，机械臂轨迹与要求的轨迹就有较大误差。只有这些离散点彼此很接近，才有可能使机械臂的轨迹以满足要求精确度逼近要求的轨迹。连续轨迹的控制实际上就是在多次执行离散点间的点位控制，离散点点越密集越能逼近要求的运动曲线
3．避碰问题
假设空间障碍物为半径为r的球体，则这些球体空间便形成了机械手臂的约束。而躲避问题就转化成保证机械手臂上的点与障碍球球心距离始终大于r的问题。根据运动规律，不难知道手臂相对于初始位置的姿态决定于之前执行的所有指令的和。已知连杆上的点L在其所在的相对坐标系中的坐标(x,y,z)及转动的指令，根据齐次坐
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一、问题重述 1. 问题背景
当今世界，机器人的应用领域十分广泛。机器人通常分为关节式机器人和移动式机器人。我们这里讨论有6个自由度的关节式机器人，6个自由度分别由六个旋转轴实现，使机器人的末端可以灵活地在三维空间中运动。 为方便分析和计算，对机器人结构简化，用七条直线段表示机器人的七个连杆，连杆之间用所谓的旋转关节连接，给定每根连杆的长度。根据旋转的方向分成两类关节，旋转轴分平行连杆和垂直连杆。每个关节对应一个角度，这个角度用来表示前一个连杆方向到后一个连杆方向转角或者相对于初始位置的转角。给定机器人的初始位置。 机器人关于六个自由度的每一个组合表示机械臂的一个姿态，每个姿态确定顶端指尖的空间位置。假定机器人控制系统只能够接收改变各个关节的姿态的关于连杆角度的增量指令，使得指尖移动到空间中指定，限定各个增量的取值范围和精度。通过一系列的指令序列便可将指尖依次到达相应位置。根据具体的目标和约束条件计算出合理、便捷、有效的指令序列是机器人控制中的一个重要问题。同时，题目中约定直角坐标系的原点设定位置。 2． 所求目标
问题一：设计一个通用的算法，用来计算执行下面指定动作所要求的指令序列，并要求对算法的适用范围、计算效率以及近似算法所造成的误差和增量??i离散取值所造成的误差大小进行讨论（不考虑其他原因造成的误差）： （1）已知初始姿态Φ0和一个可达目标点的空间位置（Ox, Oy, Oz），计算指尖到达目标点的指令序列。 （2）要求指尖沿着预先指定的一条空间曲线x = x(s), y = y(s), z = z(s), a Q s Qb 移动，计算满足要求的指令序列。 （3）在第①个问题中，假设在初始位置与目标位置之间的区域中有若干个已知大小、形状、方向和位置的障碍物，要求机械臂在运动中始终不能与障碍物相碰，否则会损坏机器。这个问题称机械臂避碰问题，要求机械臂末端在误差范围内到达目标点并且整个机械臂不碰到障碍物（机械臂连杆的粗细自己设定）。 问题二：应用你的算法就下面具体的数据给出计算结果 假设在机械臂的旁边有一个待加工的中空圆台形工件，上部开口。工件高180mm，下底外半径168mm，上底外半径96mm，壁厚8mm。竖立地固定在x－y平面的操作台上，底部的中心在 (210, 0, 0)。 ①．要求机械臂（指尖）从初始位置移动到工具箱所在位置的 (20,－200, 120) 处，以夹取要用的工具。 ②．如果圆台形工件外表面与平面x =2z的交线是一条裂纹需要焊接，请你给出机械臂指尖绕这条曲线一周的指令序列。 ③．有一项任务是在工件内壁点焊四个小零件，它们在内表面上的位置到x-y平面的投影为（320,-104）、（120,106）、（190,-125）和（255,88）。要求机械臂从圆台的上部开口处伸进去到达这些点进行加工，为简捷起见，不妨不计焊条等的长度，只考虑指尖的轨迹 问题三：制造厂家希望通过修改各条连杆的相对长度以及各关节最大旋转角度等设计参数提高机械臂的灵活性和适用范围。请根据你们的计算模型给他们提供合理的建议。 二、模型分析 机械臂运动路径设计问题主要涉及到相对坐标系坐标变换、运动学分析、逆运动学求解、优化以及机器人避碰问题。 1．运动方程的建立 从机构学观点来看，机器人属于空间机构范畴。杆件每次转动因此，采用空间解析几何的变换基本原理及坐标变换的矩阵解析方法，来建立机器人的运动系统的多级变换方程。 由于旋转轴涉及到平行连杆和垂直连杆两类，因此对于各类旋转变换，所使用的变换矩阵也不相同。 同时，此题中涉及的机器人有6个自由度，则从工件的坐标位置到固定坐标系的变换要经过多级坐标变换。采用多级坐标变换的方法。 由上述三点，便可建立机器人运动系统的坐标变换关系式。 2．尖端轨迹曲线模型的建立 对于已给定一条空间曲线x=(s),y=(y),z=(z),可将其看成一个点的集合。因此机械臂实现一个空间轨迹的过程是实现轨迹离散的过程。如果这些离散点间距很大，机械臂轨迹与要求的轨迹就有较大误差。只有这些离散点彼此很接近，才有可能使机械臂的轨迹以满足要求精确度逼近要求的轨迹。连续轨迹的控制实际上就是在多次执行离散点间的点位控制，离散点点越密集越能逼近要求的运动曲线。 3．避碰问题 假设空间障碍物为半径为r的球体，则这些球体空间便形成了机械手臂的约束。而躲避问题就转化成保证机械手臂上的点与障碍球球心距离始终大于r的问题。根据运动规律，不难知道手臂相对于初始位置的姿态决定于之前执行?x,y,z?及的所有指令的和。已知连杆上的点L在其所在的相对坐标系中的坐标x,y,z?转动的指令，根据齐次坐标变换矩阵就可得到L在固定坐标系中的坐标?，然后可计算距离。所以 可以用问题1-1算法产生点到点的指令，可以利用迭代法从初始位置开始提前检验每个指令，不满足要求的无法执行。 4.自由度分析： 由题中指出的：指尖―――E点，具有夹工具、焊接、拧螺丝等多种功能，不过在这里不要求考虑这方面的控制细节。则将情况理想化，不考虑第6个自由度对运动的影响。
'三、模型的假设与符号说明 1．基本假设 （1）各关节连杆在输入指令后同时开始转动，速度为低速，各杆件之间无摩擦，臂各旋转轴最大运动速度相同 （2）在轨迹规划中不考虑机械臂关节转角的限制。 （3）不考虑机械臂结构和装配产生的误差。 （4）连杆为刚体，不会发生形变
（5）设机器人的初始位置是在一个平面上的（y-z 平面）。 （6）关节视为质点，它们所占的面积可忽略不计。 2.符号说明 Ui：坐标系，Uo为固定坐标系，其余为固定在杆上的相对坐标系 i?1iT：Ui到Ui?1的坐标系变换矩阵 x':尖端移动终点在固定坐标系中的x方向坐标 y'：尖端移动终点在固定坐标系中的y方向坐标
z'：尖端移动终点在固定坐标系中的z方向坐标
x0：尖端转动起点在固定坐标系中初始x方向坐标 y0：尖端转动起点在固定坐标系中初始y方向坐标
z0：尖端转动起点在固定坐标系中初始z方向坐标 ?i------第i个自由度的相对于初始姿态转角(i=1,2,3,4,5,6) ??i-----第i个自由度转角的增量(i=1,2,3,4,5,6) si------sin?i
ci------cos?i 四．模型建立 1．机器人运动方程的建立
为了产生点到点的运动序列, 首先我们先作出初始角度均为0时的姿态，以每个节点为原点建立坐标系U0到U6如图
0UA从下图可以看出F点相当于将绕Z轴旋转得到1T，同理其他节点分别相当于将前一坐标系绕X,X,Z,X,Z轴转动。可得到各坐标系相对于前一个的坐标系的坐标变换公式。从而得到机械臂各个关节的变换矩阵
?r11?rAR?B?21??r31旋转矩阵：r12r22r32?px?r13???A?p??py?r23???p?r33??
位置矢量： ?z?
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六自由度机械臂运动学分析与仿真
相里燕妮 杨小军 （中国科学院西安光学精密机械研究所） 摘要：针对安川弧焊工业机器人手臂 MOTOMAN-MA1400 的构型特点，采用 D-H 法建立了机械臂的连杆 坐标系，得到了以关节角度为变量的正运动学方程，利用 MATLAB 进行正逆运动学计算以及机械臂末端 点的轨迹规划。为了验证正逆运动学模型的正确性及直观地观察机械臂各部分运动情况，采用 Pro-E 建立 了机械臂的三维实体模型。将角度变量值导入模型，开发了机械臂运动仿真平台。仿真结果与理论计算一 致，从而验证了算法的正确性，并完成了机械臂的运动仿真，为机械臂末端位置的激光标定实验提供了理 论参考。 关键词：机械臂 运动学 仿真 中图分类号：TN11 文献标识码：A
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第一章 绪论
1.1&课题研究背景
最初挖掘机是手动的，从发明到现在，挖掘机经历了蒸汽驱动，电力驱动，和内燃机驱动等多种驱动方式。在20世纪40年代以后，液压技术在挖掘机上得到应用，20世纪50年代研制出了今天人们常见的履带式全液压挖掘机。我国的挖掘机生产起步较晚，从1954年抚顺挖掘机厂生产第一台斗容量为13m 的机械式单斗挖掘机至今，大体上经历了测绘仿制、自主研制开发和发展提高等三个阶段。业内人士指出，我国单斗液压挖掘机应向全液压方向发展；斗容量宜控制在0.1-153m ；而对于大型及多斗挖掘机，由于液压元件的制造、装配精度要求高，施工现场维修条件差等，则仍以机械式为主。应着手研究、运用电液控制技术，以实现液压挖掘机操纵的自动化。工业发达国家的挖掘机生产较早，第一台手动挖掘机问世到现在应经 130 多年，在这期间挖掘机经历了由半回转挖掘机到全回转挖掘机，再到全自动液压挖掘机的发展过程。
从 20 世纪后期开始，国际上挖掘机的生产向大型化、微型化、多功能化、专用化和自动化的方向发展。从近几年工程机械的发展来看，挖掘机的发展相对较快。挖掘机主要用于工程建设。如：公路、桥梁、建筑、养殖池、地下工程、抢险开挖等。挖掘机主要特点是马力大，效率高，能完成人力所不能完成的工程，提高工作效率。挖掘机应用广泛，工程队，建筑业，抢险部门，甚至个人都需要挖掘机。作为工程机械的主流产品，挖掘机现在已经在工业与民用建筑、交通运输、水利电力工程、矿山采掘以及军事工程等施工中起着极为重要的作用。最早机器人采用的是顺序控制，随着微型计算机的向前发展，机器人通过采用计算机来实现机电装置的功能。随着控制技术和信息技术的发展，机器人控制朝着智能方向发展，出现了多传感器信息融合、智能行为控制等多种新技术。机器人技术则是建立在计算机技术、传感器技术、自动控制技术等技术基础上的一门综合技术。
随着电子计算机、自动控制理论的发展、工业生产的需要以及空间技术的进步，机器人技术迅速发展起来。机器人从其诞生到现在，已经发展到了第三代。第一代是示教再现机器人。它们装有记忆存储器，然后人按照操作要求给机器人做好示范，使机器人能够记忆操作要领。当接收到再现命令时，它能够把输入的动作再现。第二代是离线编程的工业机器人，它里面装有计算机和传感器。它能够对外界信息进行感知和思维，这点比第一代灵活、也比第一代更适应变化环境的要求。第三代是智能机器人，它具有类似人的感知、思维和动作。它里面装有很多传感器，这些传感器能识别环境，能自己做决策，具有象人类大脑一样的功能。这种机器人动作灵活，它是智能控制发展到高级阶段的表现。随着机器人技术的发展和机器人功能的强大，机器人在工业生产中的应用越来越广泛，这不仅降低了操作者的劳动强度，而且提高了劳动生产率和产品质量，带来了良好的社会效益和经济效益。机器人还在医学、农业、建筑业甚至军事等领域中均有重要用途。现在的机器人是高级整合控制理论、机械电子、计算机、材料和仿生学产物，其重要性还体现在国家对外交流上，机器人的发展程度现在代表着一个国家的科技水平。
1.2&课题研究现状
挖掘机是用铲斗挖掘高于或低于承机地面的物料，并装入运输车辆或卸至堆料场的土方机械。常见的挖掘机结构包括动力装置，工作装置，回转机构，操纵机构，传动机构，行走机构和辅助设施等。现在的挖掘机大都是液压挖掘机，液压挖掘机主要由发动机、液压系统、工作装置、行走装置和电气控制等部分组成。液压系统由液压泵、控制阀、液压缸、液压马达、管路、油箱等组成。电气控制系统包括监控盘、发动机控制系统、泵控制系统、各类传感器、电磁阀等。工作装置是直接完成挖掘任务的装置。它由动臂、斗杆、铲斗等三部分铰接而成。动臂起落、斗杆伸缩和铲斗转动都用往复式双作用液压缸控制。机器人技术的发展为实现挖掘机的智能化、自动化创造了条件，挖掘机的机器人化发展是现代科学发展的必然产物，人们总是设法让更智能化的机器来代替人的劳动。各种工程机械、建筑机械的自动化控制已成为当今国际自动化技术发展的一个重要方向。国外在智能挖掘机的研究上，已取得了一些成果。但主要还是集中在低级局部自主挖掘方面，而全自动的挖掘机技术则发展较慢，大部分停留在实验室研究阶段。澳大利亚悉尼大学特种机器人研究中心研制开发了远程控制机器人化挖掘机，通过位移及力反馈控制液压伺服系统，从而实现自主化作业。日本小松公司的液压挖掘机激光引导自动挖掘系统。采用激光引导装置，能自动控制工作装置的位置。美国卡耐基．梅隆大学机器人学院对自动挖掘规划策略进行了研究，其研制的挖掘机器人可以在对挖掘地点进行检测的基础上．规划挖掘动作并控制工作装置来挖掘埋在地下的公共设施管道。它使用一个由传感器构成的表面模型，用来规划挖掘作业。为了建立精确的表面和目标深度分布图，控制系统对声纳数据进行解释．以获得作业环境的信息。
第二章 三关节机械臂的运动学建模分析
机器人运动学研究的是手臂末端执行器的位姿与关节变量之间的关系。机器人一般是由一系列旋转关节和移动关节互相连接形成的开式运动链：一端固定在支座；另一端自由，并且安装各种工具，能够实现各种操作功能。它首先是由驱动器驱动关节，接着是由关节的相对运动带动连杆运动，最终使得末端执行器到达目标位姿。
2.1 机器人运动学数学基础
在对三关节机械臂进行运动学建模和分析之前，先介绍一些相关知识，做好铺垫。关节运动对末端执行器的位置和姿态都有影响，为了描述这些影响，在每个关节固结一个坐标系，同样，为了描述三关节机械臂与外界环境的关系，在工件和工作台也固结相应的坐标系。这种位姿[5]关系可采用数学方法表达，也即是通过建立4x4的齐次变换矩阵来描述任意两坐标系之间的相对位姿，从而表示出一个物体从一坐标系向另一坐标系的变换。上面正问题的求解只需要将相应变量代入方程当中就可以了，求出的解唯一，且求解方法相对简单。然后，在机器人的控制中往往要由已知末端要到达的目标位姿求出各关节变量，以驱动各关节的执行机构，使末端位姿得到满足。这就是运动学逆问题了，在解反三角函数方程过程中，这种多解现象是会产生的。对于具有固定结构的机械臂来讲，符合真实情况的解是只有一组的。通常，对于多余的解我们采用下面四种方法剔除。
第三章 基于 CMAC 的三关节机械臂.................... 20-30
&&& 3.1 CMAC 网络简介................. 20-21
&&& 3.2 三关节机械臂在二维平面的运动................. 21-22
&&& 3.3 逆运动学问题解决方案 .................22-23
&&& 3.4 机械臂的模型................. 23-26
&&&&&&& 3.4.1 机械臂的正模型 NN1 .................23-24
&&&&&&& 3.4.2 机械臂的逆模型 NN2 .................24-26
&&& 3.5 仿真实验 .................26-30
第四章 三关节机械臂的运动轨迹规划 .................30-44
&&& 4.1 轨迹规划概述................. 30-31
&&& 4.2 轨迹规划应考虑的问题 .................31-34
&&& 4.3 机械臂关节轨迹插值计算 .................34-40
&&& 4.4 机械臂笛卡尔路径轨迹规................. 40-44
第五章 三关节机械臂的动力学建模研究................. 44-54
&&& 5.1 动力学问题概述................. 44
&&& 5.2 动力学建模方法介................. 44-47
&&&&&&& 5.2.1 牛顿欧拉法................. 45
&&&&&&& 5.2.2 拉格朗日法................. 45-46
&&&&&&& 5.2.3 虚功原理................. 46
&&&&&&& 5.2.4 凯恩法(Kane) .................46-47
&&& 5.3 基于拉格朗日函数的三关节机械臂.................47-54
本文以挖掘机器人为载体，以三关节机械臂为研究对象，借助运动学与动力学等相关数学知识和神经网络与模糊控制等相关控制理论，对三关节机械臂运动轨迹控制进行了系统研究，主要研究内容如下：
(1) 三关节机械臂的运动学和动力学建模分析：本文借助机器人运动学和动力学相关数学知识和建模方法，建立三关节机械臂运动学模型和基于拉格朗日函数的动力学模型，同时也分析了相关问题，为下文研究轨迹规划和路径跟踪控制奠定了理论基础。
(2) 三关节机械臂的运动学逆解：运动学逆问题很复杂，逆解不一定存在，还有逆解可能不是唯一的，这里我们研究采用CMAC网络方法进行运动学逆解。
(3) 三关节机械臂运动轨迹规划：简要介绍轨迹规划及其相关问题，较为详细分析机械臂关节空间五段三次多项式插值函数的建立过程，推导出其方程表达式，在此基础上对机械臂进行笛卡尔关节路径轨迹规划。
(4) 三关节机械臂运动轨迹控制研究：考虑到路径跟踪控制的复杂性，为了实现精确的轨迹跟踪运动控制，本文提出了一种RBF模糊神经网络控制算法，将神经网络与模糊控制结合起来，各取优势，互补不足，结合后的RBF模糊神经网络具有模糊逻辑推理能力，实验结果显示了良好的跟踪性能和控制效果。
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