《编程之美》读书笔记22：&&& 1.16& 24点游戏（补充）
给定n个数，能否只通过加减乘除计算得到24？
书上给出的最后一种解法，通过使用集合记录中间结果来减少冗余计算。本以为，程序会占用大量的内存，用一个极端的例子（13, 773, 28, 98, 731, 6这7个数）测试了一下实现的程序，发现程序竟然占用了1G以上的内存（无论集合的实现采用STL中的set还是unordered_set），但后来，取7个均在1到13之间的数，再重新测试了下发现，程序所占用的内存比想像的小的多，也就几兆。
对数值都在1到13之间的n个数的所有组合进行判断。在n等于4时，实现的程序约过1秒就给出了结果，而n等于5时，程序要运行58秒，效率实在差，可以通过这几方面优化：
① 保存每个集合的子集合的编号：
对给定的n，共有1到2^n – 1个集合，每个集合的子集合编号是固定的，但原程序每计算一个n个数的组合，都要对这些子集合编号计算一遍，可以保存每个集合的子集合编号，减少大量的重复计算。
② 改进计算子集合编号的算法：
原程序的算法的时间复杂度是O(4^n)，在n较大时，相当慢。
③ 对最后一个集合是否含有24的判断：
原程序要遍历该集合所有的元素，效率比较差，可以考虑，在将两个集合合并到该集合时，只对取出的两个元素的计算结果是否为24进行判断，这样不仅省去最后的遍历，而且不用将结果插入到最后的那个集合中，省去了大量操作。
采用①和③两种改进方法后，程序运行时间由原来的58秒缩短到了14秒，但这还不能让人满意。对2,3,5,6,8这5个数，如果用书上的第一种方法，可以只调用4次函数就可以得到结果：2+3+5+6+8=24，但用集合的方法来处理，却要对所有的集合进行子集合合并后才能给出结果，这造成了效率极差，可以这样改进该算法：
初始有n个集合：每一次任意取出2个集合，合并后，放回去，再取出任意2个集合，重复前面的操作，直到只剩下一个集合为止。
例如：初始有5个数，把这5个数分别放到5个集合，并分别编号为：1、2、4、8、16。任意取出2个集合，假设为1和4，将1和4合并，得到编号为5(=1+4)的集合，剩下的集合为：5、2、16、8，再取出2个，假设为5和8，合并后，得到13、2、16，再取2个，假设为13和16，合并后得到29、2，当剩下2个集合时，可以直接对这两个集合间的的计算结果是否为24进行判断，直接得出结果，省去不必要的合并（合并后再判断是否有元素近似等于24，程序运行时间8s多，而直接对计算结果判断，程序只要运行1s多）。
优化后的程序，只要运行1s多。但其效率还是不如书上的第一种方法的改进版，仔细想想，n越大，集合的元素也就越多，两个集合之间的合并，就越耗时间。而且采用集合保存中间结果，表面上减少了重复状态，会提高效率，但实际上，由于采用了集合，就多了很多不必要的计算，（比如，对2+3+5+6+8=24，最少只要4次计算就能得出结果，采用集合合并后，则要计算几百次（约为6^4）），再加上实现集合所采用的数据结构的开销，效率高不了。
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