乒乓球抽奖中奖概率为多少一共25个球：红球5个,黄球5个,橙球5个,蓝色球5个,绿球5个.每次抓取5个球一等奖：5个红球二等奖：4个红球三等奖：3个红球四等奖：2个红球求各奖项的中奖概率有多少?!
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拿到三个颜色一样的球的种数有A=2*10*9*8/(3*2*1)那出三个球的种数有B=20*19*18/(3*2*1)2个颜色相同的概率是1-A/B=1-4/19=15/19
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& 近三年高考（）数学（理）试题分项版解析：专题12 概率与统计（解析版）
近三年高考（）数学（理）试题分项版解析：专题12 概率与统计（解析版）
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三年高考（）数学（理）试题分项版解析
概率与统计
一、选择题
1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（
考点：几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度：长度、面积、体积等.
某地区学人数情况如图如图，为了了解地区中小的近视形成原因用分层抽样抽取学生进行调查，则样本容量抽取的近视人数分别(
【解析】题意样本容量为其中高中人数为
高中生的人数为故选
【考点定位】本题考查抽样与统计图，属于中等题．
3. 【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温
和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（
(A)各月的平均最低气温都在以上
(B)七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D)平均气温高于的月份有5个
考点：1、平均数；2、统计图．
【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．
4.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（
【答案】．
【解析】从袋中任取个球共有种，其中恰好个白球个红球共有种，所以从袋中任取的个球恰好个白球个红球的概率为，故选．
【考点定位】排列组合，古典概率．考查，解答此题关键在于理解球恰好个白球个红球即是分步在白球和红球各取个球的组合，属于容易题,故选D.
【考点定位】抽样调查
【名师点睛】本题主要考查了简单随机抽样,分层抽样,系统抽样，解决问题的关键是根据抽样的原理进行具体分析求得对应概率的关系，属于基础题目.
6. 【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.530]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A）56（B）60（C）120（D）140
考点：频率分布直方图
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
7.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
（A）4.56%
（B）13.59%
（C）27.18%
（D）31.74%
【解析】用表示 零件的长度，根据正态分布的性质得：
【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质.
【解析】由图知，样本总数为设第三组中有疗效的人数为，则，故选.
【名师点睛】本题考查频率分布直方图及频率组距等概念，解答本题的关键，是理解概念，细心计算.
本题属于基础题，在考查概念的同时，考查考生识图用图的能力，是近几年高考常见题型.
9. 【随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.
考点： 几何概型.
【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
【2015高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
【解析】该校女老师的人数是，故选B．
【考点定位】扇形图． 【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
乙盒中红球不多于丙盒中红球
乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
考点：概率统计分析
【名师点睛】本题将与概率知识结合创新味十足是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件那么一般我们通过逐一列举计数再求概率此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.
【2014高考陕西版理第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（
试题分析：从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有条线段，，，，四点中任意2点的连线段都不小于该正方形边长，共有，所以这2个点的距离不小于该正方形边长的概率，故选
考点：古典概型及其概率计算公式.及其概率计算公式.5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长 【2014高考陕西版理第9题】设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数， ），则的均值和方差分别为（
试题分析：由题得：；
的均值和方差分别为：
考点：均值和方差. 均值和方差均值和方差 【2015高考陕西，理11】设复数，若，则的概率为（
如图可求得，，阴影面积等于
若，则的概率是，故选B．
【考点定位】1、复数的模；2、几何概型．构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若（、），则，几何概型的概率公式．
15. 【2014新课标，理5】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（
【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则，故选A.
【考点定位】条件概率.
【名师点睛】本题主要考查了条件概率公式，本题属于基础题，解决本题的关健在于理解事件之间的关系，注意题目是求的一个条件概率.
16.【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是(
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．
【考点定位】正、负相关．本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(
（A）0.648
（B）0.432
（D）0.312
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.
【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式【名师点睛】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键.，，，故，，，由上面比较可知，故选Ｃ
考点：独立事件的概率,数学期望.
【名师点睛】求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求X的每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值定义求出E(X)．利用均值、方差进行决策均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．
20. 【2014高考重庆理第3题】已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是(
试题分析：因为变量与正相关，所以排除选项，又因为回归直线必过样本中心点，代入检验知，只有直线过点，故选A.考点：1、变量相关性的概念；2、回归直线.
【名师点睛】本题考查了两个变量间的相关关系，正相关，回归直线的性质，本题属于基础题，利用回归直线方程必过样本中心点，又知两相关变量是正相关关系即可作答.
21. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是（　 　）
【答案】B.
【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B..
【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.
22.【2015高考安徽，理6】若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准 差为（
【解析】设样本数据，，，的标准差为，则，即方差，而数据，，，的方差，所以其标准差为.故选C.
【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用. 【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（
【解析】依题意，这批米内夹谷约为石，选B.
【考点定位】用样本估计总体. 【2015高考湖北，理4】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【考点定位】正态分布密度曲线.正态曲线的性质
曲线在轴的上方，与轴不相交．
曲线是单峰的，它关于直线对称．
曲线在处达到峰值.
曲线与轴之间的面积为1.
当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示
μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示． 【2015高考湖北，理7】在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （
【解析】因为，对事件“”，如图（1）阴影部分，
对事件“”，如图（2）阴影部分，
对为事件“”，如图（3）阴影部分，
由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，
根据几何概型公式可得.
【考点定位】几何概型.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出 （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为(
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
【解析】由已知得（万元），（万元），故，所以回归直线方程为，当社区一户收入为15万元家庭年支出为（万元），故选B．
【考点定位】线性回归方程 .(2013福建,理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(　　)．
【解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2,故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.
【答案】C.
试题分析：根据正态分布的性质，，故选C.
【考点定位】1.正态分布；2.几何概型.
【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结
合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知
识点的基本概念.
30. 【2015陕西理11】设复数，若，则的概率为（
如图可求得，，阴影面积等于
若，则的概率是，故选B．
【考点定位】1、复数的模；2、几何概型．
【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若（、），则，几何概型的概率公式．
二、填空题
1. 【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是
【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为
考点：古典概型概率
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
2. 【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是
考点：离散型随机变量的均值
【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值，再求得对应的概率，则均值为．
3. 【2014江苏，理4】从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为
【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．
【考点定位】古典概型概率
【名师点晴】求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法(2)列表法(3)利用树状图列举．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有
株树木的底部周长小于100 cm..
【答案】24
【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为．
【考点定位】频率分布直方图．
【名师点晴】在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
5. 【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
【考点定位】平均数样本数据的算术平均数，即．样本方差标准差其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为
【考点定位】古典概型概率求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．4：5：5：6_______名学生．
【答案】60．
试题分析：应从一年级抽取名．
考点：等概型抽样中的分层抽样方法．
【名师点睛】本题考查分层抽样相关知识，本题属于基础题，抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，分层抽样就是就是按着各层次所占比例抽取样本，抽样方法在高考题中偶有出现，比较简单,容易得分，深受考生欢迎.
8. 【2015高考广东，理13】已知随机变量服从二项分布，若，，则
【答案】．
【解析】依题可得且，解得，故应填入．
【考点定位】二项分布的均值和方差应用．考查，属于容易题，并运用其解答实际问题．
9. 【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.
试题分析：，．故
考点：方差
【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.
10. 【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件直线y=kx与圆相交发生的概率为
考点：1.直线与圆的位置关系；2. 几何概型.
【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
11. 【2014年.浙江卷.理12】随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.
解析：设时的概率为，则，解得，故
考点：方差.
【名师点睛】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算
6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.
【答案】1.76
【解析】试题分析：
将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.
考点：中位数的概念.
【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
13. 【2014上海,理10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是
（结构用最简分数表示）.
【解析】任意选择3天共有种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为．
【考点】古典概型．
【】求解排列应用题的主要方法直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
后局部 “小集团”排列问题中先整体后局部
除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为
【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．
【】求离散型随机变量均值的步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求X的每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值定义求出E(X)．
试题分析：由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同. .所以落到阴影部分的概率为.
考点：1.几何概型.2.定积分.
【名师点睛】本题主要考查几何概型及定积分，几何概型试题多以客观题形式出现,难度不大.求与面积有关的几何概型的概率计算方法是把题中所表示的几何模型转化为封闭图形的面积,然后求解，注意曲边多边形的面积常通过定积分来求.
【2015高考福建，理13】如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
【解析】由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．
【考点定位】几何概型．分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是
试题分析：有几何概型可知若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率.
考点：1.几何概型 ；2.定积分.
【名师点睛】本题考查几何概型、定积分的应用，解答此类题的关键是理解题意，准确确定几何空间的度量，应用公式计算.
本题是一道小综合题，属于基础题，较全面地考查了几何概型、定积分等基础知识，同时考查考生的计算能力及应用数学知识，解决实际问题的能力.
18. 【2015湖南理12】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是
试题分析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人.
【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.
【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点
在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方
面的理解与记忆.
三、解答题
1. 【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）
已知集合，，
，令表示集合所含元素的个数.
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）13（2）
试题分析：（1）根据题意按分类计数：共13个（2）由（1）知，所以当时，的表达式要按除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明
试题解析：（1）．
（2）当时，（）．
下面用数学归纳法证明：
①当时，，结论成立；
②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：
4）若，则，此时有
，结论成立；
5）若，则，此时有
，结论成立；
6）若，则，此时有
，结论成立．
综上所述，结论对满足的自然数均成立．
【考点定位】计数原理、数学归纳法用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：
归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；
归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；
由得出结论．【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求,确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？
【答案】（I）见解析（II）19（III）
试题分析：（I）先确定X的取值,再用事件概率模型求概率；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出9,n=20的期望时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,应选.
试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
所以的分布列为
16 17 18 19 20 21 22
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值为19.
考点：概率与统计、随机变量的分布列
【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.
【2015高考天津，理16】（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】(I) ;
(II) 随机变量的分布列为
【解析】(I)由已知，有
所以事件发生的概率为.
【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.【某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 5
1.25 1.5 1.75 2
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 005
（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值
【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率一续保人本年度的保费高于基本保费（），求的分布列，再根据期望公式求解.
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.
【名师点睛】条件概率的求法
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)；
(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求X的每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值定义求出E(X)．
7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列为
数学期望．
试题解析：（Ⅰ），则，∴选出的3名同学来自互不相同学院的概率为．
（）的所有可能值为0，1，2，3．
随机变量的分布列为
随机变量的数学期望．
考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．
【名师点睛】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望问题.借助计数原理和排列组合知识求概率，本题属于中档题，离散型随机变量分布列与数学期望问题，首先确定随机变量X的可取值，然后利用等可能事件概率公式求出相应的概率值，列出分布列，最后利用数学期望共识求出期望值，离散型随机变量分布列与数学期望问题为近几年高考必考问题，有时也会求方差,是高考热点.
6. 【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000．
（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．
7. 【2014高考北京理第16题】（本小题满分13分）
李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）
【答案】（1）0.5；（2）；（3）.
试题分析：（1）根据表中数据，在10场比赛中，李明投篮命中超过0.6的场次有5场，利用古典概型公式求解；（2）设事件为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则，事件、独立，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解；（3）用公式分别计算、再比较大小.
试题解析：（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
考点：概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率.
【名师点睛】本题考查概率与统计的有关知识，本题属于中等难度问题，一般第一步考查概率，第二步求数学期望或方差，概率考查主要为五种基本概型，古典概型、几何概型、独立事件的概率、互斥事件的概率、独立重复实验，部分省份也有时考查条件概率，而第二步一般为列出离散型随机变量的概率分布列，计算数学期望或方差，要求熟练掌握五种基本概型求概率的方法，计算数学期望时要准确.本题的第二步包含两个互斥事件，即主场命中率超过0.6（事件A）客场命中率不超过0.6（事件），主场命中率不超过0.6（事件）客场命中率超过0.6（事件B）；事件A与独立，事件和B独立，而事件与事件为互斥关系，搞清事件之间的关系，正确使用概率公式，才能正确解答.
8. 【2015高考北京，理16】，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
【答案】（1），（2），（3）或
试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率；
(Ⅱ) 如果，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率.
(Ⅲ)把B组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，，可见当或时，与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)
.根据方差反应样本波动的大小，求出未知量.
10. 【2016年高考北京理数】（本小题13分）
A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
试估计C班的学生人数；
从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）
【答案】（）40（）（）.
试题分析：（Ⅰ）根据图表判断C班人数，由分层抽样的抽样比计算C班的学生人数；
（Ⅱ）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由独立事件概率公式求概率.
（Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可.
试题解析：（）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名根据分层抽样方法，班的学生人数估计为（）设事件为甲是现有样本中班的第个人，，
事件为乙是现有样本中班的第个人，，
由题意可知，，；，
设事件为该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长由题意知，
考点：分层抽样独立事件的概率平均数
求复杂的互斥事件的概率的方法一是直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法先求此事件的对立事件的概率再用公式即运用逆向思维的方法(正难则反)求解应用此公式时一定要分清事件的对立事件到底是什么事件不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目用第二种方法往往显得比较简便.
17】 (本小题满分3分)随机观测生产某种零件
的某工厂名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：
........................，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
(1)确定样本频率分布表中..和的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.
【答案】，， ，；(2)详见解析；(.
【解析】题意，， ，；
(2)样本频率分布直方图为：
(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间的概率，
设所取的人中，日加工零件数落在区间的人数为，则，
所以人中，至少有人的日加工零件数落在区间的概率约为.
【考点考查分布直方图以及独立性试验，频率分布直方图的绘制与应用，以及解决相关事件概率的计算，属于中等题和抓住重要字眼“至少”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是频率分布直方图，即，．
13.【 2014湖南17】 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)详见解析
试题解析: (1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.
(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:
所以的分布列如下:
则数学期望.
【考点定位】分布列 数学期望 概率
【名师点睛】本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要十分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．
14. .【2016高考山东理数】（本小题满分12分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，
试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到X的分布列，根据期望公式求解.
试题解析：
(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由事件的独立性与互斥性，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
可得随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
所以数学期望.
考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.
15.【2015高考山东，理19】若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.
（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.
【答案】（I）有：125，135，145，235，245，345；
（II）X的分布列为
（II）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为
随机变量X的取值为：0，-1，1，因此
所以X的分布列为
【考点定位】1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
【答案】（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（II）机变量的分布列为：
（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性和互斥性，得
可得随机变量的分布列为：
利用数学期望的计算公式得到
试题解析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）
记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性和互斥性，得
可得随机变量的分布列为：
所以数学期望
【名师点睛】本题考查互斥事件、独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等，在正确理解题意的情况下，能准确确定基本事件的概率是关键.
17. 【2016高考天津理数】（本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望
试题解析：解：由已知，有
所以，事件发生的概率为.
随机变量的所有可能取值为
所以，随机变量分布列为
随机变量的数学期望.
考点：概率，概率分布与数学期望
【名师点睛】求均值、方差的方法
1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；
3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．
试题分析：（Ⅰ）根据相关系数公式求出相关数据后，然后代入公式即可求得的值，最后根据其值大小回答即可；（Ⅱ）利用最小二乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立关于的回归方程，然后把代入回归方程求得预测值．
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：，
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．
18. 【2014高考陕西版理第19题】在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元
【答案】（1）分布列见解析；（2）.
试题分析：（1）设表示事件“作物产量为300”，表示事件“作物市场价格为6元”
由题设得,800，结合概率公式计算出对应的概率，得出分布列；
（2）设表示事件“第季利润不少于2000元”，由题意知：相互独立，由（1）知
，3季利润均不少于2000元的概率为:
，3季中有2季利润不少于2000元的概率为：
，根据互斥事件概率的加法公式得：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：
试题解析：（1）设表示事件“作物产量为300”，表示事件“作物市场价格为6元”
由题设知：，
因为利润=产量市场价格-成本
所以所以可能的取值为
所以的分布列为
0.3 0.5 0.2
（2）设表示事件“第季利润不少于2000元”，
由题意知：相互独立，由（1）知
3季利润均不少于2000元的概率为:
3季中有2季利润不少于2000元的概率为：
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：
考点：离散型随机变量的分布列和期望；互斥事件的概率.X可能的取值 【2015高考陕西，理19】（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其
容量为的样本进行统计，结果如下：
（分钟） 25 30 35 40
频数（次） 20 30 40 10
（I）求的分布列与数学期望；
（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授
从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
【答案】（I）分布列见解析，；（II）．
试题分析：（I）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望；（II）先设事件表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过分钟”，再算出的概率．
试题解析：（I）由统计结果可得的频率分步为
（分钟） 25 30 35 40
频率 0.2 0.3 0.4 0.1
以频率估计概率得的分布列为
25 30 35 40
0.2 0.3 0.4 0.1
(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与的分布列相同.设事件表示“刘教授共用时间不超过分钟”，由于讲座时间为分钟，所以事件对应于“刘教授在途中的时间不超过分钟”.
考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.，
【解析】（Ⅰ）由题意知，，，所以=，
所以==，所以线性回归方程为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的线性回归方程可知，，所以在年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加千元.
令得：，故预测该地区在2015年农村居民家庭人均纯收入为元。
【考点定位】线性回归.
【名师点睛】本题考查，【2015高考新课标2，理18】（本题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；
表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；
表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；
表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．
则与独立，与独立，与互斥，．
由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．故，
，，，故．
【考点定位】1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件．【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.
【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为.
（2）X的分布列为：
X的期望为.
【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为.
因此，A中学至少1名学生入选的概率为.
（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.
所以X的分布列为：
因此，X的期望为.
【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.
可能性较大；
23. 【2014四川，理17】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【答案】（1）；（2）；
（3）每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少.
试题分析：（1）本题属于独立重复试验问题，利用即可求得的分布列；（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为.“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的对立事件是“玩三盘游戏，三盘都没有出现音乐”由此可得“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的概率；（3）
试题解答：（1）.所以的分布列为
X -200 10 20 100
（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为.
（3）由（1）得：，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大.
【考点定位】1、随机变量的分布列；2、独立重复事件的概率；3、统计知识.
【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一
直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计
的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以
24. 【2014课标Ⅰ，理18】
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的原则；3、二项分布的期望．
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、平均数及方差的计算，考查用样本估计总体，正态分布等知识，意在考查考生的因与能力及读图、用图的能力.解决概率问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n次独立重复使用中恰好发生k’次的情况，以便选择正确的计算方法，同时注意上各类事件的综合问题，要全面考虑.
25.【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 56.3 6.8 289.8 1.6
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；（Ⅱ）（Ⅲ）46.24
试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.……6分
【考点定位】非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（Ⅱ）详见解析.
试题分析：（Ⅰ）从9张卡片中任取3张，有和不同的结果,其中,3张卡片上的数字完全相同的有，由于是任取的，所以每个结果出现的可能性是相等的，故可根据古典概型的概率公式求得概率；
（Ⅱ）由题设随机变量的所有可能取值有1，2，3；
表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是
表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是
表示抽出的三第卡片上的三个数字可以是
于是可用古典概型的概率公式求出的分布列与数学期望.
试题解析：
解：（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为
（Ⅱ）的所有可能值为1，2，3，且
故的分布列为
考点：1、组合；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望.
【名师点睛】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力 【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．
试题分析：（1）本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为，其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此的可能值分别为，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为．
【考点定位】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力．在解概率题时，首先把所求，其次，求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．在求离散型随机变量的分布列时忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义理解.
【2015高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所
需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件.
【考点定位】1.概率；2.随机变量的分布列与期望.
甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（II）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．
【答案】（I）；（II）．
试题分析：（I）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率．；（II）根据题意的可能取值为．
．列出分布列表格，就可以求出期望的值．
（II）的可能取值为．
故的分布列为
考点：1．概率的求解；2．期望的求解．
【名师点睛】高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验的概率计
算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，同时也考查二项分布、超几何分布等特殊的概率模型.解
读此类问题时要注意分清类型，运用相应的知识进行解答.本题易犯的错误是事件之间的关系混乱，没有理
解题中给定的实际意义.
30. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（I）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:
发电量最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
试题分析：（I）先求，，，再利用二项分布求解；（Ⅱ）记水电站年总利润为（单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出，比较大小，再确定应安装发电机台数.
试题解析：（I）依题意，，
由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：
③安装3台发电机.
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
当时，两台发电机运行，此时，
当时，三台发电机运行，此时，
由此得的分布列如下：
0.2 0.8 0.1
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
考点：二项分布，随机变量的均值.
【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查二项分布和离散型随机变量的数学期望，其解题的关键是正确地运用数学表达表示出实际问题.充分体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.
31. 【2015高考湖北，理20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【答案】（Ⅰ）的分布列为：
0.3 0.5 0.2
；（Ⅱ）0.973.
【解析】（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，
目标函数为
当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为.
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
故最大获利的分布列为
0.3 0.5 0.2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
【考点定位】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布.
【名师点睛】二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
32. 【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列见解析，期望为．
【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
【考点定位】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．种，而基本事件总数为，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可．确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正。
33. 【2014福建,理18】（本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从
一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾
客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求
①顾客所获的奖励额为60元的概率
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和
50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励
总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球
的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
【答案】(1)
,参考解析;(2)参考解析
试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X. ①依题意,得.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为.
②依题意,得X的所有可能取值为20,60. .即X的分布列为
所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）.
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为,则的分布列为
的期望为,的方差为.
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为
的期望为, 的方差为.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
考点：1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.
【名师点睛】本题以生活中常见的抽奖活动为背景，结合随机变量的概率、分布列、期望与方差，有很强的现实意义与时代气息.求解此题的关键是：先利用两个原题、排列与组合以及古典概型的概率求随机变量的概率，然后求出X的所有值，列出分布列，最后利用期望与方差的定义进行计算与判断.
，随机变量表示的最大数，求的概率分布和数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意；
（2）随机变量的取值可能为，
所以的分布列为
【考点定位】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值（数学期望）.
【名师点晴】求分布列的三种方法
1．由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
2．由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
3．由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.
【答案】（Ⅰ）0.108；（Ⅱ）详见解析.
试题分析：（Ⅰ）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
可求出，，利用事件的独立性即可求出；(Ⅱ)由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.
（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72
考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.
【名师点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、数学期望、方差等，在正确理解题意的情况下，能准确确定基本事件的概率是关键.
本题是一道应用题，也是一道能力题，属于中等题，较全面地考查了概率统计等基础知识，同时考查考生的计算能力及应用数学知识，解决实际问题的能力.
36. 【2015湖南理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）详见解析.
试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，∵，，∴，
，故所求概率为；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，∴，
于是，，，
，故的分布列为
的数学期望为 .
【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.
【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一
直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计
的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以
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第20题解答图1
第20题解答图2
第20题解答图3
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