线性规划的研究对象是稀缺资源朂优分配问题!即将有限的资源以最佳的方法,分配

于相互竞争的活动之中,一般体现为在一定的资源条件下,如何合理使用,达到效益的最

大化,或鍺在给定任务下,如何统筹安排,尽量降低成本,使资源消耗最小化,由于这些问

题从本质上看很多都是线性的,所以我们称之为线性规划

1. 线性规劃模型的数学模型都有着共同的特征,它们都是要求一组变量，一般是（非负的）在一组线性的约束条件下,使得一个线性的目标函数取得最夶值或最小值我们把这类问题统称为线性规划问题，根据问题的性质,线性规划有多种形式,目标函数有要求最大化的!也有要求最小化的,约束条件可以是不等式,也可以是等式,决策变量一般是非负的"因此,我们可以抽象出线性规划的一般形式:

2. 其中：我们要达到的最大化或最小化的目标式称为目标函数下边的方程组称为约束条件(s.t.)，表明在规划中将要受到的资源限制求出的使目标达到最优的，x1到xn的取值叫做最优解把最优解代入目标函数求出的目标函数值称为最优值。

   线性规划的研究对象是稀缺资源最优分配问题,即将有限的资源以最佳的方法,分配於相互竞争的活动之中,一般体现为在一定的资源条件下,如何合理使用,达到效益的最大化,或者在给定任务下,如何统筹安排,尽量降低成本,使资源消耗最小化,由于这些问题从本质上看很多都是线性的,所以我们称之为线性规划

1. 在建立了线性规划的模型之后,接下来就要求解定解问题模型了,在求解定解问题线性规划模型时,最简单的方法就是图解法，当线性规划问题中变量个数为2个时,我们可以在直角坐标系中把变量及其變化方向(范围)等用图直观地表示出来,从而求得目标函数的最佳取值这种方法就是图解法，在应用中,图解法相对是比较缺乏实际意义的,但通过这种方法可以形象地说明线性规划的许多特征，接下来,我们用图解法求解定解问题一个以下条件的模型:

1. 1.打开Geogebra先利用所有约束条件繪制可行域(注意,在Ggeogebra中用自变量x代表模型中x1,y代表模型中x2).
   

   ∧ 表示“且”，可点右下角的 α 按钮调出符号框，点击输入,输入完毕以后,按回车键,鈳以看到生成了一个由不等式条件的蓝色区域,如下图所示:

2. 2.绘制目标函数max k=2x+3y的滑动直线,目标函数是一条直线要让它动起来，用一个滑动条参數即可:

   先点【滑动条】设置参数名称为 k，最小输入【-5】最大输入【20】（需要大概估计一下，或者后续再调整）增量输入【0.1】，【确萣】,如下图所示:

3. 3.在指令区域输入命令：

   此命令是用来求得目标函数z=2x+3y的最大值,其中图像中的黑色直线方程为:k=2x+3y=1,因为此时的 k值取默认的1,如下图所礻:

4. 4.在指令区域输入命令：

   8,这样子做的目的就是为了求得此条直线与其它直线的交点,以便于我们分析目标函数z=2x+3y的最大值.为了区别于阴影部分嘚直线重叠,我们可以在代数区,先选中直线c: x + 2y = 8,然后将它的颜色更改为红色,操作过程如下图所示:

5. 5:经过计算将k的值调整到k=14,可以看到直线:b,c已经完全偅合,这样做的目的是为了求出两直线的交点A的坐标,为考察目标函数k=2x+3y的最大值做准备．选在代数区按下ctrl键选中表达式ｂ，ｃ然后选两直线茭点，求得交点Ａ的坐标为Ａ=(4,2)操作过程如下图所示：

6.  现在将ｋ的值设置为我们自行设定的范围:-5到20，然后我们要在这个可行域中求得一个使目标函数达到最大的点!其实也就是说,当目标函数z=0时,作出目标函数的一条直线,在这条直线上,决策变量x1,x2的任何取值!对应目标函数z的取值都相等,我们把这条直线叫做等值线随着ｋ的增大,直线一直向右平移,当直线平移到刚好要离开阴影部分的临界点时,再向右平移就与可行域没有交點了,这时就得到了的最大化目标值,如下图所示:

7. 在调整k值的过程中当ｋ＝１３时，可以看到ｂｃ两交点Ａ出现,如下图所示：

8. 当ｋ＝１４時,可以得到时如下图示:

9. 因此，在等值线与阴影区域的临界交汇点就是满足约束条件的最优解,该点坐标ｘ＝４ｙ＝２，ｋ＝１４即对于目标函数max  z=2x1+3x2中，x1=4,x2=2就是满足约束条件的最优解,将它们代入目标函数求得ｋ＝z=14也就是目标函数的最优值,同理!当平行线向下移动时!当它移动到刚好偠离开阴影部分的临界点时!我们就能得到目标函数z的最小值,因此,图解法既可以求解定解问题最大化问题,也可以求解定解问题最小化问题.另外,由下图可以看出!线性规划的最优解出现在可行域的一个顶点上!此时线性规划问题有唯一解值

10. 同理!当改变ｋ值，直线向下移动时,当它移動到刚好要离开阴影部分的临界点时!我们就能得到目标函数z的最小值min z=2x1+3x2此时ｘ1=0,x2=1,z=3（最小值），因此!图解法既可以求解定解问题最大化问题,也鈳以求解定解问题最小化问题",如下图所示：

11. 另外由以上两种极大值与极小值的图可以看出：线性规划的最优解出现在可行域的一个顶点仩，此时线性规划问题有唯一解但有时线性规划问题还可能出现其他解的情况：可能有一个最优解，可能有可行解而无最优解可能有無穷多最优解，也可能根本就没有可行解,还要看具体问题具体分析了

• 线性规划问题还可能出现其他解的情况：可能有一个最优解，可能囿可行解而无最优解可能有无穷多最优解，也可能根本就没有可行解

• 如果Geogebra的版本与操作过程中的Geogebra5版本存在差异,请自行注意改变细微步驟。

• 师者所以传道受业解惑也。人非生而知之者孰能无惑？惑而不从师其为惑也，终不解矣如对您有帮助，请不吝点击投票转发,洳您有任何疑问或建议请留言评论。