知识点梳理
设一般式&{{y=ax}^{2}}+bx+c（a≠0）若已知条件或根据已知可推出图象上三个点，可以设成一般式，将已知条件代入解析式，得出关于&a、b、c&&的组，解方程即可．设顶点式&{{y=a\(x-h\)}^{2}}+k（a≠0）若已知条件或根据已知可推出函数的顶点或与最值时，可以设成顶点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．设交点式&{{y=a\(x-x}_{1}}{{\)\(x-x}_{2}}\)+m（a≠0）若已知条件或根据已知可推出图象上纵坐标相同的两个为&{{\(x}_{1}},m\)和{{\(x}_{2}},m\)&时，可以设交点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．
的性质：1.&y=a{{x}^{2}}（a≠0）的图像是一条，它的对称轴是y轴，顶点是原点（0,0）。（1）&二次函数图像怎么画？作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点（0,0）是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点；②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。（2）&二次函数y={{x}^{2}}与y=-{{x}^{2}}的图像和性质：2.&二次函数y=a{{x}^{2}}+k（a，k是常数，a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同，只是位置不同。函数y=a{{x}^{2}}+k的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向上（或下）平移|k|个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向上，在对称轴的左边（x＜0时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞0时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向下，在对称轴的左边（x＜0时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞0时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k。3.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h，顶点坐标是（h，0），它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同，位置不同，函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a≠0）的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右（或左）平移|h|个单位得到的。画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。当a＞0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}的开口向上，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。当a＜0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}的开口向下，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=0。4.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k），是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右（或左）平移|k|个单位，再向上（下）平移|k|个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的开口向上，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的开口向下，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=k。5.&二次函数的图像的画法：（1）&描点法，步骤如下：a．&利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的形式。b．&确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。c．&在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。（2）&平移法，步骤如下：a.&利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的形式，确定其顶点（h，k）。b.&作出函数y=a{{x}^{2}}的图像。c.&将函数y=a{{x}^{2}}的图像平移，使其顶点平移到（h，k）。
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举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图：（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象回答：当x为何...”，相似的试题还有：
已知二次函数的图象以A(-1，4)为顶点，且过点B(2，-5)．(1)求该函数的关系式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)当函数值大于0时，自变量的取值范围是什么？
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图；(1)求此函数的解析式；(2)用配方法求抛物线的顶点坐标；(3)根据图象回答，当x为何值时，y＞0，当x为何值时，y＜0．
如图：(1)求该抛物线的解析式；(2)根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0．Hi~亲，欢迎来到题谷网,新用户注册7天内每天完成登录送积分一个，7天后赠积分33个，购买课程服务可抵相同金额现金哦~
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一男生在校运会比赛中推铅球，铅球的行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系用如图所示的二次函数图像表示(铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线)．(1)由已知图像上的三点求y与x之间的函数关系式；(2)求出铅球被推出的距离；(3)若铅球在B点达到最大高度，落地点为C，求四边形OABC的面积．
主讲：高秀彩
【思路分析】
（1）由已知图象上的三点坐标，设一般式y=ax2+bx+c，列方程组，求解析式；（2）求OC长，令y=0，求x的值；（3）求面积要抓住A、B、C三点坐标，把四边形分割成一个直角梯形和一个直角三角形，求面积和．
【解析过程】
解：（1）设y与x之函数关系式为y=ax2+bx+c由图象得，图象经过（-2，0），（0，），（2，）三点，则：解得：a=-，b=，c=∴y与x之间的函数关系式为y=-x2+x+；（2）令y=0，则-x2+x+=0解得：x1=10，x2=-2（不合题意，舍去）∴铅球被推出的距离是10米；（3）过B作BD⊥OC于D∵y=-（x2-8x-20）=-（x-4）2+3∴B点坐标（4，3）由（2）得C点坐标是（10，0）∴S四边形OABC=S梯形OABD+S△BDC=×（+3）×4+×6×3=18．答：四边形OABC的面积为18．
（1）y与x之间的函数关系式为y=-x2+x+；（2）铅球被推出的距离是10米；（3）四边形OABC的面积为18．
题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
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已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF （1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。
【答案】（2）
24、已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，&EAC＝60&，求AD的长。
【答案】（2）
（2）根据⊙O的半径为3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由&EAC＝60&可证得&COD＝&EOA＝60&，在Rt△OCD中，&COD＝60&，OC＝3，可由勾股定理求得CD=3，最后根据Rt△ACD，用勾股定理求得结果.
试题解析：
证明：（1）连接FO
易证OF∥AB
∵AC⊙O的直径
∴CE&AE
∴OF&CE
∴OF所在直线垂直平分CE
∴FC＝FE，OE＝OC
∴&FEC＝&FCE，&0EC＝&0CE
∴&ACB＝90&
即：&0CE＋&FCE＝90&
∴&0EC＋&FEC＝90&
即：&FEO＝90&
∴FE为⊙O的切线
考点：切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理
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如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.
(l)求证：△ACD是等边三角形；
(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长. 【答案】(1）见解析（2）
24. 如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.
(l)求证：△ACD是等边三角形；
(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长.
【答案】(1）见解析（2）
试题分析：（1）根据切线的定义可知AB&BM，又∵BM//CD，∴AB&CD，根据圆的对称性可得AD=AC，再根据等弧对等弦得DA=DC，即DA=DC=AC，所以可得△ACD是等边三角形；（2）△ACD为等边三角形，AB&CD，由三线合一可得&DAB=30&，连接BD，根据直径所对的角是直角和三角形的内角和可得&&EBD＝&DAB＝30&，因为DE＝2，求出BE＝4，根据勾股定理得，直角三角形中30&角所对的直角边等于斜边的一半得，，，在Rt△OBE中，根据勾股定理即可得出OE的长．
试题解析：证：∵BM是⊙O切线，AB为⊙O直径，∴AB&BM，∵BM//CD，∴AB&CD，
∴AD＝AC，∴AD＝AC∴DA＝DC，∴DC＝AD，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD为等边三角形.
证：(2)△ACD为等边三角形，AB&CD，∴&DAB＝30&，连结BD，∴BD&AD.
&EBD＝&DAB＝30&，∵DE＝2，∴BE＝4，，，，
在Rt△OBE中 ．
考点：圆的有关性质，直角三角形的性质；勾股定理．
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