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怎么用eviews对时间序列进行预测？
来源：互联网 发表时间： 13:27:38 责任编辑：李志喜字体：
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　　1、Eviews是什么
　　Eviews是美国QMS公司研制的在Windows下专门从事数据分析、回归分析和预测的工具。使用Eviews可以迅速地从数据中寻找出统计关系，并用得到的关系去预测数据的未来值。Eviews的应用范围包括：科学实验数据分析与评估、金融分析、宏观经济预测、仿真、销售预测和成本分析等。
　　Eviews是专门为大型机开发的、用以处理时间序列数据的时间序列软件包的新版本。Eviews的前身是1981年第1版的Micro TSP。虽然Eviews是经济学家开发的，而且主要用于经济学领域，但是从软件包的设计来看，Eviews的运用领域并不局限于处理经济时间序列。即使是跨部门的大型项目，也可以采用Eviews进行处理。
　　Eviews处理的基本数据对象是时间序列，每个序列有一个名称，只要提及序列的名称就可以对序列中所有的观察值进行操作，Eviews允许用户以简便的可视化的方式从键盘或磁盘文件中输入数据，根据已有的序列生成新的序列，在屏幕上显示序列或打印机上打印输出序列，对序列之间存在的关系进行统计分析。Eviews具有操作简便且可视化的操作风格，体现在从键盘或从键盘输入数据序列、依据已有序列生成新序列、显示和打印序列以及对序列之间存在的关系进行统计分析等方面。
　　Eviews具有现代Windows软件可视化操作的优良性。可以使用鼠标对标准的Windows菜单和对话框进行操作。操作结果出现在窗口中并能采用标准的Windows技术对操作结果进行处理。此外，Eviews还拥有强大的命令功能和批处理语言功能。在Eviews的命令行中输入、编辑和执行命令。在程序文件中建立和存储命令，以便在后续的研究项目中使用这些程序。
　　2、Eviews系统介绍
　　EViews是在Windows操作系统中计量经济学软件里世界性领导软件。强而有力和灵活性加上一个便于使用者操作的界面；最新的建模工具，快速直觉且容易使用的软件。由于它革新的图表使用者界面和精密的分析引擎工具，EViews 是强大，灵活性和便于使用的功能。EViews 预测分析计量软件在科学数据分析与评价、金融分析、经济预测、销售预测和成本分析等领域应用非常广泛。 EViews软件在Windows环境下运行，操作接口容易上手，使得本来复杂的数据分析过程变得易学易用。
　　应用领域
　　■ 应用经济计量学 ■ 总体经济的研究和预测
　　■ 销售预测 ■ 财务分析
　　■ 成本分析和预测 ■ 蒙地卡罗模拟
　　■ 经济模型的估计和仿真 ■ 利率与外汇预测
　　EViews主要功能
　　引入了流行的对象概念，操作灵活简便，可采用多种操作方式进行各种计量分析和统计分析，数据管理简单方便。其主要功能有：
　　（1）采用统一的方式管理数据，通过对象、视图和过程实现对数据的各种操作；
　　（2）输入、扩展和修改时间序列数据或截面数据，依据已有序列按任意复杂的公式生成新的序列；
　　（3）计算描述统计量：相关系数、协方差、自相关系数、互相关系数和直方图；
　　（4）进行T 检验、方差分析、协整检验、Granger 因果检验；
　　（5）执行普通最小二乘法、带有自回归校正的最小二乘法、两阶段最小二乘法和三阶段最小二乘法、非线性最小二乘法、广义矩估计法、ARCH 模型估计法等；
　　（6）对二择一决策模型进行Probit、logit 和Gompit 估计；
　　（7）对联立方程进行线性和非线性的估计；
　　（8）估计和分析向量自回归系统；
　　（9）多项式分布滞后模型的估计；
　　（10）回归方程的预测；
　　（11）模型的求解和模拟；
　　（12）数据库管理；
　　（13）与外部软件进行数据交换
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&>&&>&数学建模之预测模型
数学建模之预测模型_21200字
第六章 预测模型（Forecast Models）
【产品销量预测问题】假设商店某种产品的销售量如下表6-1。
表6-1 某产品销量资料
10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38
试预测2011年的销售量，并且要求在90%的概率保证下，给出预测的置信区间。
本讲主要内容
1. 预测和预测模型
2. 时间序列预测模型
3. 灰色预测模型
4. 数学建模案例：SARS疫情对某些经济指标影响问题
6.1预测和预测模型
6.1.1 什么是预测
预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门科学的预测学，是在科学技术高度发达的当今才产生的。“预测”是来自古希腊的术语。我国也有两句古语：“凡事预则立，不预则废”， “人无远虑，必有近忧” 。预测的目的在于认识自然和社会发展规律，以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展的途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并能动地控制其发展，使其为人类和社会进步服务。因而预测是决策的重要的前期工作。决策是指导未来的，未来既是决策的依据，又是决策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。预测和决策是过程的两个方面，预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务，所以不能把预测模型和决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型。
20世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需求有很大关系，另一方面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的发展是可以预测的。而且借助可靠的数据和科学的方法，以及预测技术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。
6.1.2 预测的方法和内容
为保证预测结果的精确度，预测之前的主要工作是数据的准备，数据是预测工作的前提和重要依据，预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律，认真研究预测对象并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行总结，从中找出规律，便可科学地推断未来。
1.数据的收集和整理 按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据。第一手数据，包括以各种形式初次收集的数据。收集第一手数据的途径包括：抽样调查，连续调查，或全面调查。在预测的定性方法中常常需要第一手数据，但获取第一手数据的费用较高，时间较
长，所以定量方法常采用第二手数据。第二手数据多为已经公布和发表的资料，易于获取，代价低，数据精度也有一定的保证。其缺点是数据可能不能直接适用于预测情况。因此，常常需要对已公布的数据进行修正和处理，使其适应于预测需要。
无论是第一手数据还是第二手数据，都可能是混乱的、无序的、彼此间孤立的。预测人员都应将原始数据按“单元”或“类别”整理和集中，以便使其成为内容上完整、有序、系统，形式上简明统一的数据。
2.数据的分析和处理 建模不仅需要大量的数据，同时数据必须可靠，并适合建模的要求。这些数据虽然是历史的客观写照，但有可能是失真的数据。对于失真的数据，以及不符合建模的数据，必须通过分析，加以适当处理。处理的原则是准确、及时、适用、经济、一致，处理方法有判别法、剔除法、平均值法、差分法等等。有些模型只能处理平稳数据，如果原始数据为非平稳数据，则需釆取差分处理。
在预测过程中，由于预测对象不同，预测内容不同，以及预测期限不同，所需的数据内涵及数量也不同。经济预测的数据主要包括：
（1）国民经济总产值及各部类的分配情况；
（2）各行业的生产规模和生产能力以及技术水平； （3）政府的经济政策及产业政策； （4）生产力布局；
（5）人口发展趋势及就业情况； （6）国民经济投资及分配； （7）国际环境及变化趋势。 市场需求预测需要的数据主要有：
（1）人口及人均收入；
（2）国民收入的增长及分配情况；；
（3）与产品消费直接有关的政府政策和法规，如进口限制、进口税、销售稅和其它税费、信贷管理及外费管理等；
（4）一段时期内产量和产值的生产能力； （5）一段时期内的产品的进口量；
（6）代用品或近似代用品的产量和进口量；
（7）与有关新投入的产品前后关联度高的产品的产量； （8）国家计划规定的产品或代用品的生产指标； （9）产品出口量；
（10）个人或集体消费者们的习惯或嗜好； （11）法律方面的资料。
针对不同的预测问题可选取适当的数学模型进行预测。实用的预测模型很多，数学建模中常用的预测模型有时间序列模型，回归分析模型和灰色预测模型等等。回归模型在第四章中已经介绍，本章讲分别介绍时间序列预测模型和灰色预测模型。
6.2 时间序列预测模型
时间序列一般指一组按时间顺序排列的数据，展示了研究对象在一定时期的发生变化过程。时间序列模型，就是根据预测对象时间变化特征，研究事物自身的发展规律，探讨未来发展趋势，是一种重要的定量预测方法。它是在时间序列变量分析的基础上，运用一定的数学方法建立预测模型，使时间趋势向外延伸，从而预测未来市场的发展变化趋势，确定变量预测值。时间序列模型包括多种模型，主要适用于经济预测、商业预测、需求预测、库存预
测等，预测期限主要为中、短期，不适用于有拐点的长期预测。
在时间序列中，通常根据影响因素将数据的变化趋势分为四大类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。对于前三种数据趋势预测问题，由于数据均呈现出某种规律性，因此我们能够将数据进行简化、分析，从而使预测成为可能；而不规则变动是指由某种偶然因素引起的突然变动，如战争的发生、政权的更迭、重大自然灾害的发生等，不规则变动没有周期性。
在建模中常用的时间序列预测方法有移动平均法、指数平滑法、趋势外推法、季节指数预测法等等。
移动平均预测法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。 移动平均法有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等，这些都是比较简单的时间序列预测方法。
移动平均法的基本方法是，选一个固定的周期N，对数据进行平均，每递推一个周期就加上后一个数据，舍去初始数据，依次类推，直至把数据处理完毕。以N=5为例：
y5+y4+y3+y2+y1
5y6+y5+y4+y3+y2
分别表示第五、第六个周期的一次移动平均值，依次类推。若移动平均的周期为M5、M6
N，则可得到计算移动平均值的一般公式：
yt+yt-1+yt-2+L+yt-(N-1)
其中，Mt(1)表示第t期的一次移动平均值。
可见，移动平均法实际上是对于某一期数据，取前N个数据进行平均，N个数权数相
同，而其它数据的权为零，这样经过移动平均，将消除数据列中异常的因素，对数据进行修匀。一般情况下，如果数据没有明显的周期变化和趋势变化，可用第t期的一次移动平均值
^t+1=Mt(1). 作为t+1期的预测值，即y
表6-2中的的第二列和第三列，即是原始数据与一次移动平均值的对比。始取N=3的3
期移动平均，则第三期数据的移动值为5766.33，它可以作为第4期的预测值。
一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不能用于长期预测。使用移动平均法，最重要的是移动周期N的选择。由于移动平均修匀后的方差，随着N的加大而减少。也就是N越大，对原始数据修匀能力越强。必须选择合理的移动跨期，跨期越大对预测的平滑影响也越大，移动平均数滞后于实际数据的偏差也越大。跨期太小则又不能有效消除偶然因素的影响。跨期取值可在3~20间选取。
表6-2 移动平均值
序 列 原 始 数 据 一次移动平均值 二次移动平值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
在一次移动平均值的基础上，应用移动平均的原理，还可以进行二次甚至多次的移动平均，二次移动平均，就是以一项移动平均值为原始数据，再进行一次移动平均。二次移动平均法的公式为：
9.3 5.3 3.0 8.3 7739.7
2.5 2.2 4.7 7440.2
yt+yt-1+yt-2+L+yt-(N-1)
Mt(1)+Mt(-1+Mt-2+L+Mt-(N-1)
二次移动平均使原始数据得到了进一步修匀，使其显现线性趋势。表6-2中的第四列数
据为N=3的二次移动平均值。
在二次移动平均值的基础上，可建立线性模型：
^t+τ=at+btτ y
其中 at=2Mt(1)-Mt(2),bt=
(Mt(1)-Mt(2))，式中：τ-预测超前期数。 n-1
对于表6-1中的数据，如以11期数据预测12期值，当取N=3时，则有：
a11=2M11-M11=2×0.2=8039.2,
预测方程为
(M11-M11)=0.2=299.5. 3-1
^11+τ=.5τ.
^12=.5=8338.7. 所以第12期的预测值为 y
二次移动平均法是对一次移动平均数再次进行移动平均，并在两次移动平均的基础上建
立预测模型对预测对象进行预测。二次移动平均法与一次移动平均法相比，其优点是大大减少了滞后偏差，使预测准确性提高。但它只适用于短期预测。而且只用于T≥0的情形。
6.2.2指数平滑预测法
指数平滑法（Exponential Smoothing,ES）是布朗（RobertG.Brown）所提出的，他认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续到未来，所以将较大的权数放在最近的资料。指数平滑法来自于移动平均法，是一次移动平均法的延伸。它将时间数据加工平滑，从而获得其变化规律与趋势。根据平滑次数的不同，指数平滑法可以分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。
1. 一次指数平滑法 一次指数平滑公式为
St(1)=αyt+(1-α)St(-1.
其中St(1)：t期数据的指数平滑值；α：平滑常数，0<α<1；yt：现期数据值。
对上式递推展开则得
St(1)=αyt+(1-α)[ayt-1+(1-α)St(-2]=αyt+α(1-α)yt-1+(1-α)St-2.
依此类推可得一次指数平滑的预测模型为
St(1)=αyt+α(1-α)yt-1+α(1-α)2yt-2+L+α(1-α)t-1yt-(t-1)+(1-α)tS0(1).
上式表明，数据列yt,yt-1,yt-2,L的权数分别是α，α(1－α)，α(1-α)2,L，即离t时刻越远的数据，权数越小，而且权数的变化呈指数几何级数。
当时间序列数据大于50时，初始值S0(1)对St(1)计算结果影响极小，可以设定为y1；当时间序列数据小于50时，初始值S0(1) 对St(1)计算结果影响较大，应取前几项的平均值。
用一次指数平滑法进行预测时，将t期的平滑值作为t+1期的预测值，即
^t+1=St(1)=αyt+y（1-α)St-1.
运用一次指数平滑法进行预测，平滑系数α选择很关键，α取值不同，预测结果就不同。
一般原则是：对于有较明显趋势变动的时间序列，为了突出近期数据对预测值的影响，平滑系数α应取较大值；对于水平型的时间序列，因为变动趋势不明显，平滑系数α应取较小值；在实际预测中，可以取几个α值，进行试算，比较它们的预测误差，选择预测误差小对应的α值。
2. 二次指数平滑法
一次指数平滑法只适用于时间序列有一定波动但没有明显的长期递增或递减的短期预测，若进行中长期预测，则会造成显著的时间滞后，产生较大的预测误差。为弥补这一缺陷，可采用二次指数平滑法。
二次指数平滑的计算公式为
St(2)=αSt(1)+(1-α)St(-21)
^t+τ=αt+βtτ. 其相应的线性预测模型为 y
其中 αt=2St(1)-St(2),βt=
(St(1)-St(2)). 1-α
【例6-1】某公司一种大型设备的年销售量（单位台）如下表6-3，计算其一次和二次平滑值并预测2003年的销售量。
销售量及平滑值
观察年份 98 01 2002
解：有关数据及计算见表6-3（α=0.8）。根据例中数据，有
α7=2S7-S7=2×80.342-78.747=81.937
销售量（台(1) 40 47 56 65 70 75 82
St(2) 42.655 45.256 52.236 60.684 66.984 72.366 78.747
α0.8(1)(2)β7=(S7-S7)=(80.342-78.747)=6.38
^t+τ=α7+β7τ=81.937+6.38τ. y
^8=81.937+6.38×1=88.217，即2003年的预测销售量为88台。 所以，y
3. 三次指数平滑法
当时间序列为非线性增长时，一次指数平滑与二次指数平滑都将失去有效性，此时需要 使用三次指数平滑法。三次指数平滑法建立的模型是抛物线模型，其计算公式是：
St(1)=αyt+(1-α)St(-=αSt(1)+(1-α)St(-21)，St(3)=αSt(2)+(1-α)St(-1，St1.
三次指数平滑法的数学预测模型为：
^t+τ=αt+βtτ+γtτ2， y
其中αt=3St(1)-3St(2)+St(3),
[(6-5α)St(1)-2(5-4α)St(2)+(4-3α)St(3)].
α2(1)(2)(3)
γt=(S-2S+Sttt). 2
在时间序列预测过程中，一般来说历史数据对未来发展的影响是不等价的，数据由近及远对未来的影响价值递减。如果这种递减遵循指数规律，并以此进行预测，则可采用指数平滑法。指数平滑法比移动平均法需要的数据量少，计算更为方便。
6.2.3趋势延伸预测法
如果一个时间序列的各期指标数值大体是曲线趋势变动，我们就可用相应的曲线方程来
描述这种变动，并估算出方程中的待定参数，建立预测模型，然后应用这个预测进行外推预测。这就是趋势延伸预测法。它是根据事物的历史和现实资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物未来状况的一种比较常用的预测方法。
利用趋势延伸法进行预测，主要包括六个阶段：a.选择应预测的参数；b.收集必要的数据；c.利用数据拟合曲线； d.趋势延伸；e.预测说明；f.研究预测结果在进行决策中应用的可能性。趋势延伸法分为直线趋势延伸法和曲线趋势延伸法。
1. 直线趋势延伸法
当时间序列的每期数据按大致相同的数量增加或减少时，即逐期增减量（一次差）大体相同，则可配以直线方程并利用最小二乘法进行预测。直线趋势延伸法实际上是线性回归方法在时间序列预测法中的应用。直线趋势延伸法是以预测的连续性原理为基础，根据数据发展的连续资料，通过识别时间序列长期趋势的类型，建立趋势预测模型并向外推导，从而对市场未来状况做出预测的方法，又称趋势外推法。使用直线趋势延伸预测方法的条件是：
（1）预测对象的发展过程没有跳跃式变化，一般属于渐进变化； （2）预测对象的过去、现在和未来的客观条件基本保持不变. 直线趋势延伸法的预测模型为：
^t——第t期的预测值； 式中：y
a——直线方程参数，是直线在Y轴上的截距；
b——直线方程参数，是直线斜率，代表变化趋势； x——第t期的时间序列值；
t——统计时间期（一般用序号表示）.
参数a和b的计算公式是： b=
nxy-xynx2-(x)2
∑x=0，则可简化为：b=
∑x=0，当时间序列数据个数为奇数时，须令与统计时间期t对应的时间序列值
x的中间项为0，其他项分别为：
当时间序列数据个数为偶数时，须令与统计时间期t对应的时间序列值x的中间两项分别为-1、1，其他项分别为： t
【例6-2】某企业1990年--1999年的商品销售额的资料如表6-4。
表6-4 某企业1990年--1999年的商品销售额资料 年份 商品销售额y 92 95 98 1999
7 12 17 20 23 26 29 32 35 40
按一般顺序排序的t 时间序号t t2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
ty 7 24 51 80 115 156 203 256 315 400
按时间序列值x x -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9
x2 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330
xy -63 -84 -85 -60 -23 26 87 160 245 360 563
合计 241 385 1607 0
分析：观察资料我们可发现商品销售额按大致相同的数额增加，因此拟定直线趋势方程
^t=a+bx，根据表中资料，按时间序列号计算，可导出： y
xy=563=1.7，a=y=241=24.1
则直线趋势方程为：yt=24.1+1.7x。将代表各年度的t值代入方程即可计算出各年的预测值。如预测2002年的商品销售额，相对应的
x=15, yc=24.1+1.7×15=49.6 .
2. 曲线趋势延伸法 在很多情况下，变量间的关系由于受众多因素的影响，其变动趋势并非总是一条简单的直线方程，往往会呈现出不同形态的曲线变动趋势。例如在市场预测中，经常会遇到经济现象的发展呈非线性变化，其发展趋势表现为各种不同形态的曲线。此时则须用相应的曲线趋势方程进行拟合，用以描述其发展的长期趋势。
曲线趋势延伸预测法是指根据时间序列数据资料的散点图的走向趋势，选择恰当的曲线方程，利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和法）等来确定待定的参数，建立曲线预测模型，并用它进行预测的方法。常见的曲线外推趋势预测法有二次曲线法、三次曲线法和生长曲线法。
假设曲线趋势延伸预测模型为
24^+cx^3+ex^t=a^+bx^^y+dxtttt+L .
^t：第t期某变量的预测值（因变量）式中：y；xt：时间变量（自变量），t=1,2,L,n. ^^，即为线性趋势延伸预测法的模型； ^=L=0时，y^=d^t=a^+bx当ct^+cx^=e^=L=0时，y^t=a^+bx^t2即为二次曲线延伸预测法的模型。 当dt
下面我们主要介绍二次曲线趋势延伸预测法。
二次曲线延伸法是研究时间序列观察值数据随时间变动呈现一种由高到低再到高（或由低到高再到低）的趋势变化的曲线外推预测方法。由于时间序列观察值的散点图呈现抛物线形状，故也称之为二次抛物线预测模型。
与拟合直线延伸法相同，二次曲线延伸法也是根据使其误差最小的标准，确定其待定系
^t：t期的预测值；et：第t期的离差；Q：离差平方数。设yt第t的时间序列的观察值；y
^+cx^t=a^+bx^t，可得 和。由二次曲线外推预测法的模型yt
^-cx^t=yt-a^-bx^t2et=yt-yt
^-cx^-bx^t2)2
由于xt 表示时间序列的编号，如同拟合直线方程法一样，当时间序列观察期的项数为
奇数时，令其中间项（）的编号为0，则∑xt=0，∑xt=0，…，由最小二乘原
理，可得各参数的值：
∑x∑y-∑x∑x
n∑xt-(∑xt)
n∑xtyt-∑xt
n∑xt-(∑xt)
【例6-3】 某公司年的商品销售收入如表6-5所示，试预测该公司2004年的销售收入。
表6-5 某公司年商品销售收入数据表
(单位：万元)
销售收入 545
解：①绘制散点图
如图6-1所示。
图6-1某公司商品销售收入额散点图
②根据观察值的散点图的变化趋势确定其属于二次曲线变化趋势后，列表计算二次曲线
待定参数所需的数据。计算结果如表6-6所示。
③计算待定参数，建立预测模型，并计算预测值。 利用6-6中的有关数据，代入式中，计算得：
^=199.53，c^=1107.29，b^=14.67 a
该例的二次曲线的趋势延伸预测模型为：
^t=.53xt+14.67xt2.
^+199.53×5+14.67×25=2471.89（万元）. 当xt=5时，代入上式得y
表6-6某公司商品销售收入及有关数据计算表（单位：万元） 年份
xt 销售额yt xt2 xt4 xtyt
545 641 764 923 68 846
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
81 16 1 0 1 16 81
xt2yt ^t y
543.89 640.73 766.91 922.43
^t)2 (yt-y
1.23 0.07 8.47 0.32
6 -3 8 -1 0 1 2 3 2003 4
- - -923 0 08
.08 .26 .82
.91 3.65 .13 0.02
二次曲线外推预测法的特点：
1. 二次曲线方程的二阶差分是一个常数。
2. 二次曲线趋势外推预测法适用于时间序列数据呈抛物线形状上升或下降，且曲线仅有一个极点（极大值或极小值）的情况下使用。
对于三次曲线法和生长曲线法，分析思路、求解未知参数的方法与此类似，可参看[]，这里不再赘述。
6.2.4 季节指数预测法
季节变动是指某些经济变量的变化是随时间的推移，季节的不同而呈现出的周期性变化，每年都会出现相似的周期曲线，进行季节变动趋势预测的目的主要是分析季节变动因素对于趋势发展的影响，并由此预测未来趋势。
1. 季节指数预测法的概念和特点
季节指数法是根据预测目标各年按季编制的时间序列所显示的季节变动规律性，测定反映季节变动规律的季节指数，并利用季节指数进行预测的方法。测定季节指数的方法可分为两类：一类是不考虑长期趋势的影响，直接根据原始时间序列计算季节指数；二是考虑长期趋势的影响，先将长期趋势的影响消除，再计算季节指数。
如果不考虑长期趋势的影响，就可以用求平均数方法，直接对时间序列中各年同季的实际值加以平均，再将各年同季的平均数与各年的总平均数进行比较，求出季节指数，最后用季节指数来计算预测值。
季节指数是一种以相对数表示的季节变动衡量指标。根据一年或两年的历史数据计算而得的季节变动指标往往含有很大的随机波动因素，所以在实际预测中通常需要根据三年以上的分季（月）历史数据来计算季节指数。
季节指数的计算公式为（以季度计算为例）：
季节指数＝
即：ri=Yi/Y， 各年同季的季平均值 所有年的季平均值
i：季节序数，i = 1、2、3、4；
ri：某季的季节指数；
Yi：各年同季的季平均值，Yi=
n∑Y/n，Y为各季的实际值，n为年数； iii=1
Y：所有年的季平均值，Y=∑Y
季节指数应化为百分数，全年4个季度的季节指数之和为400%，季节指数平均数为100%。如果计算时由于四舍五入引起的误差，使季节指数之和不等于400%时，需用比例法将其调整为400%。季节变动表现为各季的季节指数围绕着100%上下波动，表明各季平均值与全年平均数的相对关系。如某种商品第一季度的季节指数为132%，这表明该商品第一季度的销售量通常高于年平均数32%，属旺季；如第三季度的季节指数为75%，则表明该商品第三季度的销售量通常低于年平均数25%，属淡季。
如果是用月份来计算季节指数，全年12个月的季节指数之和为1200%，每个月的季节指数平均数为100%。
2. 利用季节指数进行预测
当测定出预测变量的季节指数后，便可以利用它和有关历史资料进行预测。根据历史资料的不同，具体的预测方法也有一定的差异，下面分别介绍。
（1）已知年度预测值，求季（月）度的预测值。
当预测者掌握预测变量的年度预测值（也可以表现为年度计划值）时，可以通过下列步骤求各季（月）度的预测值：
首先，计算出预测年度的季（月）度的平均值，计算公式表示为：
季度平均值＝年度预测值/4
月度平均值=年预测值/12
然后，计算各季（月）度的预测值，计算公式为：
某季（月）度预测值＝该季（月）度季节指数×季（月）度平均值
（2）已知本年某季（月）度的实际值，预测未来某季（月）度的值进而求得全年总值。以季度预测为例，可用通过下列公式进行预测：
某季预测值＝已知季实际值×（预测季度的季节指数/已知季度的季节指数）.
【例6-4】某地区棉衣、毛衣、皮衣年各季销售额资料如表6-7的２～5栏，试预测2002年各季销售额。
表6-7 某地区棉衣、毛衣、皮衣年各季销售额
解：（1）计算各年同季季平均销售额资料于表第6栏。如第一季为： 148+138+150+145=145.25（万元） 4
（2）计算所有年所有季的季平均销售额
145.25+62.5+76.5+172.2=114.125（万元） 4
（3）计算各季节比率于表第7栏。如第二季为：
f2=62.5/114.125=54.76%
（4）预测年的季趋势值：
^=145+66+78+173=115.5（万元） Xt4
^t于表第8栏。如第三季为： （5）2002年各季预测值y
^3=115.5×0.（万元）y。
其他的时间序列预测方法还有很多，在预测时，根据预测对象的数据资料特点选取合适的预测模型，才能达到预测的目的。更多的时间序列预测方法可参看文献[]。
6.3 灰色预测模型
灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。客观世界在不断发展变化的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系统。若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的，则称之为白色系统；若一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究，则称之是黑色系统；灰色系统则是指系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。
灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况作出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。
灰色预测方法常见类型有灰色时间序列预测，畸变预测，系统预测和拓扑预测。
6.3.1 灰色预测的相关概念
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。累加是将原始序列通过累加得到生成列,累减是将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列。
记原始时间序列为：X(0)={X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),K,X(0)(n)}，则其生成列为：X(1)={X(1)(1),X(1)(2),X(1)(3),K,X(1)(n)}，上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：X(m)(k)=∑X(m-1)(i)。
累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：X(1)(k)=X(0)(k)-X(0)(k-1)。对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲线逼近。
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。设
X(0)={X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),K,X(0)(n)}={X(0)(k),k=1,L,n}，
^(0)={X^(0)(1),X^(0)(2),X^(0)(3),K,X^(0)(n)}={X^(0)(k),k=1,L,n}， X
^则比较数列X(0)对参考数列X(0)的关联系数定义为：
η(k)=^(0)(k)-X(0)(k)+ρmaxmaxX^(0)(k)-X(0)(k)minminXkk
^(0)(k)-X(0)(k)+ρmaxmaxX^(0)(k)-X(0)(k)Xk
^(0)和X(0)的绝对误差； ^(0)(k)-X(0)(k)为第k个点X式中：X
^(0)(k)-X^(0)(k)为两级最小差；
^(0)(k)-X^(0)(k)为两级最大差； maxmaxX
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；ρ越大, 分辨率越小；ρ越小,
分辨率越大。对单位不一致，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。
X(0)^和X(0)1n
的关联度定义为r=∑η(k)。 nk=1
设X(0)={X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),K,X(0)(n)}，
X(i)={X(i)(1),X(i)(2),X(i)(3),K,X(i)(n)},i=1,L,m，
则比较数列X(i)对参考数列X(0) 的关联系数定义为： (i)
ηi(k)=minminXik(k)-XX(0)(k)-X(i)(k)+ρmaxmaxik(0) maxX(0)(k)-X(i)(k)(k) +ρmaxikX(0)(k)-X(i)(k)
X(i)对X(0)1n
的关联度为ri=∑ηi(k)。 nk=1
【例6-5】设工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：
工业：X1=(45.8,43.4,42.3,41.9)
农业：X2=(39.1,41.6,43.9,44.9)
运输业：X3=(3.4,3.3,3.5,3.5)
商业：X4=(6.7,6.8,5.4,4.7)
参考序列分别为X1, X2，被比较序列为X3, X4，试求其关联度。
解：以X1考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。得到：
X1'=(1,0.5,0.9138)
X2'=(1,1.063,1.3)
X3'=(1,0.97,1.4)
X4'=(1,1.,0.7)
第二步：求序列差
?2=X2'-X1'=(0,0.2,0.2335)
?3=X3'-X1'=(0,0.9,0.1146)
?4=X4'-X1'=(0,0.5,0.2148)
第三步：求两极差
M=maxmax?i(k)=0.2335
m=minmin?i(k)=0
第四步：计算关联系数取ρ=0.5，有：
从而： 0.11675,i=2,3,4. ?i(k)+0.11675
η12(2)=0.503
η12(3)=0.3695
η12(4)=0.3333
η13(2)=0.8384
η13(3)=0.5244
η13(4)=0.504
η14(2)=0.634
η14(3)=0.4963
η14(4)=0.352
第五步：求关联度
14r12=∑η12(k)=0.=∑η13(k)=0.=∑η14(k)=0.6214k=1
计算结果表明，运输业和工业的关联程度大于农业、商业和工业的关联程度。X2考序列时，计算类似，这里略去。
6.3.2 GM(1,1)预测模型
1.GM(1,1)模型
设时间序列X(0)={X(0)(1),X(0)(2),K,X(0)(n)}有n个观察值，通过累加生成新序列 X(1)={X(1)(1),X(1)(2),K,X(1)(n)}，则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX(1)+aX(1)=u dt
其中：a称为发展灰数；μ称为内生控制灰数.
^为待估参数向量，α^=?设α?u?? ,用最小二乘法求解。可得： ??
?1(1)?(1)-(X(1)+X(2))
1?2??X(0)(2)?????1(1)(1)(0)???X(3)?-(X(2)+X(3))
1-1?，Yn=?^=(BTB)BTYn，其中B=?2α? ?
M????X(0)(n)????1?(1)(1)?-(X(n-1)+X(n))
求解微分方程，即可得GM(1,1)预测模型： ?a?
^(1)(k+1)=?X(0)(1)-u?e-ak+u,k=0,1,2,K,n. X?aa??
2. 模型检验
灰色预测模型的检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。
（1）残差检验
^按预测模型计算X(1)^(1)(i)累减生成X^(0)(i)，然后计算原始序列X(0)(i)与(i)，并将X
^(0)(i)的绝对误差序列及相对误差序列。 X
^(0)(i)=X^(1)(i)-X^(1)(i-1) X^(0)(i) ?(0)(i)=X(0)(i)-X
?(0)(i)φ(i)=(0)×100%,i=1,2,K,n. X(i)
（2）关联度检验
^(0)(i)与原始序列X(0)(i)的关联系数，然后计算根据前面所述关联度的计算方法算出X
出关联度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。
（3）后验差检验
a.计算原始序列标准差:S1=X(0)(i)-(0)2
b.计算绝对误差序列的标准差：S2=?(0)(i)-0)2
n-1 c.计算方差比：C=S1 S2
d.计算小误差概率：P=P?(i)-若令 ei=?(i)-(0)0)(0)0)<0.6745S1 )，S0=0.6745S1，则小误差概率为
P=P(ei<S0)
下面给出的是P、C的值及相应的模型评价。
≤0.70 C <0.35 <0.50 <0.65 ≥0.65 模型 好 合格 勉强合格 不合格
不同的预测方法可以用在不同的场合，各种时间序列方法大都是依赖大量的时间序列数据。时间序列数据间必须有明显的关系。回归分析同样需要大量的时间序列数据。灰色预测预测模型克服了以上预测方法的缺点，只需要较少的数据，便能预测不同因素时间的关联度，得出影响变量变化的主要因素。
6.4 数学模型案例：SARS疫情对某些经济指标影响问题
6.4.1 问题的提出
2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响,特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的,经济影响主要分为直接经济影响何间接影响.直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务业等行业.很多方面难以进行定量地评估,现仅就SARS疫情较严重的某市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分析.
究竟SARS疫情对商品零售业、旅游业、综合服务业的影响有多大,已知某市从1997年1月到2003年12月的商品零售额、接待旅游人数、综合服务收入的统计数据如表6-8、6-9和6-10.试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。
表6-8 商品的零售额（单位：亿元）
103.5 105.2
109.5 109.2
117.6 118.0 121.7 118.7
135.7 130.8 138.7 133.7
142.8 141.6 142.9 147.3
144.1 157.0 162.6
表6-9 接待海外旅游人数（单位：万人）
年代 1月 2月
10月 11月 12月
表6-10 综合服务业累计数额（单位：亿元）
11月 12月 1997 96
6.4.2模型的分析与假设
根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的总和（或平均值）较好地反映了相关指标的变化规律。从而我们把预测分成两部分：
(1) 利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由年的平均值预测2003年的年度平均值；
(2) 通过历史数据计算每个月的指标值与全年总和的关系，就可以预测出正常情况下2003年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS疫情实际造成的影响。
(1) 假设所给的统计数据可靠、准确的；
(2) 假设该市在SARS疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS疫情的影响有关，不考虑其他随机因素的影响。
6.4.3建立灰色预测模型GM(1,1)
由已知数据，对于年某项指标记为矩阵A=aij
x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),L,x(0)(6))，
并要求级比σ(i)=x(0)(i-1)/x(0)(i)∈(0.)（都符合要求）。对x(0)作一次累加，则 ()6×12，计算每年的年平均值，
x(1)=x(1),x(i)=∑x(0)(k)(i=2,3,L,6)， (1)(0)(1)
x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),L,x(1)(6),
取x(1)的加权平均值，则z(1)(k)=αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)(k=2,3,L6)，α为确定参数，记
z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),L,z(1)(6)),
(6.3) 得到GM(1,1)的白化微分方程模型为
+ax(1)=b，
其中a是发展灰度，b为内生控制灰度.
由x(1)(k)-x(1)(k-1)=x(0)(k)，取x(0)(k)为灰导数，z(1)(k)为背景值，则与方程（6.4）相对应的灰微分方程为
x(0)(k)+az(1)(k)=b(k=2,3,L,6) 或 x(0)(k)=-az(1)(k)+b(k=2,3,L,6). 矩阵形式为
Y(0)=B?(a,b)T，
其中Y(0)?-z(1)(2)-z(1)(3)L-z(1)(6)?(0)(0)(0)T?， =(x(2),x(3),L,x(6)),B=??1L11???
^)T=(BT?B)-1?BT?Y(0)
(aT则用最小二乘法求得参数的估计值为
于是方程(6.4)有响应(特解)
则 (1)??(0)b?b(1)-??e-ak_， a?a
x(0)b?-ak(0)-a(k-1)^(1)(k+1)-x^(1)(k)=?(k+1)=x)
(6.6) ?x(1)-??(e-ea??
由(6.6)式可以得到2003年的平均值为。则预测2003年的总值为X=12?.根据历史数据，可以统计出2003年第i个月的指标值占全年总和值的比例为u i，即
ui=∑a∑∑aij
j=1i=1j=16126ij(i=1,2,…,12)
于是2003年的每个月的指标值(预测值)为 Y=X?u.
6.4.4模型的求解
(1)商品零售额
由数据表6-8，用（6.1）和（6.2）式计算可得年平均值、一次累加值分别为
x(0)=(87.0,108.7,132.3)，
x(1)=(87.7,294.3,545.0).
计算表明，x(0)的所有级比都在可容区间内。经检验，这里取α=0.4比较合适，由（6.3）式则
z(1)=(127.7,341.7,603.9800).
由最小二乘法用（6.5）式求得a=-0.0993,b=85.5985.由（6.6）式可得2003年的月平均值为=162.8826亿元；年总值为X=12=1954.6亿元.由（6.7）式得每个月的比例为
u=(0.7,0.6,0.8,0.8,0.6,
因此2003年的各月的商品零售额的预测值为
Y=u?X=(155.2,157.8,146.4,153.6,160.1,159.9,165.2,163.8,170.5,173.2,169.3,179.9). 将预测值与实际值进行比较如表6-11.
表6-11 2003年商品的零售额（单位：亿元）
10月 11月 12月
预测值 155.2 157.8 146.4
160.1 159.9
165.2 163.8
170.5 173.2
169.3 179.9 实际值 163.2 159.7 158.4
124.0 144.1
157.0 162.6
171.8 180.7
173.5 176.5
(2) 接待海外旅游人数
由数据表6-9，用（6.1），（6.2）式计算年平均值x(0)和一次累加值x(1).取参数α=0.5， 由（6.3）式可得加权平均值z(1).由（6.5），（6.6），（6.7）式可求得
a=-0.0938,b=16.9,X=12?=363.1788,
u=(0.2,0.8,0.8,0.2,0.1,0.1) 于是2003年的全年接待海外旅游人数的预测值为357.6331（万），各月的预测值与实际值比较如表6-12.
2003年接待海外旅游人数（单位：万人）
10月 11月 12月 预测值 14.8
25.5 实际值 15.4
(3) 综合服务收入类似处理(略).
6.4.5模型的结果分析
根据该市的统计报表显示,2003年的4,5,6月的商品零售额分别为145.2,124,144.1亿元,在这之前，根据统计部门的估计4、5、6三个月份SARS疫情对该市的商品零售业的影响最为严重，这三个月估计大约损失62亿元,从我们的模型预测结果来看，4、5、6三个月的损失为60.3亿元，这个数据基本与专家的估算值相符， 8月恢复正常.这也说明了模型的正确性和可靠性。
对于旅游业来说是受影响最严重的行业之一，最严重的4、5、6、7四个月就损失100多万人，按最新统计数据，平均每人消费1002美元计算，大约损失10亿美元.全年大约损失160万人，约合16亿美元.到年底基本恢复正常。
从预测的结果可以看出，虽然下半年没有发生疫情，但人们一直担心SARS会卷土重来，所以，对这些行业还是有一定的影响的，即SARS影响的延续性的作用。
该模型虽是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似地也适用于其他方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有广泛的应用性。
【产品销量预测问题解答】（问题见本章首页）
第一步：确定模型
根据表6-1所给的时间序列数据，绘制图像，如下，
图6-2 销售数据曲线图
由图可知，该产品的销售量基本符合二次多项式的模型。
（2）计算原始数据的差分，得下表。
表6-13 差分计算表
30.5 35 5.5
39.5 38 -0.5 -1.5
一阶差分 —— 8.0
二阶差分 —— —— -1.0 -1.5 -1.0 -1.5 -1.0 -2.5 -1.0
由表6-13可知，该时间序列观察值的二阶差分大致相等，其波动范围在-2.5～-1.0之间。综合散点图和差分分析，确定选用二次多项式曲线模型进行预测。
第二步：求模型参数 模型参数计算如下表：
某产品销售量二次多项式曲线模型参数计算表 年份 04 07 10 合计
时序t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
yt 10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38 274
t 16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
t 256 81 16 1 0 1 16 81 256 708
ty -40 -54 -50 -30.5 0 38 80 118.5 152 214
ty 160 162 100 30.5 0 38 160 355 608 1613.5
设二次多项式曲线模型为：
^t=b0+ b1t + b2t2 y
由统计数据y1,y2,…,yn,令
Q（b0,b1,b2
-b0-b1t-b2t2)2
=最小值， 根据最小二乘原理，得：
=-2∑(yt-b0-b1t-b2t2)=0
=-2∑(yt-b0-b1t-b2t2)t=0
=-2∑(yt-b0-b1t-b2t2)t2=0
经整理，得：
∑y=nb+b∑t+b∑t∑ty=b∑t+b∑t+b∑t∑ty=b∑t+b∑t+b∑t
274=9b0+0+60bb1+b0+0+708b2
解此三元一次方程，可求得b0=35.05，b1=3.57，b2=-0.69。所以二次多项式曲线模型为：
=35.05+3.57t-0.69t(原点为2006年).
第三步：进行预测和确定预测的置信区间
若要预测2011年的销售量，则t=5时：
=35.05+3.57×5-0.67×5=36.15（万件）
为了确定预测的置信区间，必须计算估计标准误差，其计算过程如表6-15.
估计标准差误差计算表
yi 10 18 25 30.5 35
9.73 18.13 25.15 30.79 35.05
0.27 -0.13 -0.15 -0.29 -0.05
0.9 0.1 0.0025
09 2010 合计
38 40 39.5 38.00 ——
37.93 39.43 39.55 38.29 ——
0.07 0.57 -0.05 -0.29 ——
0.9 0.1 0.6153
^)（y-yn-3
=0.32(万件) 6
上述预测2011年销售量为36.15万件，在给定90%的概率保证程度下，其近似的预测置信区间为：
^±t0.05(6)se =36.15±1.943×0.32
即在35.53～36.77万件之间。
[1] 韩中庚，数学建模及其应用
[2]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型高等教育出版社.2003.
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