2015东北三省四市联合体二模数学理试题及答案_高考_3773考试网
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2015东北三省四市联合体二模数学理试题及答案
来源:3773高考
2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数& 学（理科）沈阳命题：沈阳市第四中学&&& 孙玉才&&&&& 沈阳市第二十中学& 　金行宝 　　沈阳市第九中学&&& 付一博&&&&& 沈阳市第一二0中学　潘& 戈　　沈阳市回民中学　　庞红全　　　沈阳市第二十八中学　陶　慧沈阳主审：沈阳市教育研究院& 王恩宾& 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ， ，则&&& （&&&& ）& （A）&&&&&& （B）&&&&&&& （C）&&&&&&&&& （D）& 2. 设复数 （ 是虚数单位），则 =（&&& ）& （A）&&&&&&&& （B）&&&&&&&&& （C）&&&&&&&& （D） 3. 已知 =1, = ，且& ，则向量 与向量 的夹角为（&&&& ）& （A）&&&&&&&&&& （B）&&&&&&&&&& （C）&&&&&&&&&&& （D） 4. 已知△ 中，内角A，B，C的对边分别为 ,若 ， ，则△ 的面积为（&&& ）（A）&&&&&&&&&& （B）1&&&&&&&&&&& （C）&&&&&&&&&&& （D）25. 已知 ， ，则函数&&& 为增函数的概率是（&&& ）& （A）&&&&&&& （B）&&&&&&& （C）&&&&&&& （D） 6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为&，则判断框中填写的内容可以是(&&& )& （A）&&&& （B）&&&& （C）&&&& （D） 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某多&& 面体的三视图，则该多面体的体积为（&&& ）& （A）&&&&&& （B）&&&&&& （C）&&&& （D）& 8. 已知直线 与抛物线& 交于 两点，点 ，若 ，则实数 （&&& ）（A）&&&&&&&& （B）&&&&&&&&&& （C）&&&&&&&&&&&&&&& （D）& 9. 对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数：① 对任意的 ，恒有 ；② 当 时，总有 成立，则下列函数不是 函数的是（&&& ）& （A）&&& （B）&& （C）&& （D） 10. 在平面直角坐标系中，若 满足 ，则当 取得最大值时，点 的坐标是（&&& ）（A）&&&&&& （B）&&&&&&&& （C）&&&&&&&&&&&& （D） 11. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 . 若函数 在点 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是（&&& ）& （A） &&& （B）& && （C） &&&&&&&& （D） 12. 若对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（&&& ）（A）&&&&&&&&&&&& （B）1&&&&&&&&& （C）2&&&&&&&&&&& （D）
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 函数 ( )的单调递增区间是__________． 14.& 的展开式中常数项为&&&&&&&&&&& ． 15. 已知定义在 上的偶函数 在 单调递增，且& ，则不等式 的解集是&&&&&&&&&&&&& ． 16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、 ，则 的值是&&&&&&&&& ．& 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)已知数列 中， ，其前 项的和为 ，且满足& .(Ⅰ) 求证：数列 是等差数列；(Ⅱ) 证明：当 时， .
&18. (本小题满分12分)　　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝ ，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点 分别为AB和PD中点.(Ⅰ)求证：直线AF 平面PEC ；(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分) 　　某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表： 学生&1号&2号&3号&4号&5号甲班&6&5&7&9&8乙班&4&8&9&7&7(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 和 ，试求 和 的分布列和数学期望.
&20.（本小题满分12分）　　已知椭圆 : 的上顶点为 ，且离心率为 .&　(Ⅰ) 求椭圆 的方程；&　（Ⅱ）证明：过椭圆 : 上一点 的切线方程为 ；　 （Ⅲ）从圆 上一点 向椭圆 引两条切线，切点分别为 ,当直线 分别与 轴、 轴交于 、 两点时，求 的最小值.
21.（本小题满分12分）若定义在 上的函数 满足 ，&， R.（Ⅰ）求函数 解析式；（Ⅱ）求函数 单调区间；（Ⅲ）若 、 、 满足 ，则称 比 更接近 .当 且 时，试比较 和 哪个更接近 ，并说明理由．
&请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲　　如图所示， 为圆 的直径， ， 为圆 的切线， ， 为切点.　 （Ⅰ）求证：& ；　 （Ⅱ）若圆 的半径为2，求 的值.
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.（Ⅰ）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；（Ⅱ）已知 ，圆 上任意一点 ，求△ 面积的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数 ．（Ⅰ）求不等式 的解集；（Ⅱ）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．&2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一．选择题（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；（9）D；（10）D；（11) A；（12）D．二.填空题（13） ；（14） ；(15)& ；（16） .三.解答题（17）解：（Ⅰ）当 时， ，&&&&&&&&&&&& …………………2分&. ，从而 构成以1为首项，2为公差的等差数列.&&&&&& ………………………………6分（Ⅱ）由（1）可知， ， .&&&&&& ………8分当 时， .& ……10分从而 . …12分
（18）解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M. ∵点F为PD中点，∴ .&& …………2分&∵ ，∴ ，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，&&& ……4分∵ ，∴直线AF 平面PEC. 　　　　 　……………6分(Ⅱ) ， .如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E( ,0,0),A( ， ，0)， ，∴ ， .& …8分设平面PAB的一个法向量为 .∵ ， ，∴ ，取 ，则 ，∴平面PAB的一个法向量为 .&&&&&&&&&&&&& …………………………10分设向量 ∵ ，∴ ，∴PC平面PAB所成角的正弦值为 .　&&&&&&&&&&& 　.…………………………12分（19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，&&&&&&&&&&&&&&&& ……………………1分甲班的方差 ，&&& …………3分乙班的方差 ，& …………5分因为 ，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定.&&&&&&& ………………6分&(Ⅱ) 可能取0,1,2&， ， ，所以 分布列为：&0&1&2P& &&
数学期望 .&&&&&&& …………………………………9分&可能取0,1,2&， ， ，所以 分布列为：&0&1&2P& &&
数学期望 .&&&&&&&&&&& …………………………12分（20）解：(Ⅰ) ， ，& ，&椭圆 方程为 .　　　&&&&&& 　 ………………………………………2分（Ⅱ）法一：椭圆 : ，当 时， ，故 ，&当 时， .　　　……………4分切线方程为 ，&， .　　…………………………6分同理可证， 时，切线方程也为 .当 时，切线方程为 满足 .综上，过椭圆上一点 的切线方程为 .　　……………………7分解法2. 当斜率存在时，设切线方程为 ，联立方程：&可得 ，化简可得：&，①由题可得： ， 　　……………………4分化简可得： ，①式只有一个根，记作 ， ， 为切点的横坐标，切点的纵坐标 ，所以 ，所以 ，所以切线方程为： ，化简得： .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& …………………………… 6分当切线斜率不存在时，切线为 ，也符合方程 ，综上： 在点 处的切线方程为 .（其它解法可酌情给分）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………………………… 7分（Ⅲ）设点& 为圆 上一点， 是椭圆 的切线，切点 ，过点 的椭圆的切线为 ，过点 的椭圆的切线为 .&&& &两切线都过 点， .&切点弦 所在直线方程为 .&&&&&&&&&&&&&& …………………… 9分&， ，&&.当且仅当 ，即 时取等，&， 的最小值为 .&&&&&&&&& ……………………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ） ，所以 ，即 ．又 ，所以 ，所以 ．&&&&&&&&&&&&&&&&&& ……………………………………4分（Ⅱ） ，&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ……………5分&，①当 时， ，函数&&&& 在 上单调递增；&&&&&&&&&& .……………6分②当 时，由 得 ，∴ 时， ，& 单调递减； 时， ， 单调递增．&& 综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．&&&&&&&&& .……………8分（Ⅲ）解：设 ，& ，& 在 上为减函数，又 ，&当 时， ，当 时， .& ， ，& 在 上为增函数，又 ，& 时， ，& 在 上为增函数，& .①当 时， ，设 ，则 ，& 在 上为减函数，& ，& ，& ，& ，& 比 + 更接近 .②当 时， ，设 ，则 ， ，& 在 时为减函数，& ，& 在 时为减函数，& ，& ，& 比 + 更接近 .综上：在 时， 比 + 更接近 .&&& …………………………… 12分&(22) 解： (1)连接 是圆 的两条切线， ，&,又 为圆 的直径， ，& , ,即得证，……5分(2) , , △ ∽△ ，&.&&&& ………………………………………………………… 10分
(23)解：（1）圆 的参数方程为 （ 为参数）所以普通方程为&&&&& …………………………………………2分&圆 的极坐标方程：&&&&&&& …………………5分（2）点 到直线 ： 的距离为&&&&&&& ………………………6分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………………………7分△ 的面积
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………………………9分所以△ 面积的最大值为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………………………10分
&(24) 解：（1） ，&&&&&&&&&&&&&&&& ………………………2分当 当 当 综上所述&& ．&&&&&&&&&&&&&&&&& ………………………5分（2）易得 ，若 ， 恒成立，&&&& 则只需 ，综上所述 ．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………………………10分
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