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关于用初等变换求向量组的极大无关组
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56解题技巧：十种求初等函数值域的方法
技巧：十种求初等函数值域的方法；【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判；【关键词】初等函数；值域；函数的值域是函数的三要素之一,掌握好求函数值域的；一观察法；观察法是最简单的求函数值域的方法,此法适用于那些；3,显然其值域为y?(??,0)?(0,??).；此法虽然简单,而且对于形式稍显复杂的函数,此法常；二分离常数法；此法常适用于那些分式形式且分
技巧：十种求初等函数值域的方法 【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法.【关键词】初等函数；值域 函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.一 观察法观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数y?3, 显然其值域为y?(??,0)?(0,??).此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.二 分离常数法此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如y?cx?d形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.例如对于函数y?x?13x?2, 利用恒等变形, 得到:11(3x?2)?1?1?y?,3x?233(3x?2)1容易观察得出此函数的值域为y?(??,1.
)?(,??)三 配方法对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.例1 求函数y?e?x2?4x?3的值域.解答: 此题可以看作是y?eu和u??x2?4x?3两个函数复合而成的函数, 对u配方可得: u??(x?2)2?1, 得到函数u的最大值u?1, 再根据y?eu得到y为增函数且y?0, 故函数y?e?x四 判别式法2?4x?3的值域为: y?(0,e].此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数f(x,y)?0的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.例2 求函数y?x?1的值域. x?2x?2 解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:yx2?(2y?1)x?2y?1?0,
(1)这是一个关于x的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式??(2y?1)2?4y(2y?1)?0,1解得: ?1.
?y?1故原函数的值域为: y?[?1.
,]五 基本不等式法22利用基本不等式a?b?2ab和a?b?2ab(a,b?0)是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取&?&成立的条件.例3 求函数y?解答: y?x?2x?1的值域.x?1?x?1??2, 当且仅当x?1时&?&成立. 故函数的值域为y?[2,??).此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例4 求函数y?x2?2x?2的值域. x?1 解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出&(x?1)&项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:(x?1)(x?b)?c?x2?2x?2,
(2)将上面等式的左边展开, 有:x2?(b?1)x?(b?c),故而b?1?2, b?c?2.
解得b?1, c?1. 从而原函数y?(x?1)(x?1)?1;
?(x?1)?11)当x??1时, x?1?0,?0, 此时y?2, 等号成立, 当且仅当x?0.1)当x??1时, ?(x?1)?0, ??0, 此时有y?(x?1)(x?1)?111???(x?1)?????(x?1)???2,
?x?1x?1x?1??等号成立, 当且仅当x??2.综上, 原函数的值域为: y?(??,?2]?[2,??).
六 换元法利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.例5 求函数y?x??2x的值域.
分析: 若设t??2x, 则x?1(1?t2)(其中t?[0,??)). 原函数变为 211y?(1?t2)?t??(t?1)2?1.22由于t?[0,??), 故y?(??,1].
七 反函数法对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.ex?1例 6 求函数y?x的值域.e?1解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题.
先证明y?xex?1有反函数, 为此, 设x1?x2且x1,x2?R,ex1?1ex2?1ex1?ex2y1?y2?x1?x2?2x1?0. x2e?1e?1(e?1)(e?1)?x所以y为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为:y?1?ln1. 此函数的定义域为x?(?1,1), 故原函数的值域为y?(?1,1).其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了.
八 图像法对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.例 7 求函数y?x??x?3的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.??2x?4,x?(??,1],?y??2,x?(1,3),?2x?4,x?[3,??),?在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为[2,??).九 利用函数的单调性当函数f在(a,b)上单调, 譬如f在(a,b)上递增时, 自然有函数f在(a,b)上的值域为(f(a?0),f(b?0))(其中f(a?0)?limf(x),f(b?0)?limf(x),当x?a?时,f(x)???也称其存在,记为??x?ax?bf(a?0)); 若f在(a,b)上递减, 函数f在(a,b)上的值域为(f(b?0),f(a?0)). 在闭区间[a,b]上也有相应的结论.例 8 求函数y?3x?6??x 的值域. 分析: 此题可以看作y?u?v和u?x?6,v???x的复合函数, 显然函数u?x?6为单调递增函数, 易验证v???x亦是单调递增函数, 故函数y?3x?6??x也是单调递增函数. 而此函数的定义域为[?2,8].当x??2时, y取得最小值?.当x?8时, y取得最大值.
故而原函数的值域为[?,30].
十 利用导数求函数的值域若函数f在(a,b)内可导, 可以利用导数求得f在(a,b)内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值. 从而求得f的值域.例 9 求函数f(x)?x3?3x在(?5,1)内的值域.分析:显然f在(?5,3)可导，且f?(x)?3x?3. 由f?(x)?0得f的极值点为2x?1,x??1.f(?1)?2,f(1?0)??2. f(?5?0)?140.所以, 函数f的值域为(?2,140).包含各类专业文献、专业论文、行业资料、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、56解题技巧：十种求初等函数值域的方法等内容。
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研究数的规律,特别是整数性质的数学分支.是数论的一个最古老的分支.它以算术方法为主要研究方法,主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等.古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱.他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究.公元前4世纪,欧几里德的《几何原本》通过102个命题,初步建立了整数的整除理论.他关于“素数有无穷多个”的证明,被认为是数学证明的典范.公元3世纪,丢番图研究了若干不定方程,并分别设计巧妙解法,故后人称不定方程为丢番图方程.17世纪以来,P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯 等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容.中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就,《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载.孙子定理比欧洲早500年, 西方常称此定理为中国剩余定理,秦九韶的大衍求一术也驰名世界.初等数论不仅是研究纯数学的基础,也是许多学科的重要工具.它的应用是多方面的,如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等.如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用.
初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论.另外还有解析数论（用解析的方法研究数论.）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）.
数论刚开始的时候是用朴素的推理方法去研究整数的性质,又以素数最令人神往.古今不知道多少数学家都为了它而呕心沥血!研究素数的性质是数论中一个非常重要的方面!
所谓素数,就是一个正整数,它除了本身和 1 以外并没有任何其他因子.素数就好象是正整数的原子一样,著名的高斯「唯一分解定理」说,任何一个整数.可以写成一串质数相乘的积.但是至今仍然没有一个一般的特别使用的式子可以表示所有的素数.所以数论里关于素数的两个著名猜想非常困难：
1哥德巴赫猜想 ：(Goldbach Conjecture)
内容为“所有的大于2的偶数,都可以表示为两个素数”
这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach,）于日在给大数学家欧拉的信中提出的,所以被称作哥德巴赫猜想.同年6月30日,欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的,但他无法证明.从此,这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”.“用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想.奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和.偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和.”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）
哥德巴赫猜想貌似简单,要证明它却着实不易,成为数学中一个著名的难题.18、19世纪,所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进,直到 20世纪才有所突破.直接证明哥德巴赫猜想不行,人们采取了“迂回战术”,就是先考虑把偶数表为两数之和,而每一个数又是若干素数之积.如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b",那么哥氏猜想就是要证明"1＋1"成立.
1900年,20世纪最伟大的数学家希尔伯特,在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一.此后,20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒,终于取得了辉煌的成果.
到了20世纪20年代,有人开始向它靠近.1920年,挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论：每一个比6大的偶数都可以表示为（9+ 9）.这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从（9十9）开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫猜想”.
1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9+9 ”.
1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7 ”.
1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6+6 ”.
1937年,意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”.
1938年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5 ”.
1940年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4+4 ”.
1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c ”,其中c是一很大的自然数.
1956年,中国的王元证明了 “3+4 ”.
1957年,中国的王元先后证明了 “3+3 ”和 “2+3 ”.
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1+5 ”, 中国的王元证明了“1+4 ”.
1965年,苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3 ”.
1966年,中国的陈景润证明了 “1+2 ”[用通俗的话说,就是大偶数=素数+素数*素数或大偶数=素数+素数（注：组成大偶数的素数不可能是偶素数,只能是奇素数.因为在素数中只有一个偶素数,那就是2.）].
其中“s + t ”问题是指: s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法,是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法.解决这个猜想的思路,就像“缩小包围圈”一样,逐步逼近最后的结果.
由于陈景润的贡献,人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了.但为了实现这最后的一步,也许还要历经一个漫长的探索过程.有许多数学家认为,要想证明“1＋1”,必须通过创造新的数学方法,以往的路很可能都是走不通的.
2孪生素数猜想：所谓孪生素数指的就是这种间隔为 2 的相邻素数,它们之间的距离已经近得不能再近了,就象孪生兄弟一样.最小的孪生素数是 (3, 5),在 100 以内的孪生素数还有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和 (71, 73),总计有 8 组.但是随着数字的增大,孪生素数的分布变得越来越稀疏,寻找孪生素数也变得越来越困难.那么会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢?
我们知道,素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏,不过幸运的是早在古希腊时代,Euclid 就证明了素数有无穷多个 (否则今天许多数论学家就得另谋生路).长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组,这就是与 Goldbach 猜想齐名、集令人惊异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想 - 孪生素数猜想：
存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数.
究竟谁最早明确提出这一猜想我没有考证过,但是一八四九年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数 2k, 存在无穷多组以 2k 为间隔的素数.对于 k=1,这就是孪生素数猜想,因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者.不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣,k=1 我们已经知道叫做孪生素数, k=2 (即间隔为 4) 的素数对被称为 cousin prime (比 twin 远一点),而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (这回该相信 “书中自有颜如玉” 了)!不过别想歪了,之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6.:-)
孪生素数猜想还有一个更强的形式,由英国数学家 Hardy 和 Littlewood 于一九二三年提出,现在通常称为 Hardy-Littlewood 猜想或强孪生素数猜想[注一].这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多组,而且还给出其渐近分布形式为：
π2(x)~2C2∫dt/(lnt)^2
其中 π2(x) 表示小于 x 的孪生素数的数目, C2 被称为孪生素数常数 (twin prime constant),其数值为：
C2=∏P(P-2)/(p-1)^2≈0....
Hardy-Littlewood 猜想所给出的孪生素数分布的精确程度可以由下表看出：
x 孪生素数数目 Hardy-Littlewood 猜想
1,000,000 8,169 8,248
10,000,000 58,980 58,754
100,000,000 440,312 440,368
10,000,000,000 27,412,679 27,411,417
很明显,Hardy-Littlewood 猜想的对孪生素数分布的拟合程度是惊人的. 如此精彩的拟合堪与自然科学史上 Adams 和 Leverrier 运用天体摄动规律对海王星位置的预言以及 Einstein 对光线引力偏转的预言相媲美,是理性思维的动人篇章.这种数据对于纯数学的证明虽没有实质的帮助,但是它大大增强了人们对孪生素数猜想的信心.
顺便说一下,Hardy-Littlewood 猜想所给出的孪生素数分布规律可以通过一个简单的定性分析 “得到”：我们知道素数定理 (prime number theorem) 表明对于足够大的 x, 在 x 附近素数的分布密度大约为 1/ln(x),因此两个素数处于区间 2 以内的概率大约为 2/ln2(x).这几乎正好就是 Hardy-Littlewood 猜想中的被积函数!当然其中还差了一个孪生素数常数 C2,而这个常数很显然正是 Handy 与 Littlewood 的功力深厚之处!
除了 Hardy-Littlewood 猜想与孪生素数实际分布之间的拟合外,对孪生素数猜想的另一类 “实验” 支持来自于对越来越大的孪生素数的直接寻找.就象对于大素数的寻找一样,这种寻找在很大程度上成为对计算机运算能力的一种检验,一九九四年十月三十日,这种寻找竟然导致发现了 Intel Pentium 处理器浮点除法运算的一个 bug,在工程界引起了不小的震动.截至二零零二年底,人们发现的最大的孪生素数是：
这对素数中的每一个都长达 51090 位!许多年来这种记录一直被持续而成功地刷新着.
好了,介绍了这么多关于孪生素数的资料,现在该说说人们在证明孪生素数猜想上所走过的路了.
迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类.第一类是非估算性的结果,这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润 (顺便说一下,美国数学学会在介绍 Goldston 和 Yildirim 成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是 “伟大的中国数学家陈”) 利用筛法 (sieve method) 所取得的.陈景润证明了：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 要么是素数,要么是两个素数的乘积.这个结果和他关于 Goldbach 猜想的结果很类似.目前一般认为,由于筛法本身的局限性,这一结果在筛法范围内很难被超越.
证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的,Goldston 和 Yildirim 所取得的结果也属于这一类.这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔,更确切地说是：
Δ := lim inf[(P(n+1)-Pn)/ln(Pn)]
翻译成白话文,这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值.很显然孪生素数猜想如果成立,那么 Δ 必须等于 0,因为孪生素数猜想表明 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立,而 ln(pn)→∞,因此两者之比的最小值对于孪生素数集合 (从而对于整个素数集合也) 趋于零.不过要注意 Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件,而不是充份条件.换句话说如果能证明 Δ≠0 则孪生素数猜想就不成立,但证明 Δ=0 却并不意味着孪生素数猜想就一定成立.
对于 Δ 最简单的估算来自于素数定理.按照素数定理,对于足够大的 x, 在 x 附近素数出现的几率为 1/ln(x),这表明素数之间的平均间隔为 ln(x) (这也正是 Δ 的表达式中出现 ln(pn) 的原因),从而 (pn+1-pn)/ln(pn) 给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值,其平均值显然为 1.平均值为 1,最小值显然是小于等于 1,因此素数定理给出 Δ≤1.
对 Δ 的进一步估算始于 Hardy 和 Littlewood.一九二六年,他们运用圆法 (circle method) 证明了假如广义 Riemann 猜想成立,则 Δ≤2/3.这一结果后来被被 Rankin 改进为 Δ≤3/5.但是这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义 Riemann 猜想,因此只能算是有条件的结果.一九四零年,Erd&s 利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ
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|A-λE| =2-λ -2 0-2 1-λ -20 -2 -λr1+(1/2)(2-λ)r2 - r30 (1-λ)(2-λ)/2 -2(1-λ)-2 1-λ -20 -2 -λ第1行提出 (1-λ),再按第1列展开 = 2 乘(2-λ)/2 -2-2 -λ2乘到第1行上2-λ -4-2 -λ= λ^2 -2λ - 8 = (λ-4)(λ+2)所以 |A-λE| =(1-λ)(λ-4)(λ+2)