第十一章 交变应力第十一章交变应力§11-1 交变应力与疲劳极限 11§11-2 影响持久极限的因数 11-目录§11-1 交变应力 疲劳极限 11动响应= 动响应=Kd ×静响应 1、构件有加速度时动应力计算 （1）直线运动构件的动应力 ） （2）水平面转动构件的动应
力KdKda = 1+ g a = n g2h ) ?st2、构件受冲击时动应力计算（1）自由落体冲击问题K d = (1 + 1 +Kd = v2 g? st（2）水平冲击问题 ）目录交变应力的基本参量在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱。 在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱。 应力谱随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化， 随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化， 应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环 应力循环。 应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环。σ一个应力循环?σσ max σ minO t目录通常用以下参数描述循环应力的特征 (1)应力比 (1)应力比 rr=σ min σ maxr = -1 ：对称循环 ；r = 0 ：脉动循环 。r & 0 ：拉压循环 ； r & 0 ：拉拉循环 或压压循环。 或压压循环。(2)应力幅 (2)应力幅?σ?σ = σ max ? σ minσ m = (σ max + σ min )1 2(3)平均应力 (3)平均应力σm一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 σm 上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。 ?σ 的对称循环应力组合构成。目录疲劳极限将若干根尺寸、材质相同的标准试样， 将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r = -1 的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅 ?σ 均不同，因此疲劳破坏所经历 的常幅疲劳试验。 均不同， 各不相同。 的应力循环次数N 各不相同。 以 ?σ 为纵坐标，以N 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应 为纵坐标， 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应 ）， 曲线如图（ 40Cr钢为例 钢为例） 力―寿命曲线即S-N 曲线如图（以40Cr钢为例） 注：由于在r =-1时，σmax = ?σ/2，故S-N 曲线纵坐标也可以采用σmax 。 /2，850σ max/MPa750 650 550 104105106107108N目录850σ max /MPa750 650 5504 5 6 7 81010101010N 从图可以得出三点结论： 从图可以得出三点结论： (1)对于疲劳， 最重要因素是应力幅? (1)对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅?σ 。 对于疲劳 (2)材料的疲劳寿命 的增大而减小。 (2)材料的疲劳寿命N 随应力幅 ?σ 的增大而减小。 (3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生， (3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅 存在这样一个应力幅 疲劳极限， 称为疲劳极限 称为疲劳极限，记为 σ-1 。目录对于铝合金等有色金属， 曲线没有明显的水平部分， 对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的水平部分，一般规定 称为条件疲劳极限 条件疲劳极限， 表示。 N 0 = 5×106 ~ 107 时对应的 σ max 称为条件疲劳极限，用σ ?10 表示。N对低碳钢， 对低碳钢，其σ b = 400 ~ 500MPa(σ -1 ) b = 170 ~ 220MPa其弯曲疲劳极限拉压疲劳极限(σ -1 ) t = 120 ~ 160MPa目录11-4. 影响持久极限的因数 111.构件外形的影响 1.构件外形的影响构件外形的突然变化，例如构件上有槽、 构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引起应力集中 缺口、轴肩等，有效应力集中因数Kσ(σ ? 1 ) d = ( σ ?1 ) Kσ max σn或Kτ =(τ ?1 )d (τ ?1 ) K理论应力集中因数Kσ =目录2.零件尺寸的影响――尺寸因数 2.零件尺寸的影响――尺寸因数 零件尺寸的影响――ε=(σ ?1 ) dσ ?1(σ ?1 ) d 光滑零件的疲劳极限σ ?1 试样的疲劳极限查看表11.1 查看表11.1 尺寸因数 3.表面加工质量的影响――表面质量因数 3.表面加工质量的影响――表面质量因数 表面加工质量的影响――β=(σ ?1 ) βσ ?1σ ?1磨削加工（试样） 磨削加工（试样）(σ ?1 )β其他加工一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。 一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面 加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。 加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对 持久极限有明显的影响。 持久极限有明显的影响。 看表11.2 看表11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数β目录第十三章 能量法§13-1 概 述 在弹性范围内， 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能， 变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能， 简称应变能。 简称应变能。 物体在外力作用下发生变形， 物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外位移上所做的功， 能在数值上等于外位移上所做的功，即 =WVε§13-2 杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩1 Fl 1 Vε = W = F ? ?l = F 2 EA 2FF l FN l = = 2 EA 2 EAFN ( x) Vε = ∫ dx 2 EA( x) l222F?l?l二、扭转m??m??2??21 M el M e l 1 T l = = Vε = W= M e ? ?? = M e 2 2 G I p 2G I p 2G I p 2 T ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l三、弯曲Vε = W 2 2 纯弯曲： 纯弯曲：= 1 M e ? θ = 1 M e M e l = M e l = M l 2 2E I 2E I 2 EI横力弯曲： 横力弯曲：V = M ( x) dx ε ∫ 2 E I ( x) l213-3 变形能的普遍表达式F3F2δ1F1δ2 δ31 1 1 Vε = W = F1δ1 + F2δ 2 + F3δ 3 + L 2 2 2即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。 总和。M (x)N (x)M (x)N (x)T (x)2T (x)2 2FN ( x)dx M ( x)dx T ( x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2 EA 2 EI 2GI P L L L所有的广义力均以静力方式，按一定比例由 增加至最终值 增加至最终值。 所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移 整个力系有关， 呈线性关系。 整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。 δ 与δiFi例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能， 能原理求自由端B的挠度。 能原理求自由端 的挠度。 的挠度F解：xM ( x) = ? F ? xM 2 ( x) F 2l 3 Vε = ∫ dx = 2E I 6 EI ll1 W = F ? wB 2Fl 3 由Vε = W，得 wB = 3EI例题：悬臂梁在自由端承受集中力 及集中力偶矩 作用。 及集中力偶矩M 为常数， 例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 0作用。设EI为常数，试求 为常数 梁的应变能。 梁的应变能。解： ⑴ 弯矩方程 B F A Me LM ( x) = M e + Fx⑵ 变形能M 2 ( x) 1 Vε = ∫ dx = ∫ ( M e + Fx) 2 dx 2 EI 2 EI L L M e2 L M e FL2 F 2 L2 = + + 2 EI 2 EI 6 EIBF A M0 L⑶ 当F和M0分别作用时 和MeL Vε 1 = 2 EIVε 2F 2 L3 = 6 EIVε 1 + Vε 2 ≠ Vε⑷ 用普遍定理FL3 M e L2 wA = (wA ) F + (wA ) M 0 = + 3EI 2 EI FL2 M e L ? A = (? A ) F + (? A ) M e = + 2 EI EI 1 1 F 2 L3 M e F 2 M e2 L Vε = W = Fw A + M e? A = + + 2 2 6 EI 2 EI 2 EI§13-4 互等定理F1δ1 δ2F2F1δ 11 δ 21δi j荷载作用点?位移发生点 位移发生点F2δ 12δ 22F1δ 11 δ 21 δ 12F2δ 22先作用F1，后作用F2，外力所作的功： 1 1 Ve = F1δ 11 + F2δ 22 + F1δ 12 2 2 先作用F2，后作用 F1，外力所作的功：1 1 Ve = F2δ 22 + F1δ 11 + F2δ 21 2 2功的互等定理: 功的互等定理F1 δ 12 = F2 δ 21若F1 = F2，则得位移互等定理: 位移互等定理δ 12 = δ 21截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度Fθ B2wC1解：由功的互等定理 F ? wC1 = M ? θ B 2得：F ? wC1Fl =M? 16 E I Ml = 16 E I22由此得：wC1例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移? C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移wC1Fθ B2解：由功的互等定理 F ? wC1 = M ? θ B 2?l? F? ? ?2? 得：F ? wC1 = M ? 2E I 2 Ml 由此得： wC1 = 8E I213-5 卡氏定理F3F2δ1F1δ2 δ3δi1 1 1 Vε = W = F1δ 1 + F2δ 2 + F3δ 3 + L 2 2 2+ ?Fi其余不变， 作用下， 若只给 Fi 以增量 ，其余不变，在?Fi 作用下，原各力作用点将 产生位移?δ , ?δ , LL, ?δ , LL1 2 i变形能的增加量： 变形能的增加量：1 ?Vε = ?Fi ?δ i + F1 ?δ 1 + F2 ?δ 2 + L + Fi ?δ i + L 2略去二阶小量， 略去二阶小量，则：?Vε = F1 ?δ 1 + F2 ?δ 2 + L + Fi ?δ i + L如果把原有诸力看成第一组力， 看作第二组力， 如果把原有诸力看成第一组力，把 ? Fi 看作第二组力，根据互等 定理： 定理：?Fi δ i = F1 ?δ 1 + F2 ?δ 2 + L + Fi ?δ i + L所以： 所以：?Vε= ?Fi ? δ i?Vε = δi ?Fi?Fi → 0?Vε = δi ?Fi变形能对任一载荷F 的偏导数，等于F 作用点沿F 变形能对任一载荷 i 的偏导数，等于 i作用点沿 i方向的位移 卡氏第二定理推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。 推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。横力弯曲：?Vε ? M 2 ( x) δi = = (∫ dx) ?Fi ?Fi L 2 EI M ( x) ?M ( x) dx =∫ ? EI ?Fi L桁架杆件受拉压：Vε = ∑j =1nFN j L j 2 EA j2n F L ?Vε N j j ?FN j δi = =∑ ? ?Fi ?Fi j =1 EA j轴受扭矩作用：?Vε T ( x) ?T ( x) δi = =∫ ? dx ?Fi L GI P ?Fi13-6 单位载荷法 莫尔积分F1 F2C?F1 F2CM ( x)M ( x) Vε = ∫ dx 2E I l2F0 = 1CM ( x)0Vε 0[ M ( x)] =∫ dx 2E I l02F1F2F0CM ( x) + M 0 ( x)[( M ( x) + M 0 ( x)] 2 Vε 1 = ∫ dx 2E I lF0 作功：Vε 0 ? ? 共做功 ? F1、F2 作功： Vε ? W1 = Vε 0 + Vε + 1 ? ? ? 1? ? F0 在?上又作功： ? ?F1 F2F0 = 1C?W1 = Vε 1[( M ( x) + M 0 ( x)] 2 Vε 0 + Vε + 1 ? ? = ∫ dx 2E I l=∫lM ( x) M 0 ( x) M 2 ( x) [ M 0 ( x )]2 dx + ∫ dx + ∫ dx 2E I 2E I EI l lM Mxx)MMx) ( x ) (( ) ( ? ? = 1∫? = ∫ E I dx dx EI l0 l0?=∫lM ( x) M ( x) dx 莫尔定理 EI 莫尔积分） （莫尔积分） M ( x) M ( x) dx EI00θ=∫l对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x)T 0 ( x) M ( x)M 0 ( x) ?=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l0注意：上式中?应看成广义位移，把单位力看成与广 义位移对应的广义力F例：试用莫尔定AxlB理计算图(a)所示 理计算图 所示 悬臂梁自由端B 悬臂梁自由端 的挠度和转角。 的挠度和转角。Ax1B1AxB解： )在B截面作用一单位力, 如图(b)所示 (1 M ( x) = ? Fx,vB =M 0 ( x) = ? x0l∫l2 3 M ( x) M ( x) Fx Fl dx = ∫ dx = (↓) EI EI 3EI 0(2)在B截面作用一单位力偶, 如图(c)所示 M ( x) = ? Fx, M ( x) = ?10θB = ∫lM ( x) M ( x) Fx dx = ∫ dx EI EI 00lFl ( = 2 EI2)§13-7计算莫尔积分的图乘法 计算莫尔积分的图乘法在应用莫尔定理求位移时， 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形 式的积分： 式的积分：M ( x)M ( x) ?=∫ dx EI l对于等直杆， 对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外， ，可以提到积分号外， 故只需计算积分M ( x)M ( x)dx ∫l直杆的M 图必定是直线或折线。 直杆的 0(x)图必定是直线或折线。 图必定是直线或折线∫ M ( x)M ( x)dxl= tgα ? ∫ x ? M ( x)dxl= tgα ? ω ? x C=ω?M CM ( x) = x ? tgαM ( x)M ( x) dx ?=∫ EI l =ωM CEI顶点顶点2 ω = lh 3二次抛物线1 ω = lh 3的挠度和转角。 例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 试用图乘法求所示悬臂梁自由端 的挠度和转角解（1）求自由端的挠度FwB = =∫lM ( x)M ( x) dx EICL FωMFlE 1 = EII ? Fl 2 2 l ? ? ? ? 2 3 ? ? ?Fl 3 (↓ ) = 3E IF(2) 求自由端的转角Flm=1? Fl 2 ? 1 ? θB = ? 1? ? EI ? 2 ? ?Fl (顺时针 ) = 2E I2例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大 转角。 转角。q 解（1）简支梁的最大挠度 ）lMql 2 / 8? 2 l ql2 5l ? 2 wmax = ? × × × ? EI ? 3 2 8 32? ? ?l/45ql = 384EI4(↓)（2）求最大转角 ） 最大转角发生在两个支座处? max2 ?2 1 ql 1? ? ×l × = × ? ? EI ? 3 8 2? ?ql / 82ql = 24 E I3例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠 试用图乘法求所示简支梁 截面的挠 度和A、B截面的转角。 度和 、 截面的转角。 截面的转角CL12TU34解：1 wC = EI?l2 M ? ? × ? ?8 2 ? ? ?2ml (↓) = 16 E Il/4θA1 = EI? ml 1 ? ? × ? ? 2 3?ml = 6E I( 顺时针 )θB1 = EI? ml 2 ? ? × ? ? 2 3?ml = 3E I( 逆时针 )例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的 试用图乘法求所示悬臂梁自由端 的 挠度和转角。 挠度和转角。CL12TU35解：1 wB = EI? l ql 2 3l ? ? × ?3 2 × 4 ? ? ? ?4ql = 8E I(↓)ql 2 2θB? l ql 2 ? 1 = × 1? ? × EI ?3 2 ?3ql = 6E I( 顺时针 )ql 2 2例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的 试用图乘法求图示悬臂梁中点 处的 铅垂位移。 铅垂位移。CL12TU36解：1 wC = EI?l2 ? ? × m? ?8 ? ? ?ml = 8E I2(↓)例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载 图示梁，抗弯刚度为 ， 及集中力X作用 荷q及集中力 作用。用图乘法求： 及集中力 作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的 值； 集中力作用端挠度为零时的X值 集中力作用端挠度为零时的 (2)集中力作用端转角为零时的 值。 集中力作用端转角为零时的X值 集中力作用端转角为零时的FCL12TU37F解：(1)ql 2 / 81 ωC = EI? Fal 2a Fa 2 2a ql 3 a ? ? ? 2 × 3 + 2 × 3 ? 12 × 2 ? ? ? ?=0ql 3 F= 8a(l + a)(2)ql / 821 θC = EI? Fal 2 Fa 2 ql 3 1 ? ? ? 2 × 3 + 2 × 1 ? 12 × 2 ? ? ? ?=0ql F= 4a(2l + 3a)3例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求 点的 图示梁的抗弯刚度为 ，试求D点的 铅垂位移。 铅垂位移。CL12TU38解：? Pa 2 2a ? Pa 3 3 ? ωC = ? 2 × 3 ?= ? EI ? EI ?例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两 图示开口刚架， 。 、 两 截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的 和沿 力作用线方向的 相对线位移 ?AB 。CL12TU39解：? AB1 1? 2 Pa 3 ? 1 1 = ? × ×2+ × ? 2 2? EI ?8 32 Pa = 3EI3θ AB = 0例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转 用图乘法求图示阶梯状梁 截面的转 角及E截面的挠度。 角及 截面的挠度。 截面的挠度CL12TU40解：θAPa ? 1 5 1 1 ? = ? × + × ? E I ? 2 6 2 6? Pa 2 + 2E I 1? ? ?2 × ? ? 2?2Pa 2 = EIPa ? 1 1 ? ωE = ? × × 2? EI ? 2 3 ?3Pa ? 3 ? + ? × 1? 2E I ? 2 ?313 Pa 3 = 12 EI例：图示刚架，EI=const。求A截面的水 图示刚架， 。 截面的水 平位移 ?AH 和转角θA 。 和转角θCL12TU41解：? AHqa 4 = EIqa 21 2 1 5 ? 3qa 4 ? (→ ) ? × + × ?= ? 4 3 3 8? 8E Iqa 2 2qa qa / 2第十四章超静定结构第十四章 超静定结构4-2 1414-3超静定结构概念 用力法解超静定结构 对称及反对称性质的利用目录14- 超静定（静不定） 14-1 超静定（静不定）结构概述 在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为： 在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为： 外力超静定系统和内力超静定系统。 外力超静定系统和内力超静定系统。 系统和内力超静定系统外力超静定： 外力超静定： 支座反力不能全由平衡方程求出； 支座反力不能全由平衡方程求出； 内力超静定： 内力超静定： 支座反力可由平衡方程求出， 支座反力可由平衡方程求出，但杆件 的内力却不能全由平衡方程求出. 的内力却不能全由平衡方程求出.目录例如PCPCaaBPlABA目录我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。 我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。 与多余约束对应的约束力为多余约束力 求解超静定系统的基本方法是： 求解超静定系统的基本方法是： 解除多余约束， 解除多余约束，代之以多余约束反力然后 根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程 进行求解。 进行求解。 解除多余约束后得到的静定结构， 解除多余约束后得到的静定结构，称为原 超静定系统的基本静定系统 相当系统。 基本静定系统或 超静定系统的基本静定系统或相当系统。 力法解超静定结构 （本章主要学习用力法解超静定结构） 本章主要学习用力法解超静定结构）目录§14-2 用力法解超静定结构 14在求解超静定结构时， 在求解超静定结构时，一般先解除多余约束， 一般先解除多余约束，代之以多余约束力， 代之以多余约束力，得到基本静定系， 得到基本静定系，再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。 再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。 变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程我们把这种以“力”为未知量，求解超静定的方法 我们把这种以“ 未知量， 称为“力法” 称为“力法”。目录例如： 例如： 该体系中多出一个外部约束， 该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁A aC解除多余支座B，并以多余约束 代替 解除多余支座 ，并以多余约束X1代替X1AaBCBFlFl若以?1 表示 端沿竖直方向的位移，则： 表示B端沿竖直方向的位移 端沿竖直方向的位移，?1 =?1F +?1X 1 = 0(*)X1ACB ? 1X 1?1F 是在 单独作用下引起的位移 是在F单独作用下引起的位移?1X1 是在X1单独作用下引起的位移 是在目录1ACB δ11对于线弹性结构，位移与力成正比， 是单位力“ 的 对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力“1”的X1倍，故? 的X1倍，即有1X 1也是 δ11? 1 X 1 = δ 11 X 1所以（ ）式可变为： 所以（*）式可变为：δ 11 X 1 + ? 1 F = 0? 1F Fa 2 =? (3l ? a) 6 EI若：l3 δ 11 = 3EI于是可求得Fa2 X1 = 3 (3l ? a) 2l目录EI=常数 常数。 例14.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。 14.1：试求图示平面刚架的支座反力。 解：? 4a 3 1 ? a 2 2a 2 ? ? δ 11 = ? 2 3 + a ? a ? = 3EI ? EI ? ?X1qB? 1P? 1 ? qa qa =? ? ? 2 ? a ? = ? 2 EI ? EI ? ?3 41aCaDa A由δ 11 X 1 + ? 1P = 0 得3qa 3qa X1 = 8a a3qa ∴ X B = 0, YB = 811qa X A = 0, Y A = 8(↓)qa 2 MA = 8(↑),(逆时针)目录qa 2 2qa 2 2例14.2：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，设梁的抗弯刚度 14.2：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，P为EI，不计轴力影响，求梁中点的挠度。 EI，不计轴力影响，求梁中点的挠度。ABC1 l 解： δ 11 = (l ? 1) = EI EI 1 ? Pl 2 ? Pl 2 ? 1P = ? ? ? 8 ? 1? = ? 8 EI ? EI ? ?l 2l 2PX1P 2由δ 11 X 1 + ? 1P = 0Pl 得X 1 = 81 Pl 4PPl 2 l Pl 3 Pl 3 ∴ wC = ? 2× 8 = (↓) 48 EI 16 EI 192 EIPl 8Pl 8ABCl 2目录l 2qqB例14.3：求图示刚架的支反力。 14.3：求图示刚架的支反力。Ca aCBa解：2 ? a 2 2a ? 2a 3 ? ? ?= δ 11 = EI ? 2 3 ? 3EI ? ?1 =? EI ? 2 qa 2 a? qa 4 ? ? 3 8 a ? 2 ? = ? 24 EI ? ? ?aAA? 1P由δ 11 X 1 + ? 1P = 0qa 得X1 = 16qa 2qa 27qa qa qa 9qa (←),YB = ∴ XB = (↑) X A = 16 (→), YA = 16 (↑) 16 16目录上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！ 上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！ 那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？ 那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？P2P2P 1P 1P3X3X2目录P3X1变形协调条件 ： 作用点沿着 ? i 表示 X i 由叠加原理： 由叠加原理：?1 = ? 2 = ? 3 = 0方向的位移 Xi? 1 = ? 1X 1 + ? 1X 2 + ? 1X 3 + ? 1P = 0? 1 = δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + ? 1P = 0同理? 2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ? 2 P = 0? 3 = δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ? 3 P = 0目录力法正则方程： 力法正则方程：?δ11 X 1 + δ12 X 2 + L + δ1n X n + ?1F = 0 ?δ X + δ X + L + δ X + ? = 0 ? 21 1 22 2 2n n 2F ? LLLLLLL ? ?δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + L + δ nn X n + ? nF = 0 ?矩阵形式： 矩阵形式：?δ11 δ12 ?δ δ 22 ? 21 ?L L ? ?δ n1 δ n 2L δ1n ? ? X 1 ? ? ?1F ? L δ 2 n ? ? X 2 ? ?? 2 F ? ? ?? ? + ? ? ? ? ?=0 L L ?? L ? ? L ? ? L δ nn ? ? X n ? ? ? nF ? ? ? ? ?δ ii 表示沿着 方向 Xiδ ij 表示沿着 方向 Xi单独作用时所产生的位移 Xi = 1 单独作用时所产生的位移 X j =1方向载荷F单独作用时所产生的位移 ? iF 表示沿着 方向载荷 单独作用时所产生的位移 Xi 目录X i = 1引起的弯矩为 ?设：? ? X j = 1引起的弯矩为 ?载荷 引起的弯矩为 ?载荷F引起的弯矩为δ ii = ∫lMiMjMF则：Mi Mi dx EIδ ij = ∫lMi M j EIdx?i FMi M F =∫ dx EI l目录1414-3 对称及反对称性质的利用对称性质的利用： 对称性质的利用：对称结构：若将结构绕对称轴对折后， 对称结构：若将结构绕对称轴对折后， 结构在对称轴两边的部分将完全重合。 结构在对称轴两边的部分将完全重合。目录对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后， 对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完 全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合， 全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的 大小也相等）。 大小也相等）。P2 P2P 1P 1目录反对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后， 反对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷 作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。 作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。P2P2P 1P 1目录PP 2P 2PP 2P 2目录对称结构在对称载荷作用下的情况： 对称结构在对称载荷作用下的情况：F X3 X2 FX1X3 X2 P P用图乘法可证明 内力等于零 在对称面上反对称内力 在对称面上反对称内力等于零。 当对称结构上受对称载荷作用时， 当对称结构上受对称载荷作用时， 可得：δ 12 = δ 21 = δ 23 = δ 32 = 0δ 11 X 1 + δ 13 X 3 = ? ? 1F δ 31 X 1 + δ 33 X 3 = ? ? 3 F δ 22 X 2 = 0目录于是正则方程可化为对称结构在反对称载荷作用下的情况： 对称结构在反对称载荷作用下的情况：同样用图乘法可证明 当对称结构上受反对称载荷作用时， 当对称结构上受反对称载荷作用时， 可得： 在对称面上对称内力等于零。 在对称面上对称内力等于零。δ 12 = δ 21 = δ 23 = δ 32 = 0δ 11 X 1 + δ 13 X 3 = 0 δ 31 X 1 + δ 33 X 3 = 0 δ 22 X 2 = ? ? 2 F目录于是正则方程可化为EI=常数 试求C 常数。 例14.4:平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力 14.4:平面刚架受力如图， 平面刚架受力如图 q 处的支座反力。 及A、B处的支座反力。a 2Ca 2解：1 ? a 2 2a ? a 3 ? ? ?= δ 11 = EI ? 2 3 ? 3EI ? ?1 ? a 2 qa 2 ? qa 4 =? ? ? ? 2 8 ? = ? 16 EI ? EI ? ?aaBAq? 1Pa 2由力法正则方程 :δ 11 X 1 + ? 1P3qa = 0得： X 1 = 16aA∴X C =3qa ，YC = 0， M C = 0 16qa 2 8 qa 2 83qa X A (→) = X B (←) = , 16qa Y A = YB = (↑ ) 2qa 2 M A (顺时针) = M B (逆时针) = 16a例14.5：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及 14.5：等截面平面框架的受力情况如图所示。 其作用位置。 其作用位置。PABa解：载荷关于对角线AC和BD反对称 载荷关于对角线AC和BD反对称 ACP Pa由平衡条件可得： 由平衡条件可得：DPCQ = P cos 45 ° =2 P 2aQaPABM max =Pa 2( M max 发生在外载荷 P 作用点处 )CPQ附录I 附录I 平面图形的几何性质附录I 附录I平面图形的几何性质§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径§I―1 静矩和形心1.静矩 1.静矩zydAzSz = ∫ y d AA, Sy = ∫ z dAAOy形心坐标： 形心坐标：zyCzOy,∫ y=Ayd A A∫ z=Azd A A静矩和形心坐标之间的关系： 静矩和形心坐标之间的关系：zyC zSz y= A Sy z= AyOS z = y A,Sy = zA轴和z轴所围成的平面图 例：计算由抛物线、y轴和 轴所围成的平面图 计算由抛物线、 轴和 形对y轴和 轴的静矩 并确定图形的形心坐标。 形对 轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。 轴和 轴的静矩，z2 ? y ? z = h? 1 ? 2 ? b ? ?Oyz y ? 1 2? 4bh 2 解： S = y ∫ 2 dA = ∫ 2 h ?1 ? b 2 ? d y = 15 ? ? A 0b 222 ? y2 ? b h S z = ∫ y dA = ∫ yh? 1 ? 2 ? d y = 4 b ? ? A 0bzh? y ? z = h? 1 ? 2 ? b ? ?2Oybdyy? y2 ? 2bh A = ∫ dA = ∫ h ? 1 ? 2 ? d y = 3 b ? A 0 ?b形心坐标为:bh 2 Sz 4 = 3b y= = 2bh A 2bh 8 3 4bh Sy 15 = 2h z= = 2bh A 5 32的位置。 例：确定图示图形形心C的位置。 确定图示图形形心 的位置解： y = S z = 10 × 120 × 5 + 70 × 10 × 45 = 19.7 mm 1200 + 700 A10 × 120 × 60 + 70 × 10 × 5 z= = = 39.7 mm A 1200 + 700 Sy轴的静矩。 例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。 求图示阴影部分的面积对 轴的静矩解：? h2 h a? b ?h ?? 2? ?a ? S y = b? ? a ? ? a + ? ? = ? ?2 ?? 4 2? 2 ? 4 ?§I-2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩zyρdAzOIz =y∫A y2dA , I y =∫A z2dA工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与 某一长度平方的乘积， 某一长度平方的乘积，即I y = A iy2或 iy =或 iz =Iy AIz AI z = A iz2分别称为平面图形对y轴和 轴和z轴的惯性半径 i y 、i z 分别称为平面图形对 轴和 轴的惯性半径二、极惯性矩zIp =∫Aρ dA22 2ydAzρOQ ρ = y +z2∴ I p = I y + Izy的惯性矩。 例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。 求图示矩形对对称轴 、 的惯性矩解：Iy =∫Abh z dA = ∫ z bdz = 12 ?h/22h/223dzz轴的惯性矩。 例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。 求图示圆平面对 、 轴的惯性矩Ip =πd432I y + Iz = I p I y = Iz惯性积zydAzOI yz =y∫Ayz d A如果所选的正交坐标轴中， 如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴 是对称轴， 是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积 必等于零。 必等于零。I yz = 0zdA dAy几个主要定义: 几个主要定义 (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐 主惯性轴 标轴y 标轴 0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0 时 称为主惯性轴。 称为主惯性轴。 因此， 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。 轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的 主惯性矩 惯性矩称为主惯性矩。 惯性矩称为主惯性矩。(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴 形心主惯性轴。 形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相 可以证明 任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。 互垂直的形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主 形心主惯性矩 惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。附录I 附录平面图形的几何性质附录I 平面图形的几何性质 附录§I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩§I-3 平行移轴公式zyazc ycCdAy = yc + a z = zc + bzcz bycOyz azcCycbOyI z = I zC + a A2平行移轴公式： 平行移轴公式：Iy = Iy +b A2CIz = Iz + a A2CI yz = I y z + abAC C例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy 求图示平面图形对 轴的惯性矩zayadz解：a ad ( 2a ) Iy = 123y?π d ? π d ? 2d ? π d ? 2d ? ? +2 ? + a? ? ? ? ? ? + ? ? 128 8 ? 3π 8 ? 3π ? ? ?4dCL6TU112 222§I-4 转轴公式主惯性轴和主惯性矩? y1 = y cosα + z sin α ? ?z1 = ? y sin α + z cos αI y1 = ∫ z1 dA2 A=∫A ( ? y sin α + z cosα )2 22dA= I z sin α + I y cos α ? I yz sin 2α=I y + Iz 2+I y ? Iz 2cos 2α ? I yz sin 2α转轴公式： 转轴公式：Iy + Iz Iy ? Iz ? + cos 2α ? I yz sin 2α ? I y1 = 2 2 ? Iy + Iz Iy ? Iz ? ? cos 2α + I yz sin 2α ? I z1 = 2 2 ? Iy ? Iz ? I y1 z1 = sin 2α + I yz cos 2α ? 2 ?主惯性轴方位： 主惯性轴方位：设正交坐标轴y 0 、z0 是主惯性轴，其方位 角为α 0 ，则I y0 z0 =I y ? Iz 2sin 2α 0 + I yz cos 2α 0 = 0tan 2α 0 = ?2 I yz I y ? Iz主惯性矩公式： 主惯性矩公式：2 ? I y + Iz ? I y ? Iz ? 2 ?I y = + ? + I yz ? 0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ?I = I y + Iz ? ? I y ? Iz ? + I 2 ? ? yz ? z0 2 ? 2 ? ?或简写成： 或简写成：I y0 I z0 = I y + Iz 2 ? I y ? Iz ? 2 ± ? + I yz ? ? 2 ?2求形心主惯性轴的位置及形心主惯性 矩大小的步骤： 矩大小的步骤： 1）找出形心位置； ）找出形心位置； 2）通过形心c建立参考坐标 yoz， ）通过形心 建立参考坐标 求出 I y , I z , I yz 。 3）求 α 0 , I y0 , I z0 ）例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位 及形心主惯性矩的大小。 及形心主惯性矩的大小。解： 将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标系ycz ? 40 × 53 ? 5 × 60 3 = 2? + 40 × 5 × 27.52 ? + I y = 2 I y1 + I y2 12 ? 12 ?= 393333 mm = 39.33 cm4 4I z = 2 I z1 + I z2? 5 × 40 3 ? 60 × 53 = 2? + 40 × 5 × 22.52 ? + 12 ? 12 ?= 256458 mm 4 = 25.65 cm 4 I yz = 2 I yz1 = 2( 40 × 5 × 27.5 × 22.5) = 247500 mm = 24.75cm4 4由2 × 24.75 tan 2α 0 = ? =? = ?3.618 I y ? Iz 39.33 ? 25.65 2 I yz得形心主惯性轴的方位角 α 0 = ?37.3° 或 52.7°形心主惯性矩的大小为： I y0 I z0 = I y + Iz 2 58.2 ? I y ? Iz ? 2 ± ? + I yz = cm 4 ? ? 2 ? 6.812
刘鸿文编材料力学第五版电子课件5―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。