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中国股市价格的跳跃与极值风险分析
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于一类有限环上的mac+williams恒等式的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：一类有限环上的mac+williams恒等式 华北电力大学硕士学位论文摘要摘要环上的编码理论是近年来编码理论研究的热点。因为某些定义于环上的线性循环码,其非线性映射的二元象是性能优秀的非线性码。该文研究了一类非常重要的环咒+乱R+…+ubl昂上线性循环码及其对偶之间的Macwilliams恒等式。该文首先定义了环R+u毋上线性码的对称重量计数多项式,然后利用环B+让B上函数的离散H鲫damard变换,建立了其上线性码与其对偶码的对称重量计数多项式之间的MacWilliams恒等式。并进一步将上述结论进行了推广,定义了环B+乱B+…+u七一1昂上线性码的对称重量计数多项式,导出了此环上线性码及其对偶码的对称重量计数多项式之间的MacWilliams恒等式。关键词: 线性码MacWilliams恒等式Hadam鲫d变换对称重量计数ABS’I’RAC’I’Codes oVer dngs have recenⅡy receiVed a great deal of interest锄ong coding廿leoristS.Because soIIle eXcellent bina巧nominea(来源：淘豆网[/p-7103029.html])r codes c锄bc obtained f幻m the bina巧images 0f melinear codes over nngs蚰dcr anoIlline盯mp.In tllis paper’tIle MacWilli锄s identit),betweenthc linear co(1e觚d its dual oVertIle ring昂+缸B+…+铲一1昂is discussed.A symmetrizedweight enum咖rof tlle linear code over tlle ring昂+u昂is defined in tllis paper.By usingme dis讹te Hadanlard traIlsfomation,a symmetrizcd Mac晰lli锄s identity between tlle linearcode孤d its dual overme渤g 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Gendailll(来源：淘豆网[/p-7103029.html])声明户忉本人郑重声明:此处所提交的硕士学位论文《一类有限环上的MacWillia麟恒等式》,是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间,在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。据本人所知,除了文中特别加以标注和致谢之处外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名:主妻!墨日期:竺!堑:兰!兰尘关于学位论文使用授权的说明本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定,即:①学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件;②学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文;③学校可允许学位论文被查阅或借阅;④学校可以学术交流为目的,复制赠送和交换学位论文;⑤同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(涉密的学位论文在解密后遵守此规定)作者签名:查!亟日期:2纽丘金:蕴、· 、导(来源：淘豆网[/p-7103029.html])师签名:王爱。垂塾..么笈驻扒日期:幽盈匿.[.幺华北电力大学硕士学位论文第一章引言纠错码是信息科学的基石之一。为了保证信息能够准确无误的被传输和存储,对数据进行纠错编码是一个必不可少的步骤。迄今为止,最为常见的纠错码都是二元纠错码。一个长为n的二元纠错码是向量空间曰的一个子集合,一个长为n的二元线性纠错码是向量空间曰的一个子空间。码中的向量们称为码字。两个码字之间互异的分量个数称为它们之间的汉明距离。一个码中码字的汉明距离的极小值称为该码的极小距离,它反映了该码的纠错能力。如果一个二元线性码的极小距离为d,那么它可以检查出d一1个错误,并且纠正其中的I簪1个。一个n长的码的码率定义为码字个数除以n后再取以2为底的对数。编码理论的一个重要问题就是在限定码字之间的极小距离为一个整数d的条件下,寻找码率最大的码【l】【2】。线性码由于容易构造、编码和译码,一直以来都是人们研究的重点。然而在1970年左右,几种二元非线性码的构造改变了人们的看法。这几种非线性码在拥有和线性码相同的长度和极小距离的情况(来源：淘豆网[/p-7103029.html])下,所包含的码字个数却达到了线性码的两倍以上!具有代表性的有Nordsto锄.Rabin码,Prepafata码,Kerdock码,Goemals码等[3】。然而这些非线性码性能虽好却有一个致命的问题就是构造、编码和译码都非常的困难。这种困难一直困扰着编码学家们。这个时候一个有趣的发现就是Preparata码的重量计数多项式是相同长度的Kerdock码的重量计数多项式的MacWiIliams交换,然而Kerdock码和Preparata码并不互为对偶码。令人震惊的成果出现在1994年。HaI砌oIls【3】等人的杰出工作表明,Kerdock码可以通过一个称为Chy映射的变换从环纽上的一个循环码得到【3】【4】,而环z4上Kerdock码的对偶码在Gray映射下的二元象是Preparata码。这说明二元域上非线性码的构造可以转化为环魂上线性循环码的构造,这大大降低了非线性码构造、编码和译码的难度。这个发现是重要的,它打开了编码理论研究的新方向一环上的编码理论。从此以后,很多编码学家们将它们的研究(来源：淘豆网[/p-7103029.html])重点从域上转移到环上来。越来越多的性能优异的非线性码被人们所发现。由于解码的过程仍然比较困难,非线性码距离实际的应用仍然有一段距离。然而,非线性码的优越性是不容质疑的,编码理论的明天正在于非线性码。本文的研究针对环上的线性码的一个重要问题:线性码及其对偶码的重量计数多项式之间的MacWilliams恒等式。我们知道衡量一个码的性能的最重要的参数是极小距离,而线性码的极小距离等于它的极小重量。码的重量计数多项式刻画了码的重量分布,是研究码的重量分布的有力工具。所谓的MacWilliams恒等式是由Macwilliams首先发现的存在于~个码及其对偶码的重量计数多项式之间的等式关系。利用MacWilliams恒等式可以很容易的从一个码的重量计数多项式得到其对偶码的重量计数多项式。这大大简化了华北电力大学硕士学位论文某些码的重量分布的研究过程。MacWilliams【5】给出了域R上线性码汉明重量的MacWilliams恒等式,l(1emm在文献[6】中把此恒等式推广到模七剩余类上,Conway和S(来源：淘豆网[/p-7103029.html])loane在文献【7】中给出了对称形式的Macwilliams恒等式。文献【8】研究了环么上对称形式的Macwilliams恒等式。文献[9】研究了环足+u局【10】上的Mac、矾lliams恒等式。据本文作者所知,这是对于形如R+缸R一类环上线性码的Mac、Mllia麟恒等式的首次研究。但是此环存在着到魂的乘法同态,它与【8】的结果基本一致,因此不具有一般性。随之而来的问题是定义在任意有限环上的Mac.Williams恒等式是否存在?环B+uB是非线性编码中最为重要的一类的环之一,包含了环见+u昂,咫+u忍等几种最为重要的环。本文研究了定义在此类环上线性码的Mac、Mllia.IIls恒等式。进而将已有的结论推广到更为一般的一类环昂+uB+…u七一1B上【ll】【12】[13】【14】上。此环常用来进行最优频率跳跃序列的构造,因此对于它的研究具有一定的现实意义。2华北电力大学硕士学位论文第二章基本概念同域相比,环的代数结构也许不够“完美&,因为环上存在着零因子。但是环是远比域普遍的代数结构,McDonald【15】曾经语言,将环做为编码研究的一般平台更为妥当。Hammons【3】等人后来的发现证实了这一点。2.1环的定义首先介绍一下我们所要研究的环T=昂+缸昂+…+钍&一1B={00+口lu+…ok—l铲一1l啦∈B,i=o,1,…七一1)其中p是素数,忌≥2,昂是一个有限域。在编码理论研究中,通常取昂为Zp,下面的论述中我们一律使用有限域乙,以下不在赘述。环R=昂+缸耳是环T当%=2时的情形。域昂上的加法和乘法用符号.‘‘0”和“0”来表示。定义环T上的加法“+”和乘法“×”为:对vx=印+口1乱+…+口七一l舻~,y=60+6lH+…+酞一1钆≈一1∈Tx十y=00 o60+(ol o 61)心+…+(口七一l o k—1)t‘知一1巧= (口0+nlu+…+口七一1钍七一1)(6jD+6lt正+…+k一1乱七一1) mod乱七=∑((吼o%))牡‘吖)mod u七tJP是T上礼元组的集合,也即是P={(zl,z2,…,z住)陬∈瓦l=l,…,n)。2m的任一个非空集合e称为丁上一个码,简称为T.码,扎是该码的长度。P上的n元组称为字,C中的n元组称为C中的码字。C7和C都是T上长为扎的码。如果C’∈C,C’称为C的子码。定义P上的加法“+&为对vx=@l,娩,…,zn),y=(y1,沈,…,‰)∈P,x+y=0l+玑,z2+蚴,…,zfI+孙)P关于上面定义的加法构成一个阶为p七n的加法交换群。P的一个子群称为?上一个佗长的线性码,称为T.线性码。对vX=(zl,z2,…,zn),y=(Ⅳ1,耽,…,‰)∈P,x和y的内积定义为:x·y=.【zlyl+z2沈+…+z几玑)3华北电力大学硕士学位论文如果x·y=0则称x,y相互正交。令C是T上一个n长的T.线性码,定义C上={x∈PIx·y=o,Vy∈C)容易验证C上也是P的一个子群,因此也是一个T.线性码,称为C的对偶码。如果C c萨,C称为是一个自正交码。如果C=萨,C称为是一个自对偶码。2.2完全重量计数和完全重量计数多项式首先我们引入完全重量计数的概念。C是n长的T.码,n是T中的一个元素,也即是o={口o+…+o七一lu七一1}8t∈0,i=O,1,…,七一1)对于VX=@l,沈,…,zn)∈P,定义x在。的重量为其中6是Kronecker函数:‰={吉竺蓁:plete wei曲t enumera的r)定义为是含有矿个未知数凰,…,耳一l+...+(p—1)铲一1的n次多项式:眠(‰,…,≮一I+..嘶_1)扩t)=∑Ⅱ群水’c∈C t∈r完全重量计数多项式通常记为:舢ec(‰,…,Xp一1+...+(p—1)u¨)=眠(弱,…,砗一1+...+扫一1)小一I)2.3对称重量计数和对称重量计数多项式如果两个T.码Cl和岛拥有完全相同的纠错能力,则将此两码视为等价的。关于码的等价的定义有多种,为了方便起见,在这里我们使用数乘等价(scalar muItiple equivalent)的定义。关于码的等价,请参阅【l】【16】。定义2.1【16】令仃是一个关于n个位置的置换。对于l=l,2,…,礼,令死:T_T表示对T中元素s乘以一个非零f也不是零因子J的刻度fsc口刎啦:mS=Qts4o如n∑汹IIXo埘华北电力大学硕士学位论文那么如下映射:p: P_Pp(c1,c2,…,岛) =(丌1(劬(1),丌2(%(2)),…,7h(%(n)))称为一个n维单调变换m.d砌册工f鲫讲mD,lD,,l湖fm,ls励册口ffD,zJ定义2.2 T上两个【Ⅳ,M】线性码cl和已称为是数乘等价的,如果存在一个n维单调变换“使得p(C1)=已这里肛(c1)={肛(c)lc∈c1)数乘等价的T一码,其完全重量计数多项式可能不同。例如环忍+u乃(环T的一种)上两个数乘等价的码cl={(o,o),(u,乱))和岛={(o,o),(2u,2u))其完全重量计数多项式分别为:粥+霹和瑚+硫。为了使得数乘等价的码拥有完全相同的重量计数多项式,我们引入“对称重量计数”的概念。首先对环T中的元素做一个划分。定义2.3划分环T中元素为如下三个集合:Do={0),Dl=订\{o),伤=r\订“示性”函数』(·)定义为:J(o)=i如果o∈皿,t=O,1,2定义2.4对称的重量计数多项式rJym,,lg毗已d M硝g胁绷HmPr口fD肚s叫ec(弱,五,尥)=伽印(墨(o),蜀(1),…,蜀(p一1+u(p—1)+...+(p—1)矿一-)命题2.1如果两个T.码岛和c2是数乘等价的,则他们拥有完全相同的对称重量计数多项式.证明由于C1和c2是数乘等价的,因此存在从cl到岛的单调变换p使得:,p(C1)=岛对vc=(c1,…,%)∈C1,在已中存在着唯一的码字p(c)与其对应:p(c)=(7rl(c口(1)),…,7rn(c矗(n)))∈已对Vs∈岛,歹=0,1,2,死s 2口{S因为Qt既不是零也不是零因子,根据Di的定义可知Qts∈岛华北电力大学硕士学位论文因此肛(c)对应的对称重量计数多项式为:因此,(巩s)=』(s)=歹V V人j(万t(≈11)))…^j(‰(c。(。)))五(郇))…■(坼))蜀(c。)…局(c,I)s叫ec。(%,墨,恐)=s叫ec2(‰,墨,五)6华北电力大学硕士学位论文第三章环R=昂+乱昂上线性码的MacWillia麟恒等式首先我们研究环R=B+缸B上的码。环R是环丁当后=2的情形,因此上面对于丁的结论对于环兄都成立。类似的,我们将环兄上的码称为R一码,口的一个加法子群称为一个R.线性码。由码C的完全重量计数多项式不难看出,它刻画了码C中码字重量分布的情况。MacWilliams恒等式是一个码和它的对偶码的重量计数多项式之间满足的等式。使用MacWilliams可以大大的简化寻找一个码的对偶码的重量分布的过程。3.1内积展开函数定义3.1定义函数7l(·)是从R=昂+乱昂到整数Z的映射,对比=a+阮:7-(z)=7I(n+乩)=o+6定义内积展开函数J(·)是从冗到复数域C的:了@)=er(童)2弧/p Vz∈R那么V)【=(。1,z2,…,zn),y=(3/1,耽,…,‰)∈兄,,(3.1)J(x·y)=‘,(z13『1)…,(zn蜘) (3.2)注:由(3.1)容易导出(3.2),并且上述内积展开是唯一的;设x=(。l,z2,…,。n),y=(爹l,沈,…,‰)∈舻,则x,y的内积为x‘y2 zl玑+z2抛+…+zn蜘记并且令其中七1,如∈Z。那么z1暑,1 2 ol+61uz2耽=口2+62uzn‰=‰+6n乱8l+口2+…+‰=8l o G2 o…0盘n+是1p61+62+…+6n=61 o 62 o…0 k+尼2p7播放器加载中，请稍候...
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