如图 ab是圆o的弦4,在⊙0中,弦ad=bc.你明多种方法证明ab=cd吗?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-30 12:49 标签： 如图ab cd是圆o的弦
已知：B，C是线段AD上的两点，且AB=CD．分别为AB，BC，CD，AD为直径作四个半圆，得到一个如图所示的轴对称图形．此图的对称轴分别交其中两个半圆于M，N交AD于O．若AD=16，AB=2r（0＜r＜4），回答下列问题：
（1）用含r的代数式表示BC=16-4r，MN=16-2r；
（2）设以MN为直径的圆的面积为S，阴影部分的面积为S阴影，请通过计算填写下表：
（3）由此表猜想S与S阴影的大小关系，并证明你的猜想．
（1）根据线段的和差关系可知：BC=16-4r，即OC=8-2r=ON，OM=AB+OB=2r+8-2r=8，所以MN=ON+OM=8-2r+8=16-2r．（2）根据圆的面积公式进行计算，可得出S=S阴影，依此填写表格．（3）利用面积公式证明．（1）16-4r，16-2r．（2分）（2）．（5分）（3）S=S阴影．证明：∵S=π（$\frac{{{16}-{2}r}}{2}$）2=π（8-r）2=64π-16πr+πr2S阴影=$\frac{1}{2}$×82π-πr2+$\frac{1}{2}$π（8-2r）2=64π-16πr+πr2，∴S=S阴影．（8分）说明：证明中S阴影，S求对一个可得（1）．结果写为π（8-r）2或其它形式不扣分．如图,在四边形ABCD中,AB‖CD,AB=2CD,E是BC的中点,DE交AC与点F,求证:DF=EF （有没有比较简便明了的方法）_百度知道
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做EM∥CD交AC于M，连接DM∵E是BC的中点∴EM是△ABC的中位线∴EM∥AB∥CDEM=1/2AB∵AB=2CD即CD=1/2AB∴CD=EM∵DC∥EM∴DCEM是平行四边形∴DF=EF
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证明：如图，作EG∥AB，交AC于G∵GE∥AB，E是BC的中点∴AB=2GE又AB=2CD∴GE=CD∵AB∥CD，EG∥AB∴GE∥CD∴CDGE是平行四边形∴DF=EF
比较简便明了的方法，有的如图补成平行四边形平行四边形的对角线互相平分DF,EF分别是各自小三角形的中位线,都等于(虚线)半条对角线的一半故相等
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出门在外也不愁如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为CD延长线上的F．求证：△ABE≌△ADF．
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如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD．（1）根据给出的条件，找出图中一对全等三角形并证明；（2）探求∠B和∠ADC的大小关系，并加以证明．
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22、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
点击展开完整题目（2004o深圳）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD为直径作⊙O′交AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F．建立如图所示的平面直角坐标系，已知A、B两点坐标分别为A（2，0）、B（0，）．&
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求证：EF为⊙O′的切线；
（3）将梯形ABCD绕点A旋转180°到A′B′C′D′，直线CD上是否存在点P，使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与直线C′D′相切？如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）连接CE，根据圆周角定理的推论得到CE⊥x轴，再根据等腰梯形的性质得到EO=BC=2，CE=BO=，DE=AO=2，即可得到C点和D点坐标；
（2）连接O′E，由半径相等得到∠O′DE=∠1，再根据等腰梯形的性质得到∠CDA=∠BAD，则∠1=∠BAD，得到O′E∥BA，于是有O′E⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）过A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N，根据中心对称的性质得到C′D′∥CD，AN⊥C′D′且AM=AN，在Rt△CDE中，CE=，DE=2，得到∠D=60°，在Rt△ADM中，
根据含30度的直角三角形三边的关系得到AM=，MN=．根据切线的性质得到PD=MN=，作PQ⊥x轴于点Q，再根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出PQ=9，DQ=3，然后分类推论：①若点P在DC的延长线上，②若点P在CD的延长线上，分别求出OQ，即可得到P点坐标．
（1）解：连接CE，如图，
∵CD是⊙O′的直径，
∴CE⊥x轴，
∵四边形ABCD为等腰梯形ABCD，
∵EO=BC=2，
∴C（）D（-4，0）；
（2）证明：连接O′E，如图，在⊙O′中，
∵O′D=O′E，
∴∠O′DE=∠1，
在等腰梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD
∴∠1=∠BAD
∴O′E∥BA
又∵EF⊥BA
∴O′E⊥EF
∴EF为⊙O′的切线．
（3）存在．理由如下：
过A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N
∵梯形A′B′C′D′与梯形ABCD关于点A成中心对称
∴C′D′∥CD，
∴AN⊥C′D′且AM=AN，
在Rt△CDE中，CE=，DE=2，
∴∠D=60°
在Rt△ADM中，
AM=ADosinD=[2-（-4）]osin60°=，
设点P存在，则PD=MN=，
作PQ⊥x轴于点Q，
∴PQ=PDosinD=6o=9，
DQ=PDocosD=6o=3，
①若点P在DC的延长线上，
∴OQ=DQ-DO=3-4，
∴P（，9）．
②若点P在CD的延长线上，
∴OQ=3+4，
∴P（，-9）．
∴在直线CD上存在点P（，9）和P（，-9），使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与直线C′D′相切．如图，AB是圆O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF平行CD，连接BC。（1）已知AB等于18，BC等于6.求弦CD的长；（2）连接BD,如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？请说明理由。
如图，AB是圆O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF平行CD，连接BC。（1）已知AB等于18，BC等于6.求弦CD的长；（2）连接BD,如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？请说明理由。
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