矩阵论中的基本原理
矩阵论中的基本原理
一、线性空间和线性变换
在数域上定义了八条计算的集合就是数域之上的线性空间。
函数也是一种数域。
A为实数（或复数）m*n矩阵，x为n维列向量。上式的所有解构成实数或复数域上的线性空间，也称为A的核空间或零空间。
若一个向量能够表示为一组向量的数乘的合，则称其可以被这一组向量线性表示，即线性组合。
线性相关、线性无关。
任何一个向量，用线性无关的向量表示，则这种表示是唯一的。否则，可证明，不唯一的表示与线性无关相矛盾。
其要点就是考察向量与数乘得到的结果之间的关系。
基与坐标、坐标变换
在对n阶多项式进行换基操作时，可直接利用麦克劳林方程。这时，某个函数就成为了n阶多项式线性空间之中的一个向量。
矩阵的核空间就是其解空间，因为矩阵具有自然基，因此求出解即可。
在某个基下的核空间的基，则因为不是自然基，因此求出解以后，还要乘以其基。
又提出了过渡矩阵，以及其的可逆性。
基，就是在数域F上，线性空间V中的，一组线性无关的，且能够表示V中的任何一个向量的一组向量。
基的个数就是线性空间的维数。
由于向量被基的线性表示的唯一性，可引入向量在某组基下的坐标表示，且具有唯一性。
因为麦克劳林展开是一个n阶多项式，而n阶多项式是线性空间。因此任何函数都可以放在线性空间中进行近似处理。
怎样求核空间的基？因为一个线性变换的核是在一个线性空间V之上的，因此其核空间就是V上的基的变换，即V上的基的一种线性组合。核空间上的基的所有线性组合，再与矩阵相乘，其值都为零。因此在相空间中，核空间的相就是一个零点。
基变换与坐标变换
所求的即b可由原始的基a通过过渡矩阵P对其列向量进行重新的线性组合而得到：
在同一个空间中的两组基之间的变换是可逆的。但是从高维度空间向低维度空间的变换是不可逆的。
坐标变换：
因为a是线性无关的基，所以：
求过渡矩阵的一般方法：
1、先求用旧的基对新的基的线性表示法
2、把这种线性表示法写成矩阵的格式。
线性子空间
不论子空间是何种维度的，它必须通过原点。
核空间可在两组基下转换。
得到的核空间是自然基中的空间。而用其乘以一个基，则成为了那个基之中的核空间。
自然基中的核空间为：
这两个空间具有相同的维度。而且其中的向量可以通过x作为过渡矩阵而一一对应。
生成子空间：任何向量都可以生成子空间。并非只有基才可以。
等价：若两个向量组之间可以相互线性表示，则称其等价。
看了介绍子空间的视频05，给我一个感觉，实际上，任何空间不仅都包含零空间，而且都来自于零空间。
这个关于空间的数学定义，可能也是我们这个宇宙所遵循的法则。那就是，任何宇宙中的空间，都来自于原点。而原点，也是一个空间。我们这个宇宙只不过是原点中不同的维度构成的空间的一种扩张。
子空间的交、和
若把空间中的向量看作集合中的元素。则子空间的交空间与两个集合的交集的意思相同。
但子空间的和并非其集合的并。而是其中任意两个向量的线性加和所生成的空间。
例如一个二维空间能够由两个线性无关的基所生成。同样的这个空间，在那两个基能够分别生成两个一维空间的时候，能够由这两个一维空间的和空间来生成。
求两空间的交空间中的基的方法：利用其定义，转化为解方程的方式，然后用解得的x乘以其中一个空间中的，那个生成子空间的几个向量。
两个方程组的交空间实际上就是其公共解所构成的空间。
维数公式：两个子空间的维数的和等于其交空间的维数加上其并空间的维数。
或者进行等式变换可以得到：两个字空间的和空间的维数等于其各自的维数的和减去其交空间的维数。
直和、补子空间
若两子空间的交空间为原点，则：
并且与以下命题等价：
设a是V1的一组基，b是V2的一组基，则a,b是V1+ V2的一组基。
直和分解、互补子空间、代数补子空间的概念。
线性空间的一个子空间一定存在其代数补子空间。
且一个子空间的代数补子空间不是唯一的。
在数域上的线性空间之中的任意两个向量，他们的合的线性映射等于他们的线性映射的和，他的数乘的线性映射等于线性映射的数乘。则称此映射为线性映射。
并定义原象与象。
恒等映射。用I或E记载。零映射，用0记载。
线性映射的记号：
在同济《工程数学》上，称为线性变换，记为：
为何要求矩阵左乘向量呢？即：
这是因为，左乘是对向量a进行行变换，不破坏其列空间的线性关系。
矩阵的行与列抓住了矛盾的两个方面之间的相互独立、相互影响的关系特点。
如果行变换是可逆的，行变换可以不改变列空间的线性结构，但列空间却依赖于行变换。既相互独立，又相互依赖。矛盾双方的地位是等同的，具有相互的独立性。但是其中一方的问题的结决依赖于另一方对整个矛盾体施加作用。
上式表示x的n阶多项式。
因此，线性映射与微积分有着密切的关系。
线性映射有一个特殊的性质，即任何线性空间都必须包含原点，并且任何原点的像依旧是原点。
例如，一个n维空间中的基可以映射到一个一维空间之上，随之，原来所需的n个坐标，变成了只需要的1个坐标。
可证明，不论对于是否可逆的映射，原来线性相关的关系，映射之后也线性相关。
在取定了一个基以后，一个具体的向量，还需要用基乘以坐标来表示。
从高维基向低维基的变换通过右乘一个矩阵得到。即增加高维基的相关性。相反则不可行。这个矩阵就是变换基用的矩阵。
线性映射的矩阵表示
线性映射由以下几部分组成：
1、原象的基
3、从原象的基向象的基进行映射的矩阵
以上的线性映射，实际上是空间向空间的映射。而如果若要获得具体的向量，就要对基进行线性组合。也就是给每一个基乘以一个具体的数，这个数，称之为坐标。
因此对于一个具体的向量还需要以下部分：
4、原象的坐标
5、象的坐标
线性映射是一种人造的函数，其映射法则，即矩阵是其关键。人可以通过改变其矩阵任意地控制其映射法则。当然是线性的。
人还可以改变其原象空间与像空间的基。
但人类不能改变其中的维数。维数是由映射法则所决定的。
上式的意思是，基的第j个向量的线性变换的结果是，象的m个向量分别与矩阵A中第j列中的数相乘，再相加的结果。实际上就是用矩阵A中的第j列对象的基进行线性组合，得到原象第j个基的线性映射。
那么这个定义是不完整的，因为不知道从原基到像基的映射。上述的是从原基到象基下的原基的映射。
A为映射A在基a与基b下的矩阵表示。
如果m小于n，但由于A是m行，n列的，因此能够得到n个向量。
因此，如果不考虑象的基，到的映射是一个不变的结果。
而如果这两个基都是不定的，那么就只有抽象的是不变的，而它的具体化的实现，则都是变换的。
比如，如果代表仿射形变，则在没有具体确定基的时候，没有一个确定的A能够描述它。只能用抽象的仿射形变来描述。
但是在确定的一对基下，矩阵表示A是唯一的。在不同的基下的矩阵表示是不一样的。
是一个向量，它被分解成为了基与坐标的乘积，即基向量按照每个基的坐标所得到的线性组合。
它的像可写为：
由于向量的加和的线性变换等于向量的线性变换的加和，所以可以把坐标提出来。
上述坐标相等关系的前提是他们在同一组基下表示。因为线性空间坐标的唯一性。
上式称为线性映射在给定基下向量坐标变换公式。
上述讨论指出了，给定一个线性变换，在给定的基下必定有一个矩阵A与之对应。其反过程同样成立。
书上的例题给出了微积分与线性变换的具体联系。
书上然后提出了两个有趣的问题：
1、线性映射在不同对基下的矩阵表示之间有什么关系？
2、对一个线性映射，能否选择一对基，使它的矩阵表示最简单。
其中第一个问题，习题之中进行了解答。而对第二个问题，则是傅里叶变换、小波分析等技术所解答的问题。
以上是条件。
在左边，代入原基的变换，在右边，代入象基的变换，就得到了下式：
此式，把新基写成了旧基的形式。根据基的线性无关，（如果把看作是坐标，则根据坐标的唯一性。）有：
此时，称A与
一般的线性空间Vn与特殊的向量空间（或）同构。什么意思？
线性映射的值域、核
同济书中，把值域称为像；
在定义了核子空间之后，核子空间的维度也就有了意义。当A可逆时，核子空间的维度为零。否则，核子空间的维数可不为零。
当核子空间的维度为零时，则有线性无关的向量的像也线性无关的规律。
当把A的值域引入基，就得到了的像空间
当把A的核引入原象的基，就得到了的核
线性变换的矩阵与线性变换的运算
称从线性空间到线性空间的映射为线性变换。
即V到V的映射。
只需要取V的一组基即可。
线性变换中的换基，由于P=Q
此时，成A与B相似，记为
线性变换的运算：
定义线性空间V中的两个线性变换的乘积，为先进行右边的变换，再对其结果进行左边的变换。
N维线性空间的同构
同构研究的是向量与列向量之间的一一对应。
同构的线性空间是可以不加区别的。维数是有限维线性空间唯一的本质特征。
线性变换的特征值与特征向量
特征向量的几何意义：变换前后的特征向量仍然共线。线性变换对&
的作用是将其变为原来的&
倍。这个倍数，即是的一个特征值。
提出问题：
在计算的特征值和特征向量时，采用某一个基下的矩阵是否有特殊的意义？
相似矩阵有相同的特征值。
因此，求的特征向量可通过它的任何一个矩阵表示的特征向量而得到。
相似矩阵具有相同的特征多项式、特征值、行列式、秩、迹。
的特征值的全体称为它的谱。
特征向量加上零向量构成n维向量空间的一个子空间，称为特征子空间。用表示
说到特征值与特征向量。特征向量会出现复数。
线性变换的不变子空间
矩阵的相似对角形
-矩阵与矩阵的Jordan标准形
好像是一种函数矩阵。
内积空间、正规矩阵、Hermite埃米特矩阵
借助于内积把长度、夹角、正交等概念吧度量概念引入。
欧式空间、酉空间
设V是实数域R上的n维线性空间，对V中的任意两个向量&
依一确定法则对应着一个实数，这个实数称为内积，记作（&,
&）。并且要求内积（&, &）满足下列四个条件：
（1）（&, &）=（&, &）
（k&, &）=k（&, &）
（3）（&+&, v）=（&, v）+（v, &）
（&, &）&0，当且仅当&
=0时（&, &）=0
这里的&, &,
v是V中任意向量。称定义有这样内积的n维线性空间为n维欧几里得空间，简称n维欧式空间。
设V是复数域C上的n维线性空间，对V中的任意两个向量&
依一确定法则对应着一个复数，这个复数称为内积，记作（&,
&）。并且要求内积（&, &）满足下列四个条件：
（1） 其中上划线表示共轭
（k&, &）=k（&, &）
（3）（&+&, v）=（&, v）+（v, &）
（&, &）&0，（为非负实数）当且仅当&
=0时（&, &）=0
这里的&, &,
v是V中任意向量。称定义有这样内积的n维线性空间为n维复欧几里得空间，简称n维复欧式空间，或简称V为n维酉空间。
欧式空间与酉空间通称为内积空间，欧式空间可作为酉空间的特例。
度量矩阵：
由酉空间中的任意两组基的内积按照矩阵排列形成的矩阵。
复共轭转置矩阵
埃米特矩阵：可理解为复空间上的对称矩阵。
反埃尔米特矩阵：
酉空间的度量矩阵是埃米特矩阵
酉空间的度量
模的性质：
1、模大于零，仅当向量为零时等于零
2、向量的数乘的模等于数乘以向量的模。
3、三角不等式：两个向量加和的模小于等于其模的加和
4、内积不等式：两向量的内积的绝对值小于等于各自的模的积
标准正交基、施密特方法
定义了正交向量组
任何一个向量是单位向量，则说向量组是标准正交向量组
定义了正交基、标准正交基。即单位的正交向量。
对于标准正交基：
且标准正交基不是唯一的。
酉变换、正交变换
若n阶复矩阵A满足
则称A是酉矩阵。记为：
有以下性质：
定义了酉阵，再来看正交阵：
若n阶实矩阵A满足
则称A是正交矩阵，记为：
有如下的性质：
设A是复矩阵，则A是酉阵（正交矩阵）的充要条件是A的n个列（或行）向量是标准正交向量组。
标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。
酉变换、正交变换
例如在通常的三维空间中绕原点转动或对称变换等，都是重要的酉变换。
根据其定义，酉变换就是对于n维酉空间V中的任意两个向量，其变换后的内积与变换前的内积相等的变换。可理解为酉变换是不改变酉空间中的内积结构和性质的变换。
这个变换在欧式空间之中，称为正交变换。
变换这种操作，既可以理解为是对向量的变换，也可以理解为是对观察角度的改变。
尤其是对于酉变换，完全等价于从不同的角度观察一个不变的几何体的过程。
酉变换的等价性质：
1、酉变换对任意的向量不改变其模；即酉变换是等距变换，&, & 
之间的距离保持不变。
2、酉变换将标准正交基变换到标准正交基
3、酉变换的矩阵是酉矩阵
幂等矩阵、正交投影
与左上角为单位的矩阵相似的矩阵是幂等阵
投影变换是一个幂等矩阵
正交补、正交投影
定义了正交子空间。并且定义了正交和符号
其实就是正交子空间中的直和
同济的书上，对两个垂直的字空间S与T之间的定义使用了&
符号。而正交投影实际上就是在正交空间上的投影。
正交投影是一种线性变换
定义了次酉矩阵
对称与反对称变换
对欧式空间V中的任意两个向量，定义了对称变换
即一个向量在变换之后与另一个向量的内积等于这个向量与另一个向量经过变换的内积相等。
为对称变换
对于一个欧式空间V上的对称变换，如果W是其不变子空间，则其正交补也是其不变子空间。
讨论与猜想：由于酉矩阵是与单位阵相似的，因此n维空间中的酉矩阵应当有n个相互垂直的特向量，且其特征值均为1。旋转酉变换的特征向量应当在复空间之中。
投影变换则属于次酉变换，其不变子空间缩小了，但是其正交补还是不变子空间。
Schur引理、正规矩阵
如果在线性变换中理解它，则A与B
在用酉矩阵更换了基以后是一样的。因此仅仅需要对坐标，或几何进行旋转操作，则他们就完全一样了。
定义了正规矩阵：
即，一个矩阵与它的复共轭转置矩阵的乘积等于它的复共轭转置矩阵与它的乘积，则称此矩阵为正规矩阵。
相应地在实正交空间中定义了实正规矩阵。
讨论：A是正规阵的充要条件实际上，就是它与一个对角阵在复共轭转置矩阵的作用下合同和相似。
是A的特征值。
U的求法和线性代数中把一个实对称阵A变为一个对角阵的方法是相同的。
1、求特征行列式的根
2、对每一个相异的特征值，&
求其特征子空间
3、用施密特正交化与单位化方法，求正某个特征子空间的标准正交基
4、命酉矩阵等于这些个标准正交基的矩阵。
 这里要呈请，埃米特操作与埃米特矩阵是不同的。
一个埃米特矩阵，他的埃米特操作是其本身。
显然，正规矩阵并非是埃米特矩阵。
设A是正规矩阵，则：
1、A是埃米特矩阵的充要条件是A的特征值是实数
2、A是反埃米特矩阵的充要条件是A的特征值的实部为零，即A的特征值全部为虚数。
3、A是酉矩阵的充要条件是A的特征值的模长等于1
正规阵到底是什么？
埃米特变换、正规变换
埃米特变换的定义：
在酉空间V中，的一个线性变换
，对任意的& , &
为V的一个埃尔米特变换，或称自伴变换。
实际上就是欧式空间中对称在酉空间中的扩展。
埃米特矩阵、埃米特二次齐式
Hermite矩阵是特征值全为实数的正规矩阵，是实对称矩阵的推广，并有相似之处，它在物理、力学及工程中有广泛应用。
对于给定的n阶矩阵；
二、二次齐式
可以把系数为复数的二次齐次复多项式化为标准式。
正定二次齐式、正定埃尔米特矩阵
正定二次齐式是一类十分重要的二次齐式。
把一个矩阵分解的目的，就是要对其进行线性变换，从而通过旋转，把图形放置在一个合适的坐标之中，从而对其进行观察。
整个矩阵理论所做的事情都是这个目的。
复数是很有意思的，因为当数学觉得自己原来的那些数无法满足计算的要求的时候，它自己就突破了自己的限制，自己产生了复数。
艾尔米特矩阵偶在复相合下的标准形
此处的相合，与同济书上的合同，其实是同一个术语。
即，研究两个艾尔米特矩阵与对角矩阵复相合。即，两个艾尔米特齐次式能够化简形成同样的标准形。它在振动理论、物理及其他工程中有重要的应用。
有着广义特征向量。
N个特征主向量构成的矩阵称为A相对于B的主矩阵。
可见，复空间上的矩阵理论与实空间上的矩阵理论并无本质的区别。仅仅是，复空间的矩阵理论更加一般化了。
Rayleigh商
它可用于研究艾尔米特矩阵特征值的摄动定理，即讨论矩阵的元素发生微小变化时对应矩阵特征值的变化范围。
            
所谓满秩分解，本质上就是把矩阵分解为一个列满秩的&原实基&B，和一个行满秩的，原实基为单位向量的，与原矩阵A行等价的矩阵的乘积C。
LU分解，也称为矩阵的正交三角分解
求LU分解的一种方法是：先求出
的特点：下三角，且对角线上都是1。
的特点：较小的下三角取负数。
还有类似的LDU分解：A=LDU，其中D是一个对角矩阵。
这时有一个技巧，就是先计算出
，再用负号相反的规律得到，然后再把相乘。在进行这样的相乘的时候，不用进行计算，仅需要把上的数字写到其相乘的结果L的相对应的位置上即可。
有行变换的LU分解。
行变换矩阵的逆等于其转置。并且他们构成一个群。
看了一下wiki中的群的词条，感觉群就是在研究一个像魔方一样的，由于运动而发生变化的一个群内部的固定的联系。在没有群这个概念之前，我们会从表面出发，分别不同的事物。我们会把一个群中的不同事物当作单独的对象来认识。
但有了群以后，我们只需要认识那个整体。其内部只是由数学规律所联系的一种运动。
置换矩阵是所有调换了行的位置的单位矩阵
Doolittle分解中的下三角矩阵乘法规律
在Doolittle分解中，有一种下三角矩阵相乘能够直接写结果的情况。但是这种情况是有条件的：
例如上面的四阶矩阵，只有当含有a, b, c, d, e,
f的矩阵按照这样的顺序排列的时候，他们的乘积才能够直接按照其位置写在其乘积的矩阵的相应位置。
奇异值分解
奇异值分解也叫SVD分解，即为Singular Value
Decomposition
只是不同的书上的记法不同。
范数、序列、级数
这种定理说明，各种范数虽然定义不同，但本质上仅的差异可以用两个常数来度量。
有趣的定理：
矩阵范数等价性定理：
任意两种范数有：
范数符合的右下角标志的意思是区别范数的类型。
诱导范数的定义为：
其中是向量范数，是经过线性变换后的向量范数，则称是诱导范数，也称算子范数。
有趣的定义：
谱半径，A属于复数矩阵，其n个特征值的绝对值中的最大者为A的谱半径。
矩阵序列和极限
矩阵序列的定义。
矩阵序列收敛于A的充要条件是：
其中为任何一种范数
矩阵幂级数
矩阵基数仿佛就是把m&n个基数写成矩阵。再把矩阵当作单位进行排列。
矩阵幂级数，则是矩阵的各个幂次乘以某个常数，的加和。
矩阵的测度
矩阵的测度是矩阵的范数的应用。
设，是给定的算子范数。如果极限
存在，那么称&
(A)是矩阵A关于范数的测度。
矩阵多项式、最小多项式
矩阵函数及其Jordan表示
矩阵函数的内插多项式表示与多项式表示
矩阵函数的幂级数表示
矩阵指数函数与矩阵三角函数
函数矩阵与矩阵微分方程
函数矩阵、函数向量有不同于常数矩阵、常数向量的特殊性质。
函数矩阵有什么用呢？
函数矩阵对纯量的导数与积分
函数向量的线性相关性
矩阵微分方程
线性向量微分方程
矩阵的广义逆
广义逆矩阵
广义逆与线性方程组
第九章 Kronecker积
Kronecker积的定义与性质
函数矩阵对矩阵的导数
Kronecker积的特征值
矩阵的列展开与行展开
线性矩阵代数方程
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。matlab 对矩阵各元素进行二元二次线性方程组的求解，用到for循环，但一直报错出不来结果，why？_百度知道
matlab 对矩阵各元素进行二元二次线性方程组的求解，用到for循环，但一直报错出不来结果，why？
50 14 28;bAr=zeros(Si).程序代码如下ar=[2。拜托了比较着急,j)=abs(bAr(i;);
26 88 95];（15^2)&#39,5,j)-41，无法对元素赋值,'aAr=zeros(Si);
9 -44 -15],j)-41,bAr(i;Si=size(ar);0 & abs(Hr(i,8，对矩阵中的每一个元素有一组二元二次线性方程组的对应关系,j)^2*(Hr(i;，一直调试报错aAr和bAr都还是零矩阵,-9,j)^2+bAr(i;Sr=[10 25 36,j)]=solve(&#39,-6,j)=-abs(aAr(i,j)&lt,j)-172)^2=125^2+172^2&#39,-7。麻烦高手指正一下问题在哪儿,j)^2=Sr(i,j);aAr(i,4]:Si(1)
endend最后需要的是矩阵aAr和bAr中的每个元素的值;for i=1，要求出aAr和bAr,j)-125)^2-(bAr(i;Hr=[30 31 32;
for j=1,j));br=[8 9 2;(aAr(i;
71 48 39];
aAr(i已知ar br Sr Hr为3*3矩阵;=15
[aAr(i.6)^2&#47
提问者采纳
j)^2+bAr(i.6)^2&#47,&#39,j)^2-Sr(i,bAr(i,j)-172)^2=125^2+172^2&#39,j)-125)^2-(bAr(i;,j)]=solve(&#39,j)-41！[aAr(i，不过还是要把变量名进行修改,j)^2*(Hr(i原来的方程有问题;(aAr(i;aAr(i;(15^2)=0')，这个OK,j)
你好，我照你上面的进行了修改还是报错 警告为2 equations in 1 variables 和Subscripted assignment dimension mismatch.，且solve这一行还是有错，问题在哪儿呢？你们说的这个字符串处理是什么意思咧？aAr和bAr是先申请为3*3的零矩阵，通过求解方差组再对矩阵中的每个元素进行赋值，但一直都赋值不上，麻烦你可以再帮我看看么?非常谢谢
Subscripted assignment dimension 这个是指维数不匹配，警告的话说明你某个方程没有被列入，但比较奇怪的是为何变为1个变量了。这个觉得你还是需要把你的问题描述记录清楚，不然别人没法解决的。
追问限制字数 我一直提交不了 所以发了私信，先谢谢你啦
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aAr(i,j)^2*(Hr(i.6)^2&#47,j)-41,j)^2+bAr(i,j)^2=Sr(i,j)-125)^2(bAr(i,',j)-172)^2=125^2+172^2&#39,j);(aAr(i[aAr(i,j)]=solve(&#39,bAr(i;
aAr(i,j)-125)^2(bAr(i;（15^2)');(aAr(i,j)只是当做一个字符串处理了,j)-172)^2=125^2+172^2' 中 &#39
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出门在外也不愁化二次型为标准型求出原矩阵的特征值不就可以化为标准型了吗？为什么还要构造一个正交阵，也没用上啊?谢谢_百度知道
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能做这道题的，应该是数学系激礌篙度蕻道戈权恭护学习高等代数的。而且已经不是第一学期了。如果是非数学专业，应该是相当好的学校的重要理工科。因此，我只是说思路，如果听不懂可以追问. 首先，根据现行空间分解理论（现行空间可以按照特征值分解成根子空间的直和——注意，是根子空间，体现几何维数）因此，任何一个矩阵可以通过正交变换化成正交标准型，正交矩阵的正交标准型为准对角型矩阵，如果特征值为1或者-1，则只包含对称块，因此实对称矩阵。
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有谁知道什么是高阶矩阵
一、 矩阵的特征值 若矩阵右乘1个矢量后得到的新矢量恰好与原矢量成比例，则称该比例常数为这个矩阵的1个特征值，称该矢量为对应于这个特征值的特征矢量。例如有矩阵A A= 具有性质： =4× 表明矩阵A有1个特征值为4，相应特征矢量为（2 1 0）T。 矩阵A的特征值 和对应的右特征矢量q的代数方程是： A·q= ·q, 该方程是可相乘的，所以A必定是方阵，因此只有方阵才有特征值。 当A是n阶方阵时，上述方程的一般形式为： （A- ·I）·q=0 任何非平凡解（q=0为平凡解）都必须满足： =0 此特征方程有一般形式： 据此求解特征值的方法并不是一个好方法。 特征值具有下列性质： （1） 特征方程可以分解因式为： （A-3） 即n阶矩阵有n个（可相等也可不相等）特征值。 （2） 矩阵对角元素之和称叫该矩阵的迹（trace）,记作tr（A）： tr(A)= ， 即矩阵特征值的和等于该矩阵的迹。 （3） ， 即矩阵特征值的乘积等于该矩阵行列式的值。如果矩阵是奇矩阵，则矩阵中至少有一个特征值为0。 （4） 矩阵行列式的值与它的转置矩阵的行列式值相等，因而转置矩阵有相同的特征值。 （5） 一个实矩阵得到的特征方程必定有实系数。因此实矩阵的特征值必定是实数或是共轭复数。 （6） 实对称矩阵A的所有特征值都必定是实数。这也就是说可用实数形式写出其特征矢量。 （7） 三角矩阵的行列式值是其对角元素的乘积。如果A是三角阵，则： 与式（A-3）比较可见，三角矩阵的特征值（对角矩阵也同样）等于其对角元素。 （8） 如果矩阵的行及对应的列之间同时交换，则其特征值保持不变。 （9） 如果矩阵某行乘以f且对应列乘以1／f，则矩阵的特征值不变。 二、 矩阵的特征矢量 除亏损矩阵（矩阵有2个或更多个相等的特征值只对应一个左或右特征矢量）外，矩阵的每个特征值都独立对应一个满足方程：A·q= ·q的右特征矢量。可用消去法求解每一个特征矢量。例如上述方程式中 =1时的右特征矢量求解如下： = 化为上三角矩阵后，得：q1=q2=2q3。由于方程 ，奇异，方程有无穷多组解，又右端项为0，齐次，必定有解。故任何一个矢量q满足A·q= ·q时，则该矢量的某个倍数也一定满足。 求解一个高阶非对称满秩矩阵的每个特征矢量大约需n3/3次乘法，计算量很大。 可以把全部特征值及对应的右特征矢量组合成一个标准特征值方程： A(q1 q2 … qn)= (q1 q2 … qn) ， 即AQ=QA。同理，也有左特征矢量。 A和AT具有同样的特征矢量。对于每一个与A的某一个特征矢量对应的特征值也都有AT的一个特征矢量p,使得： ATp= ·p 转置该方程。特征矢量p可看作是A的一个左特征矢量： pTA= ·pT 矩阵方程式A·q= ·q,的全部特征值解列于表A-1中。 表A-1 特征值和左右特征矢量 左特征矢量 特征值 右特征矢量 （7 –10 6）T 4 （2 1 0）T （-1 2 -1）T 1 （2 2 1）T （1 –2 2）T -8 （-2 1 4）T 对称矩阵的转置仍是它自身。左右特征矢量相同，不必加以区分。表A-2为一例，其特征矢量一已数乘，使最大元素之值为1。 表A-2 对称矩阵的特征值和特征矢量 矩阵 特征值 右特征矢量 92-1 （1 1 1）T（1 –1 0）T（-0.5 –0.5 1）T 三、 对称矩阵特征矢量的正交性条件 设qi和qj是某一对称矩阵A的特征矢量，对应于不同的特征值 和 ，则 和 转置第2个方程： 。经简单变换后有： 和 ， 因为 ，因此2个方程能相容的唯一可能是： 。其中 ，称为特征矢量的正交性条件。 如果把每个特征矢量都乘以适当倍数使下式成立： 。 先不考虑有相同特征值的可能性，正交条件组合成： 用Q表示特征矢量的集合，即Q= ,则有： QTQ=I=QQT。 任何满足该方程的实矩阵Q称正交矩阵。 正交矩阵具有重要性质：Q-1=QT。因此，Q不是奇异的。 任何矢量都可以表示成一个对称矩阵的特征矢量的线性组合： ， 即： X=QC 故 C=QTX。 由正交条件可知： AQ=QA (QTQ=I)， A=QAQT
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矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一，它在数值计算中有广泛的应用。若A和B是2个nn的矩阵，则它们的乘积C=AB同样是一个nn的矩阵。A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为: 若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素C[i,j]，需要做n个乘法和n-1次加法。因此，求出矩阵C的n2个元素所需的计算时间为0(n3)。 60年代末，Strassen采用了类似于在大整数乘法中用过的分治技术，将计算2个n阶矩阵乘积所需的计算时间改进到O(nlog7)=O(n2.18)。 首先，我们还是需要假设n是2的幂。将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成为4个大小相等的子矩阵，每个子矩阵都是n/2n/2的方阵。由此可将方程C=AB重写为:
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