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华附新世界学校2014年初一新生暑假作业
责任编辑：suke
亲爱的同学们：
欢迎你成为“华新”大家庭的一员，这里有新的环境、新的面孔、新的标准、新的生活方式。为了你能更好、更快地适应初中的学习生活，希望同学们利用假期巩固小学阶段学业和练就学习的基本功，完成书法作业、阅读名著2、3本（可参考推荐的书目），并且复习小学英语课文，做数学练习题，熟读熟记初一年级1—5单元单词。下学期初，将结合你暑假读书和复习，开展读名著现场作文竞赛和英语单词竞赛，请你按要求完成暑假作业，祝愿你假期快乐！
华师附中新世界学校教学处
书法作业：
1、使用司马彦或田英章楷书钢笔字帖进行硬笔书法练字。
2、使用“硬笔书法纸”中的“米字格”或“田字格”（规格：A4纸）每周临摹2页，共16页。开学时当作作业交到班主任处。
注意事项：
书写要正确，规范，结构合理，字体美观，笔锋有力，卷面整洁。
书写楷书，行款整洁，并且有一定的速度。
推荐阅读书目（外文书译者不限）
1、《三国演义》罗贯中著；
2、《水浒传》施耐庵著；
3、《童年》（苏）高尔基著；
4、《格兰特船长的儿女》（法国）凡尔纳著；
5、《爱的教育》（意大利）亚米契斯著；
6、《海底两万里》（法国）儒勒·凡尔纳著；
7、《骆驼祥子》老舍著；
8、《钢铁是怎样炼成的》（前苏联）奥斯特洛夫斯基著；
9、《福尔摩斯探案集》（英国）柯南道尔著；
10、《居里夫人》（法国）艾夫·居里著；
11、《昆虫记》（法国）法布尔著；
12、《假如给我三天光明》（美国）海伦·凯勒著；
13、《名人传》（法国）罗曼·罗兰著；
14、《莎士比亚戏剧故事》（英国）兰姆姐弟改写；
15、《中国科学院院士自述（青少年版）》上海教育出版社编。
2、解决下列问题
（1）一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
（2）一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
（3） 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
（4） 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
（5） 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
（6）小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
（7）一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
（8）四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
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日期：2015 年 05 月 29 日
用时: ____
得分: ____
小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
算式：提示1R:b5P5z4P'Q0G/|
答：小亮的速度是每秒米。
数学六年级下册应用题习题
数学六年级下册习题
数学六年级下册题型
各年级数学习题小学数学概念、定律、公式、问题和单位换算 方程、代数与等式 等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 方程式：含有未知数的等式叫方程式。 一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方 程式的例法及计算。即例出代有 χ 的算式并计算。 代数： 代数就是用字
母代替数。 代数式：用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c分数 分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较； 若分子相同，分母大的反而小。 分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再 加减。 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后 再加减。倒数的概念：如果两个数乘积是 1，我们称一个是另一个的倒数。这两个数互为倒数。1 的倒数是 1，0 没有倒数。 分数除以整数（0 除外），等于分数乘以这个整数的倒数。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0 除外），分数的大小。1分数的除法则：除以一个数（0 除外），等于乘这个数的倒数。 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于 1。 带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0 除外），分数的大小不变。比 什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5 或 3:6 或 1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同 的数（0 除外），比值不变。 什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如 3:6＝9:18 比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。 解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如 3:χ ＝9:18 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商 k） 一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k( k 一定)或 kx=y 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这 两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。 如：x×y = k( k 一定)或 k / x = y百分数 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只 要把这个小数乘以 100％就行了。把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。其 实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以 100％就行了。 把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。2倍数与约数 最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。公因数有有限个。其中最大的一个叫做这几个数的 最大公约数。 最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数有无限个。其中最小的一个叫做这几个数的 最小公倍数。 互质数： 公约数只有 1 的两个数，叫做互质数。相临的两个数一定互质。两个连续奇数一定互质。1 和任何数 互质。 通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。（通分用最小公倍数） 约分：把一个分数的分子、分母同时除以公约数，分数值不变，这个过程叫约分。 最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。分数计算到最后，得数必须化成最简分数。 质数（素数）：一个数，如果只有 1 和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。 合数：一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1 不是质数，也不是合数。 质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相成的方式表示出来叫做分解质因数。倍数特征： 2 的倍数的特征：各位是 0，2，4，6，8。 3（或 9）的倍数的特征：各个数位上的数之和是 3（或 9）的倍数。 5 的倍数的特征：各位是 0，5。 4（或 25）的倍数的特征：末 2 位是 4（或 25）的倍数。 8（或 125）的倍数的特征：末 3 位是 8（或 125）的倍数。 7（11 或 13）的倍数的特征：末 3 位与其余各位之差（大-小）是 7（11 或 13）的倍数。317（或 59）的倍数的特征：末 3 位与其余各位 3 倍之差（大-小）是 17（或 59）的倍数。 19（或 53）的倍数的特征：末 3 位与其余各位 7 倍之差（大-小）是 19（或 53）的倍数。 23（或 29）的倍数的特征：末 4 位与其余各位 5 倍之差（大-小）是 23（或 29）的倍数。 倍数关系的两个数，最大公约数为较小数，最小公倍数为较大数。 互质关系的两个数，最大公约数为 1，最小公倍数为乘积。 两个数分别除以他们的最大公约数，所得商互质。 两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 两个数的公约数一定是这两个数最大公约数的约数。 1 既不是质数也不是合数。 用 6 去除大于 3 的质数，结果一定是 1 或 5。奇数与偶数 偶数：个位是 0，2，4，6，8 的数。 奇数：个位不是 0，2，4，6，8 的数。 偶数±偶数＝偶数 奇数±奇数＝奇数 奇数±偶数＝奇数 偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。 偶数×偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数 相临两个自然数之和为奇数，相临自然数之积为偶数。 如果乘式中有一个数为偶数，那么乘积一定是偶数。 奇数≠偶数 小数 自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0 也是自然数。 纯小数：个位是 0 的小数。 带小数：各位大于 0 的小数。4循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循 环小数。如 3.141414 不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循 环小数。如 3. 无限循环小数：一个小数，从小数部分到无限位数，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫 做无限循环小数。如 3.141414?? 无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样 的小数叫做无限不循环小数。如 3.??算术定律 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：a + b = b + a 3、乘法交换律：a × b = b × a 4、乘法结合律：a × b × c = a ×(b × c) 5、乘法分配律：a × b + a × c = a × b + c 6、除法的性质：a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c) 7、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0 除以任何不是 0 的数都 得 0。 8、简便乘法：被乘数、乘数末尾有 0 的乘法，可以先把 0 前面的相乘，0 不参加运算，有几个 0 都落下，添在 积的末尾。 9、有余数的除法： 被除数＝商×除数+余数四则运算规则 1. 加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+a 。 2. 加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不5变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 a×b=b×a。 4. 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积 不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 减法的性质： 从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即 a-b-c=a-(b+c) 。 7.除法的运算性质： 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。即 a÷(b×c) = a÷b÷c数量关系计算公式 1、 每份数×份数＝总数 2、 1 倍数×倍数＝几倍数 3、 速度×时间＝路程 4、 单价×数量＝总价 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 几倍数÷倍数＝1 倍数几倍数÷1 倍数＝倍数路程÷速度＝时间 总价÷单价＝数量路程÷时间＝速度 总价÷数量＝单价 工作总量÷工作时间＝工作效率5、 工作效率×工作时间＝工作总量 6、 加数＋加数＝和 7、 被减数－减数＝差 8、 因数×因数＝积 9、 被除数÷除数＝商工作总量÷工作效率＝工作时间和－一个加数＝另一个加数 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数积÷一个因数＝另一个因数 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数数学图形计算公式 1 、正方形 C：周长 S：面积 a：边长 1) 周长＝边长×4 2) 面积=边长×边长 C=4a S=a×a62 、正方体 V：体积 a：棱长 1) 表面积=棱长×棱长×6 2) 体积=棱长×棱长×棱长 3 、长方形 C：周长 S：面积 a：边长 1) 周长=(长+宽)×2 2) 面积=长×宽 4 、长方体 V：体积 s：面积 a：长 b：宽 h：高 1) 表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 2) 体积=长×宽×高 5 、三角形 S：面积 a：底 h：高 面积=底×高÷2 S=ah÷2 V=abh S=2(ab+ah+bh) C=2(a+b) S 表=a×a×6 V=a×a×aS=ab三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6 、平行四边形 S：面积 a：底 h：高 面积=底×高 7 、梯形 S：面积 a：上底 b：下底 h：高 面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)× h÷2 S=ah78 、圆形 S：面积 C：周长 π d=直径 r=半径 周长=直径×∏=2×π ×半径 面积=半径×半径×π 9、 圆柱体 V：体积 h：高 S：底面积 r：底面半径 c：底面周长 1) 侧面积=底面周长×高 2) 表面积=侧面积+底面积×2 3) 体积=底面积×高 4) 体积＝侧面积÷2×半径 10、 圆锥体 V：体积 h：高 S：底面积 r：底面半径 体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3 S=ch S=π r2C=π d=2π r和差问题 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)差倍问题8差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)植树问题 1．非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2．封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数9盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间流水问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度10溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) *时间：一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应） *利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做 月利率。长度单位换算 (一)、什么是长度 长度是一维空间的度量。 (二)、长度常用单位 * 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um) (三)、单位之间的换算 1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 米=100 厘米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米11面积单位换算 （一）、什么是面积 面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。 （二）、常用的面积单位 * 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米 （三）、面积单位的换算 1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米体(容)积单位换算 （一）、什么是体积、容积 体积，就是物体所占空间的大小。 容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 （二）、常用单位 1、 体积单位 * 立方米 * 立方分米 * 立方厘米 2 、容积单位 * 升 * 毫升 （三）、单位换算1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升 1 立方米=1000 升12重量单位换算 （一）、什么是重量 重量，就是表示表示物体有多重。（二）、常用单位 * 吨 t * 千克 kg * 克 g （三）、常用换算 1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 1 千克=1 公斤人民币单位换算 （一）、什么是货币 货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。 （二）、常用单位 * 元 * 角 * 分 （三）单位换算 1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分时间单位换算 （一）、什么是时间 是指有起点和终点的一段时间 （二）、常用单位 世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒 （三）单位换算131 世纪=100 年 1 年=12 月 大月(31 天)有:1\3\5\7\8\10\12 月 小月(30 天)的有:4\6\9\11 月 平年 2 月 28 天, 闰年 2 月 29 天 平年全年 365 天, 闰年全年 366 天 1 日=24 小时 1 时=60 分 1 分=60 秒 1 时=3600 秒小学数学典型应用题 一、归一问题 例 1、买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？ 解（1）买 1 支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元） （2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元） 列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元） 答：需要 1.92 元。 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量） ，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做 归一问题。 【数量关系】总量÷份数＝1 份数量 1 份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例 2、3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 解（1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ （2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 列成综合算式 答：5 台拖拉机 6 天耕地 例 3、5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运几次？ 解（1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ （2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ （3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 列成综合算式 答：需要运 练习 1．2 台拖拉机 4 时耕地 20 公顷，照这样速度，5 台拖拉机 6 时可耕地多少公顷？142．4 台织布机 5 时可以织布 2600 米，24 台织布机几小时才能织布 24960 米？ 3．一种幻灯机，5 秒钟可以放映 80 张片子。问：48 秒钟可以放映多少张片子？ 4．3 台抽水机 8 时灌溉水田 48 公顷，照这样的速度，5 台同样的抽水机 6 时可以灌溉水田多小公顷？ 5．平整一块土地，原计划 8 人平整，每天工作 7.5 时，6 天可以完成任务。由于急需播种，要求 5 天完成，并 且增加 1 人。问：每天要工作几小时？ 6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克 3.00 元买 35 千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多 买了 2.5 千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？ 7． 锅炉房按照每天 4.5 吨的用量储备了 120 天的供暖煤。 供暖 40 天后， 由于进行了技术改造， 每天能节约 0.9 吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？ 二、 归总问题 例 1、服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在 可以做多少套？ 解（1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米） （2）现在可以做多少套？.8＝904（套） 列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套） 答：现在可以做 904 套。 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是 指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】1 份数量×份数＝总量总量÷1 份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 2、小华每天读 24 页书，12 天读完了《红岩》一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完《红岩》？ 解（1） 《红岩》这本书总共多少页？ （2）小明几天可以读完《红岩》？ 列成综合算式 答：小明 天可以读完《红岩》 。 例 3、食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计 划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解（1）这批蔬菜共有多少千克？ （2）这批蔬菜可以吃多少天？ 列成综合算式 答：这批蔬菜可以吃 天。 三、 和差问题 例 1、甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？ 解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人） 乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。 【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2 【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例 2、长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。 解长＝ （厘米）宽＝ （厘米） 长方形的面积＝ （平方厘米） 答：长方形的面积为 平方厘米。15例 3、有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重 多少千克。 解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量＝ 丙袋化肥重量＝ 乙袋化肥重量＝ 答：甲袋化肥重 千克，乙袋化肥重 千克，丙袋化肥重 千克。 例 4、甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果 多少筐？ 解“从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差 是 ，甲与乙的和是 97，因此甲车筐数＝ （筐） 乙车筐数＝ 答：甲车原来装苹果 筐，乙车原来装苹果 筐。 四、 和倍问题 例 1、果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。 【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少，这类应用题 叫做和倍问题。 【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数 【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 2、东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨？ 解（1）西库存粮数＝ （2）东库存粮数＝ 答：东库存粮 吨，西库存粮 吨。 例 3、甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车 辆数是甲站的 2 倍？ 解：每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲 站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，那么， 几天以后甲站的车辆数减少为 所求天数为 答： 例 4、甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？ 解乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍； 这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么， 甲数＝ 乙数＝ 丙数＝ 答：甲数是 ，乙数是 ，丙数是 。 五、 差倍问题16例 1、果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵） 答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少，这类应用题 叫做差倍问题。 【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数 【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 2、爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？ 解（1）儿子年龄＝ （2）爸爸年龄＝ 答：父子二人今年的年龄分别是 和 。 例 3、商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元， 求这两个月盈利各是多少万元？ 解如果把上月盈利作为 1 倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的 倍，因此上月盈利＝ 本月盈利＝ 答：上月盈利是 万元，本月盈利是 万元。 例 4、粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？ 解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差 。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么， 就相当于 倍，因此 剩下的小麦数量＝ 运出的小麦数量＝ 运粮的天数＝ 答： 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 六、 倍比问题 例 1、100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？ 解（1）3700 千克是 100 千克的多少倍？＝37（倍） （2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克） 列成综合算式 40×（）＝1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要 求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】总量÷一个数量＝倍数另一个数量×倍数＝另一总量 【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例 2、今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树多少棵？ 解（1）48000 名是 300 名的多少倍？ （2）共植树多少棵？ 列成综合算式: 答：全县 48000 名师生共植树 棵。 例 3、凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少 元？全县 16000 亩果园共收入多少元？ 解（1）800 亩是 4 亩的几倍？ （2）800 亩收入多少元？ （3）16000 亩是 800 亩的几倍？17（4）16000 亩收入多少元？ 答：全乡 800 亩果园共收入元，全县 16000 亩果园共收入元。七、 相遇问题 例 1、南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从 上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？ 解 392÷（28＋21）＝8（小时） 答：经过 8 小时两船相遇。 【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间 【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例 2、小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同 时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为: 相遇时间: 答：二人从出发到第二次相遇需 秒时间。 例 3、甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处 相遇，求两地的距离。 解“两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千 米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是 千米，因此: 相遇时间: 两地距离: 答：两地距离是 千米。 八、 追及问题 例 1、好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？ 解（1）劣马先走 12 天能走多少千米？75×12＝900（千米） （2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天） 列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天） 答：好马 20 天能追上劣马。 【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发） 作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。 这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间 【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 2、小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一 次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。 解:小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了 米，要知小亮的速度，须知追及时间， 即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用 秒， 所以小亮的速度是 答：小亮的速度是每秒 米。 例 3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚 上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以 追上敌人？ 解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是 小时，这段时间敌人逃跑的路程是 千米，甲乙18两地相距 60 千米。由此推知 追及时间: 答：解放军在 小时后可以追上敌人。 例 4、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距 两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车 千米，客车追上货车的时间就 是前面所说的相遇时间， 这个时间为 所以两站间的距离为 列成综合算式 答：甲乙两站的距离是 千米。 例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿 原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？ 解要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走 （180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走 米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为: 家离学校的距离为: 答：家离学校有 米远。 例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 解手表慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到 分钟，后段路程跑步恰准时到学 校，说明后段路程跑比走少用了 分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千米， 跑步比步行少用 分钟。所以 步行 1 千米所用时间为 跑步 1 千米所用时间为 跑步速度为每小时 答：孙亮跑步速度为每小时 千米。 九、 植树问题 例 1、一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。 【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题 叫做植树问题。 【数量关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1 环形植树棵数＝距离÷棵距 方形植树棵数＝距离÷棵距－4 三角形植树棵数＝距离÷棵距－3 面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距） 【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例 2、一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 解: 答：一共能栽 棵白杨树。 例 3、一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？ 解 答：一共可以安装 个照明灯。19例 4、给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少 块地板砖？ 解 答：至少需要 块地板砖。 例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共 可以安装多少盏路灯？ 解（1）桥的一边有多少个电杆？ （2）桥的两边有多少个电杆？ （3）大桥两边可安装多少盏路灯？ 答：大桥两边一共可以安装 盏路灯。 十、 年龄问题 例 1、爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍） 答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。 【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系 随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧 抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例 2、母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？ 解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ （2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？ 列成综合算式 答： 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。 例 3、3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父子今年各多少岁？ 解今年父子的年龄和应该比 3 年前增加 岁，今年二人的年龄和为 把今年儿子年龄作为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于 倍，因此，今年儿子年龄为 今年父亲年龄为 答：今年父亲年龄是 岁，儿子年龄是 岁。 例 4、甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁 数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？ 解:这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析： 过去某一年 甲 乙 □岁 4岁 今年 △岁 □岁 将来某一年 61 岁 △岁表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是 4，□，△，61 成等差数列，所以，61 应该比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为 甲今年的岁数为 乙今年的岁数为 答：甲今年的岁数是 岁，乙今年的岁数是 岁。 十一、 行船问题 例 1、一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？ 解由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 320÷8－15＝25（千20米） 船的逆水速为 25－15＝10（千米） 船逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。 【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就 是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是 船速与水速之差。 【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速 （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速 顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2 【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 2、甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需 10 小时；乙船逆水行同样一段距离需 15 小时，返回原地需多少 时间？ 解由题意得甲船速＋水速＝ 甲船速－水速＝ 可见 相当于水速的 2 倍， 所以，水速为每小时 又因为，乙船速－水速＝ 所以，乙船速为 乙船顺水速为 所以，乙船顺水航行 360 千米需要 答：乙船返回原地需要 小时。 例 3、一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576 千米，风速为每小时 24 千米，飞机逆风飞行 3 小时 到达，顺风飞回需要几小时？ 解这道题可以按照流水问题来解答。 （1）两城相距多少千米？ （2）顺风飞回需要多少小时？ 列成综合算式 答：飞机顺风飞回需要 小时。 十二、 列车问题 例 1、一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。 这列火车长多少米？ 解火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 （1）火车 3 分钟行多少米？900×3＝2700（米） （2）这列火车长多少米？＝300（米） 列成综合算式 900×3－（米） 答：这列火车长 300 米。 【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速 火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速） 火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速） 【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 2、一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？ 解火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒＝ 秒，所走的路程是 米，这段路程就是（200 米＋桥长） ，所以，桥长21为 答：大桥的长度是 米。 例 3、一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车 从追上到追过慢车需要多长时间？ 解从追上到追过，快车比慢车要多行 米，而快车比慢车每秒多行 米，因此，所求的时间为 答：需要 秒。 例 4、一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来，那么，火车从工 人身旁驶过需要多少时间？ 解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。 答：火车从工人身旁驶过需要 秒钟。 例 5 一列火车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒，以同样的速度通过一条长 1250 米的大桥用了 58 秒。求这列火 车的车速和车身长度各是多少？ 解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在 秒的时间内 行驶了 米的路程，因此，火车的车速为每秒 进而可知，车长和桥长的和为 答：这列火车的车速是每秒 米，因此，车长为 米，车身长 米。十三、 时钟问题 例 1、从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？ 解钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走 5/60＝1/12 格。每 分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距 20 格。所以 分针追上时针的时间为 20÷（1－1/12）＝2（分钟） 答：再经过 2 分钟时针正好与分针重合。 【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时 钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】分针的速度是时针的 12 倍，二者的速度差为 11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例 2、四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？ 解钟面上有 60 格， 它的 1/4 是 15 格， 因而两针成直角的时候相差 15 格 （包括分针在时针的前或后 15 格两种情况） 。 四点整的时候， 分针在时针后 （5×4） 格， 如果分针在时针后与它成直角， 那么分针就要比时针多走 格， 如果分针在时针前与它成直角， 那么分针就要比时针多走 格。 再根据 1 分钟分针比时针多走 格 就可以求出二针成直角的时间。答： 及 时两针成直角。 例 3、六点与七点之间什么时候时针与分针重合？ 解六点整的时候，分针在时针后 格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。 答： 的时候分针与时针重合。22十四、 盈亏问题 例 1、 给幼儿园小朋友分苹果， 若每人分 3 个就余 11 个； 若每人分 4 个就少 1 个。 问有多少小朋友？有多少个苹果？ 解按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系： （1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人） （2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个） 答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。 【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈） ，一次不足（亏） ，或两次都有余，或 两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差 【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 2、修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这 条路全长多少米？ 解题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配 差”的数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为 这条路全长为 答：这条路全长 米。 例 3、 学校组织春游， 如果每辆车坐 40 人， 就余下 30 人； 如果每辆车坐 45 人， 就刚好坐完。 问有多少车？多少人？ 解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有 （1）有多少车？ （2）有多少人？ 答：有 辆车，有 人。 十五、 工程问题 例 1、一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？ 解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于 甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15；两 队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15） 。由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天） 答：两队合做需要 6 天完成。 【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工 作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位 “1”表示工作总量。 【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时 间内完成工作总量的几分之几） ，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率 工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率） 【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。 例 2、一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零 件共有多少个？ 解设总工作量为 1，则甲每小时完成 ，乙每小时完成 ，甲比乙每小时多完成 ，二人合做时每 小时完成 。因为二人合做需要 小时，这个时间内，甲比乙多做 24 个零件， 所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？23（2）这批零件共有多少个？ 答：这批零件共有 个。 解二上面这道题还可以用另一种方法计算： 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 所以，这批零件共有 例 3、一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙 丙二人合做，还需几小时才能完成？ 解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 ，则甲乙丙三人的工作效率分别是 因此,余下的工作量由乙丙合做还需要 答：还需要 小时才能完成。 例 4、一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开 多少个进水管？ 解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位 时间内水的流量就是工作效率。 要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工 作效率及总工作量（一池水） 。只要设某一个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为 ，2 个进水管 15 小时注水 量为 ，从而可知 每小时的排水量为 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 又因为在 2 小时内， 每个进水管的注水量为 1×2，所以，2 小时内注满一池水 至少需要多少个进水管？ 答：至少需要 个进水管。 十六、 正反比例问题 例 1、修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？ 解由条件知，公路总长不变。 原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300÷（4－3）×12＝3600（米） 答：这条公路总长 3600 米。 【含义】 两种相关联的量， 一种量变化， 另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定 （即 商一定） ，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例 等知识的综合运用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做 成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。 许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决， 而且比较简捷。 【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例 2、张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？24解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设 91 分钟可以做 X 应用题则有 答：91 分钟可以做 道应用题。 例 3、孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可以看完？ 解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设 X 天可以看完，就有 答： 天就可以看完。 例 4、一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。 A 36 25 B 20 16解由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。 又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此， 解这两个比例，得 所以，大矩形面积为 答：大矩形的面积是 十七、 按比例分配问题 例 1、学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三个 班各植树多少棵？ 解总份数为 47＋48＋45＝140 一班植树 560×47/140＝188（棵） 二班植树 560×48/140＝192（棵） 三班植树 560×45/140＝180（棵） 答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。 【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比 或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。 【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比； 从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和 【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占 总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子） ，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分 别求出各部分量的值。 例 2、用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？ 解 答：三角形三条边的长分别是 厘米、 厘米、 厘米。 例 3、从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2，二儿子分总数的 1/3， 三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。 解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 答：大儿子分得 只羊，二儿子分得 只羊，三儿子分得 只羊。 例 4、某工厂第一、二、三车间人数之比为 8∶12∶21，第一车间比第二车间少 80 人，三个车间共多少人？ 人数 对应的份数 解 答：三个车间一共 人。2580 人一共多少人？十八、 百分数问题 例 1、仓库里有一批化肥，用去 720 千克，剩下 6480 千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？ 解（1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10% （2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了 10%，剩下 90%。 【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分， 而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须 是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。 【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量标准量＝比较量÷百分数 【解题思路和方法】一般有三种基本类型： （1）求一个数是另一个数的百分之几； （2）已知一个数，求它的百分之几是多少； （3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 例 2、红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量，所以 答：男职工人数比女职工少 。 例 3、红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此 答：女职工人数比男职工多 。 例 4、红旗化工厂有男职工 420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？ 解（1）男职工占 （2）女职工占 答：男职工占全厂职工总数的 ，女职工占 。 例 5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有： 增长率＝增长数÷原来基数×100% 合格率＝合格产品数÷产品总数×100% 出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100% 出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100% 缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100% 发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100% 成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100% 出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100% 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 废品率＝废品数量÷全部产品数量×100% 命中率＝命中次数÷总次数×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100% 及格率＝及格人数÷参加考试人数×100% 十九、 “牛吃草”问题 例 1、一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可以把草吃完？ 解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛 5 天可以把草吃完”，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为 1，按以下步骤解答：26（1）求草每天的生长量 因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即（1×10×20） ；另一方面，20 天内的草总量又等于 原有草量加上 20 天内的生长量，所以 1×10×20＝原有草量＋20 天内生长量 同理 1×15×10＝原有草量＋10 天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为 1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量 原有草量＝10 天内总草量－10 内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求 5 天内草总量 5 天内草总量＝原有草量＋5 天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛 5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。因此 5 天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头） 答：需要 25 头牛 5 天可以把草吃完。 【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长 这个因素。 【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数 【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例 2、一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有 12 个人淘水，3 小时可以 淘完；如果只有 5 人淘水，要 10 小时才能淘完。求 17 人几小时可以淘完？ 解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”） ，求时间。设每人 每小时淘水量为 1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量 因为，3 小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3 小时进水量 10 小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10 小时进水量 所以， （10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为 （2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3 小时进水量＝ （3）求 17 人几小时淘完 17 人每小时淘水量为 17，因为每小时漏进水为 2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2） ，所以 17 人淘完 水的时间是 答：17 人 小时可以淘完水。 二十、 鸡兔同笼问题 例 1、长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？ 解假设 35 只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只） 兔数＝35－23＝12（只） 也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 鸡数＝35－12＝23（只） 答：有鸡 23 只，有兔 12 只。 【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一 鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2） 假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）27第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2） 假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2） 【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡， 然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解 决。 例 2、2 亩菠菜要施肥 1 千克，5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施肥 9 千克，求白菜有多少亩？ 解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。 “每亩菠菜施肥 （1÷2） 千克”与“每只鸡有两个脚”相对应， “每 亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有 4 只脚”相对应，“16 亩”与“鸡兔总数”相对应，“9 千克”与“鸡兔 总脚数”相对应。假设 16 亩全都是菠菜，则有 白菜亩数＝ 答：白菜地有 10 亩。 例 3、李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本，作业本每本 3.20 元，日记本每本 0.70 元。问作业本和日 记本各买了多少本？ 解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设 45 本全都是日记本，则有 作业本数＝ 日记本数＝ 答：作业本有 本，日记本有 本。 例 4、 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与兔各多少只？ 解假设 100 只全都是鸡，则有 兔数＝ 鸡数＝ 答：有鸡 只，有兔 只。 例 5 有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个馍，问大小和尚各多少人？ 解假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚， 因此我们在保证和尚总数 100 不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3） 个。因此，共有小和尚 共有大和尚 答：共有大和尚 人，有小和尚 人。 二十一、方阵问题 例 1、在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同学一共有多少人？ 解 22×22＝484（人）答：参加体操表演的同学一共有 484 人。 【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵） ，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方 阵问题。 【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 内边人数＝外边人数－层数×2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数－层数）×层数×4 【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解 答方法应根据具体情况确定。 例 2、有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。28解＝ 答：全方阵 84 人。 例 3、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数是 28 人，这队学生共多少人？ 解（1）中空方阵外层每边人数＝ （2）中空方阵内层每边人数＝ （3）中空方阵的总人数＝ 答：这队学生共 人。 例 4、一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少 9 只棋子，问有棋子多 少个？ 解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝ （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝ （3）原有棋子数＝ 答：棋子有 只。 例 5 有一个三角形树林，顶点上有 1 棵树，以下每排的树都比前一排多 1 棵，最下面一排有 5 棵树。这个树林一共 有多少棵树？ 解第一种方法： 第二种方法： 答：这个三角形树林一共有 棵树。二十二、商品利润问题 例 1、某商品的平均价格在一月份上调了 10%，到二月份又下调了 10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如 何？ 解设这种商品的原价为 1，则一月份售价为（1＋10%） ，二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%） ，所以二月份售价 比原价下降了 1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原价下降了 1%。 【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。 【数量关系】利润＝售价－进货价利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率） 亏损＝进货价－售价亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100% 【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 2、某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去 52 元，已知衣服原来按期望盈利 30%定价，那 么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？ 解要知亏还是盈，得知实际售价 52 元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为 52 元是原价的 80%，所以原 价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利 30%定的，所以成本为 可以看出该店是 的， 利率为 答：该店是 的， 利率是 。 例 3、成本 0.25 元的作业本 1200 册，按期望获得 40%的利润定价出售，当销售出 80%后，剩下的作业本打折扣，结 果获得的利润是预定的 86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？ 解问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是 ，所以 关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总 盈利与先售出的 80%的盈利额之差，即 剩下的作业本每册盈利 又可知 答：剩下的作业本是按原定价的折出售的。29例 4、某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜 10%，甲店按 30%的利润定价，乙店按 20%的利润定价，结果乙 店的定价比甲店的定价贵 6 元，求乙店的定价。 解设乙店的进货价为 1，则甲店的进货价为 甲店定价为 乙店定价为 由此可得乙店进货价为 乙店定价为 答：乙店的定价是 元。 二十三、存款利率问题 例 1、李大强存入银行 1200 元，月利率 0.8%，到期后连本带利共取出 1488 元，求存款期多长。 解因为存款期内的总利息是（）元， 所以总利率为（）÷1200 又因为已知月利率， 所以存款月数为（）÷%＝30（月） 答：李大强的存款期是 30 月即两年半。 【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和 月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。 【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率 本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］ 【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例 2、银行定期整存整取的年利率是：二年期 7.92%，三年期 8.28%，五年期 9%。如果甲乙二人同时各存入 1 万元， 甲先存二年期， 到期后连本带利改存三年期； 乙直存五年期。 五年后二人同时取出， 那么， 谁的收益多？多多少元？ 解甲的总利息 乙的总利息 谁比谁多： 答： 的收益较多，比多元。二十四、溶液浓度问题 例 1、爷爷有 16%的糖水 50 克， （1）要把它稀释成 10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成 30%的糖水，需 加糖多少克？ 解（1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克） （2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克） 答： （1）需要加水 30 克， （2）需要加糖 10 克。 【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体） 、溶质、 溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶 液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。 【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100% 【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例 2、要把 30%的糖水与 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多少克？ 解假设全用 30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 这是因为 30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量 600 克不变的情况下，用 15%的溶液来“换掉”一部分 30%的溶液。这样，每“换掉”100 克，就会减少糖 所以需要“换掉”30% 的溶液（即“换上”15%的溶液） 由此可知，需要 15%的溶液 克。30需要 30%的溶液 答：需要 15%的糖水溶液 克，需要 30%的糖水 克。 例 3、甲容器有浓度为 12%的盐水 500 克，乙容器有 500 克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有 盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的 百分比浓度。 解由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为 500 克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便 会知所求的浓度。下面列表推算： 甲容器 原有 盐水 500 盐 500×12%＝60 乙容器 水 500 盐水 500＋250＝750 盐 30 盐水 750÷2＝375 盐 30÷2＝15 盐水 500 盐 45－36＋15＝24第一次把甲中一半倒 盐水 500÷2＝250 入乙中后 盐 60÷2＝30 第而次把乙中一半倒 盐水 250＋375＝625 入甲中后 盐 30＋15＝45 第三次使甲乙中 盐水同样多 盐水 500 盐 45－9＝36由以上推算可知，乙容器中最后盐水的百分比浓度为 答：乙容器中最后的百分比浓度是 二十五、构图布数问题 例 1、十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。 解符合题目要求的图形应是一个五角星。 4×5÷2＝10 因为五角星的 5 条边交叉重复，应减去一半。 【含义】 这是一种数学游戏， 也是现实生活中常用的数学问题。 所谓“构图”， 就是设计出一种图形； 所谓“布数”， 就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。 【数量关系】根据不同题目的要求而定。 【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所 给的条件。 例 2、九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。 解符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽 4 棵树，三个顶点上重复应减去，正好 9 棵。4×3－3＝9 二十六、幻方问题 例 1、把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。 解幻和的 3 倍正好等于这九个数的和，所以幻和为 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中 行、中列、和两条对角线这四条线上） ，四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的 “中心数”地位重要，宜优先考虑。 设“中心数”为 Χ ，因为 Χ 出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于 15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋ 9）＋（4－1）Χ ＝15×4 即 45＋3Χ ＝60 所以 Χ ＝5 2 7 6 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们 9 5 1 分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 4 3 8 在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。 【含义】把 n×n 个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻31方。最简单的幻方是三级幻方。 【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和＝45÷3＝15 五级幻方的幻和＝325÷5＝65 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和） ，其次是确定正中间方格的数， 然后再确定其它方格中的数。 例 2、把 2，3，4，5，6，7，8，9，10 这九个数填到九个方格中， 使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。 解只有三行，三行用完了所给的 9 个数，所以每行三数之和为 （2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18 假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共 8 行上的三个数之和都等于 18，我们看 18 能写成 哪三个数之和： 最大数是 10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3 最大数是 9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4 最大数是 8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4 最大数是 7：18＝7＋6＋5 刚好写成 8 个算式。 首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述 8 个算 式，只有 6 被用了 4 次，所以正中间方格中应填 6。 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述 8 个算式中只有 9、7、5、3 被用了三次， 9 2 7 所以 9、7、5、3 应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为 18。 4 6 8 最后确定其它方格中的数。如图。 5 10 3二十七、抽屉原则问题 例 1、育才小学有 367 个 1999 年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同 一天的？ 解由于 1999 年是润年，全年共有 366 天，可以看作 366 个“抽屉”，把 367 个 1999 年出生的学生看作 367 个“元 素”。367 个“元素”放进 366 个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有 2 个或更多的“元素”。 这说明至少有 2 个学生的生日是同一天的。 【含义】把 3 只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把 2 只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个 抽屉；要么把 3 只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了 2 只或 2 只以上 的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。 【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把 n＋1 个物体（也叫元素）放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着 2 个或更多的物体（元素） 。 抽屉原则可以推广为：如果有 m 个抽屉，有 k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或 更多的元素。 通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的 k 倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。 【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素； （2）把元素放入（或取出）抽屉； （3）说明理由，得出结论。 例 2、据说人的头发不超过 20 万跟，如果陕西省有 3645 万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根 数一样多吗？ 解人的头发不超过 20 万根，可看作 20 万个“抽屉”，3645 万人可看作 3645 万个“元素”，把 3645 万个“元素” 放到 20 万个“抽屉”中，得到 2??5 根据抽屉原则的推广规律，可知 k＋1＝183 答：陕西省至少有 183 人的头发根数一样多。32例 3、一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球 10 个，白球 9 个，黄球 8 个，蓝球 2 个。某人闭着 眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有 4 个球颜色相同？ 解把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11 看作 11 个“抽屉”，那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有 4 个球的颜色相同。 答；他至少要取 12 个球才能保证至少有 4 个球的颜色相同。 二十八、公约公倍问题 例 1、一张硬纸板长 60 厘米，宽 56 厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正 方形的边长是多少？ 解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。 60 和 56 的最大公约数是 4。答：正方形的边长是 4 厘米。 【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。 【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。 【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数， 再求出答案。 最大公约数和最小公倍数的求法， 最常用的是“短除法”。 例 2、甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要 36 分钟，乙车行一周要 30 分钟，丙车行一周要 48 分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？ 解要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是 36、30、48 的倍数。因为问至少要多少时间，所以应 是 36、30、48 的最小公倍数。36、30、48 的最小公倍数是 720。 答：至少要 720 分钟（即 12 小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。 例 3、一个四边形广场，边长分别为 60 米，72 米，96 米，84 米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距 相等，至少要植多少棵树？ 解相邻两树的间距应是 60、72、96、84 的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这 个相等的间距应是 60、72、96、84 这几个数的最大公约数 12。 所以，至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵） 答：至少要植 26 棵树。 例 4、一盒围棋子，4 个 4 个地数多 1 个，5 个 5 个地数多 1 个，6 个 6 个地数还多 1 个。又知棋子总数在 150 到 200 之间，求棋子总数。 解如果从总数中取出 1 个，余下的总数便是 4、5、6 的公倍数。因为 4、5、6 的最小公倍数是 60，又知棋子总数在 150 到 200 之间，所以这个总数为 60×3＋1＝181（个） 答：棋子的总数是 181 个。 二十九、最值问题 例 1、在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要 3 分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少 需要多少分钟？ 解先将两块饼同时放上烤，3 分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过 3 分 钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤 3 分钟即可。这样做，用的时间最少，为 9 分钟。 答：最少需要 9 分钟。 【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的 代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。 【数量关系】一般是求最大值或最小值。 【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。 例 2、在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是 10 千米，已知 1 号煤场存煤 100 吨，2 号煤场存煤 200 吨，5 号煤场存煤 400 吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运 1 千米花费 133元，集中到几号煤场花费最少？ 解我们采用尝试比较的方法来解答。 集中到 1 号场总费用为 1×200×10＋1×400×40＝18000（元） 集中到 2 号场总费用为 1×100×10＋1×400×30＝13000（元） 集中到 3 号场总费用为 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元） 集中到 4 号场总费用为 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元） 集中到 5 号场总费用为 1×100×40＋1×200×30＝10000（元） 经过比较，显然，集中到 5 号煤场费用最少。 答：集中到 5 号煤场费用最少。 例 3、北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地 10 台，上海可调运外地 4 台。 现决定给重庆调运 8 台，给武汉调运 6 台， 北京 若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？ 上海 解北京调运到重庆的运费最高，因此，北京 往重庆应尽量少调运。这样，把上海的 4 台全都调 往重庆，再从北京调往重庆 4 台，调往武汉 6 台，运费就会最少，其数额为 500×4＋800×4＋400×6＝7600（元） 答：上海调往重庆 4 台，北京调往武汉 6 台，调往重庆 4 台，这样运费最少。重庆 800 500武汉 400 300三十、列方程问题 例 1、甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数的 2 倍少 30 人，求两班各有多少人？ 解第一种方法：设乙班有 Χ 人，则甲班有（90－Χ ）人。 找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30 人。 列方程：90－Χ ＝2Χ －30 解方程得 Χ ＝40 从而知 90－Χ ＝50 第二种方法：设乙班有 Χ 人，则甲班有（2Χ －30）人。 列方程（2Χ －30）＋Χ ＝90 解方程得 Χ ＝40 从而得知 2Χ －30＝50 答：甲班有 50 人，乙班有 40 人。 【含义】把应用题中的未知数用字母 Χ 代替，根据等量关系列出含有未知数的等式――方程，通过解这个方程而 得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。 【数量关系】方程的等号两边数量相等。 【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。 （1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。 （2）设：把应用题中的未知数设为 Χ 。 （3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。 （4）解；求出所列方程的解。 （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。 （6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。 同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在 Χ 后 面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的 Χ 值也不带单位名称，在答语中要写出单位 名称。检验的过程不必写出，但必须检验。 例 2、鸡兔 35 只，共有 94 只脚，问有多少兔？多少鸡？ 解第一种方法：设兔为 Χ 只，则鸡为（35－Χ ）只，兔的脚数为 4Χ 个，鸡的脚数为 2（35－Χ ）个。根据等量关 系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程 4Χ ＋2（35－Χ ）＝94 解方程得 Χ ＝12 则 35－Χ ＝23 第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡， 则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）34所以兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 鸡数＝35－12＝23（只） 答：鸡是 23 只，兔是 12 只。 例 3、仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运 125 袋，乙汽车每次运多少袋？ 解第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。940÷4－125＝110（袋） 第二种方法：从总量里减去甲汽车 4 次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以 4，即是所求。 （940－125×4） ÷4＝110（袋） 第三种方法：设乙汽车每次运 Χ 袋，可列出方程 940÷4－Χ ＝125 解方程得 Χ ＝110 第四种方法：设乙汽车每次运 Χ 袋，依题意得 （125＋Χ ）×4＝940 解方程得 Χ ＝110 答：乙汽车每次运 110 袋。35
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