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【精品】近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案
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证明一个至少有两个元素的且没有零因子的有限环，R是一个除环
证明一个至少有两个元素的且没有零因子的有限环，R是一个除环
证：设V为R中非零元构成的集合。由题意知V中至少含有一个元。对于任意a，b属于V，因为R中的乘法构成半群，所以a*b属于R。因为R是无零因子环，a和b都不等于0，所以a*b属于V，即V对乘法运算满足封闭性。显然任何V里的元对乘法满足结合律，所以V对乘法构成半群。又因为R是无零因子环，乘法满足消去律，故V中的乘法也满足消去律。因此，任意一个满足消去律的有限半群构成一个群。于是R中所有非零元构成群，故...
证明： 没有零因子的环满足消去律，又因为其有限且至少含有两个元素，所以该换是一个除环。
R对于乘法满足是半群，又因为有限和无零因子换满足消去率，这满足有限半群构成群的定义，所以R对乘法满足群的性质，对所以非零元有逆，又因为题中说至少含两个元素，则至少有一个非零元。即R是一个除环同构及同态在代数中的应用论文57-第2页
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同构及同态在代数中的应用论文57-2
f?a?b??f?a??f?b?；f?ab??f；环S到自身的同构叫做环S的自同构，环S全部自同构；当φ为环R到环R的同态时，ker??x?R|??；4.2同态与同构在环上的应用；定理1若是存在一个R到R的满射，使得R与R对于一；定理2设R和R是两个环，并且R与R同态；显然环同态满射能传递许多代数性质,但也有一些是无；如例5可知?:Z?Z6是环同态满射,其中
f?a?b??f?a??f?b?；f?ab??f?a?f?b?。如果f是一一对应，则f叫做环R和S的同构，称R和S同构，记作R?S。环S到自身的同构叫做环S的自同构，环S全部自同构形成群，叫做环S的自同构群。表示成A?T?R?当φ为环R到环R的同态时，ker??x?R|??x??0,0为R的零元，表示?的核。4.2同态与同构在环上的应用定理1 若是存在一个R到R的满射，使得R与R对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R也是一个环。定理2 设R和R是两个环，并且R与R同态。那么，R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元。并且，若R是交换环，那么R也是交换环；若R有单元1，那么R也有单元1，而且，1是1的象。显然环同态满射能传递许多代数性质,但也有一些是无法传递过去的.如例5 可知?:Z?Z6是环同态满射,其中:??n???n?.显然Z是整环.?Z中没有零因子,但在Z6中,?2?和?3?、?4?都是零因子.再如2显然不是Z中的零因子,但??2???2?却是Z6中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.再如例6.
设R??a,b??a,b?Z .在R中定义运算: ???a1,b1???a2,b2???a1?a2,b1?b2?
?a1,b1??a2,b2???a1a2,b1b2?.可以验证: R是一个环.现作一个对应:?:R?Z,其中,??a,b??a可以验证,?是一个环同态满射.由于?0,0?是R中的零元,当a?0且b?0时.有?a,0??0,b???0,0??R中有零因子.而显然Z中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.总结看，若?:R?是环同态满射，则（1）若R是交换环，则也是交换环，但若是交换环，R未必是交换环。如?ab??a0?f1:S1?S2,?????,a,b,d?R是环同态，S2是交换环，S1却不是交换环 0d0d????（2）若R有单位元的环，则也是单位元的环，且1?，但若是有单位元的环，?ab??a0?则R未必也是单位元的环，如f4:S4?S6,?????，是环同态，S6有单位元?00??00??10???，但S4没有单位元 00??（3）若R无零因子，则未必无零因子，如Z?Zm，Z无零因子，但当m为偶数时Zm有零因子。若无零因子，则R未必无零因子（例6）环同态满射尚不能保证传递分部的代数性质.如果?是环同构时,其结果则不同了. 定理3.若R和R都是环,且R?R,那么?不仅能传递所有的代数性质,而且R是整环(除环,域)当且仅当R是整环(除环,域).3 设R和R是两个环，并且R?R。那么，若R是整环，R也是整环；R是除环，R也是除环；R是域，R也是域。定理4 设S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（就是所有不属于S的R的元作成的集合）与另一个环S没有共同元，并且S?S。那么，存在一个与R同构的环R，而且S是R的子环。 引理：设环同态?:R?R，则?是单同态的充要条件是ker???0?。由引理可得定理5：设R，R是环，则的充要条件是ker???0?。 ?:R?R是满同态，二.环同态及同态基本定理定义2.设?:R1?R2是一个环同态,那么R2中零元的完全原象 ???1(0)?{a?R1|?(a)?0}叫作?的核,通常记??1(0)?Ker?. ??Zm,Ker???kmk?Z? 例如建立映射Z????R是一个环同态满射,令I?Ker?那么 定理1.设R??() I?R
()?R 证明:()对加法而言,?显然是一个加群满同态,由第二章知I?R. (即I是R的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可.?k?I,?r?R.则?(rk)??(r)?(k)??(r)0?0?rk?I.同理kr?I.?IRa),下面只需证()可知存在?:?R.作为群同构,其中?[a]?.?([a])??(I明:?[a],[b]?,?([a][b])??([a])?([b])即可。因为 ?([a][b])???[ab]???(ab)??(a)?(b)???[a]???[b]?.? ?:?R是环同构.即?R. 定理2.设R是一个环而I?R,那么必有环同态?:R?.使得?是满同态且模Ker??I.称这样的?为环的自然同态. ?证明:令?:R?,其中?(a)?[a],显然?是个满射.而且?a,b?R. ?(a?b)?[a?b]?[a]?[b]??(a)??(b)
?(ab)?[ab]?[a][b]??(a)?(b) ?R～.至于Ker??I是显然的.注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R的任何商环都是R的同态象.而环R的任何同态象实质上只能是R的一个商环.与群同态类似,我们可以得到一些与第二章中平行的结果.定理3.设?:R?R是环同态映射,那么()若S是R的子环??(S)是R的子环()若I是R的理想且?为满射??(I)是R的理想()若S是R的子环???1(S)是R的子环()若S是R的理想???1(S)是R的理想以上分析总结了同态与同构在群论、环论中的应用，通过总结可以发现同态与同构在理论研究中的重要作用，表现在以下几个方面：1）便于代数系统的分类研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等。对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质。通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同。在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构是群论中非常重要的手段。这无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的基本方法.对于同构的群G与,我们认为G与是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.
群Z，另一个是模n的剩余类加群Zn.这样给循环群的研究带来了极大的方便。因此按近代的数学观点：彼此同构的群只是表达元素的符号与运算方法的符号及名称有区别。于是，只要掌握了当中的任何一个，那么另一个也就完全能把握住了，而这些区别对于我们讨论，研究问题的宗旨――群的代数性质来说是无关紧要的。一般地，设?: G?G是群同构映射,那么?的逆映射??1:G?G也是群的同构映射. 而且在群之间的同构“?”作为关系时，“?” 必是一个等价关系。基于这样的认识，群论的基本课题就是把群按同构关系分类；对每一个同构的群类确定它的代数结构。如所有含三个元素的群都是同构的，都是循环群，因此我们说三阶群只有一个。而四阶群只有两个：一个是循环群，一个是非循环群。2）便于代数结构之间的比较如前面定理2）代数集合自身的性质本文简单地讨论了同态与同构在群、环上的应用，可以看出它们既有相同点，又有不同点，在学习过程中要加强它们之间的联系与区别。参考文献：【1】.张禾瑞，《近世代数基础（修订本）》，高等教育出版社，1978年5月修订本。【2】.张禾瑞，郝炳新，《近世代数基础》，高等教育出版社，1988。【3】.刘绍学，《近世代数基础》，北京：高等教育出版社，1999。【4】.吴品山，《近世代数》，北京：人民教育出版社，1979年4月。 包含各类专业文献、各类资格考试、文学作品欣赏、中学教育、专业论文、应用写作文书、同构及同态在代数中的应用论文57等内容。　
　同构及同态在代数中的应用摘要:在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统,即带有运算的集合,而在近世代数中同态与同 构又是其一等重要的概念,在近世代数中有重要... 　本科毕业论文 论文题目: 浅谈同态与同构 姓学 名: 号: 刘永刚
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