青少年心理健康自测练习题三_百度文库
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青少年心理健康自测练习题三
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数学教学精品课程―&第十章 数学教学与思维发展
第十章 数学教学与思维发展
一、教学目的：
通过对数学思维的研究使学生深刻认识到，要使学生掌握数学知识并培养能力、发展智力和陶冶个性品质，数学思维问题是数学教育核心问题。掌握数学思维的类型、数学思维的方式、数学思维的智力品质及数学创造性思维的特点。
二、教学重点、难点与关键：
数学思维的类型、方式、智力品质及创造性思维的特点
三、教学方法：
讲授与讨论交流相结合
四、教材分析：
从数学教学的目的来看，要使学生掌握数学知识并培养能力、发展智力和陶冶个性品质，数学思维问题是数学教育核心问题。因此，研究和掌握数学思维的类型、数学思维的方式、数学思维的智力品质及数学创造性思维的培养具有重要意义。
五、教学程序：
13.1 数学思维及其类型
13.1.1思维与数学思维
思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系概括的和间接的反映。思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。
（1） 思维的概括性
思维的概括性是指思维所反映的不是个别的事物或事物的个别属性，而是反映一类事物所共有的本质特征以及事物所有的普遍或必然的联系。在数学学习中，学生的许多知识都是通过概括认识而获得的。如,方程的概念，便是从各种方程：整式方程、分式方程、无理方程、对数方程、三角方程，包括高次的、多元的，指数、项数、元数、表达形式等特征于不顾，抓住其共同的本质特征――“等式”、“含有未知数”而得出的。由此可见，没有抽象概括，也就没有思维。概括水平是衡量思维水平的重要标志。
（2） 思维的间接性
思维的间接性是指思维不是直接地，而是通过其他事物的媒介作用来反映客观事物的。我们常说，举一反三，闻一知十，由此及彼，由近及远等，这些都是指间接性的认识。原子的结构是人们感觉和知觉不到的，而科学家凭借知识经验和思维的作用却研究出了原子的结构。至于数学中的推理更具有鲜明的间接性。除去“直接归纳”（还需论证）外，几乎都是间接推理。正是由于思维具有间接性的特点，所以人们才能对那些未曾感知过或根本无法感知的事物做出反映，从而使人的知识范围扩大、延伸；同样也是由于思维具有间接性的特点，才使得人们能够预测未来，使行动有目的、有计划地进行。思维的间接性是随着主体知识经验的丰富而发展起来的，因此，知识和经验对思维能力有重要影响。
概括性和间接性是思维的两个基本特征，它们之间是密切相关的。正是由于概括性与间接性的结合使用，才使人们的思维不断地深化。此外，思维还具有逻辑性、目的性和层次性等特征。
2、数学思维
数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体来说，数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思维的载体，并以认识发现数学规律为目的一种思维。
数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征，同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于一般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的，具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。
（1） 概括性
数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。数学思维方法、思维模式的形成是数学思维概括水平的重要表现，概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深度、灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。
（2） 整体性
数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数学对象基本属性的准确把握。数学科学本身是具有统一性的，人们总是谋求新的概念、理论，把以往看来互不相关的东西统一在同一的理论体系中。数学思维的统一性，是就思维的宏观发展方向而言的，它总是越来越多地抛弃对象的具体属性，用统一的理论概括零散的事实。这样既便于简化研究，又能洞察到对象的本质。数学思维中对事物基本属性的把握，本质上源于数学中的公理化方法。这种整体性的思维方式对人们思考问题具有深远的影响。
（3） 相似性
数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。数学思维的相似性普遍存在，在创造性思维活动中发挥着重要作用。数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的比较、分析过程。数学中的相似表现有几何相似、关系相似、结构相似与实质相似、静态相似与动态相似等。数学思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求数学规律、发现数学结论的主导方法。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。因此，相似性是数学思维的一个重要特征。
（4）问题性
数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。因此，问题性是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。这一特点在数学思维方面的表现比任何思维都要突出。因此，80年代世界数学教育将“问题解决”作为其主要任务是有道理的。
13.1.2数学思维的类型
数学思维是从人类的一般思维中分化出来的一种科学思维，因此它的活动形式与一般的科学思维活动形式相同。从思维活动总体规律的角度考察，通常可以分为数学逻辑思维、数学形象思维和数学直觉思维三种类型。
1、数学逻辑思维
数学逻辑思维是指借助数学概念、判断、推理等思维形式，通过数学符号或语言来反映数学对象的本质和规律的一种思维。
数学逻辑思维的显著特征是抽象性和逻辑性，这是由数学本身的特点和数学学习的需要决定的。数学具有严谨的逻辑体系，逻辑因素在数学中表现得最为明显。一方面，主要的数学事实按逻辑方法叙述或论证；大量的数学概念抽象概括的形式化、公理化；数学原理、公式、法则的推理论证高度严密等。另一方面，数学学习中不仅要记住按逻辑体系组成的大量概念、公式、定理和法则，而且要进行概念的分类、定理的证明、公式法则的推导，广泛使用各种逻辑推理和证明方法。
此外，逻辑推演性和规则性也是逻辑思维的重要特征。所谓规则性是指思维过程必须遵循形式逻辑的基本规律和辩证逻辑的规律，有着严格的逻辑规则。而逻辑思维又必须是循序渐进的，要按照逻辑规则依线型或枝叉型一步步地推下去，这就是逻辑思维的推演性。逻辑思维的推演性和规则性是一种强大的逻辑力量，它保证了人们在严格逻辑推演的基础上实现新的突破，形成新的知识，同时这种推演性与规则性又提高了思维成果的可靠性，因此，推演性与规则性成为逻辑思维区别于其他思维的重要特征之一。
2、数学形象思维
数学形象思维是指借助数学形象或表象，反映数学对象的本质和规律的一种思维。在数学形象思维中，表象与想象是两种主要形式，其中数学表象又是数学形象思维的基本元素。 （1）数学表象
数学表象是以往感知过的观念形象的重现。数学表象常常以反映事物本质联系的特定模式――结构来表现。例如，数学中“球”的形象，已是脱离了具体的足球、篮球、排球、乒乓球等形象，而是与定点距离相等的空间内点的集合。显示了集合内的点（球面上的点）与定点（球心）之间的本质联系：距离相等。
客观实物的原型和模型以及各种几何图形、代数表达式、数学符号、图像、图表等这些形象在人脑中复现就形成了数学表象。数学形象思维也可看作是以数学表象为主要思维材料的一种形象思维。因此，数学教学中发展学生的表象思维有利于形象思维能力的培养。发展学生的表象思维就是要使学生在几何学习中对基本的图形形成正确的表象，抓住图形的形象特征与几何结构，辨识不同关系的各种表象；在代数、三角、分析等内容的学习中，重视各种表达式和数学语句符号等所蕴含的构造表象。
（2）数学想象
数学想象是数学形象思维的一种重要形式，通常可分为再造性想象和创造性想象两种类型。
1）再造性想象 再造性想象是根据数学语言、符号、数学表达式或图形、图表、图解等提示，经加工改造而形成新的数学形象的思维过程。再造性想象有两个特征，一个是生成的新形象虽未感知过，但并非完全由自己创造或创新，是根据别人描述或者示意再造出来的；另一个是新形象是头脑中原有表象经过加工改造而成的，其中包含着个人知识与理解能力的作用，因此又有创造的成分。
进行再造性想象必须具备两个条件：①必须正确理解所给数学语言、符号、表达式、图形或图解的确切意义，以保证新形象的准确与真实；②必须以丰富的表象储备为基础，头脑中的形象表象越丰富、越鲜明，再造性想象就越灵活、越清晰，从而再造想象的结果就越准确、越精密。
学生在数学学习中的想象，大多属于再造性想象。这是因为，虽然这种想象对学生来说具有创造的成分，但形成的新表象只是原有表象的再现或加工改造，并没有超出已有知识经验和数学表象的范围，与独立地以至创造性的想象活动有着很大的不同。
2）创造性想象 创造性想象是一种不依靠现成的数学语言和数学符号的描述，也不依据现成的数学表达式和数学图形的提示，只依据思维的目的和任务在头脑中独立地创造出新的形象的思维过程。思维结果的新颖、独特是创造性想象的主要特征。
创造性想象与再造性想象的区别在于：①再造性想象可以依据给定的数学语言、符号、数学表达式和图形的提示而展开，思维有所遵循，而创造性想象是根据思维的目的和任务进行的形象改造；②再造性想象的思维成果是已有的形象，而创造性想象的思维成果则是经过改造的数学形象的综合。例如，在数学科学发展史上，罗巴切夫斯基发现非欧几何的过程就是创造性想象。法国大数学家笛卡尔把长期分道扬镳的代数和几何联系起来而创立了解析几何，他借助于曲线上“点的运动”这一想象，创造出变量和坐标系的新的形象，把抽象的方程展示为直观的平面和空间图形，这也是一种创造性想象。
进行创造性想象必须具备以下三个条件：①必须对所研究的问题本身进行深入细致的观察，形成丰富的表象储备；②必须对所研究的问题情境进行发散式思考，掌握有关知识和经验的丰富材料，具备高水平的表象重构能力；③必须抓住契机引发想象，突破思维的障碍，想象出问题结果并做出逻辑上的检验。
例1 设x2+y2+2x＜0，求证：x2+y2+6x+8＞0。
A={(x,y)| x2+y2+2x＜0}
={(x,y)|(x+1)2+y2＜1}
B={(x,y)| x2+y2+6x+8＞0}
={(x,y)|(x+3)2+y2＞1} 图13.1
则集合A是以（-1，0）为圆心，以1为半径的圆的内部（不含边界），集合B是以（-3，0）为圆心，以1为半径的圆的外部（不含边界）。如图13.1
因为两圆相切于（一2，0）点，所以A B，即若(x,y) A，则(x,y) B，所以当x2+y2+2x＜0，必有x2+y2+6x+8＞0在例1中，根据解题目标的需要创造出了不同于已知形象的新的形象，从而使问题得到了解决。
想象在数学研究和数学学习中有着重要的作用。它是创造性思维的重要成分，数学中的直觉和灵感，如果没有想象的展开是不可能实现的。正如爱因斯坦所言：“想象力比知识更重要，想象力是科学研究中的实在因素，是知识进化的源泉”。在中学作为基本能力之一的空间想象能力实际上是想象能力中的一种。数学中的空间想象能力即是对于数学图形的形状、大小、结构和位置关系的想象能力。就像运算能力实质上是逻辑思维能力的一部分，它是逻辑思维能力与运算技能相结合。空间想象能力实质上是形象思维能力的一部分，它是形象思维能力与空间形式构思的结合。因此，培养形象思维能力包含了对空间想象能力的培养。
3、数学直觉思维
数学直觉思维是以一定的知识经验为基础，通过对数学对象作总体观察，在一瞬间顿悟到对象的某方面的本质，从而迅速作出估断的一种思维。数学直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种由下意识（潜意识）活动参与，不受固定逻辑规则约束，由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动。因此，非逻辑性是数学直觉思维的基本特征，同时数学直觉思维还具有直接性、整体性、或然性、不可解释性等重要特征。
（1） 直接性
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，这是数学直觉思维的本质特征。由于数学直觉思维的直接性，使它在时间上表现为快速性，即数学直觉思维有时是在一刹那时间内完成的；由于数学直觉思维的直接性，使它在过程上表现为跳跃性（或间断性），直觉思维并不按常规的逻辑规则前进，而是跳过若干中间步骤或放过个别细节而从整体上直接把握研究对象的本质和联系。
（2） 整体性
是指数学直觉思维的结果是关于对象的整体性认识，尽管这并非是一幅毫无遗漏的“图画”,它的某些细节甚至可能是模糊的，但是，它却清楚地表明了事物的本质或问题的关键。
（3） 或然性
数学直觉思维是一种跳跃式的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出的结论，具有猜测性。正因为如此，任何通过直觉思维“俘获来的战利品”就需要经过严格的逻辑验证。采用直觉思维的目的在于迅速找到事物的本质或内在联系，提出猜想，而不在于论证这个猜想。
（4） 不可解释性
数学直觉思维在客观上往往给人以不可解释之感。由于直觉思维是在一刹那间完成的，、略去了许多中间环节，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要想对它的过程进行分析、研究和追忆，往往是十分困难的，这又使直觉思维给人一种“神秘感”例如，高斯曾花几年的时间证明一个算术定理，最终获得了解决。对此他回忆说：“我突然证出来了，但这简直不是我自己努力的结果，而是由于上帝的恩赐――如同闪电那样突然出现在我脑海之中，疑团一下子被解开了，连我自己也无法说清在先前已经了解的东西与使我获得成功的东西之间是怎样联系起来的”.
数学直觉和数学灵感是数学直觉思维的两种形式，它们之间具有深刻的本质联系，即灵感是直觉的更高发展，是一种突发性的直觉。通常灵感的形成是从多次的直觉受阻或产生错误的情况下得到教益，而使一部分信息不自觉地转人潜意识加工，最终又在某种意境或偶发信息的启示下，由潜意识跃入显意识爆发顿悟的。因此数学灵感是从多个数学直觉中升华而形成的结晶。
形象思维、逻辑思维、直觉思维是数学思维的三种基本类型，形象思维是数学思维的先导，逻辑思维是数学思维的核心。在进行具体的数学思维活动时，往往是这两种思维交错应用的一个综合过程。直觉思维则是以上两种思维的结合，达到一定数量后所引起的一种质的飞跃。因此，如果形象思维和逻辑思维发展的好，就为发展直觉思维创造了条件。
13.2 数学思维方式
思维方式是内化于人脑中的世界观和方法论的理性认识方式，也是体现一定思维方法和一定思维内容的思维模式。因此，数学思维方式就是数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式。它是数学思维方法与数学思维形式的统一，并且通过一定的数学思维内容而得以体现。
数学思维方式的形成与数学思维关联系统的各种要素的相互作用有关。也就是说，数学思维方式的构成要素包括数学知识、数学观念、数学语言、个性品质、思维传统等。而由于数学思维形式和方法的多样性，数学思维方式的层次和类型也有各种不同的划分。从个体思维的角度分析，数学思维方式的层次是与个体思维发展的阶段相吻合的，按照层次逐渐提高的顺序是：直观动作思维―具体形象思维―抽象逻辑思维―动态辩证思维。
（1） 直观动作思维
直观动作思维是与主体的感知和动作直接联系的思维。思维活动与动作过程相协调，动作结束思维也就终止。例如，儿童通过实物或手指的活动进行计数，这种思维通常在3岁以前的儿童中产生。
（2） 具体形象思维
具体形象思维是一般形象思维的初级形态，它是一种以事物的具体形象（表象）为材料的再现性思维。约在3――6、7岁的幼儿期或学前期发生。例如，对于自然数的加法或可行的减法，主体需要借助于脑中有关实物表象的浮现进行计数。此后约在儿童的学龄初期或小学期，即6、7――11、12；岁，是一个由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。在这个阶段，儿童可以逐渐地离开具体事物进行一定程度的抽象思考。例如，儿童已经掌握整数的概念和运算方法，而不需要具体事物形象的支持。但是，在他们开始学习分数概念和分数运算时，若没有具体事物形象的支持，就仍会感到很大的困难。
（3） 抽象逻辑思维
抽象逻辑思维可以分为经验型思维和理论型思维两种。对于初中阶段的学生，即少年期，约11、12――14、15岁时，抽象逻辑思维逐步得到发展，但是思维中的具体形象成分仍然起着重要作用。因此，这个时期的思维活动往往还没有形成明确的抽象推理规则，而要凭借于主体的经验开展解题等数学思维活动。至14、15――17、18岁的青年初期，主体的思维已经可以摆脱具体事物形象，而进入具有明确的形式逻辑特征的抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化的理论思维阶段，并开始向动态辩证思维过渡。
（4） 动态辩证思维
辩证思维是最高层次的思维方式，它是客观事物的矛盾运动及其规律在人脑中的综合反映。辩证思维是一种动态的、全面的、现实的思维，它强调事物或对象中互相矛盾的两个方面在一定条件下的对立统一和在一定条件下的渗透转化，从而在思维方法上表现出各种成对的互逆的思维方法之间的有机结合和辩证运用。
数学思维方式的类型可以从不同的角度进行划分。通常可以相对地分为单维型和多维型；封闭型和开放型；静态型和动态型等。评价某一思维方式归属于何种类型时必须结合思维的具体内容和结果做出判断，而不应绝对化地从思维方式本身的意义就简单地认为某一思维方式一定就是属于上述的某种类型。
单维型思维是指从单一角度出发，困于一个思维模式，运用一种逻辑规则、一个评价标准而展开的思维方式。它往往只有一个思维起点和单一的思维指向，认识朝着直线前进，容易产生片面性。多维型思维是指从多角度、多侧面对事物进行综合的、系统的思考。它具有多个思维起点、多个思维指向，能运用多种逻辑规则与多个评价标准去分析思维对象，从而能达到对事物较全面的整体性的认识，不仅看到事物之间的纵向联系，也能看到事物之间的横向联系，因此又称它为立体思维。
封闭型思维是指思维活动局限于固定程式和具有确定性结论或结果的思维方式。这种思维往往拘泥于一个方向，一种守则，表现为思维僵化、单调呆板，因而在对事物的认识方面也不会有所变革和突破，缺乏创造性。开放型思维则是不束缚于固定程式的，具有灵活多变的思维方法，从而能够获得多层次或创新、突破性结论的思维方式。这种思维往往表现为思路开阔、反应敏捷，善于变革，敢于创新，其适应性和应变能力均较强。
静态型思维是一种墨守成规的、机械式的思维方式。它较多地注意静态的平衡和固定的演绎，对考察的对象缺乏整体性的辩证分析，不能从动态的变化角度去把握有关事物的本质和规律．动态型思维是一种运用辩证观点处理问题、看待事物的思维方式。它能够灵活地运用已有知识，对有关事物展开联想、类比、归纳、猜想等，从动态的多因素的系统分析中去发现问题、解决问题，具有思维的发散性、多向性和开拓性，能够从事物的整体联系中去把握有关事物的本质和规律。
按照上述关于思维方式的层次和类型的划分及特征，我们可以得出下列结论：
1）数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。
前面我们已经给出了上述三种思维活动形式的初步定义。下面进一步研究作为数学思维方式时的定义。
数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全）归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻辑地表达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性和清楚划分的思维过程为特征的。
数学形象思维是以数学的表象、直感、想象为基本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象性和想象性为主要特征，其思维过程带有整体思考、模糊判别的合情推理的倾向。
数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感两种独立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。它们以思维的跳跃性或突发性为主要特征。用阿达玛的话来说，“直觉”思维是以相当多的无意识“成分”，思维过程更分散、迅速和省略为特征的。
2）数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。发散思维则是具有多个思维指向、多种思维角度并能发现多种解答或结果的思维方式。在发散思维时，我们是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新远景，有时去追求多样性。因此，在看待集中思维时，需要看到它在某种程度上存在单维型、封闭型与静止型思维特点的一面。而发散思维则相对地较明显地具有多维型、开放型和动态型思维的特征。
3）数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。再现性思维是一种整理性的一般思维活动。而创造性思维是与创造活动――与数学有关的发明、发现、创造等能产生新颖、独特，有社会或个人价值的精神或物质产品的活动――相联系的思维方式。创造性思维是再现性思维的发展，再现性思维是创造性思维的基础。创造性思维是一种开放型和动态型较强的思维活动，是人类心理非常复杂的高级思维过程，是一切创造活动的主要精神支柱。
4）在具体的数学思维过程中，数学形象思维和数学逻辑思维往往是交织在一起不能分开的。它们相互渗透、相互启发，并向立体思维转化，使思维的方向朝着不同的角度、不同的方面舒展开来，呈现出一种发散的多维型思维的特征，并进而使原来的思维向更高级的思维形式――辩证思维转化和升华。因此，立体思维（或多维型思维）是指逻辑思维与形象思维的结合，集中思维与发散思维的结合。立体思维是一种初级形式的辩证思维。当立体思维达到把握事物的理性具体、反映事物的矛盾运动及其关系，溶解了形式思维固定分明的界限，能从动态的、全面辩证的观点看待事物的本质和规律时，它就进入了辩证思维。
13.3 数学思维的智力品质
思维的发生和发展服从于一般的、普遍的规律，而不同的人思维特点又各不相同，我们把思维发生发展中表现出来的个别差异，称之为思维品质。思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，因此在数学教学中要重视学生良好的思维品质的培养。
根据数学思维的特点，下面探讨几个对数学思维而言较为重要的思维品质。
13.3.1思维的深刻性
思维的深刻性，即抽象逻辑性。是指能够透过事物的表面现象把握其本质及其相互关系，正确认识事物发展的规律。表现为善于使用抽象概括，理解透彻深刻，推理严密，逻辑性强。数学思维活动中能抓住数学问题的本质属性及其相互联系，从研究的材料（已知条件、解法与结果）中揭示被掩盖住的个别特殊情况；能组合各种具体模式。
思维的深刻性是一切思维品质的基础。
例 1 设0＜x＜1，a＞0，a≠l。试比较|Sa（1-x）|与|Sa(1+x)|的大小。
分析1 比较两个实数的大小，通常是作差或作商。由于题中两个实数都带有绝对值符号，可按照a＞l和0＜a＜1两种情况进行讨论，以决定Sa(1-x)和Sa(1+x）的正负，先去掉绝值符号，再作比较。这是常规解法，比较复杂。
分析2 仔细分析这个题目，发现它有两个本质特征：一是不论a＞1还是0＜a＜1 Sa(1-x)与Sa(1+x)总是异号；二是Sa(1-x)与Sa(1-x2)总是同号，并且
Sa(1-x)十Sa(1+x)=Sa(1-x2)
抓住这两个特征，根据异号两数相加，和的符号与绝对值较大的那个加数相同，于是得到
OSa（1-x）O＞OSa（l+x）O。
以上两种思路，体现了思维能力的差异，后一种解法表现了思维的深刻性。
思维深刻性的反面是思维的肤浅性。经常表现为对概念的不求甚解；对定理、公式、法则不考虑它们为什么成立，在什么条件下成立；做练习时，对题型、套公式，不去领会解题方法的实质。
例2 求函数
f( )= + (0& & )的最值。
分析 由 sin ＞0，联想到利用均值不等式
f（ ）≥2 =2
从而得出函数f( )的最小值是2，那么这是一个错误的结论，其原因就是忽略了等号成立的条件，是思维肤浅性的表现。
调整思维方向，如果能把三角函数转化为代数函数，通过验证函数的单调性就可得到解法1。若能注意到
是动点P(2sin ,sin2 )到定点Q(0,-4)的连线的斜率，通过研究动点P的轨迹就可得到解法2。
解法1 令x＝sin , 由0＜ ＜ ,可得0＜x≤1，原函数变为
f(x)= (0&x≤1)
不难验证函数f(x)在0＜x≤1上是单调递减的函数，在x=1时，f(x)取最小值为 ，也可看出f（x）在0＜x≤1上无最大值。
解法2 由 （0& ） (0＜x≤2＝，
易知P（x，y）的轨迹是抛物线的一段OM，如图由图像与问题的实质等价，可推知过端点M（2，1）与Q(0,-4)的连线斜率 为f（ ）的最小值。由于原点O不属于定区间（0，2），故所给函数没有最大值。
在例2中，把三角函数l转化为一般的代数函数并想
到借助于函数的单调性解决问题以及把函数与动点、斜
率联系起来迅速作出解题策略，都反映出数学思维的深
13.3.2思维的广阔性 图13.2
思维的广阔性，即思维的广度。是指善于全面地分析问题，思路开阔，多角度、多层次地探求。数学思维活动中表现为能把握数学问题的整体，抓住它的基本特征，同时不放过其中有意义的细节与特殊因素，进行多方面的思考，找出解决问题的多种方法，并将之推广应用于类似的问题中。在解题时常表现为一题多解或一法多用。
例3 已知a，b，c，d均为正数，且a2十b2=c2十d2=1，求证ac十bd≤l
证法1 注意 a2＋b2=c2＋d2=1，运用代数方法去证：把已知两式相加，得
a2＋b2+c2＋d2=2 ①
由 a2＋c2≥2ac，b2＋d2≥2bd，两式相加，得
a2＋b2+c2＋d2≥2（ac＋bd） ②
比较①与②，命题得证。
证法2 注意a，b，c，d都是正数，且a2＋b2=1，c2＋d2=1，运用三角方法：
设a＝sin ，b＝cos ，c＝sin ，d＝cos , 其中0＜ ＜ 。则ac+bd=sin sin +cos cos =cos( )≤1。
证法3 注意结论ac十bd≤1，运用几何知识去证：
在直径为1的圆O内作内接四边形ABCD，如图令AB=a，BC= b，CD=c，DA= d，根据托勒密定理得 ac＋bd＝AC?BD≤1。
上述证明，沟通了代数、几何、三角的有关知识，体现了殊途同归的特点，进行这样的训练，对于开阔学生的思路，活跃学生的思维是十分有益的。
思维的广阔性也表现在有了一种很好的方法或理论，
能从多方面设想，探求这种方法或理论适用的各种
问题，扩大它的应用范围。数学中的待定系数法、判别
式法、换元法、数形结合法、构造法等等在各类问题中
的应用就是如此。
此外，思维的广阔性还表现在不但能研究问题本身，
而且又能研究有关的其他问题。教师可以从某些熟知的 图13.3
数学问题出发，提出若干富于探索性的新问题，让学生凭借他们已有的知识和技能，去探索数学的内在规律性，从而获得新的知识和技能，并扩大视野。
- ＜ - (a≥3)。
证过此题后，教师可引导学生深入观察，探索以下问题是否成立？
①设等差数列a，a+d，a+2d，a+3d，其中a，d皆为正数，求证
②设等比数列a，aq，aq2,aq3其中a，q为正数，求证 - ＞ -
通过验证①成立，②在q≠1时也成立。
思维广阔性的反面是思维的狭隘性，学生正是由于存在这种狭隘性，常常跳不出条条框框的束缚，造成解决问题困难或发生错误。
13.3.3 思维的灵活性
思维的灵活性，即思维的灵活程度，是指能依据客观条件的变化及时调整思维的方向。数学思维活动中，表现为能对具体的数学问题作具体分析，善于根据情况的变化，及时调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关的定理、公式、法则，并且思维不囿于固定程式或模式，具有较强的应变能力。
思维的灵活性是数学思维的重要品质，它与思维深刻性的结合，构成了思维的机智与敏捷，常常可导致发明和创造。正因为如此，爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。
例5 试比较 , , , , , 的大小。
分析 按照常规方法，先通分变为同分母的分数后，再比较分子的大小。而分母的最小公倍数很大，运算繁琐。调整思维方向，通过仔细观察，不难发现分子的最小公倍数是60，先变成分子相同，然后再比较分母的大小，问题会很快得到解决。
例6 已知x= ，求多项式(2x5+2x4-53x3-57x+54)1989的值。
解 由x= ，有2x+1= ,
两边平方可化成2x2+2x-55=0，用除法可知
(2x5+2x4-53x3-57x+54)1989=[(x3+x-1)(2x2+2x-55)-1]1989=(-1)1989=-1
根据例6给出的题型，把x的值代入多项式去计算是正常的思路，但本题若按常规直接代人是难以计算的。上述解法中，把x的值转化成x的二次三项式的值，由个体的值变成群体的值，然后把多项式从整体上进行分解，析出包含所得二次三项式的成分，而计算则用整体代入。这种计算方法充分表现出思维的灵活性。
例7 已知a≥一3，解关于x的方程
x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0。
分析用常规方法解此四次方程比较困难。调整思维方向，发现方程中的a最高次数是2，可把已知与未知作一转化，整理出关于a的二次方程，问题易于解决。
解 原方程化为关于a的二次方程
a2-2(x3-3x-1)a+(x4-6x3+6x2+8x)=0，解得 a=x2-4x或a=x2-2x-2
所以原方程的根为
x1,2= ；x3,4=1 。
在例6中，通过逆反转换，突破思维定势，也体现了思维的灵活性。
思维灵活性的反面是思维的呆板性。在数学学习中常表现为循规蹈矩和因循守旧，缺少应变能力，呈现出消极的思维定势。
13.3.4 思维的批判性
思维的批判性，即思维的独立性。是指思维活动中独立思考，善于提出疑问，并发表不同的看法，严格客观地评价思维的结果，及时地发现和纠正错误。数学思维活动中，表现为对已有的数学表达和论证提出自己的见解，自我评判，辩别正误，排除障碍，寻求最佳答案。
例7 已知x,y均是正数，且3x2+2y2=6x，试求z=x2+y2的极值。
误解：因为3x2+2y2=6x
所以z=x2+y2=- (x-3)2+
因为(x-3)2 ≥0,所以 z=x2+y2的极大值是
分析 上述解法如果不认真地检查，表面上看似乎没有问题。其实，z的最大值是在x=3时取得的，而由已知2y2=6x-3x2≥0，所以0≤x≤2，可以看出x≠3。因此，上述结果是错误的。
正解：因为2y2=6x-3x2≥0，所以0≤x≤2，所以z=x2+y2=- (x-3)2+
当x=2时，z有极大值是4；当x=0时，z有极小值是0。
例8 有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等。问重合一个侧面还有几个暴露面？
这是1982年美国举行的一次有83万中学生参加的全国性“初级学术能力测验”考试中的一道试题。标准答案注明为“7个”。一个佛罗里达州的中学三年级的学生丹尼尔给出的答案是“5个”。结果被阅卷老师判为错误，并“驳回”丹尼尔的说理，坚持按标准答案给分。丹尼尔并没有服输，当工程师的父亲动手做了两个实物模型，证实了自己的结论，并向主考机关提出了申诉。当有关数学家们再度仔细考虑后，不得不承认丹尼尔的答案是正确的。
事实上，当正三棱锥的一个面V′A′B′与正四棱锥的一个面VAB重合后（如图 13.4）,正三棱锥的面 V′B′C′，V′A′C′分别与正四棱锥的面VBC，VAD恰好共面，因此只剩下9―2―2―5个暴露面。
丹尼尔终于推翻了出题者原来的判断，也表明了丹尼尔具有良好的思维品质。
在数学教学中可以通过对一些容易致误的数学问题的分析思考来提高思维的批判性。
思维批判性的反面是思维的盲从性。在数学学习中常表现为对教师和教材的盲从，不敢越雷池半步；表现为对他人结论的轻信，不善于独立思考和提出问题；也表现为缺乏检查和检验的意向，不善于客观评价等等。
13.3.5 思维的独创性
思维的独创性，即思维活动的创新程度。是指思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖、独特，具有创造性。数学思维活动中表现为能独立地发现问题，解决问题，勇于创新，敢于突破常规的思考方法和解题程式，大胆提出新的见解和采用新的方法。
例9 证明：对于任意 n N，n≥3，在欧氏平面上存在一个n个点的集合，使得任意两点间的距离是无理数，且每三点构成一个非退化三角形具有有理面积（第28届IMO试题）。
证明 取定坐标系后，欧氏平面上的点可记作(x，y),记M＝{（k，k2）|k＝1，2，…，n}则M中有n个点。
对于任意 A（k1，k12），B（k2，k22），C（k3，k32） M。A，B间的距离为
d= 是无理数。
又A，B，C都在抛物线y=x2上，
所以S ＞0，且
是有理数，原命题得证。
在例9中，通过构造一个抛物线模型，使集合中任意三点落在此抛物线上，利用两点间的距离为无理数，而三角形的面积为正值且为有理数，使这样的难题轻而易举得到解决。解题的构思奇巧，反应出思维的独创性。
以上介绍了数学思维的五种品质，需要指出，数学思维的各种品质并不是孤立的，而是相辅相成、紧密联系的，它们的关系是辩证的统一。只有全面地培养数学思维的各种品质，才能使学生具有较强的思维能力，掌握高超的思维方法。
13.4 数学创造性思维及其培养
13.4.1数学创造性思维
创造性思维是指有创见的思维，即在强烈的创新意识下，改组已有的知识经验，产生出新颖的、具有社会价值的思维成果。
创造性思维有高低两种不同水平。高水平的创造性思维是指这种思维发现了前人未曾发现的新事物，解决了前人未曾解决的新问题。例如，数学史上，解析几何的创立，微积分的发现，群论的创始，非欧几何的诞生等，都是高水平的创造性思维的结果。一般高水平的创造性思维是指数学家，杰出的数学人才在数学创造性活动中所进行的思维活动。低水平的创造性思维是指这种思维的结果已为别人所完成，只是相对于思维者本人来说才算是发现了新事物，解决了新问题。例如，学生采用不同常规的思路和方法，在学习过程中有所创新和发现是一种低水平的创造性思维的结果。一般低水平的创造性思维是指学生在数学学习活动中所进行的创造性思维活动。尽管学生的创造性思维水平较低，但它却是造就高水平创造性思维人物的前提和基础。因此，注重学生创造性思维的培养，不仅有助于今天的数学学习，更有助于学生将来的发明和创造。
13.4.2数学创造性思维的阶段
1、选择与准备阶段
这是从强烈的创造愿望出发，选择课题并进行有关资料准备的阶段。准备工作做得越充分，越有利于开阔思路，有利于发现和推测问题的成因，从而易于获得成果。
2、酝酿和构思阶段
这是自觉努力的时期，一般要运用发散思维多方面、多角度、多层次的进行思考。在这一阶段，不仅要运用分析、综合、比较、归纳、类比、联想等思维方法，而且要借助于想象，特别是创造性想象进行构思。这一阶段相对来说时间较长，而且思考十分艰苦，但必须抓住目标坚持到底。
3、领悟与突破阶段
这是创造性活动的关键阶段，是前两个阶段的升华。经过充分酝酿之后，再头脑中突然跃出新的构想，使问题有可能得到解决。在这个阶段，形象思维、直觉思维以及数学美感起着重要的作用。
4、检验与完善
这是对获得构思和猜想进行检验、论证和修正完善的阶段。在这一阶段，主要运用集中思维和逻辑思维方法作进一步的研究。任何创造性活动的成功都有可能是在多次失败中孕育出来的，大量的数学史料表明，有些数学猜想要经过数月，数年甚至数十年，数百年的进一步研究才能上升为真理。因此，这一阶段是实现创造发明和获得真理的重要阶段。
上述数学创造性思维活动的四个阶段是互相联系不能截然分开的，各个阶段之间并没有严格的界限。其中关键阶段是酝酿与构思、领悟与突破这两个阶段，而起主要作用的是形象思维、直觉思维、审美意识等非逻辑思维。
13.4.3 数学创造性思维的培养
1．数学教学要充分揭示数学思维过程
数学创造性思维不仅存在于数学家的创造活动中，也存在于学生的学习活动中。这是因为，学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的结果，但学生作为学习的主体处于再发现的地位，学习活动实质上仍然具有数学发现和创造的性质。因此，采用开放式教学方法，在教学中充分揭示思维过程是培养数学创造性思维的重要途径。
(1) 重视数学思维活动中的认识发生阶段
从教学的阶段观点来看，数学教学中数学思维的活动过程，大致可以分为认识的发生阶段和知识的整理阶段。前者是指概念如何形成、结论如何被发现的过程，后者是指用演绎法进一步理解知识、开拓知识的过程（有些相似于数学创造中的“发现”与“论证”两个阶段），由于前一阶段是引导学生探索知识的过程，它闪耀着创造的火花，是培养创造性思维的有效途径。因此，前一阶段比后一阶段更为重要。在展现数学思维活动的全过程时，应着重前一阶段，使学习与发现同步。然而，在数学教学中，只重结论，不重过程，用结论去替代过程或者只重应用，不重形成，以及教师本末倒置的把新课匆促带过，以腾出时间来复习等种种做法，都是削弱认识发生阶段的表现，不利于创造性思维的培养。
（2）数学教学中应重视协调三种思维活动
数学教学中的思维活动主要包括：数学家的思维活动；数学教师的思维活动；学生的思维活动。教师在教学过程中应协调这三种思维活动。
首先，根据数学知识结构（体现在教材中），重现数学家的思维活动过程；其次，指导、调节、控制学生的思维活动，使之与教师的数学思维活动（也即数学家的思维活动）同步，并逐步实现学生的思维结构向数学家的思维结构转化；最后，帮助学生发现及总结开展数学思维活动的规律、方法及技巧。
著名德国数学家希尔伯特（Hilbert，）在哥根庭大学任教时，常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题，并立即着手解决．虽然他并非每次都能得到圆满的解答，甚至有时把自己“挂”在黑板上，但他展现的思维过程却使学生受益匪浅。追根溯源，希尔伯特的老师，著名的德国数学家富克斯（Fuchs，）教授在为希尔伯特上线性微分方程时，就采用了这样一种教学风格。富克斯对所讲内容总是现想现推，这使希尔伯特和他的同学们看到了高明的数学家创造性活动的思维过程。我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中，也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学，并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题。这些事例充分说明了展现数学思维过程对于培养学生创造性思维的重要作用。
2、激发学生的好奇心、求知欲
李政道说：“好奇心很重要，有了好奇心，才敢提出问题。法国作家法朗上说：“好奇心造就科学家和诗人”。教师的责任在于把学生的好奇心成功地转移到探求科学知识上去，使这种好奇心升华为求知欲。具体来说，在教学过程中根据学生的特点和水平，采取适当的启发学生积极思维的教学方法，让学生主动地去探索数学真理，培养学生学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力。引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中一切含有创造因素的思想和活动。
例如，一个学生偶然发现 276 276，423 423，都能被13整除，于是产生了好奇心，继而又对634 634，872 872，314 314等进行验证，发现它们都能被13整除。在教师的热情鼓励与帮助下，他终于发现
=1000 + =(1000+1) =1001
其中a，b，c是0到9之间的数字，且a≠0。从而证明了这类数都能被13整除，这样就完成了一件十分有益的创造性活动。
教学过程中，要尽量通过问题的选择、提法和安排来激发学生，唤起他们的好奇心与求知欲。善问是数学教师的基本功，也是所有数学教育家十分重视研究的问题。一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦，奏出一曲耐人寻味，甚至波澜起伏的大合唱。
问题的提法，安排要有教学艺术性。问题的提法不同，会有不同的效果，要设法使得提法新颖，让学生坐不住，欲解决而后快；安排问题既要符合需要，掌握时机与分寸，又要考虑学生的特点，注意他们的“口味”与喜好。
例如，提出“225是几位数？用对数计算”的问题之后，学生不怎么感兴趣。有的老师换一种提法：“某人听到一则谣言后一小时内传给两人，此两人在一小时内每人又分别传给两人，如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗”这样一发问，学生有了解决此问题的兴趣和积极性，效果就大不一样了。起先，谁都认为这是办不到的事。经过认其运算，发现能传遍。结果出人意料，但又在情理之中，这样发问最能让学生跃跃欲试，又能使学生通过解决问题受到思想教育（传谣速度惊人，影响极坏！传谣可恶，信谣可悲！）。
又如，在学过三角形全等的判定定理后进人复习阶段时，要安排一系列较难“消化”的问题让学生自己去判定：
1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗？
2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗？
3）有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形一定全等吗？
4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形一定全等吗？
5）面积和周长分别相等的两个直角三角形一定全等吗？
6）面积和周长分别相等的两个三角形一定全等吗？（给能力较强的学生）
3、加强数学直觉思维训练
直觉思维作为数学思维三种基本类型之一，经常与解决数学疑难问题相联系，伴随数学创造性思维出现。在数学创造性思维过程中，人们常常依靠直觉、灵感进行选择、判断形成数学猜想，在数学创造活动中起着重要的作用。培养数学直觉思维的重点是重视数学直觉。直觉尽管“突如其来 ”，但并不是神秘莫测的东西，它是在长期积累起来的知识和经验的基础上所形成的，是可以培养的。徐利治教授就曾说过：“数学直觉是可以后天培养的。实际上每个人的数学直觉也是不断提高的”。他认为数学直觉思维的能力是可以在学习数学的过程中逐步地成长起来的。其中特别重要的一环就是在学数学的过程中应当努力达到“真懂”或“彻悟”的境界。一般认为，在数学教学中加强直觉思维的训练应当从以下几个方面入手：
1）提供丰富的背景材料，恰当地设置教学情境，促使学生做整体思考。数学直觉思维的重要特征之一就是思维形式的整体性。对于面临的问题情境首先从整体上考察其特点，着眼于从整体上揭示出事物的本质与内在联系，往往可以激发直觉思维，从而导致思维的创新。
2）引导学生寻找和发现事物的内在联系。数学直觉思维的另一个重要特征，是思维方向的综合性。在数学教学中，引导学生从复杂的问题中寻找内在的联系，特别是发现隐蔽的联系，从而把各种信息做综合考察并做出直觉判断，是激发直觉思维的重要途径。
3）教学中要安排一定的直觉阶段，给学生留下直觉思维的空间。学生的思维能力是在实践和训练中发展的，在教学中适当推迟做出结论的时机，给学生一定的直觉思维的空间，有利于在整体观察和细部考察的结合中发现事物的内在规律，做出直觉判断，这是发展学生直觉思维能力的必要措施。
4）鼓励学生大胆猜测，养成善于猜想的数学思维习惯。猜想是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成。数学教学中许多命题的发现、思路的形成和方法的创造，都可以由学生通过数学猜想而得到。因此，应当精心安排教材，设计教法，在引导学生开展各种归纳、类比等丰富多彩的探索活动中，鼓励他们提出数学猜想和创见。一般说来，知识经验越多、想象力越丰富，提出数学猜想的方法掌握得越熟练，猜想的置信度就越高，实现数学创造的可能性也就越大。培养敢于猜想，善于探索的思维习惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质。下面通过一则生动的教学实例来说明直觉思维训练的途径。 问题一：两个三角形具有相同的面积，这两个三角形一定全等吗？
几乎所有的学生都知道这两个三角形不一定全等，但在举出反倒时却表现出不同的水平。
问题二：两个三角形具有相同的面积且具有相同的周长，这两个三角形一定全等吗？
条件增加了，学生的想法就不一样了。部分学生认为这两个三角形一定全等，另一部分同学则认为这两个三角形不一定全等，但短时间内谁也拿不出“事实”来。这个问题太难了，暂时放一放。
问题三：两个直角三角形具有相同的面积且具有相同的周长，这两个三角形一定全等吗？
比问题二又多了一个条件―两个三角形都是直角三角形，于是凭直觉猜想“一定全等”的学生骤然增加，甚至全班同学都会倒向一边。
但问题还在于证实这个猜想，这时大家的办法又可能不一致。不过，有一点却是肯定的，即证实猜想的欲望一定都很强烈，有点不达目的决不罢休的味道。
设两个直角三角形ABC和RST的边长分别为a，b，c和r,s,t，其中c和t为斜边长。根据题意有
解这个方程组可得a=r，b＝s。猜想得到证实。
问题四：两个等腰三角形具有相同的面积且具有相同的周长，这两个三角形一定全等吗？
有了解决问题三的经验，学生的意见可能会很一致―这两个等腰三角形一定全等。而要证实这个猜想，也许很难有人能够完成（尽管有证实上题的经验）几经碰壁、人人碰壁以后，头脑冷静的同学也许转而怀疑这个猜想了；
这不是退却，而是思路活跃，实事求是的表现。
事实证明，这个怀疑是正确的。教师可以构造如图13.5的反例。
这一对等腰三角形的面积都是420，周长都是98，但它们不全等。
至此，问题二也获得解决。
上面通过设置问题情境，让学生依靠直觉提出猜想，然后再证明或否定猜想。这样做，不仅可以激发学生的好奇心、求知欲，而且也有助于学生直觉思维能力的培养。
4、加强发散思维训练
发散思维是一种开拓性、创新性的思维，它是创造性思维的主要形式，加强发散思维的训练无疑对创造性思维的培养具有重要的意义。
发散思维的过程包含两个基本环节，一是发散对象（或发散点），二是发散方式。数学中的发散对象是多方面的。如对数学概念的拓广，对数学命题的引伸与推广（包括分别对条件、结论、关系的发散），对数学公式、法则的变形与派生等。发散的方式也是多种多样的，如对命题而言，可以是替换命题的条件或结论；也可以是减弱条件，加强结论；或是予以特殊化、一般化；还可以进行类比、推广等。在解决数学问题时，可以将解题的途径、思想、方法等作为发散点进行发散。因此，在数学教学中，只要能抓住时机，以研究的数学对象作为发散点进行多种方式发散，便能有利于发散思维能力的培养。在数学教学中加强发散思维的训练应从三个方面人手。
（1） 培养发散机智
在一个数学问题前尽可能多地提出许多设想、多种解法途径与多种答案。思维向多方面思考，在某一方向受阻时，马上转向另一方向。不要把精力老盯在一点上想，一处不通，另寻一处，即使一处通了，也不妨再觅新径，以求殊途同归。这种机智主要能提高发散思维的流畅性。如数学中的一题多变、一题多问、一题多解、一法多用等都有助于发散机智的培养。
例1 已知三角形的周长为定值，求其面积的最大值。
本例不难求出结果。按发散思维的特性，可对本题作出不同的变化、猜测，
1）已知直角三角形的周长为定值，求其面积的最大值。
2）若四边形的周长为定值时，它的面积有最大值吗？
3）若封闭的平面曲线周长一定时，它的面积有最大值吗？
4）长方体的表面积一定时，它的体积有最大值吗？
5）四面体的表面积一定时，它的体积有最大值吗？
6）表面积一定时，凸几何体的体积有最大值吗？
7）若三角形的面积为定值时，它的周长有最大值吗？
（2） 培养变换机智
一般事物的质和量是由多种因素及其相互关系决定的，如改变其中某一因素，或改变因素之间位置、地位、联想方式，常常可以产生新思路。这种机智主要提高发散思维的变通性。数学中的变量替换、几何问题代数化与代数问题几何化、几何变换等都属于这种机智。
例2 正数a，b，c，A，B，C满足条件：
a+A＝b+B＝c+C＝K
求证：aB＋bC＋cA＜K2
证明：作边长为K的正三角形PQR，如图14―6
分别在各边上取L，M，N，使QL＝A，LR=a，RM=B，MP=b, PN=C，NQ＝c，因此有
S△LRM＋S△MPN＋S△NQL＜S△PQR
因此K2＞aB十bC＋cA
例2的证明把代数问题几何化，显得直观、简捷。选择这样的
解题策略揭示了代数与几何的内在联系，有利于培养学生的变换
（3） 培养创优机智
要千方百计寻求最优答案以及探索途径，方法要独特，内容要新颖、简化。数学史上许多重大发现正是实现 图13.6创优机智的体现。数学教学中寻求简便证法、反常规解法以及独特解法的训练正是为此目的。
例3 解方程x3+2 x2+3x+ -1=0
分析：这个方程是三次的，且系数含有无理数，若按一般求解三次方程的方法不易解决。根据题目的特点，把 看作“未知数”反把 看作“已知数”则得关于 的一元二次方程。令a= ，则原方程变为
由此原方程就等价于
及 这就不难求出 了。
这种解法新颖独特，是一种反常规解法。
六、思考题：
1、能力及数学能力的基本含义。
2、如何认识数学能力的基本结构。
3、培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力有哪些基本途径。
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