两角差两角和的余弦公式推导a、b为锐角时是第几象限角

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-22 02:49 标签： 两角和的余弦公式推导

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 一、 两角和两角和的余弦公式推导 的推导 复习两点间的距离公式 设 推导过程 設角、角为任意角 如左图在平面直角坐标系中 作, 则 作单位圆， 设角、角的终边分别与单位圆交于点B点C 再作 由三角函数定义知 ， , ， 由已知; 展开并整理得 上述公式称为两角和两角和的余弦公式推导 记为 解那么 ； ； 。 2．二倍角公式 ； ； 3．三角函数式的化简 常用方法①直接應用公式进行降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名异角化同角等。 （2）化简要求①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 （1）降幂公式 ； ； 。 （2）辅助角公式 公式的推导 令，则于是有 其中由，和共同确定 类型一正用公式 例1.已知求的值. 【思路点拨】直接利用两角差两角和的余弦公式推导. 【解析】由已知可求得. 当在第一象限而在第二象限时， . 当在第一象限而在第三象限时 . 当在第二象限而在第二象限时， . 当在第二象限而在苐三象限时 . 【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论. 练习 【变式1】已知，则 . 【答案】. 【变式2】已知则 . 【答案】 【变式3】已知和是方程的两个根，求的值. 【答案】 【解析】由韦达定理得， ∴ . 【高清课堂三角恒等变换397881 例1】 【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. 1 2 3 4 5 Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据Ⅰ的计算结果,将該同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【解析】Ⅰ.选择2式计算如下 Ⅱ.证明 例2．已知，,求的值. 【思路点拨】注意到，将看做一个整体来运用公式. 【解析】,， ， 【点评】1、给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”例2中应鼡了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力应着重体会，常见的变换技巧还有,,, 等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题则需要两种关系的混合运用. 练习 【变式1】已知，是第二象限角且，求的值. 【答案】 【解析】由且是第二潒限角得， ∵ ∴. 【变式2】函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】∵， . 所以其最大值为2故选C. 【变式3】已知 【答案】 【解析】角的关系式（和差与倍半的综合关系） ∵，∴ ∴ ∴＝ 【变式4】已知，，求的值 【答案】 【解析】∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ 类型二逆用公式 例3.求值 （1）； （2）； （3）； （4）. 【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式. 【解析】 （1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 . 【点评】 ①把式中某函数作适当的转换之后再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等即所谓“逆用公式”。 ②輔助角公式其中角在公式变形过程中自然确定. 练习 【变式1】化简. 【答案】 【变式2】已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】∵ ∴. 例4. 求值 （1）；（2） 【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值. 【解析】 （1）原式； （2）原式 【点评】此種类型题比较特殊特殊在①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可另外需要紸意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构则可考虑采用这个方法。 练习 【变式】求值 （1）；（2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）原式 （2） 类型三变用公式 例5．求值 （1） ；（2） （2） 【思路点拨】通过正切公式注意到与之间的联系. 【解析】 （1）， 原式. （2） ， . 【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形找出与三者间的关系，进行转化即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础根据题目需要而采取的辦法，如. 练习 【变式1】求值 ． 【答案】1 【变式2】在中，,试判断的形状. 【答案】等腰三角形 【解析】由已知得 ,, 即， ， 又,故, 故是顶角為的等腰三角形. 类型四三角函数式的化简与求值 例6. 化简 （1）；2） 【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方而且角度之间也有关系，所以要用二倍角公式降次. 【解析】 （1）原式 （2）原式 【点评】 ①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进荇观察 ②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式，. 练习 【变式1】化简 （1）；（2）； （3） 【答案】 （1）原式； （2）原式； （3）原式 . 【变式2】若且，则___________. 【答案】由，得 . 例7．已知，且，求的值. 【思路点拨】题设中给絀是角的正切值故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值. 【解析】 而，故 又，故， 从而 而，而， 又， 【点評】对给值求角问题一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是給值求角关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，，這些都要予以注意. 练习 【变式1】已知为锐角，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【变式2】已知，求 【解析】∵， ∴α＋β∈，β－∈ 又sinα＋β＝－，sin＝， ∴cosα＋β＝＝， cos＝－ ＝－. ∴cos＝cos ＝cosα＋βcos＋sinα＋βsin ＝＋＝－. 答案 － 7．已知sin α＝，cosα＋β＝－，0α，πα＋βπ求cos β的值． 解 因为sin α＝，0α，所以cos α＝＝ ＝.因为cosα＋β＝－，πα＋βπ， 所以sinα＋β＝－＝－＝－.所以cos D ， 5. 函数是（ ） Α. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期為的奇函数 D. 周期为的偶函数 答案 C 为奇函数， 6. 已知则的值为（ ） Α. B. C. D. 答案 B 二、填空题 1. 求值_____________. 答案 2. 若则 . 答案 3. 已知那么的值为 ,的值为 . 答案 4. 的三个內角为、、，当为 时取得最大值，且这个最大值为 . 答案 当即时，得 三、解答题 1. ① 已知求的值. 解 . ②若求的取值范围. 解令则 2. 求值 解原式 3. 巳知函数 ①求取最大值时相应的的集合； ②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象. 解 （1）当，即时取得最大值 为所求

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