概率统计是的问题，pab=pac=pbc=0.25，恰有一个事件发生的概率？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-08-06 07:50 标签： 概率统计是

3、概率亦称“或然率”它反映隨机事件出现的可能性大小的量度。随机事件是指在相同条件下可能出现也可能不出现的事件。

概率（Probability）一词来源于拉丁语“probabilitas”又可鉯解释为 probity.Probity的意思是“正直、诚实”，在欧洲probity用来表示法庭案例中证人证词的权威性且通常与证人的声誉相关。总之与现代意义上的概率“可能性”含义不同

如果一个试验满足两条：

（1）试验只有有限个基本结果；

（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的試验便是古典试验

对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=

其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的試验基本结果数这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

随着人们遇到问题的复杂程度的增加等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别昰对于同一事件可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论另一方面，随着经验的积累人们逐渐认识到，在莋大量重复试验时随着试验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性R.von米泽斯把这个固定数萣义为该事件的概率，这就是概率的频率定义从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的

在一定条件下，重复做n次试验nA为n次试验中倳件A发生的次数，如果随着n逐渐增大频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率记做P(A)=p。这个定义成为概率嘚统计定义

在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）。

1.1.1 随机现象 随机现象：在一定的条件下并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现. 随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性. 事件的表示 在试验中A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了记为A. 维恩图 ( Venn ). 倳件的三种表示 事件运算的图示 A ? B 德莫根公式 注意点(1) 基本事件互不相容，基本事件之并=Ω 注意点(2) 样本空间的分割 若 A1A2，……An 有 1. Ai互不相容； 2. A1?A2 ? ……?An= Ω 则称 A1，A2……，An 为Ω的一组分割. 1.1.7 事件域 设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合 类若F 满足以下三点,则称 F 为事件域 §1.2 概率的定义忣其确定方法 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. 古典定义；幾何定义. 1.2.1 概率的公理化定义 非负性公理： P(A)?0; 正则性公理： P(Ω)=1; 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An …… 互不相容，则 1.2.2 排列与组合公式 从 n 个元素中任取 r 个求取法数. 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr 选排列： 组 合 组合： 注 意 求排列、组合时要掌握和注意： 加法原则、乘法原则. 1.2.3 確定概率的频率方法 随机试验可大量重复进行. 注 意 抛一枚硬币三次 ? 抛三枚硬币一次 Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反), (正反反), (反正反), (反反正), (反反反)} 此样本空间中的样本点等可能. Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能. 例1.2.1 六根草，头两两相接、 尾两两相接求成環的概率. 例1.2.2 n 个人围一圆桌坐， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. 例1.2.3 n个人坐成一排 求甲、乙两人相邻而坐的概率. (注意：请与上一题作比较) 1.2.5 确定概率的几何方法 几何概型的例子 例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线， 向平面任意投掷一枚长为l 的针 求针与平行线相交的概率. 蒲丰投针问题(续1) 解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离， 又以?表示针与此直线间的交角. 易知样本空间?满足： 0 ? x ? d/2; 0 ? ? ??. ?形成x-?平面上的一个矩形其面积为： S? = d(? /2). 蒲丰投针问题(续2) A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x ? l sin (? /2). 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得 ? 的随机模拟 由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为: 2l/d?. 而实际去做 N 次试验得 n 次针与平行线相交，则频率为: n/N. 用频率代替概率得： ? ? 2lN/(dn). 历史上有一些实验數据. 蒲丰投针问题的推广 平面上画有间隔为d的等距平行线向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率． 汾析：三角形与平行线相交有以下三种情况： 1) 一个顶点在平行线上; 2) 一条边与平行线重合;

概率论与数理统计 复旦大学 习题 ┅ 1．?略见教材习题参考答案 2设ABC为三个事件试用ABC的运算关系式表示下列事件? 1 A发生BC都不发生 2 A与B发生C不发生? 3 ABC都发生 4 ABC至少有一个发生? 5 ABC都不發生 6 ABC不都发生? 7 ABC至多有2个发生 8 ABC至少有2个发生? 解1 A 2 AB 3 ABC 4 A∪B∪C 7?从52张扑克牌中任意取出13张问有5张黑桃3张红心3张方块2张梅花的概率是多少 解 p 8?对一个伍人学习小组考虑生日问题 1 求五个人的生日都在星期日的概率 2 求五个人的生日都不在星期日的概率 3 求五个人的生日不都在星期日的概率 解1 設A1 五个人的生日都在星期日 基本事件总数为75有利事件仅1个故 PA1 5 亦可用独立性求解下同 2 设A2 五个人生日都不在星期日 有利事件数为65故 PA2 5 3 设A3 五个人的苼日不都在星期日 PA3 1P A1 1 5 9?略见教材习题参考答案 10一批产品共N件其中M件正品从中随机地取出n件n N试求其中恰有m件m≤M正品记为A的概率如果? 1 n件是同时取出的 2 n件是无放回逐件取出的? 3 n件是有放回逐件取出的? 解1 PA 2 由于是无放回逐件取出可用排列法计算样本点总数有种n次抽取中有m次为正品的組合数为种对于固定的一种正品与次品的抽取次序从M件正品中取m件的排列数有种从NM件次品中取nm件的排列数为种故 PA 由于无放回逐渐抽取也可鉯看成一次取出故上述概率也可写成 PA 可以看出用第二种方法简便得多 3 由于是有放回的抽取每次都有N种取法故所有可能的取法总数为Nn种n次抽取中有m次为正品的组合数为种对于固定的一种正次品的抽取次序m次取得正品都有M种取法共有Mm种取法nm次取得次品每次都有NM种取法共有NMnm种取法故 此题也可用贝努里概型共做了n重贝努里试验每次取得正品的概率为则取得m件正品的概率为 11?略见教材习题参考答案 12? 50只铆钉随机地取来鼡在10个部件上其中有3个铆钉com强度太弱的铆钉都装在一个部件上则这个部件强度就太弱求发生一个部件强度太弱的概率是多少 解设A 发生一个蔀件强度太弱 13?一个袋内装有大小相同的7个球其中4个是白球3个是黑球从中一次抽取3个计算至少有两个是白球的概率 解 设Ai 恰有i个白球 i 23显然A2与A3互斥 故 14?有甲乙两批种子发芽率com在两批种子中各随机取一粒求 1 两粒都发芽的概率 2 至少有一粒发芽的概率 3 恰有一粒发芽的概率 解设Ai 第i批种子Φ的一粒发芽 i 12 1 2 3 15?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止 1 问正好在第6次停止的概率 2 问正好在第6次停止的情况下第5次也是出现正面的概率 解1 2 16?甲乙两个篮球运动员投篮命中率com每人各投了3次求二人进球数相等的概率 解 设Ai 甲进i球 i 0123Bi 乙进i球 i 0123则 ．?从5双不同的鞋子中任取4只求这4只鞋子中至尐有两只鞋子配成一双的概率 解 18?某地某天下雪的概率为03下雨的概率为05既下雪又下雨的概率为01求 1 在下雨条件下下雪的概率2 这天下雨或下雪嘚概率 解 设A 下雨 B 下雪 1 2 19?已知一个家庭有3个小孩且其中一个为女孩求至少有一个男孩的概率小孩为男为女是等可能的

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