《§_5_定积分习题与答案》 www.wenku1.com
§_5_定积分习题与答案日期：
第五章 定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线y?x?1，两直线x?a,x?b(b?a)及横轴所2围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： 1)?1 2xdx?1 2)?1 ?x2dx??4 3)?????sinxdx?0 4)?2?cosxdx?22??? cosxdx2 3．估计下列各积分的值 1)?xarctaxndx 2)?0ex2?x2dx 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 1)?221lnxdx与?(lnx)2dx 2)?1exdx与?11 (1?x)dx 5．计算下列各导数1)dx2dx?0?t2dt 2)dx3dtdx?x2?t4 3)dcosxdx?sinxcos(?t2)dt6．计算下列极限xx1)lim?0cost2dt0ln(1?sint)dtx?0x2)lim?x?01?cosx 3)lim?x (1?t2)et2dtx?0xex2 7．当x为何值时，函数I(x)??xte?t2 dt有极值？ 8．计算下列各积分 1)?21(x2?1x4)dx 2)?94x(1?x)dx 1 3)?2dx?1 4)2(1?x2)?dx a2?x2 5)??2dx?e?11?x 6)?2?0sinxdx7)?? sinx?sin3xdx 8)?2?x?10f(x)dx，其中f(x)???1x?12??2xx?1 9.设k，l为正整数，且k?l，试证下列各题：1)??coksxd?x0 2)??????cos2kxdx??3)????coskx?sinlxd?x0 4)????sinkxsinlxdx?0 10.计算下列定积分 1)???(1?sin?)d? 2)?2cos2udu3 3)1?x21x2 5)?dx1x2?x27)2dxxx2?19)?2axdx03a2?x2 11)?0dx?2x2?2x?264)?a20xa2?x2dx 16)?210(1?x2)3 8)?1xdx?1?4x t2 10)?1?20tedt?12)?2??cosxcos2xdx2 ?13)?2??cosx?co3sxdx 14)2?2x(cosx?x)dx?21?x215)?? ?cos2xdx 11.利用函数的奇偶性计算下列积分?1 1)?24?4cos?d? 2)?2(arcsinx)2??122?x2dx 3)?5x3sin2x?5x4?2x2?1 12．设f（x）在?a,b?上连续，证明：?bbaf(x)dx??af(a?b?x)dx13．证明：?1dx1x1?x2??xdx11?x2(x?0) 14．计算下列定积分 ?1)?1xe?x30dx 2)x?24sinxdx 3)?4lnx1x4)?10xarctanxdx ? 5)?2e2xcosxdx 6)??2 (xsinx)dx 7)?esin(lnx)dx 8e1)1lnxe 15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。 1）???dx1x4 2）????ax0edx ?a?0? 3）???1ex?e?x 4）???0e?pt sin?tdt(p?0,??0) 5）?1xdx0?x26）?2xdx1x?1
edxdx7）? 8）?1x??lnx?2 ??x2?2x?2?? (B)1．填空： 1）lim(n??111????)?________。 n?1n?2n?n2）估计定积分的值：____?dx41?sin2x?_____。?3x?a?3）运用积分中值定理可得：lim1xf(t)dt(f(x)是连续函数）＝________，x?a?alim?n?an??nsinx(a?0)?______。 x? 4）limx?0?x2 sindtx32?_______。5）设F(x)???(x)___。 sint2dt，其中?(x)为可导函数，则F?(x)?__________6）设f(x)为连续函数，且满足 7）已知??x3?1 f(t)dt?x,则f(7)?______。?2ln2dxe?1xa??6,则a?___________。32?x?sinx8? 8)?2。 ?sinx?dx?________??42?x?2x?1?2?9)若??f(x)?f?(x)?edx?1,f(1)?0,则f(0)?________。x 110)广义积分???2dx，当k______时收敛，广义积分x(lnx)k?badx当k_______时收敛。 k(x?a)22．汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度a??5m/s刹车，问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？3．计算下列极限： 1）limx?0x??costdt 2x22x10? 2）limx?0x2 costdt2ln(1?x) 3）limx?0(?etdt)2x2?te 0x2t2dt4）lim?x (arctant)2dtx?12x??? 4．求下列由参数方程给出或隐函数方程所决定的y对x的导数dy dx?x?tsinudu??01）? ty??cosudu?0?1） 由?y etdt??costdt?0所决定的隐函数y?y(x)。 x1?x0?x???sinx5．设f(x)??2 ，求?(x)??f(t)dt在(??,??)内的表达式。0x?0或x???0?
6．设f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f?(x)?0， F(x)?7．证明：x(1?x)dx?x(1?x)dx。 x1f(t)dt，证明在(a,b)内有F?(x)?0。x?a?a?1mn?1nm 8．若f(x)在?0,1?上连续，证明：??1） 2）?20f(sinx)dx??2f(cosx)dx ?? xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx, 由此计算：?? xsinxdx 21?cosx9．证明：???20?0 f(sinx)dx?2?f(sinx)dx?2?2f(cosx)dx并计算：?? 1dx 21?sinx10．若f(t)是连续函数且为奇函数，证明?x f(t)dt是偶函数；若f(t)是连续函数且为偶函数，证明?xf(t)dt是奇函数。 11．计算下列定积分： 1)?elnx1x(1?ln2x) ?3)?40ln(1?tanx)dx ? 5)?20?sin2xdx?1 7)设f(x)???1?x?1?ex?18）?ln23?x2 xedx ?2)?2x?sinx01?cosx 4)?adx0x?a2?x2 ?6)?2dx 1?cos2xx?0，求x?0?20f(x?1)dx。9）??cos2xex0dx 1ln(1?x)22(1?x)dx（m为自然数） 10）? 11）2?00(2?x)1m 12） 13）?a?a?x?f(x)?f(?x)??(a2?x2)mdx(f(x)为连续函数，m为自然数）??2 ?1dx 14）Im??xsinmxdx(m为自然数） 20x?2x?312.已知f(?)?1，且 ??f(x)?f??(x)?sinxdx?3,其中f??(x)连续，求f(0)。 ?13．当k为何值时，反常积分???2dx收敛？当k为何值时，这反常积分发散？又当kkx(lnx)为何值时，这反常积分取得最小值？14．推公式计算反常积分In? 11??? xne?xdx (C)1．计算下列极限：1p?2p???np1ni(p?0) 1）lim?? 2) limp?1n??n??nnni?13) limlnn??n!nxtf(t)dt?2．设f(x)在?0,???内连续且f(x)?0，证明函数F(x)?在?0,???内为单调增?f(t)dt0x0加函数。3．设f(x)在区间?a,b?上连续，且f(x)?0，F(x)??f(t)dt??axxbdt,x??a,b?， f(t)证明：1）F?(x)?22）方程F(x)?0在区间?a,b?内有且仅有一个根。4．设f(x)在?a,b?上连续，且f(x)?0，证明：在(a,b)内有且仅有一点?使下式??af(x)dx??b?1dx成立。 f(x)5．计算下列积分： 1） 2） 3)6．设7．设??1?1max(e2x,e?x)dxtan2nxdx?40ln(1?x)?01?x21f(x)是以l为周期的连续函数，证明：?af(x)为连续函数，证明：?0xa?lf(x)dx的值与a无关。xt0 f(t)(x?t)dt??(?f(u)du)dt8．设f(x),g(x)在区间?a,b?上均连续，证明： 121）(?b2b2baf(x)g(x)dx)??af(x)dx??ag2(x)dx1 2) (?b22a?f(x)?g(x)?dx)?(?b11f2(x)dx)2?(?bg2(x)2aadx)9．设f(x)在区间?a,b?上连续，g(x)在区间?a,b?上连续且不变号， 证明至少存在一点???a,b?，使下列等式成立?baf(x)g(x)dx＝f(?)?bag(x)dx（积分第一中值定理）第五章 定积分答案 习 题 答 案 （A）1．1(b3?a33)?(b?a)3．1）??3xarctanxdx?2）?2e2??0x2?x?19?3? 22edx??2e44．1）?2221lnxdx??(lnx)dx 2)?1exdx>?11 (1?x)dx5．1）?x4?2x 2）3x2?x12?2x?x8 3）(sinx?cosx)?cos(?sin2x) 6．1）1 2）1 3）1 7．当x?0时8．1）258 2）4516 3）??3 4）3a5）－1 6）4 7）1 8）83 10．1）??4??a43 2)6?83)1?4 4)16? 5)2?233 6)337)?112 8)6?19)(3?1)a 10)1?e211)?2 12)2313 13)4314)22 ．1）32? 2）?3113243）012．提示：令t?a?b?x 13．提示：令t?1x14．1）1－2e 2）(14?39)??12ln323)4(2ln2?1) 4)?4?12 5)15(e??2) 6）?36??47)12(esin1?ecos1?1) 8)2(1?1e) 15．1）13 2）1a 3）?4 4）?p2??2 5）1 6）223 7）? 8）?2(B)1．填空：1）原式＝?11?01?xdx?ln2 2）?dx?21??3x?1841?sin2 3）f(a)，0 4）?235）?(sin?2(x))???(x) 6）1127）0 8）105?3849）－1 10）k?1,k?1 2．s?10(m)23．1）limx??x2 cost2dt2x?cosx4?2x1?cosx4＝x?0limx?010x9＝lim1x10x?05x8＝10x2 2）原式＝lim?0costdtlim2x?cosx2＝x?0x2x?02x＝1 xt223）原式＝lim2?edt?ex x?0x?e2x2＝2）原式＝(arctanx)2?24xlim＝???16 2x2?1 14 dydycost4．1）???csctdxsintdtcosx2）对方程两边同时求x的导数得：y???ey??5． ?(x)????10x?0x1??02sinxdx?2(1?cosx) 0?x????1x?????02sinxdx?16．提示：F?(x)?f(x)(x?a)??xaf(t)dt(x)(x?a)?f(?)(x?a)(x?a)2＝f(x?a)2＝f(x)?f(?)x?a(a???x)7．提示：令1?x?t，利用定积分的换元法8．1）令t??2?x2）令t???x??9．提示：令?? f(sinx)dx＝?20f(sinx)dx??f(sinx)dx2对??f(sinx)dx，令t??22?x，利用换元法得结果。10．提示：令F(x)??x?x f(t)dt，则有F(?x)?? f(t)dt，再利用换元法得结果。??11．1）1x2ln2 2）原式＝?201?cosxdx??2sinx?01?cosxdx＝23）?8ln2（提示：令x??4??) 4）令x?asint,?4 5）2(2?1) 6）?22 7）原式＝?2 21?1f(t)dt???1f(t)dt??0f(t)dt?1?ln(1?e?)8）原式＝?12?ln20x2de?x2?14(1?ln2) 9）原式＝??ex1?cos2x3(e??102dx?)5 15 10）原式＝?110ln(1?x)d2?x?ln2??10(1x?2?1x?1)dx＝?13ln2 11）原式＝?21 (x?3)(x?1)dx＝?11210(x?3)(x?1)dx??1(x?3)(x?1)dx 12．提示：考虑?? f??sinxdx??cosxf(x)???00f(x)sinxdx得f(0)?2(C)1．1）原式＝?1 ?xdx?23(22?1) p 2）原式＝lim1n(12nn???np11n??p?pnp)＝?0xpdx?p?1 1n!1n3）原式＝limn??nlnnlimn??n?lnk1n??k?1n?0lnxdx??1xx2．证明：F?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?x2 f(t)dt)3．证明：1）显然F?(x)?f(x)?1f(x)?f(x)?0,?F?(x)?2f(x)1f(x)?2 2）由f(x)在?a,b?上连续知F(x)在?a,b?上连续 又由1）知F?(x)?2?0?F(x)在?a,b?上单调递增。 又F(a)??a1f(t)dt?0，F(b)??bbaf?t?dt?0?方程F(x)?0在（a，b）内有且仅有一个根。4．令F(x)??x1af(x)dx??bxf(x)dx，下证明同3。 165．1）原式＝? x1?1e?dx??e2xdx??e?x0?1?12e2x10 ??32?e?12e2??2）令In＝?4 tan2nxdx??40tan2n?2x(sec2x?1)dx???＝?42n?240tanxdtanx??tan2n?2 xdx=1n?1??40tan2n?22xdx得递推式：I1?n?2n?1?I?n?1 ，而I0??401dx?4?3) 令x?tant 原式＝?4 ln?1?tant?dt 又令t??4?u??则有?4ln?1?tant?dt??4?2? ln??1?tanu??du???ln2??4?4 ln?1?tant?dt ， 所以原式?8ln26．证明：?a?lla?laf(x)dx＝?0af(x)dx??0f(x)dx??lf(x)dx对?a?la?l)dx??alf(x)dx，令x?l?t，??lf(x0f(l?t)dt?f(x)是以l为周期的连续函数，?f(l?t)?f(t) ??a?laaaf(x)dx??f(l?t)dt??f(t)dt???0 af(x)dx于是得：?a?llaf(x)dx＝?0f(x)dx 结论成立。7．证明：令?tf(u)du?F(t)，右边＝?xF(t)dt?tF(t)x ??x tdF(t) ＝xF(x)??xxx tf(t)dt?x?0f(t)dt??0tf(t)dt＝?x (x?t)f(t)dt＝左边8．证明：1）对??，由题设?ba?f(x)??g(x)?2dx?0 即?b22??bbaf(x)dx?af(x)g(x)dx??2?ag2(x)dx?0?必有（2?baf(x)g(x)dx)2?4?bf2(x)dx??baag2(x)dx?0即结论成立。2）用1）结论即得。 17 9．证明：由f(x)在?a,b?上连续知：?m,M，有 ?x??a,b?,m?f(x)?M 于是：m?bbag(x)dx??f(x)g(x)dx?M?baag(x)dx由g(x)在?a,b?上连续且不变号，不妨设g(x)?0（g(x)＝0结论自然成立），则?bag(x)dx?0b?m??af(x)g(x)dx?b?M ，由闭区间上连续函数性质知：ag(x)dxb至少存在一点?，使f(?)??af(x)g(x)dx?b，即结论成立。ag(x)dx 18 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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求下列不定积分
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我写漏了一题😂
请问第八题的负四分之乘几分之二？
乘以2/3
(2)1/5*sin(5x)(6)1/2*sin(x^2)(8)-1/4*sqrt(3-2x^2)(9)1/2*sin^2(x)
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求下列定积分,共8题,(1)定积分（2x）dx ；x的下限是-2,上限3(2)定积分（x^2）dx ；x的下限是-3,上限2(3)定积分（t^3）dt ；x的下限是0,上限2(4)定积分（x^4）dx ；x的下限是0,上限1(5)定积分（1）dr ；x的下限是4,上限9(6)定积分（6）dy ；x的下限是3,上限10(7)定积分（cosx）dx ；x的下限是0,上限pi/2pi即是圆周率.（8）定积分(（secx）^2)dx ；x的下限是0,上限pi/4pi即是圆周率.
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(1)9-4=5(2)8/3+9=35/3(3)4-0=4(4)1/5-0=1/5(5)9-4=5(6)60-18=42(7)1-0=1(8)tan(pi/4)-0=1
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　　解：∵∫xsin2xdx=(-1/2)∫xd(cos2x)=(-x/2)cos2x+(1/2)∫cos2xdx=(-x/2)cos2x+(1/4)sin2x+C1，同理，∫xsinxdx=-∫xd(cosx)=-xcosx+∫cosxdx=-xcosx+sinx+C2，　　∴原式=[(-x/2)cos2x+(1/4)sin2x+xcosx-sinx]丨(x=0,π)=-3π/2。　　供参考。
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