某班的全体学生进行了短跑.游泳.篮球三个项目的测试.有4名学生在这三个项目都没有达到优秀.其余每人至少有一个项目达到优秀.这部分学生达到优秀的项目.人数如下表:求这个班的学生数． 题目和参考答案——精英家教网——
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23、某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：求这个班的学生数．
分析：首先令短跑测试人数为A、游泳测试人数为B、篮球测试人数为C．根据题目说明及表将原题改写为：A=17，B=18，C=15，A∪B=6，B∪C=6，A∪C=5，A∩B∩C=2，求A∪B∪C的值．再利用容斥定理加以解决．解答：解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17，18，15，因而，总人数是17+18+15+4=54，但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54-6-6-5=37，又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去．即这个班学生数为：37+2=39．点评：本题考查容斥定理，如用常规的方法作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，采用容斥原理加以解决就避免了这些问题，因而同学们一定要灵活掌握容斥定理的定义及公式．
练习册系列答案
科目：初中数学
14、某校对七年级两个班全体学生进行了每天体育活动（每人只参加一项）的情况调查，得到下面的结果：（1）计算参加每个项目的男同学占全体男同学的百分比（精确到0.01%），并填在下表中：（2）完成扇形统计图并计算各个扇形的圆心角度数（精确到1°）①篮球：；②羽毛球：③足球：．
科目：初中数学
某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投一个球得1分，得分的部分情况如下表所示：
&0已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均分为3分，那么该班有（　　）人．
A、45B、43C、46D、50
科目：初中数学
题型：解答题
某校对七年级两个班全体学生进行了每天体育活动（每人只参加一项）的情况调查，得到下面的结果：（1）计算参加每个项目的男同学占全体男同学的百分比（精确到0.01%），并填在下表中：（2）完成扇形统计图并计算各个扇形的圆心角度数（精确到1°）①篮球：______；②羽毛球：______③足球：______．
科目：初中数学
来源：同步题
题型：解答题
某校对七年级两个班全体学生进行了每天体育活动（每人只参加一项）的情况调查，得到下面的结果
（1）计算参加每个项目的男同学占全体男同学的百分比（精确到0.01%），并填在下表中
（2）完成扇形统计图并计算各个扇形的圆心角度数（精确到1°）①篮球：_________②羽毛球：_________③足球： _________&
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模仿训练1 一个班有42名学生都订了报纸，订阅《中国少年报》有32人，订阅《小学生报》有27人，至少有多少人订阅两种报纸？
例2 有100位旅客，其中有10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，既懂英语又懂俄语的有多少人？
模仿训练2 京华小学五年级的学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人，全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？
例3 外语学校有英语、法语、日语教师共有27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，能教英、法、日语的只有2人，只能教法语的教师有多少人？
模仿训练3 一个工厂有一批工人，没人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种都会的有19人，这个工厂一共有多少人？
例4 某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余没人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目人数如下：短跑17人，游泳18人，篮球15人，短跑、游泳6人，游泳、篮球6人，篮球、短跑5人，短跑、游泳、篮球2人。问：这个班有多少个学生？
模仿训练4 某班有28个男生中有14人喜欢打篮球，9人喜欢打排球，13人喜欢打羽毛球，另有2人既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球，有3人既喜欢打羽毛球又喜欢打排球，每人至少喜欢一种球，但没有一个人三中球都喜欢，有多少人既喜欢打篮球又喜欢打排球？
例5 海卫小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛，有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一个人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。 （1）只参加数学竞赛的有（
）人； （2）只参加作文竞赛的有（
）人； （3）只参加美术竞赛的有（
）人； 模仿训练5 某班有48人，其中37人做完了语文作业，42人做完了数学作业，语文、数学作业都没做完的人一个也没有，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
第1页 包含与排除练习（一）
1、 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且全班每人至 少参加一个队，问：这个班有两队都参加的有多少人？
2、 某校数学、英语期中考试成绩如下，英语得100分的有12人，数学得100分的有10人， 两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人，这个班有多少个学生？
3、 某班有学生50人，有人学会了骑车，有人学会了游泳，已经学会骑自行车的人有35人， 两样都学会的有15人，没有一样也没有学会的人，学会游泳的有多少人？
4、 有A、B、C三个面积分别为38、40、42平方厘米的圆，每两个圆相交部分的面积分别 为7、8、9平方厘米，三个圆相交部分的面积是3平方厘米，图形覆盖的总面积是多少？
拓展提高 1、 某校六年级有学生54人，每人至少爱好一种球，爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有 20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人，对于这三中球都爱好的有多少人？
2、 某大学英语专业开设第二外语，学校规定学生在法、日、俄语中至少选学一门，该班有 学生34人，选学法语的21人，选学日语的19人，选学俄语的10人，其中4人同时选学法语和俄语，5人同时选学日语和俄语，没有同时选学三门的，同时选学法语和日语的有多少人？
3、 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号， 然后将标有记号的地方剪断，问绳子共被剪成多少段？
4、 在100名学生中，有音乐爱好者53名，体育爱好者72名，那么两项都爱好的至多几名？ 至少几名？
第2页 包含与排除（二） 1、 一个班42名学生都订了报纸，订《中国少年报》的有32人，订《小学生报》的有27 人，有多少人订了两种报纸？
2、 某班40名学生星期日去公园游玩，有30人划了船，18人爬了山，5名学生因身体不好 既没有划船也没有爬山，只是坐在亭子里休息，既划船又爬山的同学有多少人？
3、 在87人中，会下中国象棋的有68人，会下国际象棋的有50人，两种象棋都不会下的 有10人，两种象棋都会下的有几人？
4、 26个男生中，有13人爱好篮球，9人爱踢足球，12人爱打排球，有2人既爱打篮球又 爱踢足球，另有2人既爱打排球又爱踢足球，但没有1人是三种球都爱的，问有多少人爱打篮球和排球？
5、 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名，已知这100本书中有甲、乙、丙签名 的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本，问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
6、 小张、小王和小李练习投篮球，一共投了100次，有43次没投进，已知小张和小王一 共投进了32次，小王和小李一共投进了36次，小李投进了多少次？
7、 一批教师会英语的有235人，会俄语的218人，会法语的207人，既会英语又会俄语的 有112人，既会英语又会法语的有71人，既会俄语又会法语的有63人，三种都会的19人，三种都不会的17人，问：这批教师共有多少人？
8、甲、乙、丙同时给100盆花浇水，已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？　　人们研究一个问题,往往是在一个大背景下研究.这个大背景就是一个大框框,就是一个大集合.我们所研究的每一个对象都是它的元" />
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集合及其子集的元素分布与应用
　　人们研究一个问题,往往是在一个大背景下研究.这个大背景就是一个大框框,就是一个大集合.我们所研究的每一个对象都是它的元素,我们所研究的每一个集合都是它的子集.如果对研究的对象不熟悉,对可能的子集不明确,或者知己不能知彼,或者既不能知己又不能知彼,就会犯盲人摸象、瞎子摸鱼、顾此失彼的错误.那么,就难以解决问题,或者收不到比较理想的效果.本文仅就集合及其子集的元素分布情况和它们的应用谈一下自己的粗浅看法. 中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-9249564.htm　　一、子集分布 　　根据集合中元素的确定性、互异性、无序性和子集的概念可以推知: 　　(1)?б桓鲇?n个元素的集合共有2??n个子集,2??n-1个真子集,其中互补的子集共有2????n-1对. 　　(2)一个有n个元素的集合,如果要求它的子集两两都不相交,那么这样的子集共有2????n-1个.如果要求它的子集两两的交集都不是空集,那么这样的子集最多有2????n-1个. 　　二、元素分布 　　在一个有n个元素的集合的所有子集中,每一个元素出现与不出现的机会是均等的,都是2????n-1次,每两个元素都出现与都不出现的机会的次数都是2????n-2次,每??r(r≤n)个元素都出现与都不出现的机会的次数都是2????n-r次.?? 　　一个有限集合里所有元素的个数叫做这个集合的基数.集合A的基数用??card(A)表示.集合的基数有下列运算规律: 　　(1)card(C∪A)=card(C)-card(A). 　　(2)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 　　(3)card(A∪B∪C)=【card(A)+card(B)+card(C)】-【card(A∩B)+ 　　??card(C∩B)+card(A∩C)】+card(A∩B∩C). 　　(4)card(A1∪A2∪…∪A??n??)=【card(A1)+card(A2)+…+card(A??n??)】- 　　??【card(A1∩A2)+card(A1∩A3)+…+card(A1∩A??n??)+card(A2∩A3)+??card(A2∩A4)+…+card(A2∩A??n??)+…+card(A????n-1??∩A??n??)】+【card(A1∩A2∩A3)+card(A1∩A2∩A4)+…+card(A1∩A2∩A??n??)+card(A1∩A3∩A4)+??card(A1∩A3∩A5)+…+card(A1∩A3∩A??n??)+…+card(A????n-2??∩A????n-1??∩A??n??)】-…+(-1)??????n+1??card(A1∩A2∩…∩A??n??). 　　(5)card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B). 　　(6)card(A∩B∩C)=card(A∪B∪C)-card(A)-card(B)-card(C)+??card(A∩B)+card(C∩B)+card(A∩C). 　　例1 已知A={0,1,2,…,9｝,B={??n|n是质数,n??<10｝,C??A,B∩C≠??,求子集C的个数. 　　解:∵A={0,1,4,6,8,9｝∪{2,3,5,7｝, 　　又∵C??A,B={2,3,5,7｝,B∩C≠?Е吉?, 　　∴{0,1,4,6,8,9｝的子集与B的子集的交集为空. 　　又{0,1,4,6,8,9｝的子集共有2??6个,A的子集共有2????10个, 　　∴满足题设条件的子集C的个数为: 　　2????10-2??6=2??6(2??4-1)=64×15=960(个). 　　故子集C的个数为960个. 　　例2 某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试.有4名学生在这三个项目上没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到优秀,这部分学生达到优秀的项目的人数如下表. 　　短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑 　　短跑、游泳、篮球 　　 　　求这个班共有多少个学生. 　　解:设A={某班参加短跑的学生｝,B={某班参加的游泳学生｝,C={某班参加的篮球学生｝,U={某班全体的学生｝,则 　　card(A)=17,card(B)=18,card(C)=15, 　　card(A∩B)=6,card(C∩B)=6,card(A∩C)=5, 　　card(A∩B∩C)=2, 　　card(A∪B∪C)=17+18+15-6-6-5+2=35, 　　card(∪)=35+4=39. 　　故这个班共有39个学生. 　　例2 已知集合??S??中有10个两位数,求证:一定可以从??S??中取出两个无公共元素的子集,使这两个子集元素的和相等. 　　证明:显然所证的子集是非空子集,集合??S??共有2????10-1=1023个互不相同的非空子集,每一个子集内各数之和都不会超过99+98+97+…+90=945<1023,构建945个抽屉,依次存放各数之和为1,2,3,…,945的子集.根据抽屉原理知,一定存在两个不同的子集,其元素之和相等,划去它们共有的数,可得两个交集为空集的子集,这两个子集的各数之和相等. 　　例3 计算100以内自然数(不包括0)集中质数的个数. 　　解:因为10??2=100,所以100以内的合数至少能被2,3,5,7中的一个整除.能被2,3,5,7整除的数分别有49个,33个,19个,14个,能被6,10,14,15,21,35整除的数分别有16个,9个,7个,6个,4个,2个,能被30,42,70,105整除的数分别有3个,2个,1个,0个,能被2×3×5×7=210整除的数为0个. 　　又因为2,3,5,7是质数,所以100以内的合数共有: 　　(49+33+19+14)-(16+9+7+6+4+2)+(3+2+1+0)-0-4=73(个). 　　又因为1既不是质数又不是合数, 　　所以100以内的质数共有:99-73-1=25(个). 　　例4 设A={1,2,3,…,10｝,又B??A,B中各元素之和为NB.求所有可能的集合B中诸元素总和. 　　解:因为A共有2????10个子集,出现某元素的子集与不出现某元素的子集数目相?┑?.故每个元素在A的诸子集中共出现了2????10÷2=2????10-1次,所有可能的B中诸元素总和为(1+2+3+…+10)×2????10-1=55×512=28160. 　　例5 由3,6,9组成的八位数中3,6,9至少出现一次,求所有八位数的个数. 　　解:因为由3,6,9组成的八位数,每位数字都有3种选法,共有3??8个八位数,其中3,6,9中恰有一个不出现的八位数均为2??8个,只出现一个数字的八位数共3个,故所有这种八位数的个数为3??8-3×2??8+3=5796(个).
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六(1)班有学生45人,喜爱游泳的占全班的3/5,喜爱篮球的占4/9,两种运动都喜欢的最少有几人?最多有几人?
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﹙3／5＋4／9－1﹚×45=24／9×45=20两种运动都喜欢的最少有2人,最多,20人
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