谈古算题&:“鸡兔同笼”问题
谈古算题 :“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题，是我国古代著名数学趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》里记载了这个有趣的问题：“今有雉（鸡）兔同笼，上（共）有三十五头，下（共）有九十四足，问雉兔各几何？”
从代数学科的角度看来，这是一个解方程组的问题，其解法非常简单，方法容易掌握。由于我国古代没有代数方法，对一些算题，采用的都是因题而异，个性特强的巧妙解法。今人把这种代数方法（设未知数、列方程）之外的算术解法统称为古算法。
我国历来对诗歌追崇简练优美，对古算法也一样。一个巧妙精简的解法，往往受到众人的推崇，称赞其解者聪明，而对其他较繁杂的解法，统统嗤之以鼻。今天看来，这是不对的。我们要知道，这种古算法看似简单漂亮，构思巧妙，但缺点是就题论题，其方法适用面窄，学生也不易掌握，只能是解者孤芳自赏。明明有车不让上，偏偏要人徒步行。也许有人会说，这是为了培养学生的思维方法。但我们觉得，这样培养出来的思维方法，往往不适应现代计算机的逻辑和特点，也与现代的科学实验方法格格不入。要求中小学生都
去掌握，实是得不赏失。多年来，情况越来越糟，有些想露一手的教师反而把一些原属于不定方程组的问题，退化变形为算术题，让学生去钻牛角尖，实是误人子弟。笔者认为对古算题，应该像对古诗、棋类一样，只可以让少数人去欣赏去钻研，不应强求所有人掌握，要提倡数学中的“白话文”。
实际上，作为培养学生的思维方法，除了代数方法之外，还有一些思路自然又易掌握的好解法，尽管它比较繁琐，不怎么漂亮，但它的思维与现代科学比较合拍。至于它的步骤繁琐这一问题，在当今计算机时代则已不是什么问题，反而是一个优点。笔者这里要谈一个思路自然比较容易掌握，而又有现代色彩的方法——“先试验后修正法”。
对于古算题，这个方法是先强行去掉（隐去）一些未知元，化为一个较简单的问题，求出其“参考解”，然后依靠这个“参考解”逐步去逼近真正的解。这种思维方法在现代科学和现代技术里，已被证明是最普遍使用，最先试用，而且往往是有效的科研方法。
下面就几个古算题，来介绍这种“先试验后修正法”（下面简称“另法”），每道题只给出这种“先试验后修正法”。至于该题可能有的，个性特强的巧妙古算解法，因在别的地方可以找到，又不是这里的话题，就不再写出。考虑到谈这些，学术性强，比较乏味，放在博客里不太合适，这里只谈极少数几个例题。
&题1。“鸡兔同笼”问题。有若干只鸡兔同处一个笼子，从上面数有35个头；从下面数有94只脚。问笼中各有几只鸡和几只兔？
&&&&解（另法）。用“先试验后修正法”
。先任意设定鸡兔的只数来试验，只要总数是35即可。为了减少计算步骤，居于鸡兔脚数比例是1:2，我们粗约设鸡和兔分别是20只和15只。这时共有100只脚（式2x20+4x15=100），比题意多出6只脚。因1只兔换成1只鸡可减少2只脚，3只兔换成3只鸡就合题意（式6/2=3)，故题解是23只鸡和12只兔（式20+3=23，15-3=12）。注。也可任设别的数对，如假定全是鸡。
学校买来3个一样的排球和2个一样的足球,共花去111元。一个足球比一个排球贵3元。问:排球和足球每个是多少元?&
&&&&解（另法）。假定买的全是排球（先强制取消足球这个未知元），一共5个，共105元（式111-2x3=105，两个足球贵6元）,于是每个排球21元（式105/5=21),每个足球就是24元（式21+3=24）。&&&&&&&&&&&
学校有大中小共12间宿舍，一共可住80人，其中大宿舍每间可住8人，中宿舍每间可住7人，小宿舍每间可住5人，问:大中小宿舍各有几间？
解（另法）。假定全是大宿舍，一共住12间（先强制取消小宿舍、中宿舍这两个未知元），可住96人（式12x8=96），多出16人（式96-80=16）。如把其中一间大宿舍换成一间小宿舍则可少住3人（式8-5=3），如把其中一间大宿舍换成一间中宿舍则可少住1人（式8-7=1），于是有如下调整后的三个答案：
小宿舍5间，中宿舍1间，大宿舍6间。（式3x5+1x1=16)
小宿舍4间，中宿舍4间，大宿舍4间。 (式3x4+1x4=16)
小宿舍3间，中宿舍7间，大宿舍2间。&(式3x3+1x7=16)
鸡兔共100只，同在一个笼子里，兔的脚数比鸡的脚数多70只。问笼中各有几只鸡和几兔？&&&&&
&&&&解（另法）。假定鸡兔头数相等，都是50只，这时兔的脚数为200（式50x4=200），鸡的脚数为100（式50x2=100），兔总脚数与鸡总脚数之差为100
，比题意的70
多。我们将一只兔换成一只鸡，这时兔的总脚数少4，而鸡的总脚数多2，兔总脚数与鸡总脚数之差减少了6。逐步进行，过程如下：
兔的头数&&&
鸡的头数&&&&兔的总脚数与鸡的总脚数之差
&&&&&&&&&&&
50&&&&&&&&&
50&&&&&&&&&&&&&
100&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
49&&&&&&&&&
51&&&&&&&&&&&&&&
（式100-6=94）&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
48&&&&&&&&&
52&&&&&&&&&&&&&&
（式94-6=88）&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
47&&&&&&&&&
53&&&&&&&&&&&&&&
（式88-6=82）&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
46&&&&&&&&&
54&&&&&&&&&&&&&&
（式82-6=76）&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
45&&&&&&&&&
55&&&&&&&&&&&&&&
（式76-6=70）&&&&&&&&
答：笼中有55只鸡和45只兔.
今年父母年龄之和是86,母年龄是儿子年龄的3倍.那么当父的年龄是儿子年龄的3倍时,母的年龄是几岁？
&&&&解（另法）。今年父母年龄之和是86，设母今年的年龄是43岁（式86/2=43)来试验,因43除以3除不尽，改取3的倍数42。设母今年的年龄是42岁，则今年儿年龄是14（式42/3=14)，今年父年龄是44(式86-42=44)。一年后，儿年龄是15，父年龄45是儿年龄的3倍，合所求。故那时（一年后）母的年龄是43岁(式42+1=43)。
注。如今年母的年龄B依次取3的别的倍数39、36、33、30也可以，到那时母的年龄B'也都是43岁。见如下：
记今年父年龄为A,到那时父年龄为A'；今年儿年龄为C,到那时儿年龄为C',则
B=39，A=47，C=13，B'=43, A'=51,
B=36，A=50，C=12，B'=43, A'=57,
B=33，A=53，C=11，B'=43, A'=63,
（10年后）
B=30，A=56，C=10，B'=43, A'=69,
（13年后）。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（未完待续）
甲乙丙三学生一共解出100道不同的数学题，但每人只解出其中的60道题。这些题中，若只有一人解出的叫它难题，若只有两人解出的题叫它中等题，若三人都解出的题叫它容易题，问难题比容易题多几道？&&&
解（另法）。设甲乙丙三学生做的都是难题，每人做60道难题。因每道难题只有一个人解出，故三学生共解出了180
道题（式3x60 = 180），这比题意多出80道题（式180-100 =
80）。调整如下：把3道难题（分别由3个人解出的）换为1道容易题，题数可少了2道（式3-1 =
2），这样换出40道容易题，总题数就可少了80道。于是有
甲： 20道难题，0道中等题，40道容易题。
乙： 20道难题，0道中等题，40道容易题。
丙： 20道难题，0道中等题，40道容易题。
由于每人的20道难题是互不相同的，三个学生的难题总数就是60道，故难题总数比容易题总数多了20道（式60-40 =
学校举行数学竞赛，共有20道选择题。评分标准是：每做对一题得5分，做错一题扣2分，没做为0分。小红得了73分，问她有几题没有做？
解（另法）。先算出她最少要做对几道题。因5x15 =
75，则她最少要做对15道题.题意是73分，75-73 =
2，知她错一道题扣2分。答案是她一共做了16道题得了73分，还有4道题没做（式20-16 =
4）。另，她要做对16道题以上，限于只有20道题，是不可能的。&
题8.古题“以碗知僧”：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，恰合用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹。请问先生能算者，道来寺内几多僧。”题目大意是：一座山中古寺，不知寺内有多少个僧，只知用餐时，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合喝一碗汤，恰好用尽364只碗。问寺里有多少个和尚。
饭碗数 = 1/3僧数，羹碗数 = 1/4僧数。依题意有，364 = 饭碗数+羹碗数 = 1/3僧数+1/4僧数 =
7/12僧数,即僧数 = 364x12/7 = 624(人）。
题9.古题“汉果装箱”：千颗罗汉装十箱，顾客买果不拆箱。千颗之内随人买，问君怎样把箱装。
&&&&解。十个箱分别装1，2，4，8，16，32，64，128，256，512颗罗汉即可。
&&&&注。出此题者，已有二进位的原始扑素意识，可惜限于古代社会制度、思想文化意识的紧箍，未能发扬光大，反而弄出不知有什么好处的十六进位来。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
一份稿件,甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成。现在甲替乙打一部份后,由乙接着打完,两人共用了7小时。问甲替乙打了多少小时？
&&&&解。甲、乙单独打字速度分别是每小时完成稿件总量的1/6和1/10
，甲比乙每小时多打出总量的1/15（式1/6 - 1/10 = 1/15）。现在甲替乙打了一段，多打出总量的(10-7)/10 =
3/10 , 故甲替乙打的时间 = （3/10 ）/(1/15) = 9/2 =
4.5(小时).&
&&&&说明。前面谈的“先试验后修正法”，一般适用于离散变量（自然数变量）的方程组情况，不适用于连续变量的情况，如题10。总之，做算术题，除了不能用后面学的代数方法外，有简单方法就用简单方法（如题8），不行就用这种“先试验后修正法”试试，这种方法有枚举的味道。
上面谈的是平时学习用的，有利于提高思维能力。至于应付考试吗，有一种巧法可以用，但这里不能谈的。&&&&&&&&
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你可能喜欢2014国考行测玩味数学:鸡兔同笼问题
来源：搜狐教育
作者：中公教育
&&&在国家行测中，很多考生都会觉得数学是相对让人头疼的一块。特别是对于很多文科考生，从过后就很多少接触数学方面的东西，中公教育专家认为,数学在整个行测考试中它的重要性是毋庸置疑的，坊间流传着一个说法"失数学者失行测，失行测者输公考"。
&&& 数学在整个行测考试中包含数学运算15题，资料分析四篇资料，20道题，题量不小，更重要的是，由于整体数学题的正确率都不高，使得每个题的分值都不小。
&&& 特别是数学运算的特点又有题目类型多，解题方法各异的一大特点，那么我们广大考生朋友在平时复习的时候就必须针对各类题型，各个击破。
&&&&对于一直以来文字感觉特别好，对数字敏感性不高的考生朋友，我们在这里建议大家从一些趣味性的数学问题出发展开复习，在复习过程中逐步建立起自己对初等数学的兴趣。
&&& 今天，我们就从鸡兔同笼问题开始，向大家介绍一系列的趣味数学问题，希望能对大家的复习起到一定的帮助。
&&& 说起鸡兔同笼，这个数学问题可是大有来头，它可是我国古代数学的名题之一，它的历史可以追溯到1500年前的《孙子算经》。《孙子算经》中对这个趣味数学题的记载如下"今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？"这四句话的意思就是，现在，有鸡和兔子在同一个笼子里，从上面可以看到三十五个头，下面可以看到九十四只脚，问，笼中鸡和兔子各有多少只？
&&& 现在我们来给大家讲讲鸡兔同笼问题的四种解题方法;
&&& 趣味解法一：站队吹哨抬脚法
&&& （1）传统想法：
&&&& 让所有的鸡和兔子站成一列，现在它们要听从哨子指挥，吹一声哨子每一动物就抬起一只脚，此时从下面就只能看到：
&&& 94-35=59只脚。
&&& 再吹一声哨子，每一动物再抬起一只脚，此时，小鸡们就一屁股坐地上了，从下面看，所有的脚都是兔子脚了，且每只兔子只剩两只脚站立，共可看到：
&&& 59-35=24只脚。
&&& 故兔子有：
&&& 24÷2=12只。
&&& 鸡有：
&&& 35-12=23只。
&&& （2）对过程简化：
&&&& 对于传统的吹哨法，我们可以做一个简化，规则变为：吹一次哨子让每一小动物抬起两只脚。那么一吹哨子小鸡们就立马一屁股坐地上，剩下的脚全是兔子的，且最后剩下的同样是每只兔子两只脚，那么计算过程便可得到简化。
&&&&一吹哨子剩下：
&&& 94-35×2=24只脚。
&&& 这些脚全都是兔子的，故兔子有：
&&& 24÷2=12只。
&&& 趣味解法三：快捷的假设法
&&& （1）设鸡求兔：假设所有的都是鸡，那么35只鸡应该有70只脚，多出来的脚是因为兔子，且每有一只兔子就多两只脚，故兔子有：
&&& （94-70）÷2=12只。
&&& 鸡有35-12=23只。
&&& （2）设兔求鸡：假设所有的都是兔子，那么35只兔子应该有140只脚，少的脚是因为鸡，且每有一只鸡就少两只脚，故鸡有：
&&&& （140-94）÷2=23只。
&&&&& 兔子有35-23=12只。
&&& 解法三：方程法
&&& 运用常规的方程思想，我们来设未知数解方程。
&&& 设鸡有X只，则兔子有（35-X）只。由一只鸡两只脚，一只兔子四只脚，35只动物，94只脚，便可得等量关系：
&&& 2X+4×（35-X）=94
&&& 解之：X=23
&&& 故鸡有23只，兔子有35-23=12只。
&&& 现在大家来做一个练习：
&&& 某体育用品店进了篮球和足球共20个，总进价为450元。已知篮球和足球每个的进价分别为20元和30元，问进了篮球和足球分别多少个？
&&& 我们现仅以第三种解法（假设法）为例，给出解答：
&&& 假设所有的都是篮球，则总进价应为400元，多出来的50元是因为有足球，且每个足球比篮球多10元，故有足球：
50÷10=5个。
&&& 篮球有20-5=15个。
&&& 中公教育专家认为,数学问题解题的角度多种多样，希望广大考生朋友在学习过程中用一双善于发现的慧眼去探寻数学的奥妙，培养起对数学的兴趣，在具有趣味性的学习中提升自己的数学敏感度，从而达到提高数学能力，提升解题速率的目的。
(责任编辑：王燕)
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＞＞＞学校买篮球和足球一共10个，篮球每个40元，足球每个60元．把下面的..
学校买篮球和足球一共10个，篮球每个40元，足球每个60元．把下面的表格填写完整．球的个数需要的钱5个篮球和5个足球______个篮球和______个足球460元
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）40×5+60×5，=200+300，=500（元），答：需要500元，（2）假设买的全是篮球，则足球买了：（460-10×40）÷（60-40），=60÷20，=3（个），则篮球买了：10-3=7（个），答：篮球买了7个，足球买了3个．据此填表如下：球的个数需要的钱5个篮球和5个足球500元7个篮球和3个足球460元故答案为：500；7；3．
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据魔方格专家权威分析，试题“学校买篮球和足球一共10个，篮球每个40元，足球每个60元．把下面的..”主要考查你对&&鸡兔同笼&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
鸡兔同笼:是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。鸡兔同笼问题，是小学奥数的常见题型。是指已知鸡与兔的总头数和总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。解决鸡兔同笼一般用“假设法”来求解。即假设全是鸡或是全是兔，然后根据出现的足数差，推算出鸡或兔的只数。最后求出另一种动物（鸡或兔）的只数。基本数量关系式，可分两个方面：①假设全是鸡，则有：兔的只数=（总足数-2×总头数）÷2；鸡的只数=总头数-兔子只数。②假设全是兔，则有：鸡的只数=（4×总头数-总足数）÷2；兔的只数=总头数-鸡的只数。鸡兔同笼公式:公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数公式2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数公式3：总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡公式7 ：4×+2(总数－x）=总脚数（x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）
例1 、（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。解：①鸡有多少只？（4×6-128）÷（4-2）　=（184-128）÷2　=56÷2　=28（只）②免有多少只？46-28=18（只）答：鸡有28只，免有18只。&& 这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡。我们称这种解题方法为假设法。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数　　当然，也可以先假设全是鸡。　　例2 、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：鸡与兔分别有80只和20只。常见思想:中国古代：孙子的解法“上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得”。翻译成算术方法就是：兔数（94÷2）－35＝12鸡数35－12＝23这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
美国数学家美国杰出数学教育家G ?波利亚对这种解法创设了教学情景：意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式，每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即47条腿。在70这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次，从47这个数减去所有头数35，就剩下兔子的头数了。当然，鸡的只数可立刻求出。这种解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握题中的数量关系，不是所有学生都能理解的。
发现相似题
与“学校买篮球和足球一共10个，篮球每个40元，足球每个60元．把下面的..”考查相似的试题有：
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