有向图强连通分量的Tarjan算法
[有向图强连通分量]
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，
Low(u)=Min
Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法伪代码如下
DFN[u]=Low[u]=++Index
// 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u)
// 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E
// 枚举每一条边
if (v is not visted)
// 如果节点v未被访问过
// 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S)
// 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u])
// 如果节点u是强连通分量的根
// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
until (u== v)
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者命名的。Robert Tarjan还发明了求的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附：tarjan算法的C++程序
void tarjan(int i)
DFN[i]=LOW[i]=++D
instack[i]=true;
Stap[++Stop]=i;
for (edge *e=V[i];e;e=e-&next)
if (!DFN[j])
tarjan(j);
if (LOW[j]&LOW[i])
LOW[i]=LOW[j];
else if (instack[j] && DFN[j]&LOW[i])
LOW[i]=DFN[j];
if (DFN[i]==LOW[i])
j=Stap[Stop--];
instack[j]=false;
Belong[j]=B
while (j!=i);
void solve()
Stop=Bcnt=Dindex=0;
memset(DFN,0,sizeof(DFN));
for (i=1;i&=N;i++)
if (!DFN[i])
tarjan(i);以下试题来自：
填空题下面程序的功能是根据公式e＝1+1／1!+1／2!+1／3!+1／4!+．．．计算e的近似值，精度要求为10-5。请填空。 main() { int n；
double e＝1.0，t＝1.0； for(n＝1； 【7】 n++)；
{ 【8】 e+=t；} printf("%f\n"，e)； } 参考答案[7]t＞＝le-5；
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高一数学必修1第一章1-3-1-2
成才之路? 数学人教A版 ?必修1路漫漫其修远兮 吾将上下而求索成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1第一章集合与函数概念第一章 集合与函数概念成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1第一章1．3
函数的基本性质第一章 集合与函数概念成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1第一章1．3.1 单调性与最大(小)值第一章 集合与函数概念成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1第一章第 2 课时 函数的最值第一章 集合与函数概念成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1课前自主预习探索延拓创新 方法警示探究思路方法技巧课堂基础巩固建模应用引路课后强化作业第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1课前自主预习第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1温故知新 1．判断正误： (1)若函数 f(x)在区间(a，b)和(c，d)上均为增函数，则函 数 f(x)在区间(a，b)∪(c，d)上也是增函数． (2)若函数 f(x)和 g(x)在各自的定义域上均为增函数， f(x) 则 ＋g(x)在它们定义域的交集(非空)上是增函数．[答案] (1)× (2)√第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修12．填空： (1)函数 y＝|x|的单调增区间为[0，＋∞)．(2)函数 y＝ax＋b(a≠0)的单调区间为 (－∞，＋∞) ；函 数 y＝(a2－1)x 为减函数，则 a 的取值范围是 (－1,1)． (3)函数 y＝－x2＋bx＋c 在(－∞，2]上为增函数，则 b 的 取值范围是[4，＋∞)．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修13．从函数 f(x)＝x2 的图象上还可看出，当 x＝0 时，y＝0 是所有函数值中 最小值． 而对于 f(x)＝－x2 来说， x＝0 时， y＝0 是所有函数值中 最大值．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1新课引入 某小卖部从批发市场批发某种笔芯， 进价是每支 0.35 元， 以每支 0.5 元的价格销售，卖不掉的笔芯还可以每支 0.08 元 的价格退回批发市场．在一个月(30 天)中，有 20 天每天可以 卖出 400 支，其余 10 天每天只能卖出 250 支． 假设每天从批发市场买进的笔芯的数量相同，则每天进 货多少支才能使每月所获得的利润最大？最大利润是多少？第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]设每天从批发部买进笔芯 x 支，250≤x≤400，每月的纯收入为 y 元， y＝0.3x＋1 050， 则 x∈[250,400]． 易解： 当每天进货 400 支时，每月所获得的利润最大，最大利润是 1 170 元．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1自主预习 问题 1：观察下图所示的函数图象，有何特征？第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1探究：图(1)函数 y＝－x2－2x 的图象有最高点 A，没有最 低点；图(2)函数 y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高 点，也没有最低点；图(3)函数 y＝x2，x∈(－1,1)的图象无最 1 高点，有最低点；图(4)函数 y＝ x的图象没有最高点，也没有 最低点；图(5)函数 y＝x2－2x，x∈[0,4]的图象有最高点 E，最 低点 D.第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1从图中看出，图(1)中 f(x)≤yA，图(3)中 f(x)≥yC，图(5)中 yD≤f(x)≤yE，(1)(5)中的 yA、yE 称为函数的最大值，图(3)中的 yC 称为函数 y＝x2，x∈(－1,1)的最小值，图(2)(4)两个函数无 最大值，也无最小值．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1总结：(1)最大值的概念： 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M ；②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M .那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值． (2)最小值的概念： 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：① 对于任意的 x∈I， 都有 f(x)≥M ； ②存在 x0∈I， 使得 f(x0)＝M . 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1【归纳提升】 (1)M 首先是一个函数值，它是值域的一 个元素．如 f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为 0，有 f(0)＝0，注意 对定义②中“存在”一词的理解． (2)对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤M 成立，“任 意”是说对每一个值都必须满足不等式．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1(3)这两条缺一不可，若只有定义中的①，M 不是最大值， 如 f(x)＝－x2(x∈R)，对任意 x∈R，都有 f(x)≤1 成立，但 1 不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了；最大值 的核心是不等式 f(x)≤M，故不能只有定义中的②. (4)若将定义中①中的“f(x)≤M”改为“f(x)≥M”，则需 将最大值定义中的“最大值”改为“最小值”，这就是函数 f(x)的最小值的定义．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1(5)函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)点的 纵坐标，因而借助函数图象的直观性，可得出函数的最值．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1通过以上所学，完成下列练习． (1)函数 y＝2x－1 在[－2,3]上的最小值为________，最大 值为________． 1 (2)函数 y＝ x 在[2,3]上的最小值为________，最大值为 ________；在[－3，－2]上的最小值为________，最大值为 ________．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1(3)函数 y＝x2－2x－3 在[－2,0]上的最小值为________， 最大值为________； 在[2,3]上的最小值为________， 最大值为 ________ ； 在 [ － 1,2] 上 的 最 小 值 为 ________ ， 最 大 值 为 ________．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[答案] 3 0 －4(1)－5 051 (2) 31 21 － 21 － 3(3)－35－第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1思路方法技巧第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1命题方向 1 利用图象法求函数最值利用图象法求函数最值的方法 (1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方 法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出 的函数求最值较常用．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1(2)图象法求最值的一般步骤是：第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[例 1]如图为函数 y＝f(x)， x∈[－4,7]的图象， 指出它的最大值、最小值．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[分析]利用图象法求函数最值，要注意函数的定义域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的 纵坐标．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]观察函数图象可以知道， 图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数 y＝f(x)当 x＝3 时取 得最大值即 ymax＝3； 当 x＝－1.5 时取得最小值即 ymin＝－2.第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1作出函数 f(x)＝|x－3|＋ x2＋6x＋9的图象，并说明该函 数的最值情况．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析] ?－2x，x≤－3 ? 原函数可化为 f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝?6，－3&x≤3， ?2x，x&3 ? 图象如图： 由图象可知，函数有最小值为 6，无最大值．，第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[例 2]4 利用单调性定义证明函数 f(x)＝x＋ 在[1,2]上的 x单调性并求其最值． [分析] 当所给函数图象不易作出时， 可考虑利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]设 1≤x1&x2≤2，4 4 即 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2－x 1 2 4?x2－x1? ＝(x1－x2)＋ x x 1 2 x1x2－4 ＝(x1－x2) x1x2 ∵1≤x1&x2≤2， ∴x1－x2&0,1&x1x2&4， ∴x1x2－4&0，x1x2&0，第一章 1.3 1.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1∴f(x1)－f(x2)&0， 即 f(x1)&f(x2)． 4 ∴f(x)＝x＋ 在[1,2]上是减函数． x 从而函数的最大值是 f(1)＝1＋4＝5， 最小值是 f(2)＝2＋2＝4.第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1【互动探究】 本例中，若所给区间是[1,4]，则函数最值 又是什么？第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]按例题的证明方法，易证 f(x)在区间[2,4]上是增函数，又函数在[1,2]上是减函数，所以函数 f(x)的最小值是 4. 又 f(4)＝5，所以函数的最大值是 5.第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1x－1 (2012? 包头高一检测)已知函数 f(x)＝ ， x＋2 (1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数； (2)求 f(x)在[3,5]上的最大、小值．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析](1)任取 x1，x2∈[3,5]且 x1&x2，则x1－1 x2－1 f(x1)－f(x2)＝ － x1＋2 x2＋2 ?x1－1??x2＋2?－?x2－1??x1＋2? ＝ ?x1＋2??x2＋2? x1x2＋2x1－x2－2－x1x2－2x2＋x1＋2 ＝ ?x1＋2??x2＋2? 3?x1－x2? ＝ ?x1＋2??x2＋2? ∵x1，x2∈[3,5]且 x1&x2，第一章 1.3 1.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1∴x1－x2&0，x1＋2&0，x2＋2&0， ∴f(x1)－f(x2)&0，∴f(x1)&f(x2)， x－1 ∴函数 f(x)＝ 在 x∈[3,5]上为增函数． x＋2 2 (2)由(1)知，当 x＝3 时，函数 f(x)取得最小值为 f(x)＝5， 4 当 x＝5 时，函数 f(x)取得最大值为 f(5)＝ . 7第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1建模应用引路第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[例 3]某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函 数： 1 2 ? ?400x－ x ，0≤x≤400， 2 R(x)＝? 其中 x 是仪器的月总 ?80 000，x&400. ? 量．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1(1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为 多少元？(总收益＝总成本＋利润) [题眼直击] (1)利润＝总收益－总成本，故 f(x)＝R(x)－100x.(2)求分段函数最大值，就是将各段的最大值分别求出， 然后取其中最大值的．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解题流程]分析数据： 利润＝总收益－总成本 DDDDDDDDDDDDD→ 成本、收益构造f?x? 求最 利润函数单调性 DDDDDDDDDD→ 解析式 大值第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析](1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x，? 1 2 ?－ x ＋300x－20 000，0≤x≤400， 从而 f(x)＝? 2 ?60 000－100x， x&400. ? (2)当 0≤x≤400 时， 1 f(x)＝－2(x－300)2＋25 000， ∴当 x＝300 时，[f(x)]max＝25 000；第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1当 x&400 时， f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)&60 000－100×400&25 000. ∴当 x＝300 时，[f(x)]max＝25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场 对此产品的需求量为每年 500 部， 已知销售收入的函数为 N(x) 1 2 ＝500x－2x ，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)． (1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多 少？第一章 1.3 1.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析](1)当 0≤x≤500 时，产品全部售出；当 x&500 时，产品只能销售 500 部，故利润函数为 f(x) 1 2 ? ?500x－2x －?5 000＋25x?，0≤x≤500， ＝? ??500×500－1×250 000?－?5 000＋25x?，x&500 2 ? ? 1 2 ?－ x ＋475x－5 000，0≤x≤500， ＝? 2 ?120 000－25x，x&500. ?第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1(2)当 0≤x≤500 时， 1 f(x)＝－2(x－475)2－107 812.5； 当 x&500 时， f(x)＝x&500＝107500. 所以年产量为 475 部产品时，利润最大，最大利润为
元．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1探索延拓创新第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[例 4] [分析]求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最大值． 此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]∵函数图象的对称轴是 x＝a，∴当 a&2 时， f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当 a&4 时， f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1当 2≤a≤4 时， f(x)min＝f(a)＝2－a2. ?6－4a，a&2 ? 2 ∴f(x)min＝?2－a ，2≤a≤4 ?18－8a，a&4 ?.第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1求二次函数 f(x)＝x2－2x＋2 在[t，t＋1]上的最小值．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]对称轴为 x＝1，∴当 t＋1&1，即 t&0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数， ∴f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1. 当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)min＝f(1)＝1. 当 t&1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， ∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋2. ?t2＋1，t&0 ? ∴f(x)min＝?1，0≤t≤1 ?t2－2t＋2，t&1 ?.第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1课堂基础巩固第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修11．函数 f(x)＝x2 在[0,1]上的最小值是( A．1 1 C. 4 B．0 D．不存在)[答案] B第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修12.函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小 值、最大值分别是( )第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2[答案] C第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修13．当 x∈(0,5]时，函数 f(x)＝3x2－4x＋1 的值域为( A．[f(0)，f(5)] 2 C．[f( )，f(5)] 3 2 B．[f(0)，f(3)] D．[f(0)，f(5)])[答案] C第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]2 函数 f(x)的对称轴为 x＝ ，且开口方向向上，所 32 2 以当 x∈(0， 3 ]时为减函数；当 x∈( 3 ，5]时为增函数，且 2 f(0)&f(5)，故函数 f(x)的值域为[f(3)，f(5)]．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修11 4．函数 f(x)＝ 在区间[2,6]上的最大值和最小值分别 x－1 是( ) 1 A. ，1 5 1 C.7，1 1 B．1， 5 1 D．1，7[答案] B第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]1 函数 f(x)＝ 在[2,6]上单调递减，当 x＝2 时， x－11 f(x)有最大值为 1，当 x＝6 时，有最小值5.第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修15．函数 f(x)＝x2－2ax＋a＋2 在[0，a]上取得最大值 3， 最小值 2，则 a 的值为( A．0 或 1 C．2 ) B．1 D．以上都不对[答案] B第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]函数 f(x)＝x2－2ax＋a＋2 的对称轴为 x＝a，开口向上，所以 f(x)在[0，a]上单调递减，当 x＝0 时取得最大值 3，当 x＝a 时，取得最小值 a＝1.?a＋2＝3 ? 2，即? 2 ?a －2a2＋a＋2＝2 ?，解得第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修16．函数 y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间(－4，－2] 上递减，在区间(－2,6]上递增，且 f(－4)&f(6)，则函数 f(x)的 最小值是________，最大值是________．[答案] f(－2)，f(6)第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1[解析]画出 f(x)的一个大致图象，由图象可知最大值为f(6)，最大值为 f(－2)，或据单调性和最大(小)值的定义求解．第一章1.31.3.1 第2课时成才之路 ?数学 ?人教A版 ? 必修1课后强化作业（点此链接）第一章1.31.3.1 第2课时
【优化方案】学年高一下学期数学(必修3)第一章1.2.1课时作业[数理化网]_数学_高中教育_教育专区。[学业水平训练] 1.利用输入语句可以给多个变量赋值...高一数学必修3第一章测试题及答案-人教版(A) 数学第一章测试题_专业资料。高一数学必修 3 第一章测试题及答案-人教版(A) 数学第一章测试题一.选择题 1....高一数学必修一第一章测试题及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学...lg -1 0.37 1 0 1 2 B. (0,1) 1 2.72 3 C. (1,2) () 2 ...高一数学必修1第一章测试题 (1)_数学_高中教育_教育专区。必修一数学第一章测试卷一.选择题 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6.7}, A ? {2,4,6}, ...高中数学必修二第一章测试题及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第一章一.... C.3 3 D.4 3 2+ 2 2 D. 1+ 2 3.棱长都是 1 的三棱锥的表...高一数学必修 3 第一章测试题一.选择题 1、 下面的结论正确的是 () B、一...2,若 n=2,则 n 满足条件,若 n&2,则执行 S3 S3 依次从 2 到 n-1 ...高一数学必修3第一章测试题及答案_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修 3 第...(注:n!=n*(n-1)*??*2*1)的程序补充完整 。 “n=” ,n i =1 s=...高一数学必修3第一章第二节导学案_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修 3 第一章第二节导学案 1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句(第 1 课时)导学案 一...新课标高中数学人教A版必修4 第一章 1.3三角函数的诱导公式同步试题_高一数学...sin 2 ? cos 2 1.已知 sin( π +α) = D.± cos 2 ? sin 2 4....高一数学必修1第一章第一节集合_数学_高中教育_教育专区。高中数学辅导网 http...方程 x -1=0 的解; (5)不等式 2x-3&0 的解; (6)直角三角形; 2、...
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