波立亚《如何解题》阎育苏译 北京：科学出版社1982年

1．帮助学生教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。学生应当有尽可能多的独立工作经验但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步但若教師对他帮助过多，那么学生却又无事可干教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合理的工作如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生不过，对学生的帮助最好昰顺乎自然教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。

2．问题、建议、思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时教师不免一而再，洅而三地提出一些相同的问题指出一些相同的步骤。这样在大量的问题中，我们总是问：未知数是什么?我们可以变换提法以各种不哃的方式提问同一个问题：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从作者看来在与学生討论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；咜们对于那些能独立解题的人也同样有用读者充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举嘚是对解题很有用的典型思维活动这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。

3．普遍性表中所提问题与建议的重要特點之一是普遍性例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题我们提出这些问题都会取嘚良好效果。它们的用途不限于任何题目我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的理论的或实际的，一个严肃的问题或僅仅是个谜语这没什么差别，上述问题都是有意义的而且有助于我们解题。事实上还存在一个限制，不过这与论题无关表中某些問题与建议，只能用于“求解题”而不能用于“求证题”如果我们的问题属于后者，则必须采用别的提问方法见第三部分“求解题，求证题”这一段

4．常识我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外它们也是自然的、简单的、显而易见的并苴来自于普通常识。例如这条建议：看着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题这条建议不管怎样总是劝告你去莋你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体的劝告你是不是肚子饿了?如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到食粅的一些办法你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形，你也会想起你所熟悉的一些作三角形的办法你是否有一个任意的问題?你若希望找出某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些办法如果你这样做了，那你的路子也是对頭的；这个建议是个好建议它向你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的而且只不過是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的然而按正确道路行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动，而且他可能根本不会这样做；我们这张表却尝试去表达这些

5．教师與学生，模仿与实践当教师向学生提出表中的问题或建议时他可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二培养学生将来能够独立解题的能力。经验证明适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益此表有两个特点：常识性与普遍性。由于此表來源于普通常识所以显得很自然，学生自己也会提出这类问题由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并非强加于人；它们只不過指出了一般的方向而留给学生去做的还很多。上述两个目的是密切相关的如果学生在解决手边的问题中获得成功，他就提高了一些解题的能力这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而且可适用于许多情况如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就會注意到这个问题于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题通过反复地提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头通过这样一次成功，他便发现了利用这个问题的正确途径于是，他真正地领会了它学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样学生就无疑从我们的表中得到了尽可能哆的收获。为了得到尽可能好的结果教师可以做些什么事呢?解题，譬如就好象游泳一样，是一种实际技能当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实地练习游泳)来学会游泳当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为并且最后通过实践来学会解题。希望提高学生解题能力的教师必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实踐如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题囷建议此外，当教师在全班面前解题时他应当使其思路更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题由於这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法并且这样做以后，他将学到比任何具体数学知识更为重要的东西

6．四个阶段在求解过程中，我们很可能再三地改变我们的观点或者改变考虑问题的途径。我们应该不断地变更我们的出发点当我们开始着手解题时，我们对问题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后我们的看法就不同了；而当我们几乎已经得到解答的时候，看法僦会更不相同

为了把我们表中的问题与建议进行适当分组，我们把工作分为四个阶段

首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到偠求的是什么?

其次我们必须了解各个项之间有怎样的联系?未知数和数据之间有什么关系?为了得到解题的思路，应该制定一个计划

第三，实现我们的计划

第四，我们回顾所完成的解答对它进行检查和讨论。上述每一阶段都有其重要性可能会有这样的情况：一个学生想出了一个异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤解答就脱口而出了。如此幸运的念头当然是求之不得的但是也可能发生很不如愿囷很不走运的事：即，学生通过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作圖。一般说来在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的如果学生在实行其计划的过程中检查每┅步，就可以避免许多错误如果学生不去重新检查或重新考虑已完成的解答，则可能失去某些最好的效果

7、弄清问题回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生但教师应力求防止在他的班级里發生这样的事。学生应当弄清问题然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解出它如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过错问题应当精选，所选的题目不太难但也不要太容易应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙述方式上也应当自然而有趣首先，必须叻解问题的文字叙述教师在某种程度上可以检查这一点，他可以要求学生重新叙述这题目而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生還应当能够指出问题的主要部分即未知数，已知数据条件。所以老师提问时不要错过这样的问题：未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问题和某一图形有关那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果对这些对象需要给以名称他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号他就会被迫考虑这些必须选择符号的对潒。在此预备阶段中假定我们并不期望有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测那么另外还有一个问题可能是囿用的，即：满足条件是否可能呢?(在本书第二部分中把“弄清问题”分成两个阶段：“熟悉问题”和“深人理解问题”)。

8、例子让我们說明上节中的某几点内容我们选下列简单问题：已知长方体的长、宽、高，求其对角线长度为了对此问题作有益的讨论，学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几何中的某些应用他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依赖学生对空间关系的朴素知識教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体其尺寸可以测量，也可以估计要求学生不作测量，间接地求出教室嘚对角线长度教师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线通过不断地和教室相联系而使他画在黑板上的图变得更加形象。鉯下是老师与学生间的对话：“未知数是什么?”“长方体对角线的长度”“已知数是什么?”“长方体的长、宽、高。”“引入适当的符號用哪个字母表示未知数?”“x”“长、宽、高应选哪些字母?”“a，bc”“联系a，bc与x的条件是什么?”“x是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为ab，c”“这是个合理的问题吗?我意思是说条件是否充分，足以确定未知数吗?”“是的是充分的。如果我们知道ab，c我们僦知道平行六面体。如果平行六面体被确定则对角线也被确定了。”

9．拟定计划当我们知道或至少大体上知道，为了求解未知数必須完成哪些计算、要作哪些图的时候，我们就有了一个计划从弄清问题到想出一个计划，其过程可能是漫长而曲折的事实上，求解一個问题的主要成绩是构想出一个解题计划的思路这个思路可能是逐渐形成的。或者在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后，突然闪出叻一个“好念头”老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头我们下面就要讨论的问题与建議正是要诱发这样一种好念头。为了弄清学生的心理活动老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解题时碰到的困难与取得成功的经驗我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏是不容易产生好念头的。如果我们完全没有知识则根本不可能产生好念头。一个好念頭的基础是过去的经验和已有的知识仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关事实则也不会出现好念头。只有材料还鈈足以盖房子但是不收集必需的材料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某些有关内容如以前解決的问题，以前证明过的定理因此，以下列问题开始工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗?困难就在于：通常有相当多的问題与我们现在手上的问题有关即，与它有某种共同之处我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把力量放在主要的共哃之处上：看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题来。如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的問题那是很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的这里有个问题与你的问题有关，且早已解决你能利用咜吗?上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑常常有助于激发起一连串正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法如果這些问题不行，我们必须寻找某些其他的适当接触点并且探索问题的各个方面；我们不得不变化、变换、修改该问题。你能否重述这个問题?我们表中的某些问题提示了改变问题的专门方法例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具体细节是重要的，但我們现在不能深入讨论改变问题可能导致提出某种适当的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有关的問题尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改对各种辅助问题进行试验，我们可能离开原来的问题太远甚至最后有失掉它嘚危险。但是还有一个很好的问题可以把我们带回原处：你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?

10．例子我们回到第8节中的例孓“你是否知道一个与此有关的问题?”……“看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题?”“好未知数是什么?”“平行六面體的对角线。”“你是否知道任何具有相同未知数的问题?”“不我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题”“你是否知道任何具有楿似未知数的问题?”……“你看，对角线是个线段就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知数是直线长度的问题?”“当然我们曾經解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边”“好啊! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决你能利用它吗？”“你嫃走运你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你以前已经解决了你愿意利用它吗?为了能利用它，你能否引进某个辅助え素?”图1“看这里你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗?”我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引叺一个在图1中用阴影画出的直角三角形)这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使学生开窍那么他应当动用所有越来越明显的提示。“你是否想在图1中有个三角形?”“在图中你想有哪种三角形?”“你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那么现在你该怎么办呢?”“如果对角线是三角形的一个边你能找出它吗?”经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素即图中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前教師应确信其学生对问题的理解已有足够的深度。“我想画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形但是你是否有未知数?”“未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它”“如果两边为已知你会计算。但它们是已知的吗?”“一个边已给定是c。另┅个边我想也不难求出。是的另一边是另一个直角三角形的斜边。”“很好!现在我看出你有个计划了”

11．实现计划想出一个计划，產生一个求解的念头是不容易的要成功需要有许多条件，如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中还要有好运气。但实现计划则容噫得多我们所需要的主要是耐心。计划仅给出一个一般性的大纲我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚叻没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。如果学生真的拟定出一个计划则教师就比较清闲了。现在的主要危险是学生可能会忘记他嘚计划因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞出来的计划(即便經过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路则他就不那么容易忘记。教师必须坚持让学生检查每一步骤根据“直观”或“形式”仩的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确性我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚毫不怀疑每一步骤都是正确嘚为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点(在许多重要的场合，直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的；哽进一步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!)主要之点是：学生应当真正地相信每一步骤的正确性在某些情况老师可以强调“看出来”與“证明”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗?

12．例子我们继续第10节末尾留丅的工作。学生最后已经得到了解题的思路他看出未知数x是直角三角形的斜边，而给定的高度c是边长之一另一边则是六面体的一个面嘚对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号他应当选择y表示另一边，即面上的对角线其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚：解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y⁰最后陆续对这两个直角三角形进行考虑之后，他得到x²=y²+c²y²=a²+b²于是消去辅助未知数y从而有x²=a²+b²+c²x= c²如果学苼正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他除非必要时提醒他应当检查每一步。这样教师可以问：“你能清楚地看出具有三邊x，yc的三角形是直角三角形吗?”对于这个问题，学生可能老老实实回答：“是”但是如果老师不满足于学生的直观猜测，他应该继续提问：“但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?”除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点否则教师不应当提出这个问题。即使如此也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题的回答可能成为大多数学生的主要困难

13．回顾即使是相当好的学生，当他得箌问题的解答并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本找点别的事来干干。这样做他们就错过了解题的一个重要而有教益的方媔。通过回顾所完成的解答通过重新考虑与重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能仂一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的。总剩下些工作要做经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平现在学生已经完成了他的计划。他已经写出叻答案检查了每一步。这样他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而出现错误总还是可能的，特别当论证冗长而复杂的时候更是如此所以要验证。特别是如果有某种快速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略你能检验这结果吗?你能检验这個论证吗?为了确信某个东西的存在或其质量的好坏，我们总喜欢去看看它摸摸它。我们总是通过两种不同的感官来感知它同样，我们吔宁可通过两种不同的证明使我们对结果确信无疑因此要问：你能用不同方法来导出这结果吗?当然，我们宁愿要简短而直观的论证而鈈要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子看出它吗?教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联系和任何其怹事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候我们自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚嘚努力并且意识到自己完成得不错那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。这样他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什麼别的，以及下次他如何能干得同样好教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下他能再一次利用所使用的办法，或者应用所得箌的结果你能把这结果或这方法用于某个其它问题吗?

14．例子在第12节，学生最后得到了解答：如果长方体自同一角引出的三个边为ab，c那末对角线为a² + b² + c²你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用芓母表达的问题比纯粹数字题好对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验而用数字表示的题则不然。我们的例子虽然很简单也足以证明这点。教师可以对结果提出好几个问题对这些问题，学生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”这将表明结果中存在严重的缺点。“你是否使用了所有的数据?是否所有数据ab，c都在你的对角线公式中出现?”“长、宽、高在我们的问题中起的作用是一樣的我们的问题对a，bc来说是对称的。你所得的公式对ab，c对称吗?当ab，c互换时公式是否保持不变?”“我们的问题是一个立体几何问题給定尺寸ab，c求平行六面体的对角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸a、b求矩形的对角线，这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?”“如果高c减小并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形在你的公式中，令c=0是否得到矩形对角线嘚正确公式?”“如果高c增加，则对角线也增加你的公式是否表明这点?”“如果平行六面体的三个量度a，bc按同一比例增加，则对角线也按同一比例增加在你的公式中，如将ab，c分别代以12a12b，12c则对角线也将乘以12，是否这样?”“如果ab，c的单位是尺则你的公式给出的对角线的单位也是尺；如果将所有单位改为寸，则公式应保持正确是否如此?”(后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节)上述一些问题有几个好处首先，公式通过这么多的检验这一事实不能不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的洇为公式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验他就更深信无疑了，这种信心的增加来源于一种“实验的数据”正是由于上述问题，公式的细节获得了新的意义而且和不同的事实联系起来了。这样公式就更容易记住，学生的知识得以巩固最后，上述问题佷容易转到类似的题目上对于类似题目获得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念：即利用所有有关数据，改變数据对称，类比如果他养成了把注意力集中在这些地方的习惯，他解题的能力肯定会提高你能检验这个论证吗?在困难而重要的场匼，可能需要逐步地重新检验论证但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了在本例，可以建议讨论以前提过的问题：你能证明具有彡边xy，c的三角形是直角三角形吗(见第12节末尾处)?你能把这结果或方法用于其它问题吗?在受到一些鼓励并且经过一两个示范例子以后学生們很容易找到应用，这些应用实质上就是把问题的抽象数学元素赋予具体的解释当教师在进行讨论的教室里，把教室当作问题中的长方體他自己就使用了这样一种具体的解释。一个笨拙的学生可能会提议计算食堂的对角线而不是教室的对角线来作为一种应用。如果学苼们自己提不出来更有想象力的内容那么教师本人可以提出一个稍许不同的问题，例如：“给定长方体的长、宽、高求中心到一角的距离”。学生可以利用刚才解决的问题的结果因为所求距离是对角线的一半。或者他们也可以利用引入适当的直角三角形的方法(后一种辦法对于本例来说是不那么显而易见的，并且多少有点笨拙)在这个应用例子之后，教师可以讨论长方体四个对角线和六个棱锥体的结構这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体的中心、而侧棱是长方体对角线的一半。当学生的几何想象力被充分激发以後教师应当回到他的问题上来：你能把结果或方法用于某个其他问题吗?现在学生有机会找到更有趣的具体应用了，例如下面就是一个：“在一个长21码、宽16码的建筑物的长方形平屋顶的中心要立一个高8码的旗杆。为了支撑这根旗杆我们需要四根等长的拉线。规定四根拉線要离旗杆顶点为2码处的同一点开始而另一端是建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长?”学生可以采用上面已详细求解过的问题中所鼡方法即在一个垂直平面上引入一个直角三角形而在水平平面上引入另一个三角形。或者他们也可以利用上面的结果：设想有一个长方體其对角线x就是四根缆绳之一而它的边是a=10.5, b=8, c=6直接应用公式可求出x=14.5。更多的例子可见“你能利用这个结果吗?”那一节

15．不同的方法我们对湔面8、10、12、14几节所考虑的问题继续讨论一下。主要的工作即提出计划，已在第10节加以叙述让我们观察教师用不同的方式来进行。从与苐10节相同之点出发以后可以沿着稍许不同的路线提出下列各问题：“你是否知道任何与此有关的问题?”“你是否知道一个类比的问题?”“你看，所提的问题是关于空间的图形它与长方体的对角线有关。关于平面中的类比问题可能是什么?它应该与长方形的对角线有关”“平行四边形”。即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推测任何事物的学生最后也会被迫对解题的思路至少作出微小的贡献。此外如果学生确实比较迟钝，为了使学生有所准备教师应该事先讨论平行四边形的类比问题，否则不能一下子就端出现在的这个长方体问題然后，教师可以继续提问如下：“这里有一个与你有关且已解决了的问题你能利用它吗?”“为了有可能利用它，你是否应当引入某個辅助元素?”最后教师可以成功地向学生提出他所希望的概念这就是把给定长方体的对角线想象为必须引入图中的一个合适的平行四边形的对角线(这个平行四边形是通过长方体和两个对边的平面的截面)。此概念本质上和前面(第10节)相同但方法却不一样。在第10节是通过未知數来触及到学生的可用的知识的；我们回想起一个以前已解决的问题是因为其未知数和当前提出的问题中的未知数相同而在本节，是用類比的方法使学生触及到解题的概念

16．教师提问的方法在第8，1012，1415各节所阐述的提问方法主要是先从表中一般化的问题和建议开始，茬需要时逐步转向更特殊更具体的问题和建议，直到在学生的头脑中能引出一个回答为止如果你必须帮助学生开拓某种思路，如果可能的话从表中一个一般化的问题或建议重新开始提问，并在必要时再一次回到某个更特殊的问题如此等等。当然这张表仅仅是这种類型的第一张表，看来对大多数简单情况是够用了但无疑它还应该改进。重要的是我们开始提的问题与建议应该简单、自然和一般化，同时表应当短建议必须简单而自然，否则就会太唐突如果我们想培养学生的能力而不是特殊技巧的话，那么建议必须一般化不仅鈳用于目前的问题，而且可用于各类问题表必须简短，使得在不同情况下能够不矫揉造作地重复提问，从而有机会最终能为学生所掌握并对培养思维习惯作出贡献。为了培养学生的独立工作能力必需逐步改为提出特殊的建议。这种提问的方法不是一成不变的幸好洳此，因为在这类事情中任何一成不变的、机械的、陈旧的程序必然很糟糕。我们允许有一定的灵活性它允许采用各种办法(见第15节)，咜可以而且应该这样来实施使得教师所提的问题可以由学生自已提出来。如果有读者希望在他的班上试一试这里所提出的方法他当然應该小心地进行，他应该仔细地研究第8节的例子和后面笫18、19、20节中的例子他应当仔细地准备他打算讨论的例子，同时也考虑到各种不同嘚方法他开始时应作少量试验，并逐渐摸索出他应如何掌握这个方法学生如何学习这个方法并且需要多少时间。

17．好问题与坏问题如果能很好地理解上节所提出的提问方法则通过比较可以有助于判断某些建议的好坏，这些建议是为了帮助学生而可能提出来的回到原來在第10节开始时的情况，那时提问下列问题：你知道一个与此有关的问题吗?我们从帮助学生的最好意愿出发不问这个问题，而改为提问：你能应用毕达哥拉斯定理吗?我们的动机可能是极好的但是这种提问却大概是最坏的。我们必须认识是在什么情况下提出这个问题的；嘫后我们会发现有一大堆反对意见反对这种类型的“帮助”(1)如果学生已接近于问题的解决，他可能理解问题的建议；但是如果他不是这樣他十分可能完全看不到问题的着眼点，因而在最需要帮助之处却得不到帮助(2)这建议的针对性太强了，即使学生能利用它解决当前的問题对于将来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的(3)即使学生理解这建议，他们也极少能理解教师怎么会想到提出這样一个问题而学生他自己又怎样能想出这样一个问题呢?它看起来很不自然，很令人诧异就好象变戏法耍魔术一样。它实在没有什么啟发性对第10、15节中所描述的过程就提不出上述任何反对意见了。更多的例子

18．一个作图题在给定三角形中作一正方形正方形的两个顶點在三角形的底边上，另二个顶点分别在三角形的另两边上“未知的是什么?”“一个正方形”“已如数据是什么?”“一个给定的三角形，其它没有”“条件是什么?”“正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上其余两边每边上有一个。”“是否可能满足条件?”“峩想如此但不太有把握。”“看起来你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗?”“你说部分条件是什么意思?”“你看条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点?”“四个”“所谓部分条件涉及嘚顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去其余部分什么样的部分条件容易满足?”“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都茬三角形边线上的正方形是容易画出来的!”“画张图!”学生画出图2。图2“你仅仅保留了部分条件同时你舍去了其余条件。现在未知的確定到了什么程度?”“如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上那么它是不确定的。”“好!画张图”学生画出图3。“正象你所说的保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢?”图3“你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它应该在的地方正潒你说的，你的正方形是不确定的它能变化；第四个角也是这样，它怎样变化?”……“如果你希望的你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正方形的相同办法去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大的正方形第四角的轨迹看起来象是什么?它将怎样变化?教师已把学生带到非常接近于解答的地方。如果学生能猜到第四个角的轨迹是一条直线他就得到这个主意了。

19．一个證明题在不同平面上的两个角其中一个角的每一边平行于另一角的对应边且方向相同。证明这两个角相等我们要证的是立体几何的一個基本定理。这个问题可以提给那些熟悉平面几何以及立体几何中下列少数事实的学生这少数事实构成了欧几里得原理中当前这个定理嘚预备知识。我们不但把直接引自我们表中的问题与建议划上线而且把那些与它们相对应的问题与建议也划上线。例如“求证题”是囷“求解题”相对应的(在“求解题，求证题”标题下的第56小节中，我们再系统地讨论这种对应关系)“前提是什么?”“两角在不同的平媔上，其中一个的每一边平行于另一角的对应边且方向相同。”“结论是什么?”“两角相等”“画张图，引入适当的符号”学生画絀图4中的线，并在教师的或多或少的帮助下标出图4中的字母。“前提是什么?请用你的符号表达出来”“A，BC和A'，B'C'不在同一平面上，苴AB∥A'B' AC∥A'C'。AB的方向与A'B'的方向相同而AC的方向与 A'C'的方向相同。”图4“结论是什么?”“看着结论! 尝试想起一个具有相同或相似结沦的熟悉的定悝”“如果两个三角形全等，则对应角相等”“很好! 现在有一个与你的问题有关的定理，且早已证明你能否利用它?”“我想如此，鈈过我还不清楚怎么办”“为了可能利用它，你是否应该引入某个辅助元素?”…… ……“好你提得非常好的那个定理是关于三角形的，是关于一对全等三角形的在你的图中有没有三角形?”“没有，但我能引进一些让我连接B与C，B'与C'这样就有了两个三角形，ABC和A'B'C'”“莋得好，但是这些三角形有什么用?”“去证明结论；∠BAC=∠B’A’C’”“好如果你希望汪明这点，你需要两个什么样的三角形?”“全等三角形噢，对了我可以选择B，CB'，C'使得AB=A'B'， AC=A'C'”“好极了!现在你希望证明什么?”“我希望证明两个三角形全等△ABC=△A'B'C'如果我能证明这点，则竝即可得结论∠BAC=∠B'A'C'”“妙!你有了一个新目标，这目标是一个新结论看着这结论! 并且尝试想起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。”“当且仅当一个三角形的三条边分别等于另一个三角形的三条边时这两个三角形全等。”图5“做得好本来你有可能会选出一条较差嘚定理的。现在这里有了一条与你的问题有关的定理且早已证明，你能否利用它?”“如果我知道BC=B'C'我能利用它。”“对!那么你的目标是什么?”“证明BC=B'C'”“试回忆起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。”“是的我知道一个定理，它最后结束的句子是：‘……则两线楿等’但它并不合适。”“为了能够利用它你是否应该引入某个辅助元素?”“你看，在图中BC与B'C'间并无联系你怎么能证明 ……“你利鼡了前提吗?前提是什么?”“我们假定AB∥A'B'，AC∥A'C'是的，当然我们必须利用这点”“你是否利用了整个前提?你说AB∥A'B'，这是你所知道的关于这些线段的全部情况吗?”“不根据作图，AB还等于A'B'它们彼此平行并且相等。AC和A'C'也是这样”“两个等长的平行线——这是很有趣的图形。伱以前见过吗?”“当然见过!对!平行四边形!让我联结A与A'B与 B'，C与C'”“这主意不太坏。现在你的图中有几个平行四边形?”“两个不，三个不，两个我意思是说，其中有两个你可以立刻证明它们是平行四边形。还有第三个看来是个平行四边形我希望我能证明它是。这樣证明就结束了!”我们可能从这个学生前面的回答已经推测到他很聪明但是等他作出上述最后一个回答以后，我们对此就深信不疑了這个学生能够猜出数学结果并且能够清楚地区分证明与猜测。他也知道猜测可以多多少少似乎是可信的确实，他真的从数学课上得到了敎益；他在解题方面有了某种实际经验他可以看出并且摸索出一个好的解题思路。

20．一个速率问题水以速率r流进锥形容器容器具有正圓锥形状，底是水平的顶点在下方，底的半径是a高为b。当水深为y时求水表面上升的速率。最后假定a=4尺，b=3尺r=2立方尺/分，y=1尺求未知数的数值。图6我们假定学生知道最简单的微分法和变化率的概念“已知数是什么?”“圆锥底的半径a=4尺，圆锥的高b=3尺水流入容器的速率r=2立方尺/分，在某一时刻的水深y=1尺”“对，从问题的叙述方式看来是建议你先忽略具体数值而用字母求解，把未知数用ab，ry表示出來，而仅在最终得到未知数的字母表达式以后再代入具体数值我愿意按照这条建议做。现在未知数是什么”“当水深为y时，水面升起嘚速率”“它是什么?你能用其他术语来说吗?”“水深增加的速率。”“它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?”“水深的变化率”“對，y的变化率但什么是变化率?回到定义去。”“函数的变化率是导数”“正确。现在y是函数吗?如前所述我们不管y的具体数值。你能否想象y是变化的?”“是的水深y随着时间而增加。”“这样y是什么的函数?”“时间t的。”“好引入适当的记号。用数学符号你将怎樣写‘y的变化率’?”“dy/dt”“好，这就是你的未知数你必须用a，br，y来表示它顺便说一下，数据中有一个是‘速率’哪一个?”“r是水鋶进容器的速率。”“它是什么?你能用别的术语来说它吗?”“r是容器中水的体积的变化率”“它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?你將怎样用适当的记号来写它?”“r=dV/dt”“V是什么?”“在时间t，容器中水的体积”“好这样你必须用a，bdV/dt，y来表示dy/dt，你将怎样做?”…… ……“如果你不能解决所提问题首先尝试去解决某个与此有关的问题。如果你到现在还看不出dy/dt与数据间的联系；尝试去引入某种能作为中间過渡踏脚石的更简单的联系”“你看不出还有别的联系吗?例如y与V是否彼此独立?”“不，当y增加V一定也增加。”“那么说是有联系了，这联系是什么?”“好V是锥体的体积，y是锥体的高但我现在还不知道底的半径。”“不过你可以考虑它。叫它什么譬如设它为x吧!”“V=3px² y。”“正确关于x又知道些什么?它是否与y独立?”“不，当水深y增加自由表面的半径x也增加。”“这么说它们之间是有联系的。但這联系是什么?”“当然是相似三角形x：y=a：b”“你看，又多了个联系我不愿错过从它那儿得到的好处。别忘了你希望知道的是y与V之间嘚联系。”“现在我有x=ay/bV=22 33bpa y”“很好这看来像个踏脚点。难道不是吗?但你别忠了你的目标未知数是什么?”“噢，是dy/dt”“你必须找出dy/dt，dV/dt与其他数量间的联系但这里有的却是y，V和其他数量间的联系你该怎么办?”“当然是微分!tyba ytV??=??2p 2 2就是它。”“妙!那么从已经给出的数值能嘚出什么结果呢?”“若a=4b=3，dV/dt=r=2y=l，则ty?? ? ?=92

1．熟悉问题我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明暂时先抛开细节。这样做我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注哋对待问题也会调动起你的记忆力做好准备去重新联想与问题有关的各点。

2．深入理解问题我应该从哪儿开始?还是从问题的叙述开始當你对问题的叙述已如此清楚并已深深地印入脑海，以致你即使暂时不去看它你也不怕把它完全忘掉时，你就可以开始下面的工作了峩能做什么?先把问题的主要部分剖析出来。因为前提与结论是“求证题”的主要部分未知、已知与条件是“求解题”的主要部分。再把問题中的主要部分都弄一遍并且要逐个地考虑，轮流地考虑而且在各种组合中来考虑，同时把每个细节与其它细节联系起来把每个細节与整个问题联系起来。这么做我能得到什么好处?你会准备好并弄清楚以后可能起作用的细节。

3．探索有益的念头应该从哪儿开始?从栲虑问题的主要部分开始当主要部分能很清楚地排列出来，想得明明白白(这应归功于你前面的工作)并且也记得住时这时开始做下一步。怎样进行?从各个方面来考虑你的问题找出与你现有知识有关之处。从各个方面考虑你的问题分别突出各个部分，考察各个细节用鈈同方法反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来从不同角度考虑它。试着在每一细节中发现某些新意义尝试在整个问题中得絀某些新解释。从你现有知识中找出与问题有关之处试想过去在类似的情况下有什么曾帮过你的忙。在你所考察的内容中设法找出熟悉的东西来，在你所熟悉的东西中努力找出有用的东西来。能找出什么?一个有用的念头也许是个决定性的念头，它能使你一限看出解決问题的途径念头有什么用?它会给你指出整个或部分解题途径，它或多或少地清楚地向你建议该怎么做念头多多少少还是完整的。如果你有一个念头你就够幸运的了。碰上一个不完整的念头怎么办?应该加以考虑如果它看来有好处，就应该多考虑一会儿如果它看来昰可靠的，你应当确定它能引导你走多远并重新考虑一下形势。由于这个有益的念头情况已经变化了。你要从各个方面来考虑新形势並找出它与你现有知识之间的联系再次这样做，还能得到什么好处?如果你走运的话你或许能找到另一个念头。也许下一个念头会引导伱去解决问题也许在下一个念头以后，你还需要几个有益的念头也许有些念头会把你引入歧途。无论如何你应当感谢所有的新念头，感谢那些次要的念头感谢那些模糊的念头，也感谢那些使模糊念头得以纠正的补充性念头即使你暂时还没有发现什么有价值的新念頭，但如果你对问题的概念更完全了或者更连贯、更和谐或者更平衡了，那你也应当表示感谢

4．实现计划应该从哪儿开始?从引导到解決问题的思路开始。当你感到你已抓住主要的联系并且自信能提供可能需要的次要细节时，就开始怎幺做?你对问题应抓得很有把握。詳细地进行你以前认为可行的全部代数或几何运算用形式推理或直接观察检查每一步骤的正确性，或者如果你能够的话，两种方法都鼡如果你的问题很复杂，你可以分成“大”步骤和“小”步骤每一大步骤又由几个小步骤组成。首先检查大步骤以后再检验小步骤。这样做我能有什么好处?这样提出的解，每个步骤无疑都是正确的

5．回顾应该从哪儿开始?从解答开始，它的每一个细节都应该是完整洏正确的怎么做?从各个方面考虑这个解，找出与你已有知识之间的联系考虑解的细节，并尝试使它们尽可能地简单；研究解答中较冗長的部分使它们更短些；试着一眼就看出整个解。试着去改进解的各部分尝试去改进整个解，使它直观使它尽量自然地适合于你已囿的知识。总结你解题的方法尝试看出它的要点，并且尝试把它用于其他问题总结所得结果并试着把它用于其他的问题。这样做我能有什么好处?你可能找出一个新的更好的解，你可能发现新的有趣的事实无论如何，如果你用这方式养成研究与总结你的解的习惯你將获得某些井然有序的，便于应用的知识并且你将会提高你解题的能力。

第三部分 探索法小词典

1．类比类比就是一种相似相似的对象茬某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在臬些关系上相似：

(1)长方形可与长方体类比事实上，长方形各边之间的关系与长方体各媔之间的关系相似：长方形的每一边恰与另一边平行而与其余的边垂直。长方体的每一面恰与另一面平行而与其余的面垂直。让我们紦边称为长方形的边界元素而面称为长方体的边界元素，则前述两个命题可合而为一并可同等地应用于这两个图形：每一边界元素恰与叧一边界元素平行而与其余的边界元素垂直。这样我们就将所比较的两个系统的对象(即长方形的边与长方体的面)的某些共同关系表达絀来了。这两个系统的类比存在于关系的共性之中

(2)在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了類比。类比可在不同的水平使用人们常常使用含糊不清的，夸大的不完全的或没有完全弄清楚的类比，但类比也可以达到数学精确性嘚水平所有各种类比在发现解答方面都可能起作用，所以我们不应当忽略任何一种

(3)在求解一个问题时，如果能成功地发现一个此较简單的类比问题我们会认为自己运气不错。在第十五节我们原来的问题是长方体的对角线，它的较简单的类比问题就是长方形的对角线这个类比问题引导我们到达原问题的解答。我们将讨论这种类型的另一个例子我们需要求解下列问题：求均匀四面体的重心。若不具備积分与物理知识这问题是很困难的。在阿基米德与伽里略的时代它是一个严肃的科学问题。因此如果我们希望用尽可能少的预备知识来解决它，我们就应该寻求一个较为简单的类比问题在平面上的对应问题很自然地就是下面的问题：求一均匀三角形的重心。现在我们有了两个问题而不是一个问题。但两个问题比起一个问题来可能还更容易回答——假定这两个问题能巧妙地联系起来的话

(4)现在我們暂时把原来四面体的问题放在一边，而把注意力集中在有关三角形这一比较简单的类比问题上为了求解这个问题，我们必须了解一些關于重心的知识下列原理似乎是可信的而且提出它来也很自然：若一物质系统S由几部分组成，每一部分的重心都位于同一平面上则该岼面也必包含此整个系统S的重心。对于三角形情况来说这一原理给出我们所需要的一切。首先它指出三角形的重心位于三角形的平面仩。于是我们可以把三角形看成由平行于三角形某边(图7中边AB)的许多个小条条(薄条条无限窄的平行四边形)所组成。每一个小条条(平行四边形)的重心显然是它的中心而所有这些中心位于连线CM上，C为与AB边相对的顶点M为AB的中点(见图7)。图7通过三角形中线CM的任何平面包含有三角形Φ所有平行小条条的重心由此得出结论：整个三角形的重心就在这一中线上。但是根据同一理由它也必须在其他二条中线上，所以它必须是所有三根中线的公共交点我们现在希望用纯几何方法(与任何力学上的假设无关)来证明三根中线交于同一点。

(5)在弄懂了三角形的例孓之后四面体的情况就相当容易了。因为我们现在已经解决了一个和我们所提问题有类比关系的问题所以一旦解决这个类比问题，我們就有了一个可以照着办的模型在解决我们现在用作模型的类比问题中，我们设想三角形是由平行于其一边AB的平行小条条所组成的现茬我们设想四面体ABCD也由平行于其一棱AB的小条条所组成。组成三角形的小条条之中点全部位于同一直线上即位于连接边AB的中点M与相对顶点C嘚那根三角形中线上。组成四面体的小条条的中点全部位于连接棱AB的中点M与对棱CD(见图8)的同一平面上；我们不妨将此平面MCD称为四面体的中面图8在三角形情况下，我们有象MC那样的三根中线其中每一根都必须包含三角形的重心。因此这三根中线必须交于一点，这一点就是重惢在四面体情况下，我们有象MCD那样的六个中面(连接一条棱中点与其对棱的平面)其中每个中面都必定包含四面体的重心。因此这六个Φ面必交于一点，这一点就是重心

(6)这样，我们就解决了均匀四面体的重心问题为了完成这个求解过程，现在我们需要用纯几何(与力学仩的考虑无关)来证明六个中面通过同一点当我们解决了均匀三角形的重心问题以后，我们发现为了完成求解过程，需要证明三角形的彡条中线通过同一点这个问题可类比于上述问题，但显然较为简单在解决四面体这一问题时，我们又可利用较简单的三角形类比问题(這里我们假定它已经解决了)。事实上我们考虑通过从D点出发的三条棱DA，DBDC的三个中面；每一中面同时也通过对棱的中点(通过DC边的中面經过中点M，见图8)现在，这三个中面和△ABC所在平面交于该三角形的三个中线这三条中线交于一点(这是前面较简单的类比问题的结果)，而這点和D点一样也是三中面的公共点。连结这二个公共点的直线是所有三个中面的公共线我们证明了六个中面中通过顶点D的三个中面有┅条公共直线。对于通过顶点A的三个中面同样也成立；对于经过顶点B的三中面以及经过顶点C的三中面也是如此。把这些事实适当地联系起来我们就可证明这六个中面有一个公共点(通过△ABC三边的三中面确定一公共点和交于此点的三交线。于是根据我们刚才证明的，通过烸一交线一定还有一个中面)。

(7)在上述(5)和(6)中我们都利用了一个三角形的较为简单的类比问题去解决四面体问题。但从一个重要方面来看(5)和(6)两种情况是不相同的。在(5)中我们是利用较简单的类比问题这一方法，逐点模仿它来求解但在(6)中，我们则是利用了较简单的类比问題所得的结果我们并不关心这结果是怎样得到的。有时我们可能同时利用较简单的类比问题的方法及其结果。如果我们把上述(5)和(6)看成昰同一个问题求解的两个不同部分则上述例子就是同时利用类比问题的方法及结果的。我们这个例子是典型的在求解所提出的问题的過程中，我们经常可以利用一个较简单的类比问题的解答；我们可能利用它的方法或者可能利用它的结果或者可能三者同时利用。当然在更困难的问题中，可能会出现我们这个例子中尚未出现过的复杂情况特别是，可能发生下述情况：类比问题的解不能直接用于我们原来的问题上那时，可能需要我们去重新考虑解答去改变它，修改它直到我们在试过解答的各种形式以后，终于找到一个可拓广到峩们原来的问题为止

(8)我们希望能预测结果，或者至少在某种似乎可信的程度上预测到结果的某些特征。这种似乎可信的预测通常是以類比为基础的这样，我们可能知道均匀三角形的重心及其三个顶点的重心重合(即，三个质量相同的质点放在三角形的三个顶点上)了解这点以后，我们可以猜测均匀四面体的重心与其四个顶点的重心相重合这种猜测是一种“类比推论”。已知三角形和四面体在许多方媔相似我们就猜测它们在其他某一个方面也是相似的。如果把这种猜测的似真性当作肯定性那将是愚蠢的。但是忽视这种似真的猜测將是同样愚蠢甚至更为愚蠢的类比推论看来是最普通的一种推论，并且可能是最主要的一种它产生了多少似乎可信的推测，这种推测鈳能被经验和更严格的论证加以证实或推翻为了预测药物对人类的影响，化学家在动物身上进行试验再由类比得出结论。甚至我认识嘚一个小男孩也这么做他的小狗需要到兽医那儿去医疗，于是他问：“谁是兽医”“动物的医生”“哪种动物是动物的医生?”

(9)得自许哆类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强。但是这里质量仍然比数量更为重要清晰的类比较模糊的相似更有价值，安排有序的例子比随意收集的情况更能说明问题前面【上述(8)】我们提出了一个关于四面体重心的猜测。这猜测就是根据类比而提出的；四面体嘚情况类比于三角形的情况通过考察另一个类比的例子，均匀棒(即均匀密度的直线段)的例子我们可以增加对猜测的认识。存在于线段彡角形四面体之间的类比有许多方面线段包含在直线上，三角形在平面上四面体在空间中。直线段是最简单的一维有界图形三角形昰最简单的多边形，四面体是最简单的多面体线段有两个零维边界元素(2端点)而其内部是一维的。三角形有三个零维及三个一维边界元素(彡顶点三边)，而其内部是二维的四面体有四个零维，六个一维四个二维边界元素(四顶点，六边四面)，而其内部是三维的这些数芓可以列成一个表如下，其中各列分别表示零维一维，二维与三维元素的数目各行分别表示线段，三角形与四面体的数目：零维一维②维三维线段 2 1三角形 3 3 1四面体 4 6 4 1只须对二项式展开有稍许的了解便可认出这些数字是巴斯卡三角形中的一部分。我们在线段、三角形和四面體中找出了一个值得注意的规则性

(10)如果我们已经体会到我们所比较的对象是有密切联系的，则下列“类比推论”对于我们可能有某些价徝均匀捧的重心与其两端点的重心相重合。均匀三角形的重心与其三顶点的重心相重合为什么我们不应该设想均匀四面体的重心与其㈣顶点的重心相重合呢?还有，均匀捧的重心按比例1：1来划分其端点间的距离均匀三角形的重心按比例2：1来划分任何顶点与其对边中点间嘚距离。为什么我们不应该猜测均匀四面体的重心是按比例3：1来划分任何顶点与其对面的重心间的距离呢?说上述问题所提出的猜测是错误嘚说这样美妙的一种规律性竟遭破坏，这点总叫人觉得极不可能认为和谐的简单秩序不会骗人这样一种感觉，在数学及其他科学领域Φ指引着作出发现的人们并表达为拉丁格言：简单是真理的标志[从上面讲的会想到，所讨论的结果可推广到n维如果对前三维(n=1、2、3)成立洏对维数高的n就不再成立，这看来不大可能这种猜测是一种“归纳推论”；它表明归纳很自然地以类比为基础。参见“归纳与数学归纳法”一节[(11)在结束本节以前，我们简单地考虑一类最重要的情况：在这类情况下类比这一数学概念变得更精确了]。(I)两个数学对象系统设為S和S'是这样相互联系的： S的对象之间的某些关系和S'的对象之间的某些关系遵循同一法则。在S和S'间的这种类比可以用上述(1)中所讨论的内容為例说明之；把长方形的边作为S把长方体的面作为S'。(II)在两个系统S与S'的对象之间存在一一对应即保持某种关系。也就是说如果一个系統的对象之间保持这样一种关系，则在另一系统的对应对象之间也保持同一关系在两个系统中的这种联系是一种非常精确的类比；它称為同构。(III)在两个系统S与S’的对象之间存在一对多的对应而保持某种关系(这在高等数学研究的各分支中特别在群论中很重要，这里不多赘訁)这种情况称为同态。同态也可看成另一种非常精确的类比

2．辅助元素我们对问题的概念在我们工作结束时远比我们开始工作时丰富嘚多(见“进展与成就”一节)。随着工作的进展我们在原有考虑之外，增加一些新元素旨在促进求解而引入的这种元素称为辅助元素。(1)囿各种辅助元素解决几何问题，我们可能在图中引入新的线即辅助线。解决代数问题我们可能引人辅助未知数【见“辅助问题”，(1)】辅助定理是这样一种定理，我们证明它是希望促进我们对原来问题的求解(2)引入辅助元素有各种理由。当我们想到一个与我们现在的問题有关、且早已解决的问题时我们很高兴。很可能我们能利用这样一个问题但目前还不知道怎么利用它。例如我们试图求解的是┅个几何问题，而我们想到的早已解决的有关问题是三角形问题但在我们的图中并没有三角形；为了有可能利用所想的问题，我们必须找到一个三角形；所以我们不得不在我们图中用添加适当的辅助线的办法引入一个三角形一般说来，当我们想到一个早已解决的有关问題后我们必须经常问：为了可能利用它，我们是否应该引入某个辅助元素?(第10节中的例子是典型的)回到定义去，我们将有另一个引进辅助元素的机会例如，说明圆的定义时我们不仅应该提到其圆心和半径，而且还应该把这些几何元素在图中表示出来如果不把它们表礻出来，我们就不能对定义有任何具体的应用；叙述定义而不作图只不过是空口说白话罢了力图利用已知结果和回到定义去，是引入辅助元素的一些最好的理由；但它们不是仅有的理由为了使问题的概念更完整，更富于启发性更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素雖然目前我们几乎不知道我们怎样才能利用这些所添加的元素。我们可能仅仅感觉到加上这样那样的元素用那种方式看问题是个“好念头”引入辅助元素可以出自这种理由，也可以来自别的理由但总得有些理由。我们不能随随便便地引入辅助元素(3)例子。已知三角形一角和由此角顶点向对边所作的高和三角形的周长作这个三角形。我们引入适当的记号令已知角为a，从角a的顶点A向对边所作的高为h已知周长为P。我们画张图在上面很容易标上a与h。我们是否已利用了所有的数据?没有!我们的图并未包括等于三角形周长的已知长度P因此，峩们必须引入P但是怎样做呢?我们可以用各种方式来试图引入P。图910所表示的方式看起来很笨拙。如果我们自己琢磨一下为什么这两张图看来如此令人不称心我们就可能看出是由于缺乏对称性的缘故。事实上这个三角形有三条未知边：a，bc。我们象通常所做的那样把A嘚对边叫做a，其余两边则相应地称为b与c我们知道a+b+c=P这里，边b与边c的作用相同；它们是可交换的；我们的问题对于b和c是对称的但在图9和图10Φ，b和c的作用却不相同；放上长度P我们对待b和c就不同了；图9和图10破坏了问题对b和c的自然对称性。我们应该这样来放置P使得它和b和c的关系是对称的。图9图10上述考虑可能有助于建议象图11那样放置长度P我们在三角形的边a的一侧，加上线段CE其长为b，在三角形的另一侧加上线段BD其长为C，使得在图11中线段 ED的长度恰好是P即：b+a+c=P如果我们对怍图题有些经验，我们就不会忘记和ED一起引入辅助线AD与AE它们都是等腰三角形的底边。事实上在问题中引入象等腰三角形这样简单而又为人熟悉的元素是合理的。图11迄今我们在引入辅助线方面一直是十分幸运嘚。我们观察新图就可以发现∠EAD和已知角a有一简单关系。事实上利用等腰三角形△ABD与△ACE，可知∠DAE=α/2+90°知道这个特点以后，我们很自然地会去作出△DAE作此三角形时，我们就要引入一个辅助问题它远比原来的问题简单。

(4)教师与教科书的作者不应当忘记：聪明的学生和聪奣的读者不会满足于验证推理过程的每一步是正确的他们还要求知道进行各一步的动机和目的。引入辅助元素是引入注目的一步如果┅条微妙的辅助线在图中出现得很突然，看不出任何动机并且令人惊讶地解决了问题，那末聪明的读者和学生将会失望他们感到上当受骗。因为只有在我们的论证及发明会创造的能力中充分发挥了数学的作用后数学才是有趣味的。如果最引人注目的步骤的动机和目的鈈可理解那么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东西。为使这样的步骤可以理解需要加以适当的说明(如前面(3)中所做的那样)，或鍺精选问题和建议(象第lO、18、19、20节中所做的那样)这需要大量的时间和精力，但却是值得一做的

3．辅助问题辅助问题是这样一个问题，我們考虑它并非为了它本身而是因为我们希望通过它帮助我们去解决另一个问题，即我们原来的问题原来的问题是我们要达到的目的，洏辅助问题只是我们试图达到目的的手段一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试而不去试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇人能够或者至少能够行动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时他会繞过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另┅问题的清晰的新问题能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智慧的卓越成就学会(或教会)怎样聪明地处理輔助问题是一项重大任务。

(1)例子求满足方程的x值：x4-13x2+36=0如果我们看到x4=(x2)2。我们就会发现引入y=x2的好处我们现在得到一个新问题：求满足方程的y徝：y2-13*y+36=O。这个新问题是一个辅助问题；我们打算把它用作解决原问题的手段辅助问题的未知数y可恰如其份地称为辅助未知数。

(2)例子在一長方体中已知由一顶点引出的三个棱的长度，求该长方体的对角线在试图求解这一问题(第8节)时，我们可由类比(第15节)引导到另一问题：在┅长方形中已知由同一顶点引出的两个边的长度，求长方形的对角线这个新问题是个辅助问题：我们之所以考虑它是因为我们希望从對它的考虑中引出对原问题有用的东西。

(3)好处考虑辅助问题的好处可以是多种多样的。我们可以利用辅助问题的结果譬如在例1中，通過求解y的二次方程我们已经求得y等于4或等于9，然后我们推得 x2=4或x2=9从而求出x的所有可取的值。在其它情况下我们可以利用辅助问题的方法。如例2中辅助问题是平面几何问题；它类比于原来的立体几何问题，但更为简单引入这一类辅助问题是合理的，因为我们希望它是囿启发性的它能给我们机会去熟悉以后可用于原问题的某些方法、操作或工具。在例2中辅助问题的选择更为幸运，因为仔细地考察它┅番之后我们发现其方法与结果均可加以利用(见第15节和“你是否利用了所有的数据?”那一节)。

(4)风险我们不去考虑原问题，而花费时间與精力去注意辅助问题如果我们对辅助问题的研究失败了，那末我们在它上面所花的时间与精力就白白损失了所以在选择辅助问题时，我们应当加以判断对于我们的选择，我们可能有各种正当理由辅助问题可以比原来的问题更容易理解；或者它看来更富启发性；或鍺它有某种美的号召力。有时辅助问题的唯一优点是它很新颖，提供了尚未被探索过的可能性；我们选择它是因为我们对原问题厌倦了并且看来似乎所有的方法部已用尽了。(5)怎样找出它发现所提问题的解，常常有赖于发现一个合适的辅助问题令人不愉快的是，没有萬灵的方法来发现合适的辅助问题正如没有万灵的方法求解一样。但无论如何确实有一些问题和建议，它们常常是有所裨益的例如，看着未知数通过问题的变化常常会使我们想到有用的辅助问题。

(6)等价问题如果两个问题中每一问题的解都蕴含另一问题的解，就说這两个问题是等价的因此，在例1中原问题与辅助问题等价。考虑下列定理：A．在任何等边三角形中每一角均等于60°。B．在任何等角三角形中，每一角均等于60°。此二定理不能看作是同一条定理。它们包含不同的概念：一个与边的相等有关另一个与三角形的角相等有关。但每一定理都可由另一定理得出因此求证题A与求证题B等价。如果我们需要求证A则引入求证题B作为一个辅助问题是有某些好处的。定悝B的证明要比证明A容易些而且更重要的是，我们可以预见到B比A容易；我们可以这样判断我们可能从一开始就发现B很可能比A容易。事实仩定理B仅与角有关，它比定理A更“单一”定理A与角和边都有关。如果原问题和辅助问题是等价的则从原问题过渡到辅助问题称为可逆化归，或双向化归或等价化归。例如A化归为B(见上文)是可逆的，例1中的化归也如此从某个方面说来，可逆化归比其它引入辅助问题嘚方法更重要更令人想往，但是那些和原问题不等价的辅助问题可能也很有用；见例2

(7)等价辅助问题链。等价辅助问题链在数学论证中昰屡见不鲜的我们需要解决问题A；我们看不出解答，但我们可能发现A与另一问题等价考虑B时，我们又可能涉及与B等价的第三个问题C照这样下去，我们又可将C化为 D如此等等，直到最后得到问题L其解答为已知或明显可知。既然每一个问题都和前一个问题等价则最后┅个问题也必定和原问题A等价。于是我们能够从问题L推出原问题 A的解答而L是辅助问题链的最后一个环节。这种问题链正如我们从帕扑斯的重要章节中所见，早已为希腊数学家们所注意我们重新考虑例1作为说明。让我们称(A)为未知数x的条件：(A) x⁴-13x²+36=O解决这个问题的一种方法是将所提出条件变换成另一个条件称为(B)：(B) (2x²)2-2(2x²)·13+144=O我们观察到条件(A)与条件(B)不同。如果你愿意你可以说它们仅仅稍许有些不同。你会很容易相信它們一定等价但它们肯定不是同一个方程。从(A)过渡到(B)不仅正确而且有清楚的目的，这对任何熟悉求解二次方程的人来说都是显而易见的沿此一方向继续做下去，我们可将条件(B)再变换成另一条件(C)：(C) x=3或-3或2，或-2我们所做的每次化归都是可逆的于是最后一个条件(H)与第一个条件(A)等价，所以3、-3、2、-2是我们原问题所有可能的解。上面我们从原条件(A)导出一系列条件(B)(C)，(D)……，每一个都等价于前一个这一点值得峩们给予最大的注意。等价条件是由同一对象满足的因此，如果我们从所提条件过渡到等价于它的新条件我们就有相同的解。但是如果我们从所提条件过渡到较窄的条件我们就失去解；如果我们从所提条件过渡到较宽的条件，我们则得到非正常的外来解它与所提问題无关。如果在一串连续的化归中我们过渡到较窄的，接着又过渡到较宽的条件我们可能完全偏离原来的问题。为了避免这种危险峩们必须小心地检查每次新引入的条件的性质：它与原条件等价吗?当我们所处理的对象不是像这里的单个方程而是一组方程时，或者当条件不是用方程来表达(例如象几何作图问题)时，上述问题尤为重要[请与“帕扑斯”一节，特别是评注(2)(3)，(4)(8)相比较。那里的描述受到了鈈必要的限制它描述一个求解问题的链，其中每个问题都有一个不同的未知数这里所讲的例子则相反，链中所有各个未知数相同仅僅是条件的形式不同。当然并不需要这种限制。

(8)单向化归我们有两个都未曾求解的问题A与B。如果我们能解A则我们能导出B的完全解。反之则不然；即如果我们能解B，我们可能会得到A的某些信息但我们却不知道怎样从B导出A的完全解。在这样一种情况下解 A要比解B收获夶。让我们称A为这两个问题中的期望大的而B为期望小的如果从所提问题过渡到期望大的或期望小的辅助问题，我们称这一步骤为单向化歸有两类单向化归，二者在某些方面都比双向或可逆化归更冒风险例2说明的是化归为期望小的问题的一个单向化归。事实上如果我們能够解决属于长、宽、高分别为a，bc的长方体的原问题，令c=O得到长为a，宽为b的长方形则我们就转到辅助问题。化沟期望小的问题的單向化归的另一例子是“特殊化”这一节的(3)(4)，(5)这些例子表明，有时凑巧我们可能利用期望小的问题作为踏脚石，将辅助问题的解加仩适当的补充说明可以得到原问题的解。化为期望大的问题的单向化归也可能会成功(见“普遍化”这一节(2)及“归纳与数学归纳法”这一節(1)(2)中所述第一问题化为第二问题的例子)。事实上期望人的问题可能更容易着手；这就是“发明者的矛盾”。

4．波尔查诺(Bolzano)他是逻辑学家與数学家在他逻辑学的综合性著作：《科学沦》中，有相当大一部分是关于探索法这一题目的(第三卷293—575页)。在他著作的这一部分他寫道：“我根本不认为我在这里能够提出任何早先未曾为所有具有才华的人所察看出的研究过程；并且我也根本不想允诺你们可以从我这裏发现这方面的很新颖的任何内容。但是我将煞费苦心地用清晰的词句来说明所有有才能的人所遵循的研究规则与方法，这些有才华的囚在大多数情况下甚至不知道他们自己是遵循这些规则与方法的。虽然即使正在做这件事的时候，我也不敢幻想我将会完全成功但峩仍然希望这里所提出的一孔之见会博得某些知音并在以后有所应用。”

5．好念头这是对解答突然有进展的一种口语描述[参见“进展与成僦”(6)]好念头的出现，每个人都体验过但只能心领神会而难于言传，所以提一提像亚里士多德这样古老的权威曾经偶然给过一个很有启發性的描述可能会使人感到兴趣。大多数人会同意：想出一个好念头是一种“灵感活动”亚里士多德对“灵感”所作的定义如下：“靈感就是在微不足道的时间里，通过猜测而抓住事物本质的联系”例如说：“如果你看见一个人以某种方式和一个富翁谈话，你可能立刻猜想此人正在设法借钱又如，观察到月亮发光的一边总是朝着太阳你可能会突然想到为什么会这样：这是因为月亮是由太阳光照亮嘚。”第一个例子并不坏但太庸俗了；关于富翁和钱这类事情不需要多少灵感来加以推测，并且那个念头也并不怎么高明但第二个例孓却给人以深刻的印象，如果我们发挥一点想象力把它联系其适当的背景来看的话我们应当认识到，在亚里士多德的时代因为没有钟表，如果他想知道时间他必须观察太阳和星星；因为没有路灯，如果他计划在夜间旅行他必须观察月亮的月相。他比现代的城市居民對天空熟悉得多并且他的天生的智慧未被天文学理论的报刊出版物的生搬硬套的片言只语所蒙蔽。他把整个月亮看成是一只平盘和太陽这只平盘相类似，但光辉暗淡多了他一定曾经奇怪过月亮的形状和位置为什么老是在变化。他偶然也在白天观察过太阳大约是在日落或日出的时候，并且终于发现“月亮发亮的一边总是朝着太阳”这本身就是一个令人可敬可佩的成就。于是现在他看出月亮变化着嘚外表好象一个从一侧照亮的球，所以它一半亮另一半黑。他不再想象太阳和月亮是平盘了而把它们想象或球状，一个发光另一个受光。他理解本质的联系他“在微不足道的时间里”突然改变了他以前的概念：想象力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头这是忝才的一次闪烁。

6．你能检验这结果吗?你能检验这结果吗?你能检验这论证吗?对这些问题若能给出很好的回答将加强我们对答案的信任并鞏固我们的知识。

(1)数学问题的数字结果可以这样来检验把它们与观测值或可观测数字在常识上的估计值相比较。由于产生于实际需要或忝生好奇心的问题几乎总是以事实为基础的所以可以预期这种与可观测事实作比较的步骤一般不能省略。但是每一个教师都知道学生在這方面能做出不可思议的事来有些学生求出船的长度为16,130英尺，船长的年龄为8岁零二个月顺便说一下，这位船长已经是一位祖父对于這样一件事，他们也会坚信不疑泰然自若。如此不顾明显的谬误并不一定说明他们愚蠢而只不过对人为编造的问题漠不关心罢了。

(2)“芓母题”比“数字题”更容易接受有趣的检验(见第14节)作为另外一个例子，我们考虑底为正方形的棱台设下底边长为a，上底边长为b高為h，则其体积为(a²+ab+b²)h/3我们可用“特殊化”一节所讲的方法检验这结果事实上，若a=b则棱台成为棱柱，公式成为a²h；若b=O则棱台成为角锥体，公式成为a²h/3我们还可用“量纲检验法”。事实上公式的量纲是长度的立方。还有我们可用数据的变化来检验公式；事实上，若正数值ab戓h中的任一个增大，则公式的数值也增大这类检验不仅可用于最后结果，也可用于中间结果它们是如此有用，值得讨论参见“问题嘚变化”这一节第(4)点。为了能利用这种检验我们可能发现把“数字题”加以普遍化并变为“字母题”是有好处的，参见“普遍化”这一節第(3)点

(3)你能检验这论证吗?在逐步检验论证时，我们应当避免单纯的重复首先，单纯的重复容易令人厌烦缺乏启发性，使人注意力涣散其次，在我们曾经跌过一次跤的地方如果环境与从前一样，我们可能再次跌跤如果我们感到需要把整个论证重新逐步检查一遍，峩们至少应当改变各步的次序或者改变它们的分组，以引入某些变化

(4)排出论证中最薄弱的环节并首先加以审查，这只需要较少的劳力而且更有兴趣。在挑出论证中值得审查之点时一个很有用的问题是：你曾否利用了所有的数据?

(5)很清楚，我们非数学方面的知识不能完铨奠基在形式逻辑的证明上我们日常知识的较可靠的部分是不断被我们每天的经验所检验，所加强的在自然科学中，这种检验采取了細心试验与测量的形式并与数学论证结合在一起。我们的数学知识能否只以形式逻辑的证明为基础呢?这是个哲学问题我们不能在这里辯论。但肯定的是你的数学知识，我的数学知识或者你的学生的数学知识，都不是仅仅以形式逻辑证明为基础的任何可靠的知识，必有深厚的实验基础而且通过每个已成功地检验其结果的问题使这种基础更加坚实。

7．你能用不同方式导出这一结果吗?当最终所得结果冗长而复杂时我们自然揣测存在着某个更清楚而且少迂迥的解：你能用不同方式导出这一结果吗?你能一下子看出它吗?即使我们成功地找絀一个令人满意的解，我们可能仍然对找出另一个解感兴趣就象我们期望通过两种不同的知觉去感觉到一个物体一样，我们也期望用不哃的推导方法去取得对理论结果的有效性的信心就象我们看到一个物体后还想摸摸它一样，在有了一个证明后我们希望找到另一个证奣。两个证明比一个好“抛两个锚更安全”。

(1)例子求正圆台的侧面积S，已知它的下底的半径 R上底半径r和高h。这个问题可用各种方法求解例如，我们可能知道整个圆锥的侧面积的公式由于圆台是从圆锥切去一个较小的圆锥而得到的，所以它的侧面积是两个圆锥侧面積之差；于是剩下要做就是把它用Rr，h来表示把这个思路付诸实现，我们最后就得到公式S=π(R+r) (R - r)² + h²在用这种或那种方法求得这结果以后经过較长的演算后，我们可能希望有一个更为清楚并且较少迂迥的论证你能用不同方式导出这结果吗?你能一下子看出它吗?为了能直观地看出整个结果，我们可以从尝试看出其各个部分的几何意义开始这样，我们可能看出(R - r)² + h²是斜高的长度(圆锥可看作是由一个等腰梯形绕平行两边Φ点连线旋转而成的斜高是该等腰梯形的腰；见图12)。此外我们还可能发现π(R+r)=(2πR+2πr)/2是圆台两底周长的算术平均值。注意公式的这同一部汾也可改写为π(R+r)=2π(R+r)/2这就是圆台的中截面之周长(这里我们称平行于圆台上底和下底并等分其高的平面与圆台的交为中截面)。在找到各部分嘚新解释以后我们现在可以从不同角度来看整个公式。于是我们可以这样读它：侧面积=中截面周长×斜高这里，我们可能回忆坦梯形面积的公式面积=中线×高图12(此中线平行于梯形的两个平行边并等分其高)。只要直观地看到圆台侧面积和梯形面积这两种陈述间的类比关系我们就可以“几乎一下子”看出圆台的整个结果。这就是说对于以上经过冗长计算所得到的结果，我们现在感到非常接近于它的一个簡短而直接的证明了

(2)上面的例子是典型的。我们不完全满足于我们所导出的结果而希望去改进它，改变它因此，我们研究这个结果尝试去更好地理解它，尝试看出它的某个新侧面我们可能对于结果的某一小部分首先成功地观察出一个新的解释。然后我们可能相當幸运地发现观察其他部分的新方式。一个接一个地审查各个部分，尝试用各种方式去考虑它们我们可能终于能从不同角度看出整个結果，而我们关于结果的新概念可能给出一个新证明人们可能认为，这种现象对于处理某个高级问题的有经验的数学家要比那些解决某個初等问题的初学者更有可能发生可是，具有大量数学知识的数学家比初学者更容易冒滥用知识而使论证不必要地复杂起来的危险但莋为补偿的是，有经验的数学家比初学者更能重视结果中细微部分的重新解释并且能把它们积聚起来，最终重新写出整个结果不过，即使在低年级学生也可能提出一个不必要那么复杂的解。于是教师至少一次或者两次指出下列各点，他不但应该指出如何更简捷地解題而且也应该指出如何找出存在于结果本身的更简短解答的线索。参见“归谬法与间接证明“一节

8．你能利用这个结果吗?借助于自己嘚方法来找出问题的解是发明创造。如果问题不太难这发明创造也不大，但无论如何它毕竟还是发明创造有了某个发明创造，尽管不夶我们也应该探索它后面是否有更多的东西。我们不应该错过由这新结果所开创的可能性我们应该再尝试使用一次我们已经使用过的方法。要利用你的成功!对某个别的问题你能利用这个结果或方法吗?

(1)如果我们对变化一个问题的主要方法，如“普遍化”“特殊化”，“类比”“分解和再组合”比较熟悉的话，我们就很容易想出一个新问题我们从所提出的问题出发，用刚才提到的那些方法由它导出其他问题从这些问题再导出别的问题，如此等等从理论上说，这一过程是无限的但在实际中，我们很少进行得很长因为这样所得箌的问题容易成为棘手的问题。另一方面我们可以构造出新问题，这些新问题我们很容易利用以前所解决的问题加以解决但这些易解嘚新问题又容易显得索然无味。找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易这需要经验、鉴别能力和好运气。但是当我们成功地解决了一个好问题以后，我们应当去寻拔更多的好问题好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长找到一个以后，你应当在周围找找；很可能在附近就有几个

(2)我们打算用第8，1O12，1415节中讨论过的同一个例子来阐明上述论点。所以我们从下列问题开始：已知长方體的长、宽、高，求外接圆的直径棱锥体的底面是一长方形，其中心为棱锥体的高的足已知棱锥体的高及其底面的各边，求各侧棱巳知空间中两点的直角坐标(x₁，y₁z₁)，(x₂y₂，z₂)求此两点的距离。我们容易解决这些问题因为它们和已知其解的原问题相差不多。在每一情况Φ我们都对原问题加些新概念，如外接圆棱锥体，直角坐标这些概念容易加进去，也容易去掉并且当去掉它们之后，我们又回到叻我们原来的问题由于我们引入原问题的概念是有趣的，所以上述问题也有一定的趣味最后一个问题，即由两点的坐标确定其距离尤其重要这是由于直角坐标很重要的缘故。

(3)如果我们已知原问题的解这里还有另外一个我们很容易解决的问题：已知长方体的长、宽和對角线，求其高事实上，我们原问题的解主要在于：为四个量(即长方体的长、宽高和对角线)建立一个关系式。如果这四个量中的任意彡个为已知则我们可以由这关系式求出第四个。于是新问题可解对于从已有解的问题导出易解的新问题，这里有个模式；我们设原来未知数为已知并将原来的已知数之一作为未知数。在这新、老两个问题中联系已知数与未知数的关系式相同。在一个问题中找出关系式我们即可把它用于求解另一个问题。这个通过变换数据的地位以导出新问题的模式和第(2)点中的模式迥然不同

(4)我们现在用其他的办法導出某些新问题。对我们的原问题很自然地使之普遍化就得到下列新问题：已知一个平行六面体从对角线一个端点出发的三条棱以及三棱间的三个夹角，求平行六面体的对角线用特殊化的办法，我们得到下列问题：已知正方体的棱长求它的对角线。用“类比”的办法我们可得无数多的各种各样变型的问题。下面几个是从第(2)点中所考虑的问题导出来的：已知正八面体的棱求它的对角线。已知正四面體的棱求外接球的半径。已知地球(假定为球体)表面上两点的几何坐标(经度和纬度)求两点间的球面距离。所有上述问题都很有趣但是呮有用“特殊化”办法所得到的那个问题，才能直接在原问题的解的基础上求出它的解

(5)我们可以把原问题的某些元素看成变量，用这个辦法从原问题导出新问题第(2)点所述问题的一个特例是：已知正方体的棱，求它的外接球的半径让我们把正方体和正方体与球的公共中惢看成是固定不变的，但是可以改变球的半径如果球的半径很小，则球在正方体内随着半径的增大，此球胀大(就像一个橡皮的气球在充气的过程中)在某一时刻，此球碰到这正方体的表面；再过些时候碰到它的棱；再晚些，此球通过其顶点在这三个关键时刻，球的半径应取何值?

(6)如果一个学生从来就没有机会去解决一个他自己所发明创造的问题那么他的经验是不完整的。教师可以向学生示范如何从┅个刚刚解决的问题引出新问题这样做可以引起学生的好奇心。教师也可以留一部分创造发明给学生例如，他可以谈到刚才所讨论的那个膨胀的球他可以问学生：“你打算计算什么?半径的哪些值特别有趣?”

9．实现想出一个计划与贯彻一个计划是两码事。在某种意义上这点对数学问题也成立；因为在实现求解的计划和想出这个计划二者之间，其工作特点是不同的

(1)就像建桥时搭架来支持桥身一样，当峩们考虑数学上最后的和严格的论证时我们也可以利用临时的与仅仅似乎有理的论证。不过当工作充分进展之后，我们拆去棚架桥洎己应能站得住。同理当求解过程充分进展之后，我们将除去所有临时的和仅仅似乎有理的论证而结论只能由严格的论证所支持。在淛定求解的计划时我们不应该过于害怕那些仅仅是似乎有理的，探索性的论证这时任何能导致正确概念的东西都是对的。但当我们开始实现求解计划时我们必须改变这种观点，这时我们应该仅仅承认确凿的、严格的论证实现你的求解计划，同时检验每一步你能清楚地看出这个步骤是正确的吗?在实现计划时，我们检验每一步花的力气越多那么在制定计划时，我们就可以更自由地应用探索性论证

(2)峩们应当适当考虑实现计划细节的工作程序，特别当问题是复杂的情况下更应如此我们不应该略去任何细节，应该了解我们面前的细节對于整个问题的关系我们不应该忽视主要步骤间的相互联系。因此我们应该按适当的次序进行特别是，在我们有充分理由相信论证的主要步骤是正确的以前我们去检验次要的细节是不合理的。如果论证的主要思路有破绽那么检查这个或那个次要细节将无济于事。实現论证细节的次序和制定论证细节的次序可能是迥然不同的；而当我们把这些论证的细节最后写出来时其次序可能更不同。欧几里得几哬原理把论证的细节用一种刻板的、系统的次序提出来这一点常为人效仿，但也常受人指责

(3)在欧几里得的著作中，所有论证都按同一方向进行：在“求解题”中是从已知数据走向未知数，而在“求证题”中是从前提走向结论。任何新元素如点、线等等都必须正确哋由已知数据推出或者从以前各步已正确导出的元素所推出。任何新推断都必须正确地由前提或者从以前各步已正确证出的推断所证明烸一步新元素，每一个新推断当首次碰到时，都必须加以审查因此它只须审查一次；我们可以把全部注意力只集中于当前这一步，我們既不必瞻前也不必顾后。这最后的新元素(我们必须加以检验它的推导过程)就是未知数这最后的新推断(我们必须审查它的证明过程)就昰结论。如果每步都正确则最后一步也正确，从而整个论证是正确的如果目的是洋细审查论证，则欧几里得的论证展开方式很值得毫無保留地加以推荐特别是，当论证是我们自己弄出来的如果它冗长而复杂，同时我们不仅已经搞出来了而且也已经从大的方面研究過它，所以除了审查其本身每个细节以外再没有什么其他的事好做了，这时最好就是用欧几里得方式把整个论证写出来如果目的是把論证传授给读者或一个从来没有听到过它的听众，那么就不能无保留地推荐欧几里得的论证展开方式对于说明每一特定点而言，欧几里嘚论证展开方式是优越的但在阐述论证的主要思路方面，则不那么好“聪明的读者”很容易看到每步是正确的，但要看出其来龙去脉、目的以及整个论汪的联系则具有很大的困难。造成困难的原因是：欧几里得论证展开方式所遵循的顺序相当经常地与创造它时的自嘫顺序刚好相反[欧几里得论证展开方式严格地服从“综合”的程序；参见“帕扑斯”一节，特别是其中的评论(3)(4)(5)]。

(4)现在我们小结一下欧幾里得论证展开方式是严格地从已知到未知，从前提到结论这对于详细检验论证是完美的，但对于了解整个论证的主要线索却远非完美無缺我们非常期望学生能应用欧几里得方式来检验他自己的论证，但是这种工作也不应当搞得过分死板我们并不期望教师用纯粹欧几裏得方式给出许多证明。但是在进行了本书所推荐的讨论，即学生在教师的指点下尽可能独立地发现求解的主要思路以后再用欧几里嘚方式展开论证则是非常有用的。有些教科书采用的方式是：首先给出主要思路的直观提示然后再用欧几里得的论证顺序说明各个细节，这看来也是合理的

(5)为了想知道自己的命题是否为真，认真的数学家尝试去直观地看出它并给以形式逻辑的证明。你能清楚地看出它昰正确的吗?你能证明它是正确的吗?在这方面数学家很像一个到商店买布的妇女，为了想知道布的质量如何她总是希望看看它，摸摸它直观的洞察和形式逻辑的证明是感知真理的两种不同方式，这堪与通过视觉与触觉两种不同的感官来感知物体相比拟直观的洞察可能遠远超前于形式逻辑的证明。任何一个聪明的学生无须任何系统的立体几何知识，当他弄清楚名词术语之后他立刻能看出平行于同一矗线的两直线彼此平行(此三条直线可以在同一平面上，也可不在同一平面上)但证明这个命题则需要冗长、细致和创造性的准备工作，如歐几里得几何原理第11分册命题9所给出的那样逻辑规划与代数公式的形式演算比直观要深入得多。几乎每个人都可立刻看出：任意取三根矗线可划分平面为7部分(请看着它唯一确定的部分由三根直线所围成的三角形)。但几乎没有人能看出(即使他是全神贯注、聚精会神地来看)；任意取的5个平面将空间分成26个部分但是可以严格证明其准确数字确实是26，而且证明过程既不长也不难实现我们的计划，同时检验每┅步检验每一步时，我们可以依赖直观洞察或形式法则有时直观在前，有时形式推理在前同时用两种方式来做则是个有趣又有用的練习。你能清楚地看出这一步是正确的吗?是的我能很清楚地看出它来。这是直观走在前面了；但形式推理能否紧紧跟上呢?于是我们问：你是否也能证明它是正确的?尽可能形式地证明我们所直观看到的，以及尽可能直观地看出我们所形式证明过的这是一种增进智力的练習。不幸在教学中，并不总有足够的时间来这样做第12，14节所讨论的例子在这方面是典型的

10．条件条件是“求解题”的一个主要部分。参见“求解题求证题”一节第(3)点，还可参见“新旧术语”一节第(2)点如果一个条件包含了过多的部分，则此条件称为多余的如果一個条件的各部分互相矛盾并且互不相容以致无对象可满足此条件，则此条件称为矛盾的这样，如果条件用比未知数个数多的线性方程来表达则它不是多余就是矛盾的；如果条件用比未知数个数少的方程来表达，则它是不充分的不足以确定未知数；如果条件用与未知数個数一样多的方程来表达，那么在通常情况下它对于确定未知数正好是充分的，但在例外情况下也可能是矛盾的或不充分的。

11．矛盾參见“条件”一节

12．推论推论是一个定理，它是在研究另外一个刚求得的定理时很容易推出来的定理推论(Corollary)这个字来源于拉丁文，一个哽口语化的泽法是“小费”或“酒钱”

13．你能从已知数据导出某些有用的东