1）称球问题有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别.现在有一架没有砝码的很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并_百度作业帮
1）称球问题有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别.现在有一架没有砝码的很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并
1）称球问题有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别.现在有一架没有砝码的很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并知道它比标准球重还是轻.
《三思科学》电子杂志 第三期,日 .cn/magazine/200109 称球问题——经典智力题推而广之三 异调 说明 这篇文章试图给出称球问题的一个一般 的和严格的解答.正因为需要做到一般和严 格,就要考虑许多平时遇不到的特别情形, 所以叙述比较繁琐.如果对读者对严格的证 明没有兴趣,可以只阅读介绍问题和约定记 号的第一、第二节,以及第三节末尾27个球 的例子,和第五节13个球和40个球的解法. 事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子 里了. 一、问题 称球问题的经典形式是这样的： “有十二个外表相同的球,其中有一个坏球,它的重量和其它十 一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别.现在有一架没有砝码的 很灵敏的天平,问如何称三次就保证找出那个坏球,并知道它比标准 球重还是轻.” 这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了.它的一种解法如 下： 将十二个球编号为1-12. 第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边. 1.如果右重则坏球在1-8号. 第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放 在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边. 1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号, 则它比标准球轻；如果是5号,则它比标准球重. 第三次将1号放在左边,2号放在右边. 1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻； 2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重； 3.这次不可能左重. 2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻. 第三次将2号放在左边,3号放在右边. 1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻； 2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻； 3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻. 3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重. 第三次将6号放在左边,7号放在右边. 1.如果右重则7号是坏球且比标准球重； 2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重； 3.如果左重则6号是坏球且比标准球重. 2.如果天平平衡,则坏球在9-12号. 第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边. 1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重. 第三次将9号放在左边,10号放在右边. 1.如果右重则10号是坏球且比标准球重； 2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重； 3.如果左重则9号是坏球且比标准球重. 2.如果平衡则坏球为12号. 第三次将1号放在左边,12号放在右边. 1.如果右重则12号是坏球且比标准球重； 2.这次不可能平衡； 3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻. 3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻. 第三次将9号放在左边,10号放在右边. 1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻； 2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻； 3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻. 3.如果左重则坏球在1-8号. 第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放 在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边. 1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻. 第三次将6号放在左边,7号放在右边. 1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻； 2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻； 3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻. 2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重. 第三次将2号放在左边,3号放在右边. 1.如果右重则3号是坏球且比标准球重； 2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重； 3.如果左重则2号是坏球且比标准球重. 3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号, 则它比标准球重；如果是5号,则它比标准球轻. 第三次将1号放在左边,2号放在右边. 1.这次不可能右重. 2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻； 3.如果左重则1号是坏球且比标准球重； 够麻烦的吧.其实里面有许多情况是对称的,比如第一次称时的 右重和右轻,只需考虑一种就可以了,另一种完全可以比照执行.我 把整个过程写下来,只是想吓唬吓唬大家. 稍微试一下,就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的.如 果给的是十三个球,以上的解法也基本有效,只是要有个小小的改动, 就是在这种情况下,在第一第二次都平衡的时候,第三次还是有可能 平衡（就是上面的第2.2.2步）,那么我们可以肯定坏球是13号球,可 是我们没法知道它到底是比标准球轻,还是比标准球重.如果给的是 十四个球,我们会发现无论如何也不可能只称三次,就保证找出坏球. 一个自然而然的问题就是：对于给定的自然数N,我们怎么来解有 N个球的称球问题? 在下面的讨论中,给定任一自然数N,我们要解决以下问题： ⑴找出N球称球问题所需的最小次数,并证明以上所给的最小次数的确 是最小的； ⑵给出最小次数称球的具体方法； ⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重,对N球称球问题解决 以上两个问题； 还有一个我们并不是那么感兴趣,但是作为副产品的问题是： ⑷如果除了所给的N个球外,另外还给一标准球,解决以上三个问题. 二、记号 我们先不忙着马上着手解决上述问题.先得给出几个定义,尤其 是,要给出比较简单的符号和记法.大家看到上面给出的解法写起来 实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个 球的问题! 仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法.在还没有开始称第一 次时,我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻,或较重的 坏球,所以以下24种情况都是可能的： 1. 1号是坏球,且较重； 2. 2号是坏球,且较重； …… 12. 12号是坏球,且较重； 13. 1号是坏球,且较轻； 14. 2号是坏球,且较轻； …… 24. 12号是坏球,且较轻. 没有其他的可能性,比如说“1、2号都是坏球,且都较重”之类.当 我们按上面解法“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”称过第一次 以后,假设结果是右重,稍微分析一下,就会知道上面的24种情况中, 现在只有8种是可能的,就是 1. 1号是坏球,且较轻； 2. 2号是坏球,且较轻； 3. 3号是坏球,且较轻； 4. 4号是坏球,且较轻； 5. 5号是坏球,且较重； 6. 6号是坏球,且较重； 7. 7号是坏球,且较重； 8. 8号是坏球,且较重. 我们把诸如“1号是坏球,且较重,其他球都正常”和“2号是坏球, 且较轻,其他球都正常”这样的情况,称为一种“布局”,并记为： (1重) 和 (2轻) 我们把“先将1-4号放在左边,5-8号放在右边”这样的步骤,称为一 次“称量”.我们把上面这次称量记为 (1,2,3,4; 5,6,7,8) 或 (1-4; 5-8) 也就是在括号内写出参加称量的球的号码,并且以分号分开放在左边 和放在右边的球号.在最一开始,我们有24种可能的布局,而在经过 一次称量(1-4; 5-8)后,如果结果是右重,我们就剩下上述8种可能 的布局.我们的目的,就是要使用尽量少的称量,而获得唯一一种可 能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球,它是比较重还是比较轻. 这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量.因为坏 球和标准球重量之间的差别很小,小于标准球的重量,所以当天平两 边球数不一样时,天平一定向球比较多的那边倾斜.所以在进行这样 一次称量之前,它的的结果就可以被预料到,它不能给我们带来任何 新的信息.事实上在看完本文以后大家就很容易明白,即使坏球和标 准球重量之间的差别很大,也不会影响本文的结论.因为考虑这种情 况会使问题变麻烦,而并不能带来有趣的结果,我们就省略对此的考 虑. 现在我们看到,上面关于十二个球问题的解法,其实就是由一系 列称量组成的——可不是随随便便的组合,而是以这样的形式构成的： 称量1 如果右重,则 称量3 …… 如果平衡,则 称量2 …… 如果左重,则 称量4 …… 省略号部分则又是差不多的“如果右重,则……”等等.所以这就提 示我们用树的形式来表示上面的解法：树的根是第一次称量,它有三 个分支（即三棵子树,于是根有三个子节点）,分别对应着在这个称 量下的右重、平衡、左重三种情况.在根的三个子节点上,又分别有 相应的称量,和它们的三个分支……如果具体地写出来,就是 |--右--( 1轻) |--右--(1 ; 2)|--平--( 5重) | |--左--( ) | | |--右--( 2轻) |--右--(1,6-8; |--平--(2 ; 3)|--平--( 4轻) | 5,9-11)| |--左--( 3轻) | | | | |--右--( 7重) | |--左--(6 ; 7)|--平--( 8重) | |--左--( 6重) | | |--右--(10重) | |--右--(9 ;10)|--平--(11重) | | |--左--( 9重) | | | | |--右--(12重) (1-4;5-8)|--平--(1-3; |--平--(1 ;12)|--平--(13轻, 13重)* | 9-11)| |--左--(12轻) | | | | |--右--( 9轻) | |--左--(9 ;10)|--平--(11轻) | |--左--(10轻) | | |--右--( 6轻) | |--右--(6 ; 7)|--平--( 8轻) | | |--左--( 7轻) | | | | |--右--( 3重) |--左--(1,6-8; |--平--(2 ; 3)|--平--( 4重) 5,9-11)| |--左--( 2重) | | |--右--( ) |--左--(1 ; 2)|--平--( 5轻) |--左--( 1重) （*：对应十三个球的情形.） 这里“右”、“平”和“左”分别表示称量的结果为“右重”、“平 衡”和“左重”所对应的分支.在树的叶子（就是最右边没有子节点 的那些节点）部分,我们标出了“能够到达”这些节点的布局,也就 是说在进行每一节点上的称量时,这个布局所给的结果和通往相对应 的叶子的道路上所标出的“右”、“平”和“左”相符合.从这个图 我们也可以清楚地看到,根下的左分支和右分支是对称的：只需要把 所有的“右”改成“左”,“左”改成“右”,“轻”改成“重”, “重”改成“轻”；节点(1-3; 9-11)下的左分支和右分支也有这个 特点. （如果有朋友对树理论感兴趣,可以参考随便哪一本图论或者离 散数学的书.在这里我们只用到树理论里最基本的知识,所用的名词 和结论都是相当直观的.所以如果你不知道树理论,用不着特别去学 也可以看懂这里的论证.） 所以给定一棵三分树（就是说除了叶子以外其他的节点都有三个 子节点的树）,在每个不是叶子的节点上给定一个称量,并且规定这 个节点下的三个分支（子树）分别对应右重、平衡、左重的情况,我 们就得到了一种称球的方法.我们把这样一棵三分树称为一个“策略” 或一棵“策略树”.你可以给出一个平凡的策略,比如说无论发生了 什么事总是把1号和2号球放在左右两侧来称（在叶子上我们没有写出 相应的布局,用@来代替）： |--右--@A |--右--(1; 2)|--平--@ | |--左--@ | | |--右--@ (1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@ | |--左--@ | | |--右--@B | |--右--(1; 2)|--平--@ | | |--左--@ | | | | |--右--@ |--左--(1; 2)|--平--(1; 2)|--平--@ | |--左--@ | | |--右--@ |--左--(1; 2)|--平--@ |--左--@ 当然这么个策略没什么用场,只能让我们知道1号球和2号球之间的轻 重关系.另外我们看到,每个分支不一定一样长,上面这棵策略树根 下面左分支就比较长. 一棵树的高度是叶子到根之间的结点数的最大值加一.比如说上 面这个图中,叶子A和根间有1个节点,而叶子B和根间有2个节点,没 有和根之间的节点数超过2的叶子.所以它的高度是2+1=3.前面十二 球解法策略树的高度也是3.一棵没有任何分支,只有根节点的树,我 们定义它的高度是0. 显然,策略树的高度就是实行这个策略所需要的称量的次数.我 们的目的,就是找到一棵“好”的策略树,使得它的高度最小. 什么是“好”策略?我们回过头来再看十二球解法策略树.我们 说过,叶子上的那些布局都是从根开始通向叶子的.比如说布局(7重), 它之所以在那片叶子上是因为按照这个策略,三次称量的结果是“右 左右”；又比如说布局(11重),它之所以在那片叶子上是因为按照这 个策略,三次称量的结果是“平右平”.如果两个布局通向同一片叶 子,那么就是说按照这个策略,三次称量的结果是完全一样的,于是 我们就不能通过这个策略来把这两种布局区分开来.比如说在十三个 球的情况下,(13轻)和(13重)都通向和“平平平”相对应的叶子,这 两个布局中13号球或者轻或者重,于是我们知道13号球一定是坏球, 但是通过这个策略我们不可能知道它到底是轻还是重. 所以对于标准的称球问题（找出坏球并知其比标准球重或轻）的 “好”策略,就是那些能使不同的布局通向不同的叶子的策略. 三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况 先引入一个记号：对于任意实数a,我们用{a}表示大于等于a的最 小整数,比如说{2.5}=3,{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整 数,比如说[2.5]=2,[4]=4. 我们首先考虑这样一种布局的集合.假设m,n为两个非负实数, 不同时为0.在编号从1到m+n的m+n个球中,我们知道1到m号球要么是 标准球,要么比标准球重,而m+1到m+n号球要么是标准球,要么比标 准球轻；我们还知道其中有一个是坏球（但不知轻重）.换句话说, 我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一： 1. 1号是坏球,且较重； 2. 2号是坏球,且较重； …… m. m号是坏球,且较重； m+1. m+1号是坏球,且较轻； m+2. m+2号是坏球,且较轻； …… m+n. m+n号是坏球,且较轻. 有一种特殊的情况是m=0或n=0,也就是说坏球的是轻还是重已经知,常 常被用来单独作为智力题. 结论1： 1)在以上条件成立的情况下,要保证在m+n个球中找出坏球并知道 其轻重,至少需要称{log3(m+n)}次. 2)如果m和n不同时为1,那么称{log3(m+n)}次就足够了.如果 m=n=1,并且另有一标准球,那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1 次也足够了. 这里log3表示以3为底的对数. 需要对2)作点说明.如果m=n=1而没有标准球的话,那么是永远也 称不出坏球来的.把两个球一边一个放在天平上,必然是1号重2号轻. 但是由于没有标准球,我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的,还 是坏球比较轻所以2号是坏的.如果有标准球,只要把1号球和标准球 比较一下.如果天平不平衡,那么1号球是坏球,且比较重；如果天平 平衡,那么2号球是坏球,且比较轻.策略树如下：（用s表示标准球） |--右--( ) | | (1; s)|--平--(2轻) | | |--左--(1重) 现在来证明1).在上面我们看到,可能的布局是m+n种（1重,2重, ……,m重,m+1轻,m+2轻,……,m+n轻）.假设我们已经有一个策 略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重,那么每一个布局都要 通向策略树上的不同叶子,这棵策略树至少需要有m+n片叶子.但是一 棵高度为H的三分树最多只能有3H片叶子.于是这棵策略树必须满足条 件 3H ≥ m+n 也就是 H ≥ log3(m+n) 考虑到H是整数,我们就证明了 H ≥ {log3(m+n)} 现在我们要具体找到一棵高度为{log3(m+n)}的策略树,使得m+n 种布局通向它的不同叶子.我们对k=m+n使用数学归纳法. 首先k=1.那么称都不要称,因为必有一坏球,那么坏球就是唯一 的1号球.如果是m=1,n=0,那么1号球比较重；如果是m=0,n=1,那 么1号球比较轻.需要的称量次数为{log3(1)}=0. 对于k=2.m=1,n=1的情况已经讨论过了.考虑m=2,n=0.这时我 们知道坏球比较重.只要把1号球和2号球放在天平两边一称,哪个比较 重哪个就是坏球.策略树如下： |--右--(2重) | | (1; 2)|--平--( ) | | |--左--(1重) m=0,n=2的情况完全类似. 假设对于m+n＜k的情况我们都可以用{log3(k)}次称出坏球.考虑 m+n=k的情况.我们把1到m号球称为第一组球,m+1到n号球称为第二组 球. 设H={log3(m+n)}＝{log3(k)}.那么我们有 3H-1 ＜ k ≤ 3H 3H-2 ＜ k/3 ≤ 3H-1 3H-2 ＜ {k/3} ≤ 3H-1 于是 {log3{k/3}}=H-1. 现在我们把这k个球分为三第一堆和第二堆分别有{k/3}个球, 并且这两堆中属于第一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数 目也一样）,第三堆中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）.举一个 例子,如果m=7,n=3,那么这三堆可以分成这样：（当然不是唯一的 分法） 第一堆：1,2,3,7 （属于第一组的3个,第二组的1个） 第二堆：4,5,6,8 （属于第一组的3个,第二组的1个） 第三堆：9,10 这样的分堆总是可能的吗?如果m或n是偶数,那就很简单.比如 说假设m是偶数,有两种可能性.如果m/2≥{k/3},那么就从第一组球 中各取{k/3}个球作为第一和第二堆（这时在第一第二堆中只有第一组 的球）；如果m/2＜{k/3},那么就把第一组球分为相同的m/2个球的两 堆,再分别用{k/3}-m/2个第二组球去把它们补充成{k/3}个球的两堆 （这时在第三堆中就只有第二组的球了）.很显然这样的分堆符合上 面的要求. 如果m和n都是奇数,事情就有点复杂.首先如果(m-1)/2≥{k/3} 的话,那么按上面的方法也很容易把球按要求分为三堆.但是如果 (m-1)/2＜{k/3},我们就必须先从第一组中各拿出(m-1)/2个球放入第 一和第二堆,再从第二组中各拿出{k/3}-(m-1)/2个球将它们补充到各 有{k/3}个球为止.这就需要从第二组中总共拿得出2({k/3}-(m-1)/2) 个球来.所以必须有 2({k/3}-(m-1)/2) ≤ n 即 2{k/3} ≤ (m-1)+n 2{k/3} ≤ k-1 这个不等式在k=3或k＞4时总是成立的,但是对k=4就不成立.所以我 们要对k=4且m,n都是奇数的情况作特殊处理.我们只需考虑m=3,n=1 这种情况.把1号球和2号球放在天平两端,如果不平衡,那么较重的 那个是坏球；如果平衡,那么把1号球和3号球放在天平两端,平衡则 4号球为坏球且较轻,不平衡则3号球为坏球且较重.策略树如下： |--右--(2重) | | |--右--(3重) (1; 2)|--平--(1; 3)|--平--(4轻) | |--左--( ) | |--左--(1重) m=1,n=3的情况完全类似. 于是现在我们就可以毫无障碍地假设,我们已经将m+n=k个球分为 这样的三堆：第一堆和第二堆分别有{k/3}个球,并且这两堆中属于第 一组的球的数目一样（于是属于第二组的球的数目也一样）,第三堆 中有k-2{k/3}个球（也就是其余的球）. 我们把第一堆球和第二堆球分别放在天平的左右两端.如果平衡, 那就说明坏球在第三堆里,这样我们就把问题归结为一个k-2{k/3}个 球的问题；如果右边比较重,那么我们得到结论：要么是坏球比较轻, 并且它在第一堆中的第二组球,也就是可能较轻的那些球中,要么是 坏球比较重,并且它在第二堆中的第一组球,也就是可能较重的那些 球中,下面它就归结为一个{k/3}个球的问题了；如果是左边比较重, 那么我们也完全类似地将问题归结为一个{k/3}个球的问题.开始的策 略树如下：（小球的编号作了适当变化：假设1,2,……,s为第一堆 中的第一组球,1',2'……,s'为第二堆中的第一组球,(s+1),…… 为第一堆中的第二组球,(s+1)'为为第二堆中的第二组球） 归结为坏球在 |--右--(1',2',……,s',s+1,……)中 | 的问题（{k/3}个球） | | (1,2,……,s,s+1,……; | 1',2',……,s',(s+1)',……)|--平--归结为坏球在第三堆中的问题 | （k-2{k/3}个球） | | 归结为坏球在 |--左--(1,2,……,s,(s+1)',……)中 的问题（{k/3}个球） 考虑到k-2{k/3}≤{k/3},另外此次称量后我们至少可以得到一个标准 球（如果不平衡,第三堆里的球均为标准球,否则第一第二堆里的球 均为标准球）.根据归纳假设,上面得到“左”、“平”、“右”三 种情况归结后的问题都可以用{log3{k/3}}=H-1次的称法来解决.所 以加上这第一次称量,k个球只需{log3(k)}次称量就可以找出坏球. 在这节的最后我们给出一个具体的例子：如果有27个球,其中有 一个坏球,而且已知第一堆1-14号球如果其中一个是坏球,那么它比 标准球重,第二堆15-27号球如果其中一个是坏球,那么它比标准球轻. 根据结果1,我们知道只要[log3(27)]=3次就可以找出坏球. 按照上面的称法,首先将27个球分为三堆,第一第二堆的个数为 {27/3}=9个球,而且其中分别属于第一和第二组的球的个数相同.于 是我们可以取： 第一堆： 1-7,15-16 第二堆：8-14,17-18 第三堆：19-27 现在把第一和第二堆放在天平左右两端,如果平衡,我们就归结为在 19-27号9个球中其中有个较轻坏球的问题；如果右边重,我们就归结 为坏球在8-14,15-16中的问题；如果左边重,我们就归结为坏球在 1-7,17-18中的问题.这三种情况都是9个球的问题. |--右--归结为坏球在8-14,15-16中的问题 | | (1-7,15-16; | 8-14,17-18|--平--归结为坏球在19-27中的问题 | | | |--左--归结为坏球在1-7,17-18中的问题 三种情况中我们只具体做一种：坏球在1-7,17-18中的问题.同 样地我们将其分为三堆 第一堆：1-3 第二堆：4-6 第三堆：7,17-18 照上面类似地我们有策略树 |--右--归结为坏球在4-6中的问题 | | (1-3; 4-6)|--平--归结为坏球在7,17-18中的问题 | | |--左--归结为坏球在1-3中的问题 于是变成了3个球的问题,解决方法就很显然了,我们把上面的策略树 写完整： |--右--( 5重) |--右--(4 ; 5)|--平--( 6重) | |--左--( 4重) | | |--右--(17轻) (1-3; 4-6)|--平--(17;18)|--平--( 7重) | |--左--(18轻) | | |--右--( 2重) |--左--(1 ; 2)|--平--( 3重) |--左--( 1重) 类似地我们写出坏球在8-14,15-16中的问题的策略树： |--右--(12重) |--右--(11;12)|--平--(13重) | |--左--(11重) | | |--右--(15轻) (8-10;11-13)|--平--(15;参考资料：bbs.
把12个球分成3份,每份4个.把其中两份分别放在天平两端.如果天平平衡就不用说了,很简单了.如果天平不平衡,那么我们把重的一份叫A,把轻的一份叫B.把肯定没有X的另一份叫C.好了,我们从A里拿出3个球放在一边(拿B的同理),然后从B中拿出3个球放在A中,再从C中拿出3个来放在B中,(前提:和以前的一个分开放,能区分).天平可能有三种可能,还是A面重:证明X在没动过的两个球里.平衡了:证明X在从A中...（2013o河北）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．&&
（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x=70，Q=450时，求n的值；
（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；
（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ b2a?&&，4ac-b?24a&& ）
（1）根据题目所给的信息，设W=k1x2+k2nx，然后根据Q=W+100，列出用Q的解析式；
（2）将x=70，Q=450，代入求n的值即可；
（3）把n=3代入，确定函数关系式，然后求Q最大值时x的值即可；
（4）根据题意列出关系式，求出当Q=420时m的值即可．
解：（1）设W=k1x2+k2nx，则Q=k1x2+k2nx+100，
由表中数据，得
420=402k1+2*40k2+100&
100=602k1+1*60k2+100，
解得：k1=-110?&&
&&&&&&&& k2=6&，
∴Q=-110?&& x2+6nx+100；
（2）将x=70，Q=450代入Q得，
450=﹣ -110?&&702+6×70n+100，
解得：n=2；
（3）当n=3时，Q=-110?&& x2+18x+100=-110?&&（x﹣90）2+910，
∵-110?&&＜0，
∴函数图象开口向下，有最大值，
则当x=90时，Q有最大值，
即要使Q最大，x=90；
（4）由题意得，420=-110?&& [40（1﹣m%）]2+6×2（1+m%）×40（1﹣m%）+100，
即2（m%）2﹣m%=0，
解得：m%=12?&& 或m%=0（舍去），有12个球,其中一个与其他11个的重量不同,让你称三次,把这个球找出来.该怎么个称法?_百度作业帮
有12个球,其中一个与其他11个的重量不同,让你称三次,把这个球找出来.该怎么个称法?
有12个球,其中一个与其他11个的重量不同,让你称三次,把这个球找出来.该怎么个称法?
12个球称3次找坏球的完美解答 古老的智力题详述: 有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来. 网上的最多的方法是逻辑法,还有少数画成图的所谓策略树和基于此的程序算法.这道题有13种不同的答案.这里我提出一种新的完全的数学解法: 一·首先提出称量的数学模型: 把一次称量看成一个一次代数式,同样问题就可以描述成简单的矩阵方程求解问题.怎么把一次称量表示成一个代数式呢? 1),简化描述小球的重量(状态)----正常球重量设为0,设异常球比正常球重为1或轻为-1,异常球未知轻重时用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量状态. 2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态. 3),描述称量结果: 由1),2)已经可以确定一个称量式 ∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式 如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为 j*i=a(常数a为单次称量结果) -------------(2)式 例如有1-6号共6个小球,其中4号为较重球,拿3号5号放左边,1号4号放右边进行称量,式子为: (-1)*0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1, 从-1的意义可以知道它表示结果的左边较轻; 同样可以得到0表示平衡,1表示左边较重. 4),方程用来描述称量过程,还需附加一个重要的条件:代表放左边的1和右边的-1个数相等,也就是 ∑各球的放法=0-------------------------(3)式 这样就解决了称量的数学表达问题. 对于12个小球的3次称量,分别用12维行向量j1,j2,j3表示,由j1j2j3便构成了3×12的称量矩阵J；对于某一可能情况i,对应的3次称量结果组成的3维列向量b,得 J*i=b 二·称球问题的数学建模 问题的等价： 设J为3×12的矩阵,满足每行各项之和为0.i为12维列向量,i的某一项为1或－1,其他项都是0,即i是12×24的分块矩阵M=(E,-E)的任一列.而3×27的矩阵C为由27个互不相同的3维列向量构成,它的元素只能是1,0,-1. 由问题的意义可知b=J*i必定是C的某一列向量.而对于任意的i,有由J*i=b确定的b互不相同. 即 J*M=J*(E,-E)=(B,-B)=X -----（设X为3×24的矩阵） 因为X为24列共12对互偶的列向量,而C为27列,可知从C除去的3列为(0,0,0)和1对任意的互偶的列向量,这里取除(1,1,1)和(-1,-1,-1). 由上式得J*E=B推出J=B,X=(J,-J).因此把从27个3维列向量中去除(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)然后分为互偶的两组(对应取反) [ 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]; [ 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1,-1]; [ 1, 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 0, 1,-1]. [ 0, 0, 0, 0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1]; [ 0,-1,-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1, 1, 1, 1]; [-1, 0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1, 0,-1, 1]. 现在通过上下对调2列令各行的各项和为0!即可得到J.我的方法是从右到左间隔着进行上下对调,然后再把2排和3排进行上下对调,刚好所有行的和为0.得 称量矩阵J= [0, 0, 0, 0, 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1]; [0, 1,-1,-1, 0, 0, 0,-1, 1, 1,-1, 1]; [1, 0,-1, 1, 0,-1,-1, 0,-1, 0, 1, 1]. 相应三次称量两边的放法： 左边5,7,9,11 ：右边6,8,10,12； 左边2,9,10,12：右边3,4,8,11； 左边1,4,11,12：右边3,6,7,9 .
1号球,且重 －平、平、左 1号球,且轻 －平、平、右 2号球,且重 －平、左、平 2号球,且轻 －平、右、平 3号球,且重 －平、右、右 3号球,且轻 －平、左、左 4号球,且重 －平、右、左 4号球,且轻 －平、左、右 5号球,且重 －左、平、平 5号球,且轻 －右、平、平 6号球,且重 －右、平、右 6号球,且轻 －左、平、左 7号球,且重 －左、平、右 7号球,且轻 －右、平、左 8号球,且重 －右、右、平 8号球,且轻 －左、左、平 9号球,且重 －左、左、右 9号球,且轻 －右、右、左 10号球,且重－右、左、平 10号球,且轻－左、右、平 11号球,且重－左、右、左 11号球,且轻－右、左、平 12号球,且重－右、左、左 12号球,且轻－左、右、右 三·问题延伸 1,13个球称3次的问题： 从上面的解答中被除去的3个向量为(0,0,0)(1,1,1)(-1,-1,-1).而要能判断第13个球,必须加入1对对偶向量,如果加入的是(1,1,1)(-1,-1,-1),则 [ 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,1]; [ 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1,-1,1]; [ 1, 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 0, 1,-1,1]. [ 0, 0, 0, 0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1]; [ 0,-1,-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1, 1, 1, 1,-1]; [-1, 0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1, 0,-1, 1,-1]. 第一行的非0个数为奇数,不论怎么调也无法使行和为0.故加入的行只能为自对偶列向量(0,0,0),结果是异球可判断是否是第13球时却无法检查轻重.也可见,13球称3次的问题和12球称3次的问题只是稍有不同,就如12个球问题把球分3组4个称,而13个球问题把球分4组(4,4,4,1),第13个球单独1组. 2,(3^N-3)/2个球称N次找出异球且确定轻重的通 第一步,先给出3个球称2次的一个称量矩阵J2 [ 0, 1,-1]; [-1, 0, 1]. 第二步,设Kn=(3^N-3)/2个球称N次的称量矩阵为N行×Kn列的矩阵Jn,把(3^N/3-3)/2个球称N-1次的称量矩阵J简写为J.再设N维列向量Xn,Yn,Zn分别为(0,1,1,...,1),(1,0,0,...,0),(1,-1,-1,...,-1). 第三步之1,在N-1行的矩阵J上面添加1行各项为0,成新的矩阵J'. 第三步之2,在N-1行的矩阵J上面,添加行向量t=(1,1,...,1,-1,-1,...,-1),成新的矩阵J".t的维(长)和J的列数一致,t的前面各项都是1,后面各项都是－1；t的长为偶数时,1个数和－1个数相等；t的长为奇数时,1个数比－1个数少1个； 第三步之3,在N-1行的矩阵-J上面,添加行向量t=(1,1,...,1,-1,-1,...,-1),成新的矩阵J"'. 第四步,当J的列数即t的长为奇数时,用分块矩阵表示矩阵Jn＝(J',J",J"',Xn,Yn,Zn);当J的列数即t的长为偶数时,用分块矩阵表示矩阵Jn＝(J',J",J"',Xn,-Yn,Zn); 此法可以速求出一个J3为 [ 0, 0, 0, 1,-1,-1, 1,-1,-1, 0, 1, 1]; [ 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 1, 1, 0,-1]; [-1, 0, 1, -1, 0, 1, 1, 0,-1, 1, 0,-1]. 同样可以继续代入求出J4,J5的称量矩阵. 3,2类主要的推广： 第1类,有(3^n-3)/2个球,其中有一个异球,用天平称n次,找出该球并确定是较轻还是较重. 第2类, 有n个球,其中混入了m个另一种规格的球,但是不知道异球比标球重还是轻,称k次把他们分开并确定轻重? 显然,上面的推广将球分为了两种,再推广为将球分为n种时求称法. 对于第一类推广,上面已经给出了梯推的通解式.而对于第二类推广,仅对于m=2时的几个简单情况有了初步的了解,如5个球称3次找出2个相同的异球,9个球称4次找出2个相同的异球,已经获得了推理逻辑方法上的解决,但是在矩阵方法上仍未理出头绪,16个球称5次找出2个相同的异球问题上普通的逻辑方法变得非常烦琐以至未知是否有解,希望有高手能继续用矩阵方法找出答案,最好能获得m=2时的递推式. 上面的通解法得到的J4= [ 0,0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0,0,0, 0, 1,1, 1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1, 1, 1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,0,-1, 1]; [ 0,0, 0, 1,-1,-1,1,-1,-1,0,1, 1, 0,0, 0, 1,-1,-1, 1,-1,-1, 0, 1, 1,0, 0, 0,-1, 1, 1,-1, 1, 1, 0,-1,-1,1, 0,-1]; [ 0,1,-1, 0, 1,-1,0,-1, 1,1,0,-1, 0,1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 1, 1, 0,-1,0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1,-1,-1, 0, 1,1, 0,-1]; [-1,0, 1,-1, 0, 1,1, 0,-1,1,0,-1,-1,0, 1,-1, 0, 1, 1, 0,-1, 1, 0,-1,1, 0,-1, 1, 0,-1,-1, 0, 1,-1, 0, 1,1, 0,-1].